El documento describe un proceso de 6 etapas para la solución de problemas de investigación de operaciones. A continuación, presenta un caso sobre una empresa agrícola que debe maximizar sus utilidades produciendo fertilizantes con recursos limitados. El problema se modela matemáticamente mediante programación lineal, definiendo una función objetivo de maximización de utilidades y restricciones basadas en la disponibilidad de recursos. Finalmente, el documento explica cómo resolver gráficamente el modelo.

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Proceso de Solución
El proceso de solución de problemas de investigación de operaciones puede describirse en
una estructura de seis etapas, como sigue:
1.- Identificación, observación y planteamiento del problema.
2.- Construcción del modelo
3.- Generación de una solución
4.- Prueba y evaluación de la solución
5.- Implante
6.- Evaluación
Para ayudarnos en el análisis y desarrollo de los modelos lineales, utilizaremos un
ejemplo. El caso es simplista, pero de manera realista hace énfasis en un problema
representativo que existe en la práctica.
CASO
Agro-Tec S.A.
Samuel Peralta, gerente de producción de la Agro-Tech S.A. necesita planear la
combinación de fertilizantes para el siguiente mes y no tiene claro cómo va a proceder para
elaborar el plan. La Agro-Tec es una compañía pequeña de productos químicos que fabrica,
entre otros artículos, dos tipos de fertilizantes que se elaboran combinando ingredientes que
se compran en proveedores externos. Cada mes, Samuel tiene que planear la cantidad de
cada fertilizante que debe producirse.
Su plan debe tomar en consideración el costo de los ingredientes, el precio de ventas de
los fertilizantes, cualquiera de los pedidos que deban surtirse y las restricciones impuesta al
uso de los recursos de la compañía: mano de obra, materias primas o tiempo de máquina. El
proceso de planeación para este mes es más difícil que lo normal. Por lo general la Agro-
Tec fabrica fertilizantes de acuerdo con los pedidos de los clientes, pero este mes los
fertilizantes van a venderse a través de un mayorista. Esto complica las cosas porque
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Samuel tiene que elaborar un programa de producción que conduzca a las mayores
utilidades posibles para la Agro-Tech, al mismo tiempo que se utiliza sólo la cantidad de
ingredientes que están disponibles para el mes.
Consideraciones de Producción
Los dos fertilizantes que la Agro-Tec fabrica son las mezclas denominadas 5 - 5 - 10 y 5
- 10 - 5. En cada caso, el primar valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de
nitrato químico, el segundo valor se refiere al porcentaje de fosfato que aparece en el
producto final y el tercer valor da el porcentaje de potasio. El fertilizante se estabiliza con
un material de relleno como podría se barro. Por ejemplo el 5 – 5 – 10 está elaborado con
5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio y el 80% restante en barro. El mayorista
comprará cualquier cantidad de ambos fertilizantes que la Agro-Tec pueda fabricar. Está
dispuesto a pagar $71,50 por tonelada del 5 - 5 - 10 y $69 por tonelada del 5 - 10 - 5. Este
mes, la disponibilidad y costos de materias primas son 1100 toneladas de nitrato a $200 por
toneladas, 1800 toneladas de fosfato a $80 cada una y 2000 toneladas de potasio a $160
cada una. El relleno esta disponible en cantidad ilimitada al precio de $10 por tonelada,
pero para los otros tres ingredientes sólo se dispone de la cantidad mencionadas antes. No
hay restricciones para el uso de mano de obra ni tampoco para el empleo de la maquinaria
durante el mes, pero se tiene un costo de $15 por tonelada por concepto de mezclado de
fertilizantes. La pregunta que Samuel debe resolver es: ¿Cómo utilizar los recursos escasos
(nitratos, fosfatos y potasio) de que dispone la Agro-Tec, de manera que se obtengan las
mayores utilidades para la compañía?
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Características del Caso
En primer lugar, Samuel tiene un solo objetivo, la maximización de las utilidades
provenientes de la fabricación de los dos fertilizantes.
En segundo lugar, el objetivo que debe lograrse está sujeto a la disponibilidad y uso de
recursos escasos: los ingredientes.
En tercer lugar, tanto las utilidades como el uso de los recursos son directamente
proporcionales a la cantidad que se fabrique de los dos fertilizantes. Es decir, puede
sumarse las utilidades de los productos para calcular las utilidades totales.
