Solucionario de Física I

SOLUCIONARIO DE FISICA I
ANALISIS DIMENSIONAL
SISTEMA ABSOLUTO SISTEMA TÉCNICO
Subsistema L M T Subsistema L F T
CGS cm g s CGS cm g s
MKS m kg s MKS m kg s
FPS pie lb s FPS pie lb s
Unidad: [x] = m
a
. kg
b
. s
c
. K
d
. A
e
. cd
f
. mol
g
. rad
h
. sr
i
Fórmula Dimensional: [x] = L
a
. M
b
. T
c
. 
d
. I
e
. J
f
. N
g
, siendo: a, b, c, d, e, f y g = Números Reales
Nota: Las expresiones numéricas como los números reales, funciones trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales, por ser adimensionales, se les representan por la unidad.
FÓRMULAS DIMENSIONALES MÁS USUALES
Magnitud Derivada F.D. Magnitud Derivada F.D.
Área L
2
Periodo T
Volumen L
3
Frecuencia T
–1
Velocidad Lineal L T
–1
Coeficiente de Dilatación 
–1
Aceleración Lineal L T
–2
Capacidad Calorífica M L
2
T
–2

–1
Velocidad Angular T
–1
Capacidad Calorífica Específica L
2
T
–2

–1
Aceleración Angular T
–2
Calor Latente Específico L
2
T
–2
Fuerza M L T
–2
Carga Eléctrica T I
Torque ó Momento M L
2
T
–2
Intensidad de Campo Eléctrico M L T
–3
I
–1
Trabajo ó Energía M L
2
T
–2
Potencial Eléctrico M L
2
T
–3
I
–1
Potencia M L
2
T
–3
Capacidad Eléctrica M
–1
L
2
T
4
I
2
Cantidad de Movimiento M L T
–1
Resistencia Eléctrica M L
2
T
–3
I
–2
Impulso M L T
–1
Carga Magnética L I
Densidad Absoluta M L
–3
Inducción Magnética M T
–2
I
–1
Peso Específico M L
–2
T
–2
Flujo Magnético M L
2
T
–2
I
–1
Presión M L
–1
T
–2
Iluminación L
–2
J
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
Magnitud Fundamental Dimensión Unidad Básica Símbolo
Longitud L Metro m
Masa M Kilogramo kg
Tiempo T Segundo s
Temperatura Termodinámica  Kelvin K
Intensidad de Corriente Eléctrica I Ampere A
Intensidad Luminosa J Candela cd
Cantidad de Sustancia N Mol mol
Magnitud Auxiliar Dimensión Unidad Básica Símbolo
Ángulo Plano - Radián rad
Ángulo Sólido - Estereorradián sr

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (PRINCIPIO DE FOURIER)
Si [A] + [B] = [C] – [D] es una ecuación dimensionalmente correcta, entonces se verifica lo siguiente:
[A] = [B] = [C] = [D]
FÓRMULAS EMPÍRICAS
Si la magnitud p depende de las magnitudes a, b y c, entonces se deberá verificar la siguiente relación:
P = k a
x
b
y
c
z
Siendo: k = Constante numérica de proporcionalidad, y los valores x, y y z deberán satisfacer el principio
de Homogeneidad.
PROBLEMAS
1. Si la ecuación W = PCBxAghMV
60ºsecα
 , es dimensionalmente correcta y donde: W es trabajo,
M es masa, V es velocidad, g es aceleración de la gravedad, h es altura, x es distancia y P es potencia.
Determinar:
α
α
C
BA
[Q ]
α

Solución
[W] =
22
TLM

[V] =
1
TL

[g] =
2
TL

[P] =
32
TLM

Dimensionalmente correcta:
[W] = [PC]][Bx[Agh]][MV
60ºsecα

[W] = [P][C][x][B][h][g][A][V][M]
2α

25/2
2
22
α
α
3222
2222
)
2222
αα22
322
)
22αα22
322
)
2α122
TM
T
TMM
C
BA
[Q]
T[C])TL(M[C]TLM
TM[B]L[B]TLM
M[A]T(L[A]TLM
2TLMTLM
)TL(M[C]L[B]T(L[A]TLMTLM
)TL(M[C]L[B](L)T(L[A])T(M)(LTLM






















2. El período de un planeta que gira en una orbita circular depende del radio de la orbita (R), de la masa de
éste (M) y de la constante (G). Sabiendo que G se expresa en m³/kg.s². Determinar la fórmula empírica del
período.

Solución
2xy3xxz
zyx231
,,,
231
...(1)
zyx
zyx
TLMT
ML)TL(MT
:(1)endoReemplazan
1[K]M[M]L[R]TLM[G]
[M][R][K][G][T]
numéricoConstanteK
MRGKT









2
1
x12x 
2
1
z0)
2
1
(z0xz
2
3
y0y)
2
1
3(0y3x


MG
R
KRT
MRGKT
1/23/21/2



3. La energía por unidad de longitud de una cuerda vibrante depende: de un coeficiente 2
2
π , de la masa por
unidad de longitud, de la frecuencia y de la amplitud de movimiento. Determinar los exponentes que tener
las tres variables físicas para establecer una ecuación dimensionalmente correcta.
Solución
zyx2
Afm2πe 
Donde:
e = Energía por unidad de longitud
m = Masa por unidad de longitud
f = Frecuencia
A = Amplitud del movimiento
zy
[
x2
[A]f][m]]2π[[e]  …(1)
[e] =
2
22
TLM
L
TLM
[L]
[E] 

 , [m] =
1
LM
L
M
[L]
[M] 
 , [f] =
1
T

, [A] = L, 1]2π[
2

Reemplazando en (1):

zy
)
1
(T
x12
L)L(MTLM


22
2
2
2
y
T
xzx2
)
f
A
(m2π
f
A
m2πe
:Luego
2y2y
2z11z1xz
1x
LMTLM






4. Determinar las dimensiones de X para que la relación: EX = F v cos  sea dimensionalmente correcta. Se
sabe que: E = Energía cinética, F = Fuerza y v = velocidad.
Solución
[E] [X] = [F] [v] [cos 

22
TLM

, [F] =
2
TLM

, [v] =
1
TL

, [cos 
(
22
TLM

) [X] = (
2
TLM

) (
1
TL

)
[X] =
110021221111
22
12
TTLMTLM
TLM
)T(L)TL(M 



5. La ley de Gravitación Universal se plasma en la siguiente relación: 2
21
d
m.m
GF  la cual resulta ser
dimensionalmente correcta si: F = Fuerza, 1m y 2m = Masas y d = distancia. ¿Cuáles son las
dimensiones que debe tener G para que dicha relación sea completamente homogénea?
Solución
2
21
[d]
][m.][m
G][[F]  …(1)
[F] =
2
TLM

, [ 1m ] = [ 2m ] = M, [d] = L
2
2
2
2
2
L
M
[G]TLM
L
M.M
[G]TLM





23121221
2
)
2
()
2
TLMTLM
M
TLM(L
[G]



6. Para el cálculo de la energía cinética promedio de las moléculas de un gas ideal monoatómico se utiliza la
relación de Boltzmann: E =
2
3
k T, siendo E = Energía cinética y T = Temperatura absoluta. Determinar la
fórmula dimensional de la constante de Boltzmann
Solución
[E] = [
2
3
] [k] [T] …(1)
[E] =
22
TLM

, [T] = [
2
3
] = 1
22
TLM

= [k] 
[k] =
122
22
θTLM
θ
TLM 


7. Sabiendo que la expresión PV = n RT es dimensionalmente correcta, siendo P = Presión, V = Volumen,
n = cantidad de sustancia y T = Temperatura, se pide determinar las dimensiones de R.
Solución
[P] [V] = [n] [R] [T] …(1)
[P] =
21
TLM

, [V] =
3
L , [n] = N, [T] = 
(
21
TLM

) (
3
L ) = (N) [R] ()
[R] =
112211213
321
θNTLMθNTLM
θN
)(L)TL(M 


8. De acuerdo con la Ley de Coulomb para la interacción de dos cargas eléctricas en el vacío se verifica lo
siguiente: 2
21
o d
q.q
ε4π
1
F  , siendo F = Fuerza, 1q y 2q = Cargas eléctricas y d = Distancia. Se pide
encontrar las dimensiones de la permitividad eléctrica en el vacío (εo)
Solución
2
21
o [d]
][q.][q
][ε][4π
1
[F]  …(1)

[F] =
2
TLM

, [ 1q ] = [ 2q ] = T I , [d] = L, [4] = 1
243111211211
22o
2
o
2
ITLMITLM
LTLM
I)(T.I)(T
][ε
L
I)(T.I)(T
][ε
1
TLM





9. Sabiendo que la velocidad de propagación de la ondas electromagnéticas viene dada por la relación:
oo uε
1
c  , siendo c = Velocidad lineal y εo = Permitividad eléctrica en el vacío (
2431
ITLM

).
Encontrar la fórmula dimensional de la permeabilidad magnética del vacío (uo)
Solución
2
1
o
2
1
o ]u[]ε[
1
[c]  …(1)
[c] =
1
TL

, [εo] =
2431
ITLM

2
1
o
2
1
2431
1
]u[)ITL(M
1
TL



Elevando al cuadrado ambos miembros:
2222423
222431o
o
2431
22
2
2
1
o
2
1
2431
2
)
1
ITLMITLM
)T(L)ITL(M
1
]u[
]u[)ITL(M
1
TL
]
]u[)ITL(M
1
[T(L









10. Se sabe que la energía de una bobina recorrida por una corriente eléctrica viene dada por: W =
2
iL
2
1
,
siendo W = Energía, e i = Intensidad de corriente eléctrica. ¿Cuáles serán las dimensiones del coeficiente
de autoinducción L?
Solución
2
[i][L]]
2
1
[[W]  …(1)

[W] =
22
TLM

, [i] = I, ]
2
1
[ =1
222
2
22
222
ITLM
I
TLM
[L]
I[L]TLM





11. Las ondas electromagnéticas transportan energía, que de acuerdo con la hipótesis de Planck, al
interaccionar con los cuerpos, lo ceden en pequeñas cantidades llamadas fotones. Según esta hipótesis, la
energía de un fotón viene dada por: E = hf, siendo E = Energía y f = Frecuencia. ¿Cuáles son las
dimensiones de la constante de Planck (h)?
Solución
[E] = [h] [f] …(1)
[E] =
22
TLM

, [f] =
1
T

22
TLM

= [h] (
1
T

)
12122
1
22
TLMTLM
T
TLM
[h]




12. En Fotometría se sabe que la iluminación (Y) sobre una superficie está dada por:
Ωd
Φ
Y 2
 , si
d = Distancia y Ω = ángulo sólido, ¿Cuál es la fórmula dimensional del flujo luminoso ( Φ )?
Solución
][[d]
][
[Y] 2


 …(1)
[Y] = JL
2
, [d] = L, [ Ω ] = 1
JJLJL)L()JL(][
L
][
JL
02222
2
2





13. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de A y B para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta?
S)(Bm
θsenW
A 2


Siendo W = Trabajo, m = Masa y S = Área.

