Analisis numérico

1. Transformada de Laplace
Ricardo Prato
Universidad del Norte
Departamento de matem´aticas y estad´ıstica
05.2014
P´agina 1 Laplace 05.2014 R. Prato

2. Transformada inversa de Laplace
Transformada inversa de Laplace
Si
F(s) = L f(t)
entonces f(t) se llama la transformada inversa de Laplace de F(s) y la
denotamos por
f(t) = L −1
{F(s)}
1 = L −1 1
s
eat
= L −1 1
s − a
sin(kt) = L −1 k
s2 + k2
Propiedad: es una transformaci´on lineal
L −1
{αF(s) + βG(s)} = αL −1
{F(s)} + βL −1
{G(s)}
P´agina 2 Laplace 05.2014 R. Prato

3. Ejemplos: Transformada inversa
1 L −1 1
s3
=
2!
2!
L −1 1
s3
=
1
2
L −1 2
s3
= 1
2t2
2
L −1 1
s2
+
45
s5
= L −1 1
s2
+ L −1 45
s5
= L −1 1
s2
+
4!
4!
L −1 45
s5
= L −1 1
s2
+
45
4!
L −1 4!
s5
= L −1 1
s2
+
15
8
L −1 4!
s5
= t +
15
8
t4
3 L −1 2
s2 + 9
= 3
3 L −1 2
s2 + 9
= 2
3L −1 3
s2 + 9
= 2
3 sin(3t)
P´agina 3 Laplace 05.2014 R. Prato

4. Determinar L −1 (s + 1)3
s4
Tenemos
(s + 1)3
s4
=
s3 + 3s2 + 3s + 1
s4
=
1
s
+
3
s2
+
3
s3
+
1
s4
=
1
s
+
3
1!
1!
s2
+
3
2!
2!
s3
+
1
3!
3!
s4
=
1
s
+ 3
1
s2
+
3
2
2
s3
+
1
6
3!
s4
entonces
L −1 (s + 1)3
s4
= L −1 1
s
+ 3L −1 1
s2
+
3
2
L −1 2
s3
+
1
6
L −1 3!
s4
= 1 + 3t +
3
2
t2
+
1
6
t3
P´agina 4 Laplace 05.2014 R. Prato

5. Determinar L −1 1
s2+4s−2
Usando la f´ormula cuadr´atica tenemos que s1 = −2 +
√
6 y s2 = −2 −
√
6
son ra´ıces del polinomio s2 + 4s − 2, entonces
1
s2 + 4s − 2
=
A
s − s1
+
B
s − s2
=
1
2
√
6
s − s1
−
1
2
√
6
s − s2
entonces
L −1 1
s2 + 4s − 2
=L −1
1
2
√
6
s − s1
− L −1
1
2
√
6
s − s2
=
1
2
√
6
L −1 1
s − s1
−
1
2
√
6
L −1 1
s − s2
=
1
2
√
6
es1 t
−
1
2
√
6
es2 t
=
1
2
√
6
e(−2+
√
6) t
−
1
2
√
6
e(−2−
√
6) t
P´agina 5 Laplace 05.2014 R. Prato

6. Transformada de Laplace de una derivada
Supongase que f es continua y de orden exponencial con |f(t)| ≤ Ceαt y
f′ continua por tramos en el intervalo [0, ∞), entonces L f′ existe y
L f′
(t) = sL f(t) − f+
(0) para s > α.
L f′
(t) =
∞
0
e−st
f′
(t)dt = lim
b→∞
b
0
e−st
f′
(t)dt
= lim
b→∞
e−st
f(t)
b
0
+ s
b
0
e−st
f(t)dt
= lim
b→∞
e−sb
f(b) − f+
(0) + s
b
0
e−st
f(t) dt
= 0 − f+
(0) + s
∞
0
e−st
f(t) dt
u = e−st ∴
du = −se−st dt
dv = f′(t)dt ∴
v = f(t)
P´agina 6 Laplace 05.2014 R. Prato