Por último no es posible fabricar una cantidad negativa de ninguno de los productos.
Las características de este caso son comunes a un tipo importante de modelos matemáticos
que se conoce como Programación Lineal (PL).
Características de los problemas de programación lineal.
Un solo objetivo. Para la Agro-Tec, el objetivo es la maximización de las utilidades. Esta
maximización de las utilidades se denomina función objetivo del
problema.
Restricciones. La maximización (o minimización) de un objetivo está sujeto a
restricciones. Para la Agro-Tec, la disponibilidad de recursos escasos
limita la producción a niveles que puedan alcanzarse con los recursos
disponibles. Esas limitaciones de los niveles de producción se
denominan restricciones.
Proporcionalidad. La función objetivo y las restricciones deben ser proporcionales al
nivel de fabricación de cada producto. Esta restricción de linealidad
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separa este modelo de otros que buscan maximizar una función
objetivo sujeta a un conjunto de restricciones.
Divisibilidad. La característica de divisibilidad significa que son posible asignaciones
fraccionales de productos. Esta es una consideración importante en
los casos en que ase trabaja con la producción o asignación de
artículos discretos, dado que no es posible garantizar que las
soluciones de programación lineal sean enteras.
Aditividad. Las contribuciones de los productos individuales son aditivas.
Expresado en otras palabras, esto simplemente significa que el total
es igual a la suma de las partes y que no hay efecto de interacción
entre niveles de producción.
No negatividad
de los productos Esta es la consideración más fácil de comprender, porque no
esperaríamos fabricar menos de cero unidades de un producto.
Además de estos requerimientos, por lo general también se considera que todos los
parámetros se conocen con certidumbre, es decir, que las utilidades, la disponibilidad de
recursos escasos y las relaciones entre los niveles de producción y los usos de los recursos
no están sujetos a incertidumbre.
Aplicación de la programación lineal a la Agro-Tec S.A.
Debemos plantear el problema de programación lineal, para ello debemos representar por
símbolos matemáticos las cantidades físicas observadas.
En nuestro caso, las cantidades físicas que interesan (es decir, las cantidades que pueden
variarse) son las cantidades de los dos fertilizantes que pueden fabricarse.
X1 = Toneladas de fertilizante 5 – 5 – 10 que se fabrican.
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X2 = Toneladas de fertilizante 5 – 10 – 5 que se fabrican.
Estas son las variables de decisión para el problema.
El modelo debe describir la relación entre las utilidades y el nivel de producción de cada
tipo de fertilizante.
Para determinar la relación apropiada de utilidades para cada nivel de producción, es
necesario determinar la Contribución a las Utilidades, en vez de considerar simplemente
las utilidades totales.
Para el fertilizante 5 – 5 – 10
Costo del Nitrato por tonelada del 5 – 5 – 10: (0.05)*($200) = $10.00
Costo del fosfato por tonelada del 5 – 5 – 10: (0.05)*($80) = $ 4.00
Costo del Potasio por tonelada 5 – 5 – 10: (0.10)*($160) = $16.00
Costo ingr. inertes por tonelada 5 – 5 – 10: (0.80)*($10) = $ 8.00
Costo total de los ingredientes del 5 – 5 – 10 = $38.00
Costo de mezclado = $15.00
Costo Total = $53.00
Dado que la contribución a las utilidades
= Ingresos – Costos variables, se tiene
= $ 71.50 - $ 53.00
= $ 18.50 por tonelada que se fabrica de 5 – 5 – 10.
En forma similar para 5 – 10 – 5 se tiene que la contribución a las utilidades es
= $ 20 por tonelada que se fabrique de 5 – 10 – 5.
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Usando estos valores de las contribuciones a las utilidades se puede plantear una función
objetivo para la Agro-Tec.
Por cada tonelada de 5 – 5 – 10 que se fabrique, la utilidad es de $18.50; se fabrican X1
toneladas, la contribución total a las utilidades es 18.50X1. De manera similar por 5 – 10 –
5 se tiene que la contribución a las utilidades es 20X2. Por lo tanto, la función de utilidades
es:
Z = 18.5X1 +20X2
Ahora es necesario considerar las restricciones del problema.
Para el nitrato existen disponibles 1100 toneladas.