Solución
adHomogeneiddePrincipio...(2)[S][B]S][B
...(1)
S][B[m]
θ][sen[W]
[A]
22
2



[W] =
22
TLM

, [m] = M, [S] =
2
L , [sen ] = 1
Por el principio de Homogeneidad en (2):
L[B]L[B]
22

22
LS][B 
220022211
)
2
22
TTLMTLM
(L(M)
TLM
[A]



14. Se da la siguiente ecuación dimensional:
c
bh
t
3a
V 3


Siendo V = Volumen, t = Tiempo, h = Altura, determinar la expresión dimensional de:
ac
b
E 
Solución
[c][a]
[b]
[E]  …(1)
[c]
b][h
[t]
[a][3]
[V] 3

 …(2)
[h][b]b][h  …(3) Principio de Homogeneidad
[V] =
3
L , [t] = T, [h] = L, [3] = 1
Por el principio de Homogeneidad en (3):
[b] = L
[h – b] = L
[c]
L
T
[a]
L 3
3

33
3
3
TL[a]
T
[a]
L 

231
3
3
LL
L
L
[c]
[c]
L
L


Reemplazando [a], [b] y [c] en (1):
3303231
233
TTLTL
)(L)T(L
L
[E]



15. Si la rigidez (P) de una cuerda está dada por la fórmula:
2
db
R
Qa
P  , siendo P = Fuerza en Newton,
R = Radio, Q = Presión, d = Densidad. ¿Qué dimensiones deben tener a y b para que dicha fórmula sea
dimensionalmente correcta?
Solución
2
[d]b][
[R]
[Q][a]
[P]  …(1)
[P] =
2
TLM

, [Q] =
21
TLM

, [R] = L, [d] =
3
LM

23
21
2
)L(Mb][
L
)TL(M[a]
TLM




30302211111
21
2
21
2
LTLMTLM
TLM
(L))TL(M
[a]
L
)TL(M[a]
TLM







27126121
62
2
23
2
232
TLMTLM
LM
TLM
)L(M
TLM
[b]
)L(Mb][TLM








16. En la siguiente fórmula empírica: Lvd)
v
β
(αF
2
 , donde: F = Fuerza de rozamiento, d = Diámetro
de la tubería, v = Velocidad lineal, L = Longitud,  = Coeficiente experimental dimensional. Determinar
las dimensiones del coeficiente 
Solución
L][v][d]]
v
β
α[[F] [
2
 …(1)
[F] =
2
TLM

, [d] = L, [v] =
1
TL

, [L] = L

3
1
221211
22
2
21
2
1
21
1
2
LM
TL
][β
][α
TLM
(L))T(L(L)
TLM
(L))T(L(L)
TLM
TL
][β
][α
(L))T(L(L))
TL
][β
][α(TLM














Por el principio de Homogeneidad:
3
1
LM
TL
][β
α][



3
LMα][


1/25/2
1/21/23
)
1/21/2
()
3
)
1
()
3
3
1
TLM][β
TLMTLL(MTLL(M][β
LM
TL
][β







17. La ecuación que permite calcular el caudal (Q) del escape de agua por un orificio es la siguiente:
γ
R)(p2g
(A/B)1
CA
Q 1
2



Siendo: Q = m³/s, C = Coeficiente de descarga, A = Área del tubo, g = Aceleración de la gravedad,
p1 = Presión en el tubo,  = Peso específico. Considerando dimensionalmente correcta a la ecuación dada.
¿Cuáles son las dimensiones de B, C y R?
Solución
][γ
R])[]([p[g][2]
([A]/[B])1
[A][C]
[Q] 1
2


 …(1)
[Q] =
13
TL

, [A] =
2
L , [g] =
2
TL

, [p1] =
21
TLM

, [] =
22
TLM

, [2] = 1
2
2
22
L[B]
[B]
L
1
[B]
[A]
1)
[B]
[A]
(1)
[B]
[A]
(1 
21
]11 TLM[R][R][p[R]][p


Reemplazando los valores dimensionales obtenidos en (1):
22
2122
13
TLM
)TL(M)T(L
1
L[C]
TL 




1TLTL
)T(LL
TL
[C]
)T(LL[C]TL
TLML[C]TL
TLM
1
L[C]
TL
0011123
12
13
1213
220213
22221111
2
13










18. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, se pide encontrar la fórmula dimensional de E.
4Log
}
)QF(E
EavR
{Q.P



Siendo: P = Peso, R = Trabajo, v = Velocidad y a = Aceleración
Solución
4Log
}
)Q][[F]([E]
[E]a][[v][R]
{[Q].[P]


 …(1)
[P] =
2
TLM

, [R] =
22
TLM

, [v] =
1
TL

, [a] =
2
TL

[E][a][v][R][E][a][v][R] 
Reemplazando valores dimensionales:
12212112
2
122
2122
TLMTLM
LT
)(LT)TL(M
[E]
[E])(LT)(LT)TL(M






19. Sabiendo que la ecuación: F = qE + qvB es dimensionalmente correcta, determinar la fórmula dimensional
de B. Siendo E = Intensidad de campo eléctrico y v = Velocidad lineal.
Solución
[F] = [q] [E] + [q] [v] [B]
[E] =
13
ITLM

, [v] =
1
TL

[q] [E] = [q] [v] [B]
[v] [B] = [E]
1212011311
1
13
ITMITLMITLM
LT
ITLM
[v]
[E]
[B]




20. Determinar la fórmula dimensional de A en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta:
A = Bk – Ck³, Siendo B = Calor específico y C = Aceleración angular.

Solución
[A] = [B] [k] – [C] [k]³
[B] =
22
TL

, [C] =
2
T

[A] = [B] [k] = [C] [k]³
[B] [k] = [C] [k]³
LL[k]
LTLTL
T
TL
[C]
[B]
[k]
2
202222
2
22
2





[A] = [B] [k]
Reemplazando los valores dimensionales:
[A] = (
22
TL

) (L) =
23212
TLTL


21. La ecuación propuesta es dimensionalmente correcta, siendo p = Presión, B = Diámetro, A = Área, m y n =
adimensionales. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de C, H y D?
p = C ( B – nH ) {m + ( nA/D )² } D
3/2
Solución
[p] = [C] ( [B] – [n] [H] ) { [m] + ( [n][A]/[D] )² } [D]
3/2
…(1)
[p] =
21
TLM

, [B] = L, [A] =
2
L , [m] = [n] = 1
[B] – [n] [H] = [B] = [n] [H]
[B] = [n] [H]
L = 1 . [H] => [H] = L
[m] + ( [n][A]/[D] )² = [m] = ( [n][A]/[D] )²
[m] = ( [n][A]/[D] )²
1 = ( L²/[D] )²
1 = L²/[D] => [D] = L²
Reemplazando valores dimensionales en (1):
21
TLM

= [C] (L) {1} (
2
L )
3/2
252311
3
21
3/22
21
TLMTLM
)(L(L)
TLM
)(L(L)
TLM
[C]




22. De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, hallar
y)(z
p)(xE

 , si:
}
p)θsenR(z)θsenR(
y)θcosR(x)θcosR(
{.m.
π
3
I
1n1nnn
1n1nnn




 ,
Siendo: I = Momento de inercia = Masa × (Longitud)
2
, m = Masa, Rn y Rn–1 = Radios, n y n–1 =
Ángulos
Solución
}
p)]θ[sen][R(z)]θ[sen][R(
y)]θcos[R(x)]θ[cos][R(
{.[m].]
π
3
[[I]
1n1nnn
1n[]1nnn




 …(1)
[I] =
2
LM , [m] = M , [Rn] = [Rn–1] = L
1]
π
3
[]θ[sen]θ[sen]θ[cos]θ[cos 1nn1nn  
...(2)yxLL
)]θ[cos][R()]θ[cos][R(
)]θ[cos][R()]θ[cos][R()]θ[cos][R()]θ[cos][R(
yx
y
1n1n
x
nn
y
1n1n
x
nn
y
1n1n
x
nn





p
1n1n
z
nn
p
1n1n
z
nn )]θ[sen][R()]θ[sen][R()]θ[sen][R()]θ[sen][R(  
...(3)pzLL
)]θ[sen][R()]θ[sen][R()]θ[sen][R()]θ[sen][R(
pz
p
1n1n
z
nn
p
1n1n
z
nn

 
Reemplazando los valores dimensionales en (1):
...(4)2zxLL
L
L
L
L
L
.MLM
zx2
z
x
2
z
x
2




Reemplazando (3) en (4):
2px  …(5)
2yz2zy  …(6)
y)(z
p)(xE

 …(*)
Reemplazando (5) y (6) en (*):

4
1
)
2
1
((2)E
22


23. ¿Bajo qué condiciones la ecuación propuesta es dimensionalmente correcta?
θ1/cosy2x
)vpW(gmδ)θcospW( 
Siendo: W = Peso, m = Masa, g = Aceleración, v = Velocidad,  = /3 rad, p = 4.44 m².kg/s
Solución
2y2x
60º1/cosy2x
)[v][p][W]([g][m]][δ)]
2
1
[[p][W](
)[v][p][W]([g][m]][δ)]60º[cos[p][W](


[W] =
2
TLM

, [m] = M, [g] =
2
TL

, [v] =
1
TL

, ]
2
1
[ = 1, [p] =
12
TLM

y1xyx
yx2y2x
2y2x
[v][p][v][p][p]
[v][p][W]]
2
1
[[p][W])[v][p][W]()]
2
1
[[p][W](
)[v][p][W]([g][m]][δ)]
2
1
[[p][W](




yy)1x()1x(21x
y11x12
TLTLM
)TL()TLM(




0yy22(1)y22x
1x01x
TLMTLM
yy0x122x1x




453224142122
2
242422
2
2122
2
2011222y
2y
TLMTLM][δ
TLM
TLM.TLM
TLM
)TLM.TLM(
][δ
TLM
)]TL[TLM.TLM(
[g][m]
)[v][p][W](
][δ
)[v][p][W]([g][m]][δ











24. Determinar el valor de R = x + y + w + r + z, si la ecuación propuesta es dimensionalmente correcta.
2
bρd
vmπtP30ºsecωα
rwz
yx2
 , siendo: P = Potencia, t = Tiempo, m = Masa, v = Velocidad,
d = Densidad,  = Peso específico, b = Espacio recorrido,  = Magnitud desconocida

Solución
]2[
[b]][ρ[d]
[v][m]]π[[t][P]]30º[sec][ω][α
rwz
yx2

[P] =
32
TLM

, [t] = T, [m] = M, [v] =
1
TL

, [d] =
3
LM

, [] =
22
TLM

, [b] = L,
[sec 30º] = [
2
π ] = [ 2 ] = 1
]2[
[b]][ρ[d]
[v][m]]π[[t][P]]30º[sec][ω][α
rwz
yx2

2y
1x
TLMTLM
)T(LMT.)TLM(
:lesdimensionavaloreslosdoReemplazan
v][m]]π[[t][P]
yyx22
y1x32
y
[
x2







4r2r2(1)3(0)2r2w3z
0z11z1wz
1w22w
TLMTLM
L.TLM.LMTLM
1
r
L
w
)TLM(
z
)LM(
T)TLM(
:lesdimensionavaloreslosdoReemplazan
]2[
[b]][ρ[d]
[t][P]
2wr2w3zwz22
r2w2ww3zz22
223
32
rwz











R = x + y + w + r + z …(1)
Reemplazando valores en (1):
R = 1 + 2 + 1 + 4 + 0 = 8
25. Si la siguiente expresión contiene n términos y es dimensionalmente correcta:
...
3!
vk
2!
vk
vkW
3
33
2
22
11 

Siendo: W = Energía, vi = Velocidad, n! = Factorial de n, ki = Constante física. Determinar la fórmula
dimensional de E, si
12
179
k
k.k
E 
Solución
...
][3!
][v][k
][2!
][v][k
][v][k[W]
3
33
2
22
11 
[W] =
22
TLM

, [vi] =
1
TL

, [i!] = 1
][i!
][v][k
...
][3!
][v][k
][2!
][v][k
][v][k[W]
i
ii
3
33
2
22
11  , Donde: i = [1 , n]
i2i2
i
ii
22
i1
22
i
i
i
i
ii
TLM][k
TL
TLM
)TL(
TLM
][v
][i![W]
][k
][i!
][v][k
[W]








Para i = 9:
779292
9 TLMTLM][k


Para i = 12:
1010122122
12 TLMTLM][k


Para i = 17:
1515172172
17 TLMTLM][k


][k
][k.]k[
[E]
12
179
 …(1)
12121015710157111
1010
151577
TLMTLM
TLM
)TLM()TLM(
[E]




26. En un experimento de Física se comprobó que la relación: p F = (F A V)U N A
es dimensionalmente correcta,
siendo p = Presión, F = Fuerza, A = Área, V = Volumen y U = Energía. ¿Cuáles son las dimensiones de N?
Solución
[p] [F] = ( [F] [A] [V] )[U] [N] [A]
[p] =
21
TLM

, [F] =
2
TLM

, [A] =
2
L , [V] =
3
L , [U] =
22
TLM

Como los exponentes de las magnitudes físicas sólo pueden ser números reales entonces:
[U] [N] [A] = 1 (Adimensional)
2412221
222
TLMTLM
L)TLM(
1
[A][U]
1
[N]




27. Determinar las dimensiones de A e y para que la expresión: y = A p e
(4mA/v)
sea dimensionalmente
correcta, siendo: p = Presión, m = Masa, v = Velocidad, y e = Base de los logaritmos neperianos.
Solución
[y] = [A] [p] [e]
([4] [m] [A] / [v])
…(1)
[p] =
21
TLM

, [m] = M, [v] =
1
TL

, [e] = [4] = 1
Como los exponentes de las magnitudes físicas sólo pueden ser números reales entonces:
[4] [m] [A] / [v] =1
11
1
TLM
M
TL
[m][4]
[v]
[A]



[y] = (
11
TLM

) (
21
TLM

) (1)1
3300211111
TTLMTLM[y]


28. Si la ecuación dimensional: 2
2
y
xπ
)yω(senvm   es dimensionalmente correcta, determinar las
dimensiones de x e y, siendo m = Masa, v = Velocidad y  = Velocidad angular
Solución
2
2
[y]
[x]][π
])][[y]][ω(sen[[v][m]   …(1)
[m] = M, [v] =
1
TL

, [] =
1
T

, ][π = 1
Como la función trigonométrica es adimensional:
T
T
1
][ω
1
[y]
1[y]][ω
1][[y]][ω][[y]][ω1])][[y]][ω(sen[
1





2
02222222221
2
21
LM[x]
TLMTLMTLMT)TL(M[x]
T
[x]
)TL(M





T
42222
LM[x])LM()[x](  

29. Determinar las dimensiones de E, si 2
y
zx
E  , sabiendo asimismo que la expresión:
)
z
my
θ(tgy)
t
xm
(Logvd  , es dimensionalmente correcta, siendo d = Densidad, m = Masa,
v = Velocidad y t = Tiempo
Solución
])
[z]
[m][y]
][θ(tg[y][])
[t]
[x][m]
(Log[[v][d]  …(1)
[d] =
3
LM

, [m] = M, [v] =
1
TL

, [t] = T
Como la función logarítmica es adimensional:
TM
M
T
[m]
[t]
[x]
1
[t]
[x][m]
1])
[t]
[x][m]
(Log[
1


Como la función trigonométrica es adimensional:
1
[z]
[m][y]
][θ
[z]
[m][y]
][θ1])
[z]
[m][y]
][θ(tg[  …(2)
12113
13
TLMTLM[y]
[y])TL()LM(




Luego en (2):
122121112
TLMTLMM)TLM([m][y][z]
1
[z]
[m][y]



2
[y]
[z][x]
[E]  …(3)
22121142221
242
1221
212
1221
TLMTLM
TLM
)TLM()TM(
)TLM(
)TLM()TM(
[E]






30. La relación de Louis de Broglie para la interpretación física de la dualidad onda-partícula establece que
cualquier masa o partícula que se mueve a cierta velocidad tiene asociada una onda electromagnética cuya
longitud de onda () depende de la constante de Planck ( [h] =
12
TLM

) y de su cantidad de movimiento
(P), tal que:  = h
x
P
y
. ¿Cuáles son los valores de x e y que logra homogenizar la fórmula dada?