7. Corolario
Sup´ongase que
f, f′, . . . , f(n−1) son continuas
f(n) es continua por tramos en un intervalo [0, b]
f, f′, . . . , f(n−1) son de orden exponencial
entonces
L f′′
(t) = L (f′
(t))′
= sL f′
(t) − f′+
(0)
= s(sL f(t) − f+
(0)) − f′+
(0)
= s2
L f(t) − sf+
(0) − f′+
(0)
L f′′
(t) = s2
L f(t) − sf(0) − f′
(0)
L f′′′
(t) = s3
L f(t) − s2
f(0) − sf′
(0) − f′′
(0)
L f(iv)
(t) = s4
L f(t) − s3
f(0) − s2
f′
(0) − sf′′
(0) − f′′′
(0)
L f(n)
(t) = sn
L f(t) − sn−1
f(0) − · · · − sf(n−2)
(0) − f(n−1)
(0)
P´agina 7 Laplace 05.2014 R. Prato

8. Resuelva x′′
− x′
− 6x = 0, x(0) = 2, x′
(0) = −1
Aplicando la transformada a toda la ecuaci´on diferencial
L x′′
− x′
− 6x = L x′′
L x′′
− L x′
L x′
− 6L x
=s2
X(s) − sx(0) − x′
(0) − sX(s) − x(0) − 6X(s)
=s2
X(s) − sX(s) − 6X(s) − sx(0) − x′
(0) + x(0)
=s2
X(s) − sX(s) − 6X(s) − 2s + 1 + 2
=X(s)(s2
− s − 6) − 2s + 3 = 0
Despejando X(s) tenemos
X(s) =
2s − 3
s2 − s − 6
=
2s − 3
(s − 3)(s + 2)
=
A
s − 3
+
B
s + 2
=
3
5
s − 3
+
7
5
s + 2
x(t) = L −1
{X(s)} = L −1
3
5
s − 3
+
7
5
s + 2
= L −1
3
5
s − 3
+ L −1
7
5
s + 2
=
3
5
e3t
+
7
5
e−2t
P´agina 8 Laplace 05.2014 R. Prato

9. Resolver y′′
+ 4x = sin 3t, y(0) = y′
(0) = 0
Aplicando la transformada a la ecuaci´on tenemos
s2
Y (s) + 4Y (s) =
3
s2 + 9
⇒ Y (s) =
3
(s2 + 4)(s2 + 9)
usando el m´etodo de fracciones parciales
3
(s2 + 4)(s2 + 9)
=
As + B
s2 + 4
+
Cs + D
s2 + 9
=
3
5
s2 + 4
+
−3
5
s2 + 9
entonces
y(t) = L −1
3
5
s2 + 4
+
−3
5
s2 + 9
=
3
5
L −1 1
s2 + 4
−
3
5
L −1 1
s2 + 9
=
3
5 · 2
L −1 2
s2 + 4
−
3
5 · 3
L −1 3
s2 + 9
=
3
10
sin(2t) −
1
5
sin(3t)
P´agina 9 Laplace 05.2014 R. Prato

10. Teoremas de traslaci´on
Teorema de traslaci´on (en el eje s)
Si L f(t) = F(s) y a ∈ R, entonces
L eat
f(t) = F(s − a)
o en forma equivalente,
L −1
{F(s − a)} = eat
f(t)
Prueba:
L eat
f(t) =
∞
0
e−st
eat
f(t) dt =
∞
0
e−(s−a)t
f(t) dt = F(s − a)
Si consideremos a s una variable real,
entonces la grafica de F(s − a) es la
gr´afica de F(s) desplazada sobre el
eje s s
F (s) F (s − a)
a
P´agina 10 Laplace 05.2014 R. Prato

11. Ejemplo 1: Calcular L t4eπt
Tomando f(t) = t4 tenemos F(s) = L f(t) = L t4 =
4!
s5
, entonces
L f(t)eπ t
= F(s − π) =
4!
(s − π)5
Ejemplo 2: Calcular L e−t/2 cos 2(t − π/8)
Tenga en cuenta que
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
de esta forma
cos 2(t − π/8) =
√
2
2
cos 2t +
√
2
2
sin 2t
L e−t/2
cos 2(t − π/8) =
√
2
2
L e−t/2
cos 2t +
√
2
2
L e−t/2
sin 2t)
=
√
2
2
F(s +
1
2
) +
√
2
2
G(s +
1
2
)
=
√
2
2
s + 1
2
(s + 1
2)2 + 4
+
√
2
2
2
(s + 1
2)2 + 4
donde F(s) = L cos 2t =
s
s2 + 4
y G(s) = L sin 2t =
2
s2 + 4
P´agina 11 Laplace 05.2014 R. Prato

