Este documento presenta dos problemas de programación lineal que involucran variables binarias y enteras. El primer problema trata sobre la selección de proyectos de inversión sujetos a una limitación presupuestaria, utilizando variables binarias. El segundo problema determina la producción óptima de tres productos químicos sujetos a restricciones de capacidad y costos fijos de producción, utilizando variables binarias para representar los costos fijos. También se presenta un problema de programación por metas para la selección de una cartera de inversiones que

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4. En este quinto material de trabajo autónomo veremos aplicaciones de programación
entera y binaria, como son los problemas desarrollados de presupuesto de capital y
costos fijos. Así también, veremos una aplicación de programación por metas, como es
el problema de carteras de inversión en el cual se busca cumplir varios objetivos al
mismo tiempo. Estos problemas buscan desarrollar la capacidad de modelar, revisando
distintos modelos aplicados a una diversa gama de problemas. Cada problemática
particular tiene una forma de ser modelada, los problemas formulados nunca van a ser
iguales, pero los esquemas generales de formulación nos ayudarán a modelar nuevos
problemas.
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6. Dentro de las aplicaciones de los modelos de programación lineal, se requiere en
algunas aplicaciones un enfoque de programación entera, las cuales consideran que las
variables del problema deben tomar valores enteros. Otros problemas requieren un
enfoque de programación binaria, los cuales consideran que las variables del problema
deben tomar valor 0 o 1. En otros casos, los problemas pueden considerar un enfoque
mixto de variables continuas, enteras y binarias.
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7. Ahora veremos un problema de programación binaria, el cual trata sobre la
problemática de seleccionar un proyecto de varios posibles, considerando la limitación
de presupuesto de capital.
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8. Una fábrica de refrigeradoras está pensando en invertir en varios proyectos que tienen
necesidades de capital a lo largo de los siguientes cuatro años. Ante una limitación de
capital para cada uno de los años, la administración desearía seleccionar los proyectos
más redituables para su desembolso de capital. El valor presente neto estimado de cada
proyecto, es el flujo de caja neto descontado desde el principio del año 1, las
necesidades de capital y el capital disponible a lo largo del periodo de cuatro años
aparece en la tabla.
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9. Definimos cuatro variables asociadas a cada proyecto donde la decisión a tomar es si se
selecciona el proyecto i o se rechaza.
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10. Ahora definiremos nuestra función objetivo de la empresa, el cual consiste en maximizar
el valor presente neto en todos los proyectos aceptados. Se debe tener en cuenta que el
valor presente neto, representa los flujos de ingreso de dinero traídos al presente,
considerando un porcentaje de perdida de adquisición del dinero (como por ejemplo la
inflación que de da en varios años), para nuestro ejemplo el valor presente neto es un
valor ya calculado.
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11. Ahora formulamos las restricciones para el modelo a partir de la información dada, el
cual tiene cuatro restricciones para los fondos disponibles en cada uno de los siguientes
cuatro años.
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12. Ahora veremos el modelo final de asignación de proyectos que busca maximizar las
utilidades a través del valor presente neto y considera las restricciones para los fondos
disponibles en cada uno de los siguientes cuatro años.
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13. En muchas aplicaciones, el costo de producción tiene dos componentes: un costo de
puesta en marcha, que es un cargo fijo que no está relacionado con el volumen de
producción, y un costo variable, que está relacionado directamente con dicho volumen.
El uso de las variables 0‐1 hace posible la inclusión del costo de puesta en marcha fijo en
la mezcla de productos o en el problema de programación de la producción.
Ahora veremos un problema que involucra la definición de variables binarias para
determinar los costos fijos asociados a la fabricación de tipos de productos.
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14. Una empresa produce tres tipos de productos químicos: aditivos para combustibles,
base disolvente, y líquido limpiador de alfombras.
Los productos consumen en su fabricación las materias primas 1, 2 y 3. Asimismo, se
tiene los datos relacionados con el costo de puesta en marcha y la cantidad máxima de
producción de cada uno de los tres productos.
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15. Se definen las variables para identificar cuantas toneladas de cada producto producir y
las variables binarias para identificar si el producto i se produce o no.
La decisión a tomar es:
‐ ¿Cuántas toneladas de cada producto producir? y
‐ Si se produce el producto i o no se produce.