Solución
] = [h]
x
[P]
y
…(1)
[] = L, [h] =
12
TLM

, [P] =
1
TLM

1y1,x:oResolviend
1y2x
0yx
TLML
TLM(TLM(L
yxy2xyx
y
)
1x
)
12










Finalmente la fórmula tendría la siguiente forma:
 =
P
h
31. La potencia (Pot) que requiere la hélice mayor de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula:
Pot = k R
x
w
y
d
z
Siendo: k = Número, R = Radio de la hélice, w = Velocidad angular, d = Densidad del aire. Hallar la
expresión final de la fórmula empírica
Solución
[Pot] = [k] [R]
x
[w]
y
[d]
z
…(1)
[Pot] =
32
TLM

, [R] = L, [w] =
1
T

, [d] =
3
LM

, [k] = 1
1z3,y5,x:oResolviend
3y
23zx
1z
TLMTLM
)LM()T(LTLM
y3zxz32
z3y1x32













Pot = k R
5
w
3
d
32. La presión (P) que ejerce un chorro de agua sobre una placa vertical viene dada por la siguiente fórmula
empírica:
P = k Q
x
d
y
A
z
Siendo: k = Constante numérica, d = Densidad del agua, A = Área de la placa, Q = Caudal en m3
/s.
Determinar la expresión final de la fórmula

Solución
[P] = [k] [Q]
x
[d]
y
[A]
z
…(1)
[P] =
21
TLM

, [Q] =
13
TL

, [d] =
3
LM

, [A] =
2
L , [k] = 1
2x
12z3y3x
1y
TLMTLM
)L()LM()TL(TLM
x2z3y3xy21
z2y3x1321













P = k 2
2
A
dQ
33. La frecuencia de oscilación (f) en s–1
de un péndulo simple depende de su longitud (l) y de la aceleración de
la gravedad (g) de la localidad. Determinar una fórmula empírica para la frecuencia
Solución
f = k l
x
g
y
[f] = [k] [l]
x
[g]
y
…(1)
[f] =
1
T

, [l] = L, [g] =
2
TL

, [k] = 1
2
1
y,
2
1
x:oResolviend
12y
0yx
TLT
)TL(LT
2yyx1
y2x1










l
g
kf 
34. El periodo de un planeta que gira en una orbita circular depende del radio de la orbita (R), de la masa de la
estrella (M) y de la constante G. Sabiendo que G es la constante de Gravitación Universal (
231
TLM

),
determinar una fórmula empírica para el periodo.
Solución
T = k M
x
R
y
G
z

[T] = [k] [M]
x
[R]
y
[G]
z
…(1)
[T] = T , [M] = M, [R] = L, [G] =
231
TLM

, [k] = 1
2
1
z,
2
3
y,
2
1
x:oResolviend
12z
03zy
0zx
TLMT
)TLM(LMT
2z3zyzx
z231yx













GM
R
RkT 
35. Rocío, una eficiente enfermera ha observado que la potencia (P) con que aplica una inyección depende de
la densidad (d) del líquido encerrado, de la velocidad (v) del émbolo al expulsar el líquido y del tiempo de
aplicación (t). Martín, un ingeniero de la UNI le ha conseguido una fórmula con los datos que ella le ha
proporcionado. Si d = 0.8 g/cm3
, v = 5 cm/s y t = 2 s, entonces P = 0.9 watts. ¿Cuál será la fórmula
descubierta?
Solución
P = k d
x
v
y
t
z
[P] = [k] [d]
x
[v]
y
[t]
z
…(1)
[P] =
32
TLM

, [d] =
3
LM

, [v] =
1
TL

, [t] = T, [k] = 1
3yz
2y3x
1x
TLMTLM
T)TL()LM(TLM
yzy3xx32
zy1x332













Luego:
P = k d v
5
t
2
Calculamos la constante “k”:
P = 0.9 watts, d = 0.8 g/cm3
= 800 kg/m3
, v = 5 cm/s = 0.05 m/s, t = 2 s
0.9 = k (800) (0.05)
5
(2)
2

k = 900
P = 900 d v
5
t
2
Donde: P (watts), d (kg/m3
), v (m/s) y t (s)
36. Si se tomaran como magnitudes fundamentales la aceleración (A), la masa (M) y el tiempo (T), ¿Cuál sería
la fórmula dimensional de la constante de gravitación universal (G =
231
TLM

)?
Solución
G = A
x
M
y
T
z
[G] = [A]
x
[M]
y
[T]
z
…(1)
[A] =
2
TL

, [M] = M, [T] = T, [G] =
231
TLM

2z2x
3x
1y
TLMTLM
TM)TL(TLM
z2xxy231
zyx2231













Finalmente la fórmula dimensional en términos de A, M y T sería:
[G] = A
3
M
– 1
T
4
37. Se forma un sistema de unidades tomando como unidades fundamentales: U(L) = 3 m, U(M) = 5 kg,
U(T) = 3 s. Si la unidad de potencia en el Sistema Internacional es el watt, hallar la relación con la unidad
de potencia U(P) del nuevo sistema formado
Solución
Como se sabe en el Sistema Internacional la potencia tiene la siguiente ecuación dimensional:
watt1
s
m.kg
1
s)(1
m)(1.kg)(1
T
LM
P 3
2
3
2
3
2

Pero, en el nuevo sistema de unidades, la unidad potencia será encontrada de la siguiente manera:
watt
3
5
s
m.kg
.
3
5
s)(3
m)(3.kg)(5
]U(T)[
]U(L)[U(M)
U(P) 3
2
3
2
3
2

38. Se forma un sistema cuyas unidades son:
a) Velucio (Velocidad de la luz = 300 000 km/s)
b) Gravio (Aceleración igual a la gravedad)
c) Trevio (Trabajo necesario para elevar una masa de 1 kg hasta una altura de 1 m.

Hallar la equivalencia entre la unidad de masa del sistema dado y la unidad de masa del sistema CGS
absoluto
Solución
m = V
x
G
y
T
z
Donde:
m = Masa
V = Velucio (Velocidad)
G = Gravio (Aceleración)
T = Trevio (Trabajo)
[m] = [V]
x
[G]
y
[T]
z
…(1)
[m] = M, [V] =
1
TL

, [G] =
2
TL

, [T] =
22
TLM

02z2yx
02zyx
1z
TLMM
)TLM()TL()TL(M
2z2yx2zyxz
z22y2x1













Luego la fórmula dimensional en términos de V, G y T sería:
m = V
–2
G
0
T
m = V
–2
T = (Velucio)
–2
. (Trevio) …(2)
En el Sistema CGS absoluto:
1 Velucio = 300 000 km/s = 3 × 10
10
cm/s
1 Gravio = 9.8 m/s
2
= 980 cm/s
2
1 Trevio = F d = mg d = 1 kg × 9.8 m/s
2
× 1m = 1000 g × 980 cm/s
2
× 100 cm = 9.8 × 10
7
g.cm
2
/s
2
Reemplazando valores en (2):
Unidad (m) = ( 3 × 10
10
cm/s )
–2
. ( 9.8 × 10
7
g.cm
2
/s
2
)
Unidad (m) = 1.09 × 10
–13
g
39. La resistencia W que ofrece el aire en kg/m
2
está dada por: W = 0.05 v
2
, siendo v la velocidad en km/h.
¿Cuál será la expresión que nos permite calcular W en N/m
2
cuando v se da en m/s? (1 kg = 9.8 N,
1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s)
Solución
W = 0.05 v
2
= k v
2

Como podemos observar la fórmula tiene una constante física k = 0.05 cuyo valor depende de las unidades
en que se expresen W y v es decir:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)m/s(
N/m
6.35k
)
s18
m5
(
kg1
N9.8
m
kg
0.05
)
s3600
m1000
(
kg1
N9.8
m
kg
0.05
)km/h(
kg/m
0.05k
km/hv)y Unidad(kg/mW)Unidad(cuando0.05k
]Unidad(v)[
Unidad(W)
Unidad(k)
Unidad(k)
v
W
k








Finalmente:
W = 6.35 v
2
Donde: W (N/m
2
) y v (m/s)
40. La Ley de la Gravitación Universal en el Sistema MKS esta dado por:
2
11
d
m'm
106.67F


Donde: F = Fuerza gravitacional, m y m’ = Masas, d = Distancia entre los centros de tales masas
¿Cuál es la expresión de la Ley dada en el Sistema Ingles?
Solución
22
11
d
m'm
G
d
m'm
106.67F 

Como podemos observar la fórmula tiene una constante física G = 6.67×10
–11
cuyo valor depende de las
unidades en que se expresen F, m, m’ y d en el Sistema MKS es decir:
2
3
11
2
)
2
11
211
2
2
skg
m
106.67
kgkg
m(kg.m/s
106.67G
kg)Unidad(m')Unidad(mm,)Unidad(d,kg.m/sF)Unidad(cuando106.67G
)Unidad(m'Unidad(m)
]Unidad(d)[
Unidad(F)Unidad(G)
Unidad(G)
m'm
d
FG










Pasando G al Sistema Ingles:
1 m = 3.28 pies

1 kg = 2.21 lb
2
3
7
2
3
11
slb
pies
101.07
slb)(2.21
pies)(3.28
106.67G





Finalmente:
2
7
d
m'm
101.07F


Donde: F (lb.pie/s
2
); m, m’ (lb) y d (pies)
41. En el Sistema Absoluto MKS la variable N tiene unidades kg/m.s y esta dada por:
1/2
)
v1.782A
5v
(N


Donde: v = m/s, A = kg/m
3
. Determinar la ecuación equivalente en el Sistema Ingles
Solución
cvbA
av
N
)
cvbA
av
()
v1.782A
5v
(N
2
1/21/2






Como podemos observar la fórmula tiene constantes físicas a = 5, b = 1.782 y c = 1 cuyos valores depende
de las unidades en que se expresen N, v y A en el Sistema MKS es decir:
[b] [A] = [c] [v]
33
m
kg
L
M
[A][c]
s
m
T
L
[v][b]
[A]
[v]
[c]
[b]



2.s5m
3kg
2T5L
3M
)
L
M
()
TL
M
([c][N][a]
[N]
[c]
[a]
[c]
[a]
[v][c]
[v][a]
[A][b]
[v][a]
[N]
3
22
2
2



Pasando las constantes al Sistema Ingles:
a =
2s5pies
3lb
142.0
2s5pies)(3.28
3lb)(2.21
5
2s5m
3kg
5 

b =
s
pies
5.845
s
pies)(3.28
782.1
s
m
782.1 
c = 333
pies
lb
0.063
pies)(3.28
lb)(2.21
1
m
kg
1 
Finalmente:
1/2
)
v063.05.845A
0.142v
(N


Donde: N (lb/pies . s), A (lb/pies
3
) y v (pies/s)
ANALISIS VECTORIAL
ADICIÓN DE VECTORES
MÉTODO GRÁFICO
MÉT. DEL PARALELOGRAMO MÉT. DEL TRIÁNGULO MÉT. DEL POLÍGONO
MÉTODO ANALÍTICO














BABAR
BABAR
θcos2ABBAR
BAR
min
max
22
SUSTRACCIÓN DE VECTORES
θcos2ABBAD
BAD
22







A

B


A

B

R

A

R 
B 
R

A

B

C

D

A

B

C
0DCBAR 










A

B

R


A

 B


D

A

B

Nota: Si el poligono vectorial es
cerrado, la resultante es nula.