12. Ejemplo 3: Calcular L −1 1
s2+4s−2
Ya que los irracionales s1 = −2 +
√
6 y s2 = −2 −
√
6 son ra´ıces del polinomio
s2 + 4s − 2, entonces
1
s2 + 4s − 2
=
A
s − s1
+
B
s − s2
=
1
2
√
6
s − s1
−
1
2
√
6
s − s2
entonces
L −1 1
s2 + 4s − 2
=L −1
1
2
√
6
s − s1
− L −1
1
2
√
6
s − s2
=
1
2
√
6
L −1 1
s − s1
−
1
2
√
6
L −1 1
s − s2
=
1
2
√
6
es1 t
−
1
2
√
6
es2 t
=
1
2
√
6
e(−1+
√
6) t
−
1
2
√
6
e(−1−
√
6) t
Pregunta:
¿C´omo resuelve este ejercicio aplicando el primer teorema de traslaci´on?
P´agina 12 Laplace 05.2014 R. Prato

13. Ejemplo 4: Calcular la transformada inversa de Y (s) =
3s + 19
s2 + 6s + 34
Y (s) =
3s + 19
s2 + 6s + 34
Las ra´ıces del denominador son complejas!
=
3s + 19
s2 + 6s + 34 + 36
4 − 36
4
completaci´on de cuadrados!
=
3s + 19
s2 + 6s + 9 + 34 − 9
=
3s + 19
(s + 3)2 + 25
=
3(s + 3−3) + 19
(s+3)2 + 25
= 3
s + 3
(s + 3)2 + 25
+
19 − 9
(s + 3)2 + 25
= 5
s + 3
(s + 3)2 + 25
+ 2
5
(s + 3)2 + 25
y(t) = L −1
{Y (s)} = 3L −1 s + 3
(s + 3)2 + 25
+ 2L −1 5
(s + 3)2 + 25
= 3e−3t
cos(5t) + 2e−3t
sin(5t)
P´agina 13 Laplace 05.2014 R. Prato

14. Ejemplo 5: Resolver: y′′ + 6y′ + 34y = 0 , y(0) = 3, y′(0) = 1.
Tomamos la transformada de Laplace de cada t´ermino obtenemos
L y′′
+ 6y′
+ 34y = L 0
L y′′
+ 6L y′
+ 34L y = L 0
s2
Y (s) − sy(0) − y′
(0) + 6(sY (s) − y(0)) + 34Y (s) = 0
s2
Y (s) − 3s − 1 + 6 sY (s) − 3 + 34Y (s) = 0
entonces
Y (s) =
3s + 19
s2 + 6s + 34
del ejemplo anterior
y(t) = L −1
{Y (s)} = 3e−3t
cos(5t) + 2e−3t
sin(5t)
P´agina 14 Laplace 05.2014 R. Prato

15. Ejemplo 6: Resolver y′′ + 4y′ + 4y = t, y(0) = y′(0) = 0
Tomamos la transformada de Laplace de cada t´ermino obtenemos
L y′′
+ 4y′
+ 4y = L t
L y′′
+ 4L y′
+ 4L y = L t
s2
Y (s) − sy(0) − y′
(0) + 4(sY (s) − y(0)) + 4Y (s) =
1
s2
s2
Y (s) + 4sY (s) + 4Y (s) =
1
s2entonces
Y (s) =
1
s2(s2 + 4s + 4)
=
1
s2(s + 2)2
=
A
s
+
B
s2
+
C
s + 2
+
D
(s + 2)2
=
1
4
s
−
1
4
s2
+
1
4
s + 2
+
1
4
(s + 2)2
por lo tanto, (Compruebelo!)
y(t) = L −1
{Y (s)}
=
1
4
L −1 1
s
−
1
4
L −1 1
s2
+
1
4
L −1 1
s + 2
+
1
4
L −1 1
(s + 2)2
=
1
4
−
1
4
t +
1
4
e−2t
+
1
4
e−2t
t
P´agina 15 Laplace 05.2014 R. Prato