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16. La función objetivo está dada por maximizar la utilidad de los productos menos los
costos de puesta en marcha. Para ello, debemos considerar la utilidad por cada tipo de
producto, así como, el costo fijo de puesta en marcha según el producto que se decida
fabricar.
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17. Ahora vemos las restricciones de capacidad de producción, de tal manera que si una
variable de puesta en marcha es igual a cero, no se permita la producción. Cuando una
variable de puesta en marcha es igual a uno, se permita la producción hasta la cantidad
máxima.
En el caso del aditivo para combustible, note que si Y1 = 0, no se permite la producción
del aditivo para combustible (X1 <= 0) . Sin embargo, si Y1 = 1, la producción del aditivo
para combustible se permite hasta su nivel máximo (X1 <= 50). Podemos pensar de una
variable de puesta en marcha como un interruptor . Cuando está desconectado (Y1 = 0) ,
no se permite la producción; cuando está conectado (Y1 = 1), se permite la producción.
El resto de restricciones de capacidad de producción son similares.
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18. Como podemos ver, se tiene la familia de restricciones de capacidad de materia prima
según el ratio de consumo de cada producto.
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19. Ahora veremos el modelo final de selección de productos que busca maximizar las
utilidades menos los costos de puesta en marcha y considera las restricciones de
capacidad de materia prima según el ratio de consumo de cada producto.
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20. Hasta aquí hemos visto problemas que requieren en su formulación variables enteras ó
binarias para decidir si seleccionamos o no una determinada alternativa, ahora veremos
el tema de la programación por metas que es una técnica usada cuando el tomador de
decisiones necesita considerar múltiples objetivos para llegar a la mejor decisión.
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21. A fin de ilustrar el procedimiento de la programación por metas para los problemas de
decisión con múltiples objetivos, consideramos un problema de inversión.
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22. Una empresa financiera dedicada a la colocación de fondos, tiene un cliente específico
el cual dispone de $80,000 para invertir y, como estrategia inicial, desearía que la cartera
de inversiones se limitara a 2 acciones.
Las acciones de “Minera Buenaventura” que tienen un rendimiento de $3 sobre una
acción de precio de $25, tienen una tasa de rendimiento anual de 12%, en tanto que las
acciones de “Credicorp” es de 10%.
El índice de riesgo por acción, es de 0.5 para “Minera Buenaventura” y 0.25 para
“Credicorp”. Índices de riesgo más elevados implican un riesgo más alto, por lo que la
empresa financiera ha juzgado que las acciones de “Minera Buenaventura” es una
inversión más riesgosa.
Asimismo, el cliente dispone de un presupuesto de US$ 80,000.
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23. El cliente estuvo de acuerdo en que un nivel aceptable de riesgo correspondería a una
cartera con un índice máximo total de riesgo de 700. Considerando el riesgo, una meta u
objetivo es encontrar una cartera que tenga un índice de 700 o menos.
Otra meta del cliente es obtener un rendimiento anual de, por lo menos, $ 9,000. De tal
forma, el problema de selección de cartera es de decisión de objetivos múltiples e
involucra 2 metas en conflicto: una se ocupa del riesgo y la otra del rendimiento anual.
Suponga que la meta de máxima prioridad del cliente es restringir el riesgo y mantener
su índice en 700 o menos. Tal cliente no está dispuesto a cambiar esta meta por ningún
incremento en rendimiento anual. Pero, siempre que el índice de riesgo en la cartera no
exceda de 700, el cliente busca el mejor rendimiento posible.
La meta principal se conoce como meta de nivel de prioridad 1 y la secundaria se conoce
como meta de nivel de prioridad 2, en programación por metas, se conoce como
prioridades jerarquizadas, porque el tomador de decisiones no está dispuesto a
sacrificar ningún resultado de la meta del nivel de prioridad 1, a cambio de mejorías en
metas de prioridad inferior.
El índice de riesgo de 700 de la cartera es el valor objetivo para la meta del nivel de
prioridad 1 (principal) y el rendimiento anual de $ 9,000 es el valor objetivo para la
meta del nivel de prioridad 2 (secundario). La dificultad para encontrar una solución que
consiga alcanzar estas metas es que sólo hay $ 80,000 disponibles para invertir.