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR











BA0x
BA0x
BxA
VECTOR UNITARIO
1u
A
A
u




CONDICION DE CODIRECCIONALIDAD
B
B
A
A



DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
θsenVVy
θcosVVx
VyVxV
jVyiVxV
yVxVV
22













Siendo

i y

j los vectores unitarios en los ejes cartesianos x e y respectivamente.
1γcosβcosαcos
V
Vz
γcos;
V
Vy
βcos;
V
Vx
αcos
VzVyVxV
kVzjVyiVxV
zVyVxVV
222
222

















Siendo

i ,

j y

k los vectores unitarios en los ejes cartesianos x, y y z respectivamente.
Nota: Los vectores son
paralelos.
A

A
2
1

A2

 A

A

u

1

A
A

B
B
Dos vectores serán codirigidos si presentan la
misma dirección, de modo que sus vectores
unitarios serán iguales. Entre los vectores y
sus longitudes se verificará que:

V
xV

yV

x
y

Vx
Vy
θtg 

V
xV

yV

zV
 x
y
z
α
β
γ

Asimismo ,  y  son los ángulos directores.
VECTOR POSICIÓN
z)y,(x,r
kzjyixr









PRODUCTO ESCALAR

A = (Ax, Ay, Az) =





kAzjAyiAx

B = (Bx, By, Bz) =





kBzjByiBx
BzAzByAyBxAxB.A
θcosBAB.A




PROPIEDADES










C.AB.A)CB.(A
A.BB.A
0i.kk.jj.i,1k.kj.ji.i 











Los vectores

A y

B son perpendiculares si:
0B.A 

=>

A

B
PRODUCTO VECTORIAL

A = (Ax, Ay, Az) =





kAzjAyiAx

B = (Bx, By, Bz) =





kBzjByiBx
θsenBAC
BAC












BzByBx
AzAyAx
kji
BA





 kBx)AyBy(AxjBz)AxBx(AziBy)AzBz(Ay

r
x
y
z

A

B
θ

A

B
θ

C

PROPIEDADES







ABBA













CABA)CB(A































k.ijik,j.kikj,i.jkji
0kkjjii
Los vectores

A y

B son paralelos si:
0BA 



=>

A

B
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sean los Puntos A (Ax, Ay, Az) y B (Bx, By, Bz)
222
BA
BA
222
AB
AB
Bz)(AzBy)(AyBx)(Axd
BAd
kBz)(AzjBy)(AyiBx)(AxBA
Bz)By,(Bx,Az)Ay,(Ax,BABA
Az)(BzAy)(ByAx)(Bxd
ABd
kAz)(BzjAy)(ByiAx)(BxAB
Az)Ay,(Ax,Bz)By,(Bx,ABAB






















DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Sea el punto P (Px, Py, Pz) y la recta que pasa por los puntos A (Ax, Ay, Az) y B (Bx, By, Bz)
Az)Ay,(Ax,Pz)Py,(Px,APAP
Az)(BzAy)(ByAx)(BxAB
222












A (Ax, Ay, Az)
B (Bx, By, Bz)
d
A (Ax, Ay, Az)
B (Bx, By, Bz)
d
L
B (Bx, By, Bz)A (Ax, Ay, Az)
P (Px, Py, Pz)
d


AB
APAB
d
kAz)(PzjAy)(PyiAx)(PxAP











DEMOSTRACIÓN
Del gráfico tenemos:
d = (AP) sen  …(1)
Por definición de Producto vectorial:
θsen(AP)(AB)APAB 






 APABθsen(AP)(AB) …(2)



 APABd.(AB)
AB
APAB
d




DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Sean las rectas L1: Pasa por los puntos A (Ax, Ay, Az) y B (Bx, By, Bz) y L2: Pasa por los puntos
C (Cx, Cy, Cz) y D (Dx, Dy, Dz)



















kAz)(CzjAy)(CyiAx)(CxAC
Az)Ay,(Ax,Cz)Cy,(Cx,ACAC
222
AB
ACAB
d




AB
ADAB
d




De igual forma se puede proceder tomando los puntos de L1 y determinar la distancia de estas a la recta L2
Nota: Es igual a determinar la distancia de un punto a una recta.
L2
D (Dx, Dy, Dz)
 L1
d
C (Cx, Cy, Cz)
A (Ax, Ay, Az) B (Bx, By, Bz)

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
Sean las rectas L1: Pasa por los puntos A (Ax, Ay, Az) y B (Bx, By, Bz) y L2: Pasa por los puntos
C (Cx, Cy, Cz) y D (Dx, Dy, Dz)



























kCz)(DzjCy)(DyiCx)(DxCD
Cz)Cy,(Cx,Dz)Dy,(Dx,CDCD







CDAB
)CDAB(.AC
dmin
ÁREA DEL PARALELOGRAMO Y EL TRIANGULO



















222
Área del paralelogramo:



 ACABA
Área del triangulo:



 ACAB
2
1
A
C (Cx, Cy, Cz)
B (Bx, By, Bz)A (Ax, Ay, Az)

h

DEMOSTRACIÓN
Del gráfico:
A = b×h (Área del paralelogramo)
b = AB h = AC sen 
A = (AB) (AC) sen  …(1)
θsen(AC)(AB)ACAB 



…(2)



 ACABA
Del gráfico:
A = 1/2 b×h (Área del triángulo)
b = AB h = AC sen 
A = 1/2 (AB) (AC) sen  …(3)
θsen(AC)(AB)ACAB 



…(4)



 ACAB
2
1
A
DERIVADA DE UN VECTOR
Sea el vector: (u)A

=





k(u)Azj(u)Ayi(u)Ax
(u)A
du
d

=





k(u)Az
du
d
j(u)Ay
du
d
i(u)Ax
du
d
(u)A
du
d
2
2 
=





k(u)Az
du
d
j(u)Ay
du
d
i(u)Ax
du
d
2
2
2
2
2
2
PROPIEDADES
](u)B[
du
d
(u)A(u)B](u)A[
du
d
](u)B(u)A[
du
d
](u)B[
du
d
.(u)A(u)B.](u)A[
du
d
](u)B.(u)A[
du
d
](u)A[
du
d
(u)c(u)A](u)c[
du
d
](u)A(u)c[
du
d
(u)B
du
d
(u)A
du
d
](u)B(u)A[
du
d





























INTEGRAL DE UN VECTOR
Sea el vector: (u)A

=





k(u)Azj(u)Ayi(u)Ax


b
a
du(u)A =





 kdu(u)Azjdu(u)Ayidu(u)Ax
b
a
b
a
b
a
PROBLEMAS
1. Dos vectores de la misma naturaleza poseen módulos A = 6 y B = 10, formando entre sí un ángulo .
Determinar la medida del ángulo , si su resultante es R = 14
Solución
60º)
2
1
(cosarcθ
2
1
120
60
120
10036196
2(6)(10)
(10)(6)(14)
2AB
BAR
θcos
θcos2ABBAR
222222
22









2. Dados los vectores: A = 18 con una dirección de 20º y B = 24 con una dirección de 110º (ambos respecto al
eje x positivo), determinar el módulo de la resultante y su correspondiente dirección
Solución
Como podemos observar los vectores

A y

B son perpendiculares, entonces:
30900576324)24((18)R
BAR
22
22


3
4
18
24
A
B
αtg  => 53º)
3
4
(tgarcα 
La dirección de la resultante será:
73º20º53ºθ
20ºαθ


R
x

110º
20º
A=18
B=24
y


3. Dos vectores A y B tienen una resultante máxima de 16 y una mínima de 4. ¿Cuál será el módulo de la
resultante de dichos vectores cuando éstos formen 127º entre sí?
Solución
Rmax = A + B => A + B = 16 …(1)
Rmin = A – B => A – B = 4 …(2)
Resolviendo (1) y (2) simultáneamente:
A = 10, B = 6
8647236100127ºcos2(10)(6)(6)(10)R
θcos2ABBAR
22
22


4. Dos vectores A y B originan una resultante mínima de valor 3. Hallar sus módulos si cuando forman un
ángulo de 60º, la resultante es 39.
Solución
A – B = 3 …(1)
...(2)92ABBA
)3(B)(A
22
22


39ABBA
60ºcos2ABBA39
θcos2ABBAR
22
22
22



...(3)1521ABBA
)39(ABBA
22
222


Restando (3) – (2) m.a.m.:
...(4)504AB
3
1512
AB
1512AB3



De (1):
B = A – 3
021)(A24)(A
05043AA
5043)A(A
2




24A 
24 – B = 3 => B = 21
5. Dos vectores coplanares y concurrentes forman entre sí un ángulo de 60º, y poseen una resultante que mide
35. Sabiendo además que uno de ellos es los 3/5 del otro, ¿Cuál es la suma de los módulos de dichos
vectores componentes?
Solución
θcos2ABBAR 22

R = 35, A = m, B = m
5
3
,  = 60º
25mm
5
7
35
m
25
49
35
m
5
3
m
25
9
m60ºcosm)
5
3
2(m)(m)
5
3
(m35
2
22222



Luego:
A = 25
B = 15(25)
5
3

A + B = 25 + 15 = 40
6. La resultante de dos vectores mide 21, y es perpendicular a uno de ellos. Si el otro mide 35. ¿Qué ángulo
forman entre sí los vectores componentes?
Solución
Del gráfico:
 =  + 90º (Ángulo entre los vectores componentes)
cos  =
5
3
35
21
 =>  = arc cos (
5
3
) = 53º
Luego:
 = 53º + 90º = 143º
35

21

7. Se descompone un vector F en dos vectores paralelos a las rectas x1 e y1. Se sabe que F = 8, y su
componente paralela a y1 tiene una magnitud igual a 6. Determinar la magnitud de la otra componente.
Solución
θcosF2FFFF 21
2
2
2
1 
Donde:
F = 8
F1 = 6
 = 127º
2
2
2
2
2
22
2
2
2
F
5
36
F368
)
5
3
(F12F36127ºcosF2(6)F(6)8


0140F365F
028F
5
36
F
64F
5
36
F36
)F
5
36
F36((8)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2




10F
0)14F5)(10F(
2
22


8. Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, si A = 10 y E = 6
y1
127º
Fx1
127º
Fx1
y1
F1
F2

Solución











EDCBAR …(1)
Del gráfico:







EADB …(2)
Además:
)EA(
2
1
C





…(3)
Reemplazan (2) y (3) en (1):
...(*)EA
2
5
R
)EA(
2
5
)EA(
2
1
EAEAR





















Del paralelogramo mayor:
14196(1/2)12036100EA
60ºcos(10)(6)2(6)(1060ºcos2AEEAEA 22
)
22








Reemplazando en (*):
35)14(
2
5
R 
9. La figura muestra tres vectores de módulos iguales. Hallar el valor del ángulo , tal que la resultante de los
vectores sea mínima.
Solución

A

E

D

C

B
º60

A

E

D

C

B
º60



EA
x
y
θ
θ
θ

Del gráfico: (Por descomposición rectangular)
Rx = r sen θ + r sen θ – r cos θ
Rx = 2r sen θ – r cos θ
Ry = r cos θ + r sen θ – r cos θ
Ry = r sen θ
22
RyRxR 
22.5ºθ45º2θ
(1)tgarc2θ12θtg
2θcos2θsen
02θcos2θsen
02θcosr22θsen2r
0
12θsen2θsen4
2θcosr22θsen2r
0
dθ
dR
12θsen2θsen4
2θcosr22θsen2r
dθ
dR
12θsen2θsen42r
2θcos4r2θsen4r
r2θsen2rθsen4r2
2θcosr4θcosθsen8r
dθ
dR
r2θsen2rθsen4rR
θsenrθcosrθcosθsen4rθsen4rR
)θsenr()θcosrθsen2r(R
2
2
2
22
2222
22
2222
2222222
22





















10. Se tienen dos vectores compuestos: )QP2(



y )QP3(



que forman entre sí un ángulo de 53º, siendo
sus módulos respectivos iguales a 15 y 7. ¿Cuál es el módulo del vector