Por cada tonelada de 5 – 5 – 10 que se fabrique se utilizan 0.05 toneladas de Nitrato. Por
ello si se fabrican X1 toneladas de 5 – 5 – 10, se utilizarán 0.05X1 toneladas de nitrato. De
manera similar se tiene para los demás productos y materias primas.
Dado que no estamos obligadas a usar toda la cantidad disponible de cualquier recurso, las
restricciones las escribiremos de la siguiente manera:
0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100
Uso de nitrato en Uso de nitrato Nitrato
X1 toneladas en X2 Toneladas disponible.
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Las otras restricciones quedan de la siguiente forma
Para el fosfato:
0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800
Para el potasio:
0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000
En cada una de estas restricciones los coeficientes de las variables X1 y X2 son tasa física
de sustitución. Es decir, esos coeficientes señalan la tasa a la cual las materias primas se
convierten en el producto final que se desea.
Para resumir, la programación lineal se basa en seis consideraciones, que son:
1.- Una función objetivo única sujeta a restricciones
2.- Proporcionalidad de todas las relaciones
3.- Aditividad de todas las variables
4.- Divisibilidad de las variables
5.- Certidumbre en todos los parámetro y
6.- No negatividad de las variables.
Método Gráfico para Resolver Problemas de Programación Lineal
Pasos del procedimiento.
1.- Plantear en forma matemática el problema.
2.- Graficar o trazar las restricciones.
3.- Graficar la función objetivo.
4.- Determinar los valores de las variables en el punto que arroje las máximas
utilidades.
Paso 1: Plantear el problema en términos matemáticos.
a) Definir las variables de decisión.
b) Plantear en términos matemáticos la función objetivo o de utilidad.
c) Plantear en términos matemáticos las restricciones sobre los recursos.
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Plantear la función objetivo
Maximizar: Z = 18.5X1 + 20X2
Esta función está sujeta a las restricciones sobre los recursos: nitrato, fosfato y potasio.
Nitrato: 0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100
Fosfato: 0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800
Potasio: 0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000
Como no son posibles niveles negativos de producción, debe incluirse restricciones de no
negatividad.
X1 , X2 ≥ 0
En conjunto, el problema puede plantearse de la siguiente manera:
Maximizar: 18.5X1 + 20X2 (1)
Sujeto a : 0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100 (2)
0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800 (3)
0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000 (4)
X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0 (5)
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Paso 2: Graficar las restricciones
X2 X1 ≥ 0
0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100
X2 ≥ 0
0 X1
Si se grafican las otras dos restricciones se tiene:
(valores X2
en miles)
50
0.10X1 + 0.05X2 = 2000
40
30 0.05X1 + 0.05X2 = 1100
20 Región Factible
10 0.05X1 + 0.10X2 = 1800
0 X1
0 10 20 30 40 50
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Paso 3.- Graficar la función objetivo.
Para graficar la función objetivo es necesario considerar diversos niveles de utilidad.
X2
(Valores
en miles)
20 3
B (0,18)
C (8,14)
2
10
1 D (18,4)
0 E (20,0) X1
A 0 10 20
Para 1 P = 185.000 X1 = 10.000 X2 = 9.250
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Paso 4 : Encontrar el punto con más altas utilidades
Del proceso de solución es posible observar algunos resultados importantes:
- los puntos que resultan necesarios considerar para buscar el óptimo son los que se
encuentran en la frontera.
- los únicos puntos sobre la frontera que es necesario considerar son las esquinas A, B ,
C, D y E.
- Una solución óptima para un problema de PL siempre ocurre en un vértice de la
región factible.
-
Vértices factibles
Vértice Producción Producción Utilidad
de X1 de X2 $
A 0 0 0
B 0 18000 360000
C 8000 14000 428000 *
D 18000 4000 413000
E 20000 0 370000
Comentarios
Si Samuel utiliza nuestro análisis de programación lineal para resolver este problema de
planeación de la producción, fabricaría 8000 toneladas del fertilizante 5 – 5 – 10 y 14000
del 5 – 10 – 5 con lo cual tendría una contribución a las utilidades de $ 428000.
Debemos observar también que en la producción se utiliza todo el nitrato y el fosfato, pero
quedan sin utilizar 500 toneladas de potasio.
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