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24. Definimos las variables asociadas al tipo de acción a adquirir para determinar cuántos
dólares invertir en cada tipo de acción.
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25. Se tiene un fondo disponible de inversión de US$ 80,000 y se tiene como estrategia
invertir en 2 tipos de acciones, las cuales son las acciones de “Minera Buenaventura”
que tienen un precio de $25, y las acciones de “Credicorp” de $50.
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26. Para completar la formulación del modelo, debemos desarrollar una ecuación objetivo
para cada meta. Empecemos con una ecuación objetivo para la meta principal.
Se tiene un índice de riesgo global que no debe pasar de 700 unidades, pero existe la
posibilidad de sobrepasar esta meta o quedar por debajo. Lo ideal es no sobrepasarlo,
para ello definiremos las variables de desviación d1 (exceso) y d2 (defecto).
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27. Dado que cada acción de “Minera Buenaventura” tiene un índice de riesgo de 0.50 y
cada una de “Credicorp” lo tiene en 0.25, entonces el conjunto de acciones de ambas
carteras nos dará un índice de riesgo global que en lo posible no debe pasar de 700. Si
queda por debajo o encima de la meta de 700, entonces la variable de desviación d1
tomará un valor por la cantidad de exceso sobre los 700 puntos, o la variable de
desviación d2 tomará un valor por la cantidad que quede por debajo de los 700 puntos.
En ambos casos, solo una variable se activará y la otra variable asumirá valor cero.
Debemos tener en cuenta que las variables d1 y d2 no tomarán valores distintos de cero
a la vez.
Para llegar exactamente a una meta, ambas variables de desviación deben ser igual a
cero.
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28. Ahora, veremos la ecuación objetivo para la meta secundaria.
Se tiene una meta secundaria de rendimiento anual, el cual no debe bajar de los US$
9,000, pero existe la posibilidad de sobrepasar esta meta o quedar por debajo. Lo ideal
es no quedar por debajo, para ello definiremos las variables de desviación d3 (exceso) y
d4 (defecto).
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29. Dado que cada acción de “Minera Buenaventura” tiene un rendimiento anual estimado
de US$ 3 y cada una de “Credicorp” lo tiene en US$ 5, entonces el conjunto de acciones
de ambas carteras nos dará un rendimiento global que en lo posible no debe bajar de
US$ 9,000. Si queda por debajo o encima de la meta de US$ 9,000, entonces la variable
de desviación d3 tomará un valor por la cantidad de exceso sobre los US$ 9,000, o la
variable de desviación d4 tomará un valor por la cantidad que quede por debajo de los
US$ 9,000. En ambos casos solo una variable se activará y la otra variable asumirá valor
cero.
Debemos tener en cuenta que las variables d3 y d4 no tomarán valores distintos de cero
a la vez.
Para llegar exactamente a una meta, ambas variables de desviación deben ser igual a
cero.
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30. En un modelo de programación por metas, la función objetivo requiere la minimización de una función de
las variables de desviación. En el problema de la selección de cartera, la meta de mayor importancia,
identificada con prioridad 1 (p1), es encontrar una cartera con un índice de riesgo igual o inferior a 700.
Este problema incluye solo 2 metas y el cliente no está dispuesto a incurrir en un índice de riesgo de
cartera superior a 700, a fin de conseguir la meta secundaria de rendimiento anual. Por lo tanto, ésta se
identifica como de prioridad 2 (p2) . Estas prioridades de meta se conocen como prioridades
jerarquizadas, porque la satisfacción de una meta de nivel superior no puede ser sacrificada por lograr una
de nivel inferior.
Los problemas de programación por metas con prioridades jerarquizadas se resuelven primero por las
metas de nivel 1 (p1) en una función objetivo. La idea es encontrar primero una solución que se aproxime
lo más posible a satisfacer las metas de prioridad 1. Esta solución se modificará después, al resolver un
problema con una función objetivo que involucre sólo metas de prioridad 2 (p2); sin embargo, se
permitirán modificaciones en la solución, solo si éstas no obstaculizan la consecución de las metas p1.