P ?
Solución
)QP3()QP2(P5
P5)QP3()QP2(


















Luego:
53ºcos(7)(15)2(7)(15))QP3()QP2(5P 22









x
y
θ
θ
θ θsenr
θsenr
θcosr
θcosr
θcosr

r

r

r

20400(3/5)210492255P 
4(20)
5
1
P 
11. Sabiendo que



B2A = 5 y



B5A3 = 6, calcular



BP5
Solución
)B5A3()B2A(2BA5
BA5)B5A3()B2A(2






















Luego:
8643/5)(12036100BA5
127ºcos5)(6)2(2(6)5)(2)B5A(3)B2A(2BA5 22
















12. Determinar el módulo y dirección de la resultante total del conjunto de vectores mostrado.
A = 48
B = 14
Solución







CBAR …(1)
Del gráfico:





CBA







C2CCR



B5A3



B2A
53º

A

B

C

A

B

C α

...(2)2CR 
Del triángulo rectángulo:
5025001962304(14)(48)C 22

1002(50)R 
La dirección de la resultante total será:
90ºαθ  …(3)
Del triangulo rectángulo:
º16α)
48
14
(tgarcα 
106º90º16ºθ 
13. Se tiene tres vectores a = 3, b = 4 y c = 5, tal que





cba . Determinar el módulo x, si:





b3a
3
5
x
Solución
Verificamos que se trata de un triángulo rectángulo:
a = 3
b = 4
c = 5
13169144252(12)2)5(x
2)4(32)3
3
5
(2(3b)2a)
3
5
(x


14. Determínese el vector

x en función de los vectores

A y

B
Solución

a

b

c

b3

x

a
3
5

x

B

A
º60

Del gráfico:





QPx …(1)
Por condición de codireccionalidad (Vectores unitarios iguales):







A
2
1
P
2a
A
a
P
…(2)







B
4
1
Q
4b
B
b
Q
…(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
)BA2(
4
1
x
B
4
1
A
2
1
x










15. Encontrar una expresión para el vector


A y

B . La figura es un
paralelogramo
Solución
Del gráfico:





QPx …(1)
Por condición de codireccionalidad:







A
2
1
P
2y
A
y
P
…(2)







R
2
1
Q
2z
R
z
Q
…(3)







A
2
1
S
2y
A
y
S
…(4)

x

B

A
º60

P

Q
a
b

x

B

A

x

B

A 
P

S

Q

R
z z
y
y

Del gráfico:





SRB …(5)
...(*)A
2
1
BR
A
2
1
RB










Reemplazando (*) en (3):









A
4
1
B
2
1
)A
2
1
B(
2
1
Q …(**)
Reemplazando (2) y (**) en (1):
)B2A(
4
1
x
B
2
1
A
4
1
A
4
1
B
2
1
A
2
1
x
















16. Determinar

x en función de

A y

B , si ABCD es un paralelogramo (M y N son puntos medios)
Solución
Del gráfico:





ADABx …(1)







AD
2
1
BM
2y
AD
y
BM
…(2)







AB
2
1
DN
2z
AB
z
DN
…(3)
Del gráfico:





BMABA …(4)
D

x

B

A
A
B CM
N
D

x

B

A
A
B CM
N
y y
z
z






DNADB …(5)





AD
2
1
ABA …(*)





AB
2
1
ADB …(**)
(*) + (**) m.a.m.


















AD
2
3
AB
2
3
BA
AB
2
1
ADAD
2
1
ABBA
)ADAB(
2
3
BA







…(***)
Reemplazando (1) en (***):
)BA(
3
2
x
x
2
3
BA










17. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, sabiendo que PM = 2, MQ = 7 y
MS = 1
Solución







QSMSPSR …(1)
Del gráfico:





MSPMPS …(2)





MSQMQS …(3)
60º
P M Q
S
P M Q
S
60º
2 7
1












MSQMMSMSPMR







MS3QMPMR …(4)
Los vectores unitarios de

PM y

QM son opuestos, entonces se tiene:







QM
7
2
PM
7
QM
2
PM
…(5)
74915925(1/2)(3)(5)2(3)(5)R
60ºcos1)(37)
7
5
(21)(37)
7
5
(R
60ºcos(3MS)QM)
7
5
(2(3MS)QM)
7
5
(R
MS3QM
7
5
R
MS3QM
7
5
R
MS3QMQM
7
2
R
22
22
22



















18. Encontrar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, ABCD es un trapecio, siendo M y
N puntos medios, y además BC = 8 y AD = 12
Solución







MDMNMCR …(1)
Del gráfico:





BCMBMC …(2)





ADMAMD …(3)
A D
B C
M N
8
12
A D
B C
M N
8
12








CNBCMBMN …(4)







CDBCABAD =>







BCABADCD …(5)





AB
2
1
MAMB …(*)





CD
2
1
DNCN …(**)
Reemplazando (*) y (**) en (4):







CD
2
1
BCAB
2
1
MN …(***)
Reemplazando (5) en (***):
...(5))ADBC(
2
1
AD
2
1
BC
2
1
MN
BC
2
1
AB
2
1
AD
2
1
BCAB
2
1
MN
)BCABAD(
2
1
BCAB
2
1
MN




































BCAB
2
1
MC …(6)
De (*):



AB
2
1
MA





ADAB
2
1
MD …(7)
Reemplazando (5), (6) y (7) en (1):
)ADBC(
2
3
AD
2
3
BC
2
3
R
ADAB
2
1
AD
2
1
BC
2
1
BCAB
2
1
R
ADAB
2
1
)ADBC(
2
1
BCAB
2
1
R




































30)20(
2
3
R
400
2
3
19214464
2
3
0ºcos2(8)(12)(12)(8)
2
3
R
0ºcos2(BC)(AD)(AD)(BC)
2
3
R
ADBC
2
3
R
22
22







19. Encontrar la resultante del conjunto de vectores mostrado
Solución







cbaR …(1)
Del gráfico:





cda …(2)





adb …(3)
(2) – (3) m.a.m.:







acba





ba2c …(4)












a3R
ba2baR
20. Expresar el vector

x en función de

a y

b , si se sabe también que: AQ/QB = 2/3; AP/PC = 3/5

a

b

c

a

b

c

d

a

b

x
A
P
C
B
Q

Solución
Del gráfico:





xAPAQ





APAQx … (1)





QBAQa …(2)





PCAPb …(3)















AQ
2
3
QBQB
3
2
AQQB
QB
AQ
AQ
QB
QB
AQ
AQ
…(*)















AP
3
5
PCPC
5
3
APPC
PC
AP
AP
PC
PC
AP
AP
…(**)











a
5
2
AQAQ
2
5
AQ
2
3
AQa …(4)
Reemplazando (**) en (3):











b
8
3
APAP
3
8
AP
3
5
APb …(5)





b
8
3
a
5
2
x
21. Determinar


a y

b , si G es el baricentro del triángulo
Solución

a

b

x
A
P
C
B
Q

x

a

b
G

Del gráfico:







MBGMxa







MBGMax …(1)
b
2
1
MB
z
MB
2z
b 






…(2)
El baricentro divide a la mediana en dos segmentos proporcionales a 1 y 2.
x /2GM
x
GM
2
1
AG
GM

x
2
1
GM
x/2
GM
x
x 






…(3)
)b
2
1
a(
3
2
xb
2
1
ax
2
3
b
2
1
ax
2
1
x
b
2
1
x
2
1
ax

























22. Determinar gráficamente el vector

R , si









DCBAR , siendo conocidos los vectores ,A

,B

yC

,D

tal como se indica en la figura
Solución

x

a

b
G
M
A
B
C
z
z
x

C

D
B
β

A
α

 B

C

 D

A 
R
β
α θ

23. Determinar la resultante del grupo de vectores mostrado, indicando su módulo y dirección A = 10, B = 16,
C = 13
Solución
Del gráfico:
6
5
3
1037ºsen10x 
8
5
4
1037ºcos10y 
z = 13 – x = 13 – 6 = 7
w = 16 + y = 16 + 8 = 24
2222
(24)(7)wzR 
2562557649R 
º74)
7
24
(tgarc)
z
w
(tgarcθ 
24. Si ABCDEF son los vértices de un hexágono regular, determinar la resultante de los vectores mostrados
Solución















ADEDFEAFCDBCABR …(1)
Del gráfico:







ADCDBCAB …(2)







ADEDFEAF …(3)
60ºcos60ºcosAD LLL 

B

C

A
º37

B

C
º37

R

A
13
16
10
y
x z
w
A
B
C
F
E
D
L
A
B
C
F
E
D
L
L
º60
º60

LLLL 2
2
1
2
1
AD 









AD3ADADADR
LL 6)2(33ADR 
25. Hallar el módulo de la resultante para el conjunto de vectores mostrados
Solución



















ADFEEDAEAFACCDBCABR …(1)
Se desplaza el vector

AF hacia el lado CD
Del gráfico:







ADCDBCAB …(2)





ADAFAC …(3)





ADEDAE …(4)















FEAD4ADFEADADADR
cm90R
810016001006400R
(10)(80)2(10)(80)R
0ºcos(10)20)(42(10)20)(4R
0ºcos(FE)AD)(42(FE)(4AD)R
FEAD4R
22
22
22









26. Hallar la resultante de los vectores mostrados
A
B
C
F
E
D
cm10 regularHexágono
cm20
A
B
C
F
E
D
cm10

Solución













FEDCBAR …(1)
Del gráfico:





FBA …(2)







FEDC …(3)









F3FFFR
27. Si C = 36 , hallar el módulo de

R , si









D2C2BAR
Solución









D2C2BAR
)D2C(CBAR











…(1)
Del gráfico:







DCBA …(2)











DCD2CDR
Del triángulo rectángulo:

A

B

C

F

D

E

A

B

C

F

D

E

C

D

A
º30

B

C

D

A
º30

 B



DC

9)
2
3
(3630ºcosCDCR 




28. Dados los siguientes vectores, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si f =3 y d = 4,
siendo

f y

d perpendiculares
Solución













fedcbaR















f2dfecbaR …(1)
Del gráfico:











dfecba …(2)











f2d2f2ddR



 f2d2R
101003664(6)(8)R
3)(24)(290ºcos(2f)(2d)2(2f)(2d)R
22
2222


29. Determinar la resultante

R en base al conjunto de vectores mostrados, sabiendo que:











sdmqpR
Solución

f

a 
b

e

d

c

 f

a 
b

e

d

c

m

p

d

s
q












sdmqpR











mqsdpR …(1)
Del gráfico:









qmsdp …(2)













q2m2mqqmR
)qm(2R





30. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados
Solución















ADFEDEDCCBABFAR …(1)
Del gráfico:



FADC …(2)



DEAB …(3)



FECB …(4)




















ADFA2R
ADFEDEFAFEDEFAR



 ADFA2R
120ºcos(2a)(2a)2(2a)(2a)120ºcos(AD)FA)(22(AD)FA)(2R 2222


m

p

 d

s

 q
A
B
C
F
E
D
a 2a
aa
a a
a
A
B
C
F
E
D
a 2a
aa
a a
a
º120

2a4a4a4a4a1/2)((2a)(2a)24a4aR 222222

31. Determinar el módulo del vector resultante para el conjunto de vectores mostrados, si se sabe que
AB = 2AC = 20 cm, y O es el centro de la circunferencia
Solución











ABACECDEADR …(1)
Del gráfico:







ACECDEAD …(2)











ABAC2ABACACR
Del gráfico:
º60)
2
1
(cosarc)
20
10
(cosarcθ 



 ABAC2R
3201200400400400(20)(20)(20)(20)R
(1/2)(20)10)(22(20)10)(2R
60ºcos(AB)(2AC)2(AB)(2AC)R
22
22
22



32. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, si el lado del hexágono regular mide
cm36
A B
D
E
C
53º O
A B
D
E
C
53º O
A B
C
θ
O10 10
10
A
B
C
F
E
D

Solución

















GCGBDCDECBFEAFABR …(1)
Del gráfico:



DEAB …(2)



DCAF …(3)



CBFE …(4)

















GCGBDCDECBCBDCDER





GCGBR …(5)
Del Gráfico:





MBGMGB …(1*)





MCGMGC …(2*)
Reemplazando (1*) y (2*) en (5):









MCGMMBGMR







MCMBGM2R …(6)
Como M es punto medio entonces:



MCMB …(3*)
Reemplazando (3*) en (6):









GM2MCMCGM2R
GM2R  …(7)
Del gráfico:
HCGOGM
HCOM
OMGOGM



Del triángulo rectángulo DOG:
60ºtg
a
GO 
A
B
C
F
E
D
G
G
A
B
C
F
E
D
a
a
a
a
O
60º
60º
a M
H

