2. Introducción:
Este tutorial trata sobre vectores en la física. En un curso de
Física General encontramos dos tipos de cantidades
principales:
Escalares y vectores.
Los escalares son cantidades que solo tienen magnitud,
como la medida de la masa, la temperatura o el tiempo.
Por otro lado, los vectores son cantidades que además de
su magnitud, tienen un sentido espacial o dirección asociada.
Por ejemplo: el desplazamiento, la velocidad o la aceleración.
En otras palabras; en física un vector describe un evento con
una magnitud en una dirección en el espacio.
3. Objetivos
Al finalizar el tutorial el estudiante deberá ser capaz de:
• saber lo que es un vector y distinguir entre
cantidades escalares y vectoriales
• conocer las propiedades básicas de los vectores
• sumar y restar vectores en un plano usando el
método gráfico
• sumar y restar vectores en un plano usando el
método analítico
• hallar el producto escalar interno de dos vectores en
un plano
4. Lección I:
Definición y Representación del
vector
Definición
Un escalar es una cantidad que solo magnitud. Por
ejemplo; cualquier número real, la masa o la
temperatura. Estas son cantidades escalares ya que
no requieren de una dirección para ser definidas. Por
otro lado; un vector es una cantidad con magnitud y
dirección.
5. La magnitud del vector es la medida de su largo; esta medida
siempre será positiva y depende del tipo de vector que sea.
Por ejemplo: si el vector representa una fuerza, entonces la
magnitud puede ser newtons o libras; si el vector representa
un desplazamiento, la magnitud puede ser cualquier unidad de
medida apropiada para la longitud; por ejemplo: metros, pies,
pulgadas o millas.
Por otro lado, la dirección de un vector queda determinada
por el ángulo que éste forma con el eje positivo de x en un
sistema de coordenadas cartesianas. La dirección del
vector determina si es positivo o negativo.
6. Todo vector se puede expresar en términos de vectores
unitarios. Los vectores unitarios forman la base para
todo vector que se representa en un sistema de
coordenadas cartesianas.
Estos vectores poseen magnitud igual a uno y apuntan
en dirección de los ejes que componen el plano
cartesiano.
8. Esto implica que los vectores pueden ser positivos o
negativos, ya que lo ejes de coordenadas de un plano
cartesiano son positivos y/o negativos.
En un plano cartesiano, los vectores unitarios serán
representados por las letras i y j en las direcciones de x
y y respectivamente. Por ejemplo, un vector con la
siguiente representación: -20i, es un vector con
magnitud 20 en la dirección negativa del eje de x. Por lo
tanto, su dirección será de 180 grados en relación al eje
positivo de x.
9. Representación de un vector
Textualmente un vector se representa con una letra
mayúscula en negrillas o con una letra mayúscula
acompañado de una flecha arriba de la letra. Mientras
que la magnitud de un vector se representa por una
letra mayúscula en itálica.
Por ejemplo:
A y representan un vector
A es la magnitud del vector A
ρ
A
10. Podríamos hablar de los vectores A apuntando hacia
el Norte y B apuntando hacia el Este. También,
podríamos decir que las magnitudes de estos
vectores son las siguientes:
A = 3 metros y B = 4 metros
De esta manera hemos definido dos vectores que
pueden ser representados de la siguiente manera:
A = 3j y B = 4i
11. Todo vector representado en algún cuadrante del plano
cartesiano se compone de una combinación lineal de vectores
unitarios correspondientes a los ejes de coordenadas del
plano. Por ejemplo; queremos conseguir un vector C que
apunte hacia el Noreste. Este vector puede ser formado con
los vectores A y B definidos anteriormente.
Tal que:
C = A + B = 4i + 3j
La magnitud de C es calculada usando
propiedades que veremos más adelante.
12. Gráficamente, un vector se representa con una flecha,
donde el largo de la flecha indica la magnitud del vector y
la punta de la flecha indica la dirección del vector y
representa el punto final de éste.
Para el caso en que representen un vector en un sistema
de coordenadas cartesianas, la dirección quedará
determinada por el ángulo que se forma entre el vector y el
eje positivo de x.
14. Ejemplo 1:
¿Cuáles de las siguientes cantidades
representan vectores?
1. 3i
2. 8i – 4j
3. A
4. C
5. Bx
6. Axi
Contestación: 1, 2, 4 y 6, ya que contienen los
elementos necesarios para representar un vector.
Ejemplos Lección I
15. Ejemplo 2:
¿Cuál de los siguientes vectores apunta al suroeste?
1. i + j
2. i – j
3. j – i
4. –i – j
Contestación: 2, ya que posee valor negativo para x y
valor negativo para y
16. Ejercicios Lección 1
Ejercicio 1: ¿Cuál de las
siguientes cantidades es un
escalar y cual es un vector?
1. Tiempo
2. Masa
3. Aceleración
4. Fuerza
5. Distancia
6. Desplazamiento
Ejercicio 2:
¿Cuál es la dirección de los
siguientes vectores?
Contestación: dirección de A es 295 grados y la de B es 145 grados.
17. Los vectores al igual que los escalares se pueden
sumar, restar y multiplicar. El resultado de una suma o
resta de dos o más vectores, da como resultado un
nuevo vector. Esto implica que un vector podría ser el
resultado de la suma o resta de varios vectores. De
hecho; todo vector que yace sobre algún cuadrante del
plano cartesiano, es la suma de otros vectores más
elementales llamados componentes del vector.
Lección II
Propiedades del Vector
18. 1. Descomposición de un vector
en sus componentes
Un vector A que yace sobre
algún cuadrante del plano
cartesiano puede ser
descompuesto en sus
componentes y estos ser
proyectados sobre los ejes de
coordenadas
Por ejemplo: A = Ax + Ay (1)
19. Ax y Ay son las proyecciones de A en el eje de x, y en
el eje de y respectivamente. Estas proyecciones se
llaman componentes del vector A. En la ilustración; A
yace sobre el primer cuadrante, por lo que los
componentes del vector son positivos según se ve en la
ilustración.
Si el vector yaciera sobre el segundo cuadrante el
componente en y será positivo mientras que el
componente en x será negativo. En el tercer cuadrante
ambas componentes serán negativos y en el cuarto
cuadrante solo el componente en el eje de y, será
negativa.
20. 2. Base cartesiana de un vector
Dado que las proyecciones de un vector yacen sobre
los ejes de coordenadas, podríamos usar los vectores
unitarios para representar cualquier vector tal que:
A = Axi + Ayj (2)
La parte derecha de la ecuación (2) es
la representación de A en la base cartesiana. En el
diagrama los vectores i, j son los vectores unitarios en el
eje de x y de y respectivamente.
21. De las ecuaciones (1) y (2) obtenemos que:
Ax = Axi (3)
Ay = Ayj (4)
Donde Ax y Ay son las magnitudes de Ax y Ay
respectivamente e i y j sus direcciones. Si
conocemos la magnitud de A, las magnitudes Ax y
Ay se pueden hallar usando trigonometría del
triángulo rectángulo como veremos más adelante.
22. 3. Traslación de un vector en el plano
Un vector que yace sobre algún eje o cuadrante del plano
cartesiano puede ser trasladado sin alterar la magnitud o la
dirección del mismo.
En la ilustración
el vector A ha
sido trasladado a
otro punto en el
plano.
El resultado de esta traslación es que el vector ahora tiene un
nuevo origen y un nuevo punto final.
Sin embargo, su magnitud y dirección no han sido alteradas.