En general, la solución de un problema de programación por metas con prioridades jerarquizadas
involucran una secuencia de programas lineales con distintas funciones objetivos. Primero, se consideran
las metas de prioridad 1 (p1), después las metas de prioridad 2 (p2), en tercer lugar las metas de prioridad
3 (p3), y así sucesivamente. En cada una de las etapas del procedimiento, se acepta una modificación a la
solución, únicamente si no causa ninguna reducción en la consecución de alguna meta de prioridad
superior. Para cada nivel de prioridad debe resolverse un programa lineal. Cada programa lineal se
obtiene del nivel superior siguiente, modificando la función objetivo y agregando una restricción.
Para nuestro caso, primero desarrollaremos el problema de prioridad 1 (p1), que busca encontrar una
solución de compra de cartera que tenga un índice de riesgo de 700 o inferior; por eso, nuestra función
objetivo busca minimizar d1, que representa la cantidad en la cual el índice de riesgo de la cartera excede
al valor meta de 700.
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31. Se consiguió la meta de no sobrepasar un índice de 700, ya que la variable por exceso d1
= 0. También la variable por defecto d2 = 0.
Es decir que la meta de nivel de prioridad 1 se cumple con exactitud.
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32. Ahora desarrollaremos el problema de prioridad 2 (p2) que busca encontrar aquella cartera que
nos dé un rendimiento anual de, por lo menos, US$ 9,000. ¿Nos debe preocupar que nos dé un
rendimiento anual de por lo menos US$ 9,000? La respuesta es no, pues carteras con un
rendimiento anual superior a US$ 9,000 corresponderán a rendimientos más elevados.
¿Es preocupante no llegar al valor meta de US$ 9,000? La respuesta es sí, porque aquellas
carteras con un rendimiento anual inferior a US$ 9,000 no son aceptables para el cliente.
De esta manera, la función objetivo que corresponde al programa lineal de prioridad 2 debe
minimizar el valor de la variable d4, que corresponde a la cantidad en la cual el rendimiento
anual de la cartera es inferior al valor meta de $ 9,000.
Sin embargo, como la meta 2 es secundaria, la solución del programa lineal de prioridad 2 no
debe degradar la solución óptima correspondiente al problema de prioridad 1.
Note que el programa lineal de prioridad 2 difiere en dos puntos del de prioridad 1. La función
objetivo involucra minimizar la cantidad en la cual el rendimiento anual de la cartera queda por
debajo de la meta del nivel 2. Se ha agregado otra restricción para asegurar que no se sacrificará
la consecución de la meta de prioridad 1.
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33. La solución recomienda que los US$ 80,000 disponibles para la inversión se utilicen para
adquirir 800 acciones de “Minera Buenaventura” y 1,200 acciones de “Credicorp” . Note
que se alcanzó la meta de prioridad 1, es decir, un índice de riesgo de cartera de 700 o
menos. Sin embargo, no se consiguió la meta 2, es decir, obtener un rendimiento anual
de por lo menos US$ 9,000. La cartera recomendada proyecta un rendimiento anual de
US$ 8,400.
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34. Los problemas de programación por metas principalmente se resuelven como una
secuencia de problemas lineales; existe uno por cada nivel de prioridad.
Las prioridades P1 y P2 no son coeficientes de ponderación numéricos de las variables
de desviación, sino símbolos que nos recuerdan los niveles que tienen dichas metas.
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37. A continuación te proponemos tres ejercicios de formulación de programación entera y
programación por metas, para que pongas en práctica lo aprendido hasta el momento.
Para cada ejercicio se pide plantear:
• Definición de las variables
• Restricciones y
• Función objetivo
La solución será discutida en la siguiente clase.
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38. La administración de una empresa de ventas de seguros establece metas, es decir, cuotas mensuales para
el tipo de clientes que se contactan. La estrategia de contacto con clientes de la empresa determina que
en las siguientes cuatro semanas, la fuerza de ventas formada por 4 personas debe efectuar 200
contactos con clientes que hayan adquirido productos de la empresa, además de hacer 120 contactos con
clientes nuevos. La finalidad de esta última meta es asegurarse de que la fuerza de venta investigue
nuevas fuentes de venta.