Del triángulo rectángulo DHC:
º60senaHC 
Entonces:
cm36aComo
2
a3
3
a
60ºsena
60ºtg
a
GM


cm1596
2
)3(63
3
36
GM  …(4*)
cm30(15)2R 
33. Dos hombres y un muchacho desean jalar un fardo en la dirección marcada con X en la figura. Ambos
hombres jalan con las fuerzas F1 y F2, cuyos valores y sentidos están indicados en la figura. Encontrar la
magnitud y dirección de la fuerza mínima que debe ejercer el muchacho
Solución
Puesto que el fardo debe moverse sólo en la dirección x, deducimos entonces que la resultante de las
fuerzas debe encontrarse sobre dicha dirección. Luego por el método del polígono elaboramos la figura
adjunta.
BCAECDF3min  …(1)
)
5
4
(10053ºsen100AE 
80AE  …(2)
)
2
1
(8030ºsen80BC 
40BC  …(3)
N404080F3min 
34. Dos vectores de módulos A = 50 y B = 14 forman 74º entre sí. ¿Cuál es el módulo del vector diferencia D,
si





BAD ?
N100F1 
x
53º
30º
N80F2 
80F2 
100F1 
x
53º
30º
A B
C
DE
F
R
3minF

Solución
482304D
2391962500D
)
25
7
((14)(50)21962500D
74ºcos(14)(50)2(14)(50)D 22




35. Dos vectores coplanares y concurrentes tienen una resultante que mide 74 unidades, y su correspondiente
vector diferencia mide 37 unidades. ¿Qué ángulo forman dichos vectores, si se sabe además que sus
módulos son iguales?
Solución
74R 
74θcos2mmm 222

74θcos2mm2 22

74θcos1.2m  …(1)
37D 
37θcos2mmm 222

37θcos2mm2 22

37θcos1.2m  …(2)
(1) / (2) m.a.m.
2
θcos1
θcos1
37
74
θcos1.2m
θcos1.2m






53º)
5
3
(cosarcθ
5
3
θcos
3θcos5
θcos44θcos1
)θcos1(4θcos1
)θcos12()θcos1(
θcos12θcos1
22







D

A

B
º74

R
m
m

D

A

B
θ

36. Calcular el módulo de la diferencia (



BA ) de los vectores mostrados, y su dirección respecto de la
horizontal, si se sabe que A = 16 y B = 12
Solución
20400D
144256(12)(16)D
BAD
22
22



º53α
)
12
16
(tgarcα
12
16
αtg


Del gráfico:
21ºθ
53º74ºθ
α74ºθ



37. Conociendo los vectores

P y

Q , determinar la expresión vectorial de

x en función de ellos, sabiendo
además P = Q
Solución
Como P = Q => AB = AC = m y A = 60º entonces el ABC es equilátero (BC = m) y M es punto medio
de AC
Del gráfico:





BTHBx …(1)
Del triángulo rectángulo CTM:
4
m
60ºcos
2
m
60ºcosMQTC 

A
º16

B

D
º74
º74
16
12
α
θ

P

Q

x
º60

P

Q

x
º60
A
B C
MH
m/2
m/2
º60 º60
T

A
º16
º106

B

4
3m
4
m
mTCBCBT 
Del triángulo rectángulo BHT:
8
3m
60ºcos
4
3m
60ºcosBTHB 
8
5m
8
3m
mHBABAH 





BCPQ





PQBC …(2)











BC
4
3
BT
3m/4
BT
m
BC
BT
BT
BC
BC
…(3)











P
8
3
HB
m
P
3m/8
HB
AB
P
HB
HB
…(4)
)PQ(
4
3
BT





…(5)
)PQ2(
8
3
P
8
3
Q
4
3
x
P
4
3
Q
4
3
P
8
3
)PQ(
4
3
P
8
3
x






















38. Determinar

x en función de

A y

B
Solución
Del gráfico:

B

x

A

B
r
53º






OMxRM





OMRMx …(1)
Del triángulo rectángulo PHO:
)
2
53º
(tg
r
PH
PH
r
)
2
53º
(tgαtg


αtg
11αtg
2
α
tg
2

 =>
2
1
53ºtg
1153ºtg
2
53º
tg
2



Entonces:
2rPH 
Del gráfico:
PHPN  => 2rPN 
Además:
3rr2rPQ
NQPNPQ


Como el triángulo rectángulo PQR es Pitagórico entonces:
5rPR
4rRQ


RM = RQ – MQ = 4r – r = 3r
HR = PR – PH = 5r – 2r = 3r
Del gráfico:





RQBA





BARQ …(2)











A
3
1
OM
3r
A
r
OM
PQ
A
OM
OM
…(3)











RQ
4
3
RM
4r
RQ
3r
RM
RQ
RQ
RM
RM
…(4)
O
rr
r
r
α
α
P
Q
R
M
N
H

x

A

B
r
rr
r
r
α
α
P
Q
R
M
N
H

x

A

B
r
O
2r
2r 3r
3r

)BA(
4
3
RM





…(5)
)B9A5(
12
1
B
4
3
A
12
5
x
A
3
1
B
4
3
A
4
3
x
A
3
1
)BA(
4
3
x























39. Para el grupo de vectores mostrado, determinar el vector

x en función de

a y

b , sabiendo además que
G: Baricentro del triángulo PQR, y RN = 4NQ
Solución
Del gráfico:
M es punto medio del lado RQ





MNGMx …(1)





RQba





baRQ …(2)
RQ = RN + NQ
RQ = 4NQ + NQ = 5NQ
MQ = 1/2 RQ = 5/2 NQ
MN = MQ – NQ = 5/2 NQ – NQ = 3/2 NQ





MQPMa





MQaPM …(3)

x

a

b
G
Q
R
P
N

x

a

b
G
Q
R
P
N
M












RQ
10
3
MN
5NQ
RQ
3/2NQ
MN
RQ
RQ
MN
MN
…(4)











RQ
2
1
MQ
RQ
RQ
1/2RQ
MQ
RQ
RQ
MQ
MQ
…(5)











PM
3
1
GM
PM
PM
1/3PM
GM
PM
PM
GM
GM
…(6)





RQ
2
1
aPM …(1*)
Reemplazando (2) en (1*):














b
2
1
a
2
1
aPM
)ba(
2
1
aPM
)ba(
2
1
b
2
1
a
2
1
PM









…(2*)
)ba(
10
3
MN





…(3*)
)]ba(
2
1
[
3
1
GM





)ba(
6
1
GM





…(4*)



























b
15
2
a
15
7
b
30
4
a
30
14
x
b
10
3
a
10
3
b
6
1
a
6
1
x
)ba(
10
3
)ba(
6
1
x

)b2a7(
15
1
x





40. Dos vectores A y B cuyos módulos son 15 y 7 respectivamente, tienen un vector diferencia cuyo módulo es
20. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman dichos vectores?
Solución
127ºθ
)
5
3
(cosarcθ
5
3
θcos
210
126
210
40049225
θcos
(7)(15)2
(20)7)((15)
θcos
BA2
DBA
θcos
θcosBA2BAD
222
222
222










41. Se tienen dos vectores compuestos (



B3A ) y (



B2A ), que forman entre sí un ángulo  = 37º. Si
además se sabe que



B3A = 40 u, y



B2A = 14 u, calcular

B
Solución
u309008961796B
(4/5)1120196160037ºcos(14)(40)2(14)(40)B
)B2A()B3A(B
B)B2A()B3A(
22






















42. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de lado L , determinar un vector unitario en la dirección de la diagonal
AC y DB

a

b
A D
B C

Solución
Del gráfico:
AC
ba
AC
AC
u1







…(1)
DB
ba
DB
DB
u2







…(2)
2LLLCDADAC 2222
 …(3)
2LLLADABDB 2222
 …(4)
Reemplazando (3) y (4) en (1) y (2) respectivamente:
2L
ba
u1





2L
ba
u2





43. Sabiendo que ABCD es un cuadrado, determinar una expresión vectorial para


M y

N
Solución
Del gráfico:
APAQx  …(1)
LAQ  …(2)
L
2
2
)L/2()L/2(AP 22
 …(3)

1u

a

b
A D
B C
L
L



ba



ba

2u

x

M

N
A
BC
D
L
L

x

M

N
A
BC
D
Q
P
L/2
L/2

L)
2
22
(L
2
2
Lx

 …(4)
Del gráfico:





NMAC …(5)
L2LLCDADAC 2222
 …(6)







AC
AC
x
x
AC
AC
x
x
…(1*)
Reemplazando (4), (5) y (6) en (1*):
)NM()
2
12
(x)NM(
4
222
x
)NM(
22
22
x)NM(
L2
L)
2
22
(
x

























44. Determinar



yx en términos de

A y

B , sabiendo que PQRS es un cuadrado
Solución
Del gráfico:





NQHNx …(1)





NRHNy …(2)



NRNQ …(3)





NRHNx …(4)
(2) + (4) m.a.m.

A

B
S
RQ
P

x

y
L/2L/2

A

B
S
RQ
P

x

y
N
H
M
60º60º
LL
L L






HN2yx
)yx(
2
1
HN





…(1*)
L)
2
32
(L
2
3
L60ºsenLLHN

 …(2*)
Del gráfico:





ABSP …(3*)





MHSMB





SMBMH …(4*)



SP
2
1
SM …(5*)
Reemplazando (5*) en (4*):





SP
2
1
BMH …(6*)
Reemplazando (3*) en (6*):
)AB(
2
1
)AB(
2
1
BMH











…(1**)
L
2
3
60ºsenLMH  …(2**)
MH
MH
HN
HN



…(3**)
Reemplazando (1*), (2*), (1**) y (2**) en (3**):
L
2
3
)AB(
2
1
L)
2
32
(
)yx(
2
1








=> )AB(
3
32
yx








)AB()
3
332
(yx









45. Determinar una expresión vectorial para


A y

B , sabiendo que PQRS es un
cuadrado
Solución
Del gráfico:





bax …(1)
En el triángulo PHS (Por la ley de Senos):
αsen
L
2θsen
x
 …(2)
En el triángulo rectángulo PHQ:
θcosLx  …(3)
θcosαsen  …(4)
2
1
θtg
2
1
θcos
θsen
θcos
1
θcosθsen2
θcos
θcos
L
2θsen
θcosL


Entonces:
5
2
θcos
5
1
θsen 
A continuación determinamos a y b:
θsenθcosLθsenxa 
L
5
2
)
5
1
()
5
2
(La  …(5)
θcosθcosLθcosxb 
L
5
4
)
5
2
()
5
2
(Lb  …(6)

A

B
S
R Q
P

x

A

B
S
R Q
P

x
θ
θ
α
α
2θ
α
L
L
L

a

b
H
L
1
2
5
θ












A
5
2
a
L
A
2/5L
a
PS
A
a
a
…(1*)











B
5
4
b
L
B
4/5L
b
PQ
B
b
b
…(2*)
)B2A(
5
2
x
B
5
4
A
5
2
x










46. Determinar el módulo de la resultante de los vectores trazados sobre el rectángulo mostrado
Solución
Primer Método:
(  +)  xx VR
5555Rx 
(  +)  yy VR
12444Ry 









j12i5jRiRR yx
13169R
14425(12)(5)RRR 222
y
2
x


Segundo Método:









dcbaR …(1)



i50),(00),(5a …(2)



j40),(54),(5b …(3)
cm5
cm4
cm5
cm4
x
y
cm5
cm4
x
y

a

b

c

d
0),(0
4),(0 4),(5
0),(5






j4i50),(04),(5c …(4)





j4i50),(54),(0d …(5)
Reemplazando (2), (3), (4) y (5) en (1):































j12i5R
j4i5j4i5j4i5R
)j4i5()j4i5(j4i5R
13169R
14425(12)(5)R 22


47. Calcular la resultante del conjunto de vectores mostrado, sabiendo que ABCD es un cuadrado de 4 cm de
lado, siendo M y N puntos medios
Solución







DNANAMR …(1)





j4i20),(04),(2AMAM …(2)





j2i40),(02),(4ANAN …(3)



j20),(42),(4DNDN …(4)











j2)j2i4()j4i2(R
A
B
D
C
N
M
0),(0A
B
0),(4D
C
2),(4N
4),(2M
x
y
2
2
2 2
4
4






j8i6R
10100R
6436(8)(6)R 22


48. Dado el sistema de vectores mostrado, calcular la magnitud de la resultante: A = 6, B = 2 y C = 32
Solución







CBAR …(1)










j30ºsen6i30ºcos6A
j30ºsenAi30ºcosAA





j3i33A …(2)



jBB =>



j2B …(3)










j30ºcos32i30ºsen32C
j30ºcosCi30ºsenCC





j3i3C …(4)






















j3i3j2j3i33R
)j3i3(j2)j3i33(R

C

B

A
º30
º30
x
y

C

B

A
º30
º30
x
y
30ºcosA
30ºsenA
30ºsenC
30ºcosC






j2i32R
416R
4122)()3(2R 22


49. Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, si A = 4, B = 8 y C = 5
Solución







CBAR …(1)










j53ºsen4i53ºcos4A
j53ºsenAi53ºcosAA





j
5
16
i
5
12
A …(2)










j37ºsen8i37ºcos8B
j37ºsenBi37ºcosBB





j
5
24
i
5
32
B …(3)



jCC =>



j5C …(4)











j5)j
5
24
i
5
32
()j
5
16
i
5
12
(R
º53

A

C

B
º37 x
y
º53

A

C

B
º37 x
y
37ºcosB53ºcosA
53ºsenA
37ºsenB

















j3i4R
j5j
5
24
i
5
32
j
5
16
i
5
12
R
525R
916(3)(4)R 22


50. Calcular el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado A = 55, B = 225 y C =15
Solución







CBAR …(1)










j60ºcos55i60ºsen55A
j60ºcosAi60ºsenAA





j
2
55
i
2
355
A …(2)










j75ºsen225i75ºcos225B
j75ºsenBi75ºcosBB







j
2
)13(25
i
2
)13(25
B …(3)










j60ºsen51i60ºcos15C
j60ºsenCi60ºcosCC
º60

A

C

B
º45
x
y
º60
º60

A

C 
B
º75
x
y
º60






j
2
315
i
2
15
C …(4)




















j)15320(i)20315(R
j
2
315
i
2
15
j
2
)13(25
i
2
)13(25
j
2
55
i
2
355
R
502500R
225330012004003300675R
)153(20)20351(R 22



51. Para el sistema vectorial mostrado, se sabe que A = 22 , B = 6 y C = 5. ¿Cuál es el módulo de la
resultante?
Solución
Trazamos los ejes x’ e y’ una que pasa por el vector B tal como se muestra en la figura:







CBAR …(1)










'j45ºsen22'i45ºcos22A
'j45ºsenA'i45ºcosAA





'j2'i2A …(2)



'jBB



'j6B …(3)

A

C

B
º135
º82

A

C

B
º45
º53
'x
'y
45ºcosA
45ºsenA53ºsenC
53ºcosC











'j53ºsen5'i53ºcos5C
'j53ºsenC'i53ºcosCC





'j4'i3C …(4)














'iR
'j4'i3'j6'j2'i2R
11)1(R 2

52. En la circunferencia de 1 m de radio se encuentran los vectores

A ,

B ,

C ,

D y

E , donde B = D
y  = 30º. ¿Cuál es el módulo de su resultante, si la escala es 50 cm <> 1 N. O: Centro de la circunferencia?
Solución
Del gráfico:











EDCBAR …(1)
Del triángulo rectángulo PRS
cm310030ºcos200θcosCB 
Del triángulo rectángulo PTS
cm310030ºcos200θcosCD 
Del triángulo rectángulo POQ
cm2100(100)(100)A 22


A 
B

C

D

E
Oθ

A 
B

C

D

E
Oθ
x
y
P
R
Q
T
H
S

cm200(100)22rPSC 
cm100rOHE 










j45ºsen2100i45ºcos2100A
j45ºsenAi45ºcosAA





j100i100A …(2)










j30ºsen3100i30ºcos3100B
j30ºsenBi30ºcosBB





j350i150B …(3)



iCC



i200C …(4)










j30ºsen3100i30ºcos3100D
j30ºsenDi30ºcosDD





j350i150D …(5)



jEE



j100E …(6)
Reemplazando (2), (3), (4), (5) y (6) en (1):



















i600j100j350i150i200j350i150j100i100R
N12
cm50
N1
cm600(600)R 2


53. Sabiendo que la resultante de los vectores mostrados es horizontal, se pide calcular el módulo del vector C.
Además: A = 18, B = 10
Solución
Del gráfico:







CBAR …(1)










j60ºcosAi60ºsenAA





j9i39A …(2)










j37ºsen10icos37º10B
j37ºsenBi37ºcosBB





j6i8B …(3)



jCC …(4)
















jC)3(i)839(R
jCj6i8j9i39R
Como la resultante es Horizontal:
3C0C3 
54. Para el conjunto de vectores mostrado, calcular el módulo de su resultante, sabiendo que tiene dirección
horizontal. Además P = 30

A

B 
C
º60
º37

A

B 
C
º60
º37

Solución
Del gráfico:





SPR …(1)










j37ºcos30i37ºsen30P
j37ºcosPi37ºsenPP





j24i81P …(2)





j37ºsenSi37ºcosSS





jS
5
3
iS
5
4
S …(3)














j24)S
5
3
(i)18S
5
4
(R
jS
5
3
iS
5
4
j24i18R
Como la resultante es horizontal:
40
3
524
S024S
5
3



Luego la resultante será:







i14i)1832(i)1840
5
4
(R
R = 14

S

P
º37
º37

S

P
º37
º37
37ºcosS
37ºcosP
37ºsenS
37ºsenP

55. La resultante de los vectores mostrados está en la dirección positiva del eje x, y su módulo es 4. Si además
A = 220 , y C = 52, se pide:
a) El módulo de

B
b) La medida del ángulo 
Solución
Del gráfico:







CBAR …(1)










j45ºcosAi45ºsenAA





j20i20A …(2)





jθsenBiθcosBB …(3)



jCC



j52C …(4)
















j32)θsenB(i20)θcosB(R
j52jθsenBiθcosBj20i20R
Como la resultante está en la dirección positiva del eje x, y su módulo es 4, entonces:
24θcosB420θcosB  …(5)
º45

A

C

B
θ x
y
º45

A

C

B
θ x
y

32θsenB032θsenB  …(6)
(6) / (5) m.a.m
53º)
24
32
(tgarcθ
24
32
θtg 
40
3
524
B24B
5
3
2453cosB




56. Si la resultante del sistema vectorial está en la dirección de

B , siendo C = 2, y D = 12, calcular el módulo
de

A
Solución
Del gráfico:











EDCBAR …(1)





'j53ºsenA'i53ºcosAA





'jA
5
4
'iA
5
3
A …(2)



'iBB …(3)



'jCC



'j2C …(4)





'j60ºcosD'i60ºsenDD

A

B

C

D
º53º60

A

B

C

D
º53º60
'x
'y






'j60ºcos12'i60ºsen12D





'j6'i36D …(5)


















'jA)
5
4
8('i)36BA
5
3
(R
'j6'i36'j2'iB'jA
5
4
'iA
5
3
R
Como la resultante queda en la dirección de

B
10
4
58
A0A
5
4
8 


57. Para el sistema vectorial mostrado, determinar el módulo del vector resultante; sabiendo que su dirección es
vertical
Solución
Del gráfico:







CBAR …(1)










j53ºsenAi53ºcosAA





j12i9A …(2)



iBB
15
5
5
θ
º53
15
5
5
θ
º53

A

B

C




i5B …(3)





jθcosCiθsenCC





jθcos5iθsen5C …(4)
















j)θcos512(i)θsen54(R
jθcos5iθsen5i5j12i9R
Como la resultante es vertical:
53º)
5
4
(senarcθ0θsen54 
Luego la resultante será:







j9j)
5
3
512(j)53ºcos512(R
R = 9
58. Para el sistema mostrado, hallar el valor de  para que la resultante sea vertical y hacia arriba, y cuyo valor
exceda en 20% a A (módulo del vector)
Solución
Reducimos los vectores

B y

C por uno

D , tal que





CBD
Del gráfico:





DAR …(1)





jαsenAiαcosAA …(2)

A

B

C
x
y
α
α
α

A

D
x
y
α α






jαsenDiαcosDD …(3)














jαsenD)A(iαcosD)A(R
jαsenDiαcosDjαsenAiαcosAR
Como la resultante es vertical hacia arriba:
DA0αcosD)(A 
Luego:



jαsenA2R
αsen2AR 
Como el valor de la resultante excede en 20% a A entonces:
º37)
5
3
(senarcα
5
3
αsen
αsen2AA
5
6
αsen2AA
5
1
A
αsen2AA
100
20
A




59. Hallar el valor de  para que la resultante del sistema forme 53º con el eje positivo de x ( = 37º)
Solución
Del gráfico:







CBAR …(1)





jβsenAiβcosAA
40
50
βα
48
x
y
40
50
βα
48
x
y

A

B

C











j24i32A …(2)





jαsenBiαcosBB





jαsen50iαcos50B …(3)



j48C …(4)
















j)24αsen50(i)αcos5032(R
j48jαsen50iαcos50j24i32R
Como la resultante forma 53º con el eje positivo de x entonces:
74ºα127º53ºα
)
5
4
(senarc53ºα
5
4
)53ºα(sen
5
4
αcos53ºsenαsen53ºcos
5
4
αcos
5
4
αsen
5
3
4αcos4αsen3
200αcos200αsen150
72128αcos200αsen150
72αsen150αcos200128
αcos5032
24αsen50
3
4
Rx
Ry
53ºtg














60. Calcular D, si









0DCBA , sabiendo además que A = 35 y B = 2
Solución









0DCBA …(1)



j35A …(2)



i2B …(3)





j30ºcosCi30ºsenCC





j
2
3C
i
2
C
C …(4)



iDD …(5)
7D0
2
10
2D0
2
C
2D
10C0
2
3C
35
j0i0j)
2
3C
3(5i)
2
C
2(D
0iDj
2
3C
i
2
C
i2j35





















61. En la figura mostrada, se sabe que









0DCBA , B = 3, C = 35 y D = 8. Calcular:
a) El módulo del vector

A

A

B

D

C
º30

A

B

D

C
º30

b) La medida del ángulo 
Solución









0DCBA …(1)





jθsenAiθcosAA …(2)



j3B …(3)



i35C …(4)





j30ºsen8i30ºcos8D





j4i34D …(5)
1θsenA01θsenA
3θcosA03θcosA
j0i0j)1θsenA(i)3θcosA(
0j4i34i35j3jθsenAiθcosA























24A
13)θsenθcos(A
(1))3()θsenA()θcosA(
222
2222



º30)
3
1
(tgarcθ
3
1
θtg
3
1
θcosA
θsenA



A

B

C

D
º30
θ

A

B

C

D
º30
θ

62. Si la resultante del sistema mostrado está en el eje x, y es igual a 3900 N, encontrar las tensiones (1) y (2),
si  = 74º
Solución
Del gráfico:







i3900TTR 21 …(1)





j37ºsenTi37ºcosTT 111





jT
5
3
iT
5
4
T 111 …(2)





j74ºsenTi74ºcosTT 222





jT
25
24
iT
25
7
T 222 …(3)
3900T
25
7
T
5
8
5
4
3900T
25
7
T
5
4
T
5
8
T0T
25
24
T
5
3
i3900j)T
25
24
T
5
3
(i)T
25
7
T
5
4
(
i3900jT
25
24
iT
25
7
jT
5
3
iT
5
4
22
21
2121
2121
2211


















3900T
25
7
T
25
32
22 
1
2
x37º
α
1T
x37º
α
2T

N4000T(2500)
5
8
T
N2500T3900T
25
39
11
22


63. Determinar un vector unitario en la dirección de AB
Solución
AB
AB
uAB



…(1)

AB = (– 9 , 7 ) – ( 3 , 2 ) = – 12

i + 5

j …(2)
25144(5)12)(AB 22

13169AB  …(3)










j
13
5
i
13
12
13
j5i12
uAB
64. Calcular el módulo del vector diferencia



BA , si se sabe que:





yxA ;





QPB
Solución
A
B
9 3
2
7
0
x
y
)2,3(A
)7,9(B 
9 3
2
7
0
x
y

Q

x

y

P
y
x






yxA …(1)
Del gráfico:





j3i4x …(2)





j3i3y …(3)









j3i3j3i4A





j6iA …(1*)





QPB …(4)
Del gráfico:





j3iP …(5)





j2i4Q …(6)









j2i4j3iB





ji3B …(2*)
(1*) – (2*) m.a.m.





























j7i4BA
ji3j6iBA
)ji3(j6iBA
654916)7()4(BA 22





Q

x

y

P
y
x

65. El vector

AC se ha descompuesto en dos vectores paralelos a

AM y

AN , siendo M y N puntos medios.
¿Cuál es la magnitud del vector descompuesto paralelo 'AM

?
Solución
Del gráfico:
'AN'AMAC





…(1)

AC = C – A = ( 12 , 6 ) – ( 0 , 0 ) = 12

i + 6

j …(2)

AM = M – A = ( 8 , 6 ) – ( 0 , 0 ) = 8

i + 6

j …(3)

AN = N – A = ( 10 , 3 ) – ( 0 , 0 ) = 10

i + 3

j …(4)



AMm'AM …(5)



ANn'AN …(6)
Reemplazando (3) y (4) en (5) y (6) respectivamente:





jm6im8'AM …(1*)





jn3in10'AN …(2*)
Reemplazando (2), (1*) y (2*) en (1):


















j)n36m(i)n108m(j6i12
jn3in10jm6im8j6i12
A
B C
D
M
N
6
4 128 x
y
A
B C
D
M
N
6
4 128 x
y
'M
'N
10