Tomando en consideración tiempos de viaje y de espera, así como el tiempo directo de venta y de
demostración, la empresa de seguros ha asignado dos horas de esfuerzo de la fuerza de ventas para cada
contacto con un cliente anterior. Los contactos con nuevos clientes tienden a ser más largos y requieren
tres horas cada uno. Normalmente, un vendedor trabaja 40 horas a la semana, es decir 160, en un
horizonte de planeación de 4 semanas; según un programa de trabajo normal, los 4 vendedores tendrán
disponible 4(160) = 640 horas de la fuerza de venta para contacto con clientes.
La administración, si fuera necesario, está dispuesta a utilizar algo de tiempo extraordinario, pero también
aceptará una solución que utilice menos de las 640 horas programadas. Sin embargo, la administración
desea que, a lo largo de las 4 semanas, el tiempo extraordinario y la subutilización de la fuerza de trabajo
se limite a no más de 40 horas. Así, en referencia al tiempo extraordinario, la meta de la administración es
no utilizar más de 640 + 40 = 680 horas para las ventas; y en cuanto al uso de la mano de obra, la meta de
la administración es utilizar por lo menos 640‐40 = 600 horas de la fuerza de ventas.
Además de las metas de contacto con clientes, la empresa aseguradora estableció una meta en relación
con el volumen de ventas. Con base a su experiencia, la empresa aseguradora estima que cada cliente
anterior contactado generará ventas por US$ 250 y cada cliente nuevo generará US$ 125 de venta. La
administración desea generar ingresos por ventas de por lo menos US$ 70,000 para el mes siguiente.
Dada la pequeña fuerza de ventas de la empresa aseguradora y el breve lapso involucrado, la
administración decidió que la meta de tiempo extraordinario y la meta de uso de la mano de obra sean de
prioridad 1. También concluyó en que la meta de US$ 70,000 debe ser de prioridad 2, y que las dos metas
de contactos con clientes deben ser de prioridad 3.
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39. Un operador bancario está evaluando el potencial de expandirse a una región de 13
provincias. La ley permite el establecimiento de sucursales en cualquier provincia
adyacente a otro en el que esté localizada una oficina principal. El mapa siguiente
muestra la región de 13 provincias indicando la población de cada uno de ellos.
a) Suponga que en la región solamente se puede establecer una oficina principal.
¿Dónde deberá localizarse para maximizar la población atendida?
(Sugerencia: piense en maximizar la población atendida e introduzca la variable Yi = 1
si es posible establecer una sucursal en la provincia i y Yi = 0 de lo contrario).
b) Suponga que se pueden establecer en la región 2 oficinas principales. ¿Dónde
deberían localizarse para maximizar la población atendida?
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40. Una galería de arte está considerando la instalación de un sistema de seguridad de cámaras de
video para reducir sus primas de seguro. Un diagrama de los ocho salones de exhibición que
utiliza la galería de arte para sus exposiciones aparece en la figura; las aperturas entre
habitaciones o salones están enumeradas del 1 al 13. Una empresa especializada en seguridad
ha propuesto que se instalen cámaras de dos direcciones en algunas de las aperturas de los
salones. Cada cámara tiene la capacidad de vigilar los 2 salones entre los cuales se localiza. Por
ejemplo, si una cámara se localiza en la apertura número 4, quedarían cubiertos los salones 1 y
4. Si se localizara una cámara en la apertura 11, quedaría cubiertos los salones 7 y 8, y así
sucesivamente.
La administración ha decidido no colocar un sistema de cámaras a la entrada de los salones de
exhibición. El objetivo es proporcionar cobertura de seguridad para los ocho salones utilizando
un número mínimo de cámaras de dos direcciones.
a) Formule un modelo de programación lineal de enteros 0‐1 que le permita a la
administración de la galería de arte determinar las ubicaciones de los sistemas de cámaras.
b) Resuelva el modelo formulado en el inciso (a) en LINGO para determinar cuántos sistemas
de dos direcciones adquirir y dónde deberán quedar colocados.
c) Suponga que la administración desea cobertura adicional de seguridad para el salón 7.
Específicamente, la administración desea que el salón 7 esté cubierto por 2 cámaras. ¿Cómo
tendría que cambiar su modelo según fue formulado en el inciso (a) para que acepte esta
restricción de política ?
d) Con la restricción de política que se definió en el inciso (c), determine cuántos sistemas de
cámara de dos direcciones será necesario adquirir y dónde quedarán localizados. Usar
LINGO.
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