6n36m
12n108m


Resolviendo el sistema:
3
2
nm 
Reemplazando en (1*)
3
20
10
3
2
'AM
100
3
2
3664
3
2
(6)(8)
3
2
'AM
j
3
12
i
3
16
'AM
j
3
2
6i
3
2
8'AM
22












66. En la figura mostrada 'OMnOMmON





, consideremos que. Hallar ( m + n ), si se sabe que OM’ =
100 es el vector ortogonal a

OM
Solución
Del gráfico:
OM = 120
37ºsen
72

ON = 75
16ºcos
72

'OMnOMmON





…(1)





j16ºcosONi16ºsenONON
MN
O
72
37º
16º
x
y
53º
96
MN
O
72
37º
16º
x
y
M'
80
60 21






j16ºcos75i16ºsen75ON





j72i21ON …(2)





j37ºsenOMi37ºcosOMOM





j37ºsen120i37ºcos120OM





j72i96OM …(3)





j53ºsen'OMi53ºcos'OM'OM





j53ºsen100i53ºcos100'OM





j80i60'OM …(4)





























j)n8072m(i)n60m96(j72i21
jn80in60j72mi96mj72i21
)j80i60(n)j72i96(mj72i21
72n8072m
21n60m96


Resolviendo el sistema:
20
9
n
2
1
m 
20
19
20
9
2
1
nm 
67. Los vectores





j12i9A y





jmi12B son codirigidos. Calcular el valor de m
Solución
Los vectores codirigidos (vectores paralelos):


A //

B =>



BnA














jmni12nj12i9
)jmi12(nj12i9
16m12m
4
3
12mn
4
3
12
9
n912n


68. Determinar la expresión vectorial para el vector

V , si V = 75
Solución
53ºcosV'V 
4553ºcos75'V 





















k60j27i36V
k53ºsen75j37ºsen45i37ºcos45V
k53ºsenVj37ºsenV'i37ºcosV'V
69. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado

V
z
y
x
53º
37º

V
z
y
x
53º
37º
'V

6
10
8x
y
z

Solución







CBAR …(1)


A ( 0 , 0 , 6 ) – ( 8 , 0 , 0 ) = – 8

i + 6

k …(2)


B ( 0 , 10 , 0 ) – ( 8 , 0 , 0 ) = – 8

i + 10

j …(3)


C ( 0 , 0 , 6 ) – ( 0 , 10 , 0 ) = – 10

j + 6

k …(4)
20400R
144256(12)16)(R
k12i16R
k6j10j10i8k6i8R
22




















70. Determinar una expresión vectorial para la fuerza

Q , cuyo módulo es 30 N
Solución
PRuQQ



…(1)
N30Q  …(2)


PR R – P = ( 20 , 0 , 0 ) – ( 0 , 20 , – 10 )







k10j20i20PR
(0,0,6)
(0,10,0)
(8,0,0)x
y
z

A

B

C

Q
10
20
20
P
R
x
y
z

Q
10
20
20
10)(0,20,P 
R
x
y
z
(20,0,0)

30
k10j20i20
PR
PR
30900PR
100400400(10)20)((20)PR
PRu
222
















 kjiPRu
3
1
3
2
3
2
…(3)
Newton,k10j20i20Q
)k
3
1
j
3
2
i
3
2
(30Q














71. Hallar el vector

F , si





PTF , sabiendo además que T = 50 N y P = 52 N
Solución





PTF …(1)
CAuTT





CA A – C = ( 0 , 3 , 0 ) – ( 4 , 0 , 0 )





j3i4CA

P

T
4
3
12
x
y
z

P

T
4
3
12
x
y
z
(0,3,0)A
(4,0,12)B
(4,0,0)C

5
j3i4
CA
CA
525PR
916(3))4(CA
CAu
22















j
5
3
i
5
4
CAu









j30i40)j
5
3
i
5
4
(50T …(2)
ABuPP





AB B – A = ( 4 , 0 , 12 ) – ( 0 , 3 , 0 )







k12j3i4AB
13
k12j3i4
AB
AB
13169AB
144916(12))3((4)AB
ABu
222


















k
13
12
j
13
3
i
13
4
ABu













k48j12i16)k
13
12
j
13
3
i
13
4
(52P …(3)


















k48j18i24F
k48j12i16j30i40F
72. Hallar el módulo y los cosenos directores del vector que va desde ( 1 , – 1 , 3 ) al punto medio del segmento
comprendido entre el origen y el punto ( 6 , – 6 , 4 )
Solución

)
2
04
,
2
06
,
2
06
(
2
(0,0,0)6,4)(6,
M




M ( 3 , – 3 , 2 )


a M – Q = ( 3 , – 3 , 2 ) – ( 1 , – 1 , 3 )







kj2i2a
39a
1441)(2)((2)a 222


3
1
γcos;
3
2
βcos;
3
2
αcos 
73. Hallar el vector resultante, si







k16j10i6A ,





j2i2B y 210C 
Solución









DCBAR …(1)







k16j10i6A …(2)





j2i2B …(3)





j45ºsen210i45ºcos210C





j10i10C …(4)





k37ºsen15j37ºcos15D

a
1,3)(1,Q 
6,4)(6,P 
M y
z
x
O

C

D
15
y
z
x
º37
º45

C

D
15
y
z
x
º37
º45






k9j12D …(5)


























k25j30i18R
k9j12j10i10j2i2k16j10i6R
74. Si a = b = c = 60, determinar la resultante del conjunto de vectores mostrado (Nota: 1.42  )
Solución







cbaR …(1)
QPuaa





QP P – Q = ( 0 , 4 , 3 ) – ( 4 , 4 , 0 )





k3i4QP
5
k3i4
QP
QP
525QP
916(3))4(QP
QPu
22















k
5
3
i
5
4
QPu

a

b

c
4
4
3
y
z
x
(4,4,0)Q

a

b

c
4
4
3
y
z
x
(0,4,3)P
(4,0,3)R










k36i48)k
5
3
i
5
4
(60a …(2)
PRubb





PR R – P = ( 4 , 0 , 3 ) – ( 0 , 4 , 3 )





j4i4PR
24
j4i4
PR
PR
2432PR
1616)4()4(PR
PRu
22














j7.0i7.0PRu









j42i42)j7.0i0.7(60b …(3)
RQucc





RQ Q – R = ( 4 , 4 , 0 ) – ( 4 , 0 , 3 )





k3j4RQ
5
k3j4
RQ
RQ
525RQ
961)3()4(RQ
RQu
22














k
5
3
j
5
4
RQu









k36j48)k
5
3
j
5
4
(60c …(4)



















j6i6R
k36j48j42i42k36i48R
75. Hallar la expresión vectorial de la fuerza resultante de

F y

T , si F = 25 N y T = 30 N
Solución





FTR …(1)
PQuTT





PQ Q – P = ( 0 , 4 , 6 ) – ( 3 , 10 , 0 )







k6j6i3PQ
9
k6j6i3
PQ
PQ
981PQ
36369(6))6()3(PQ
PQu
222



















k
3
2
j
3
2
i
3
1
PQu
(N),k20j20i10)k
3
2
j
3
2
i
3
1
(30T













…(2)
QRuFF




F

T
4
3
6
10x
y
z

F

T
4
3
6
10x
y
z
(3,10,0)P
(0,4,6)Q
(3,0,6)R



QR R – Q = ( 3 , 0 , 6 ) – ( 0 , 4 , 6 )





j4i3QR
5
j4i3
QR
QR
525QR
169)4()3(QR
QRu
22














j
5
4
i
5
3
QRu
(N),j20i15)j
5
4
i
5
3
(25F









…(3)
(N),k20j40i5R
j20i15k20j20i10R


















76. Calcular el ángulo que forman los vectores A y B, si





j6i8A y





j7i24B
Solución
BA
B.A
θcos

 …(1)


B.A (



j6i8 ) . (



j7i24 ) = 192 – 42 = 150 …(2)
36646)((8)A 22

10100A  …(3)
49576(7)(24)B 22

25625B  …(4)

º53)
5
3
(cosarcθ
5
3
(25)(10)
150
θcos 
77. Determinar el coseno del ángulo que forman los vectores

PM y )PUPT(



. ST = SU y 74ºTSU  (M
es punto medio)
Solución
2053ºtg15SN 


PM M – P = ( 40 , 15 , – 10 ) – ( 0 , 15 , 20 )





k30i40PM
502500PM
900160030)((40)PM 22






PT T – P = ( 40 , 0 , 0 ) – ( 0 , 15 , 20 )







k20j15i40PT


PU U – P = ( 40 , 30 , 0 ) – ( 0 , 15 , 20 )







k20j15i40PU






















k40i80PUPT
k20j15i40k20j15i40PUPT
16006400)40()80(PUPT 22




P
S
T U
M
x
y
z
30
40
10
(0,15,20)P
S
(40,0,0)T
(40,30,0)U
10)(40,15,M 
x
y
z
15
40
10
15 N
53º

5408000PUPT 










PUPTPM
)PUPT(.PM
θcos
984.0
25
511
θcos
52000
12003200
)5(40(50)
)k40i80(.)k30i40(
θcos









78. Calcular la menor distancia que existe entre el punto P y la recta que pasa por el origen de coordenadas y el
punto A, sabiendo que sus coordenadas son ( 2 , 2 , 1 ) y ( 4 , 3 , 12 ) respectivamente
Solución
OA
OPOA
d





OA = A – O = ( 4 , 3 , 12 ) – ( 0 , 0 , 0 )







k12j3i4OA
13169OA
144916(12)(3)(4)OA 222




OP P – O = ( 2 , 2 , 1 ) – ( 0 , 0 , 0 )







kj2i2OP
122
1234
kji
OPOA





=





 k2j20i21
513845OPOA
4400441)2()20()21(OPOA 222








(4,3,12)A
(2,2,1)P
(0,0,0)O
d
L

236.25
13
513
d  u
79. Un vector

P tiene dirección perpendicular al triángulo ABC, y posee un módulo de 618 . Determinar
una expresión vectorial cartesiana para

P
Solución
ACABuPP 



…(1)


AB B – A = ( 0 , 2 , 0 ) – ( 3 , 0 , 0 )





j2i3AB


AC C – A = ( 0 , 0 , 4 ) – ( 3 , 0 , 0 )





k4i3AC
403
023
kji
ACAB







=





k6j12i8
612244ACAB
3614464(6)(12)(8)ACAB
222









P
A
B
C
y
z
2
4
3
x

P
(3,0,0)A
(0,2,0)B
(0,0,4)C
y
z
2
4
3
x










ACAB
ACAB
u ACAB
612
k6j12i8
u ACAB








61
k3j6i4
u ACAB







 …(2)













k24j48i32)
61
k3j6i4
(618P
80. Calcular la mínima distancia existente entre el punto P ( 2 , 3 , – 1 ) y el plano que contiene a los puntos A,
B y C, siendo sus coordenadas ( – 4 , 3 , – 2 ) , ( 1 , 1 , 0 ) y ( 2 , – 3 , 1 ) respectivamente
Solución




u.BPd
dθcosBPu.BP








BCBA
BCBA
u
Luego:







BCBA
)BCBA(.BP
d ...(1)


BP P – B = ( 2 , 3 , – 1 ) – ( 1 , 1 , 0 ) =





kj2i …(2)


BA A – B = ( – 4 , 3 , – 2 ) – ( 1 , 1 , 0 ) =





 k2j2i5
2)4,3,(A 
(1,1,0)B
3,1)(2,C 

u
1)(2,3,P 
d
θ



BC C – B = ( 2 , – 3 , 1 ) – ( 1 , 1 , 0 ) =





kj4i
141
225
kji
BCBA







=





 k18j3i6 …(3)
324936)18()3()6(BABC 222




413369BABC 



…(4)
413
)k18j3i6(.)kj2i(
d












937.0
413
18
413
18
413
1866
d 



 u
81. Calcular la mínima distancia que existe entre dos rectas L1 y L2, si se sabe que los puntos A ( – 2 , 0 , 3 ) y
B ( 4 , 1 , – 2 ) están contenidos en la recta L1 y los puntos C ( 0 , 1 , – 2 ) y D ( – 1 , 1 , 1 ) están
contenidos en la recta L2
Solución







CDAB
)CDAB(.AD
d ...(1)


AD D – A = ( – 1 , 1 , 1 ) – ( – 2 , 0 , 3 )


AD





k2ji …(2)


AB B – A = ( 4 , 1 , – 2 ) – ( – 2 , 0 , 3 ) =





k5ji6


DC C – D = ( 0 , 1 , – 2 ) – ( – 1 , 1 , 1 ) =



k3i

u
2,0,3)A(
1,1,1)D(
2)C(0,1,
2)B(4,1,
d
θ

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