En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de Laplace es F(s) = 1.

1. La función delta de Dirac
Carrera: Ingenierías
Asignatura: Matemática III
Grupo: 2
Elaborado por : Karen Bonilla
Fecha: 21/02/2019

2. Función delta de Dirac
▪ Introducción y teoría de la función delta de Dirac
▪ Transformada de Laplace de la función delta de
Dirac
▪ Resolución de ejercicio planteado

3. Paul Dirac
Ingeniero eléctrico, matemático y físico
teórico británico que contribuyó de
forma fundamental al desarrollo de la
mecánica cuántica y la electrodinámica
cuántica.
"En ciencia uno intenta decir a la gente, en una manera en
que todos puedan entender, algo que nunca nadie supo
antes…”

4. Estado a
t0=0
Estado b
t22
Golpe preciso
(Perturbación)
Se propone un sistema con condiciones iniciales de
reposo. En el estado “a” el sistema es un resorte en
posición de equilibrio, en un medio en el cual el
amortiguamiento es despreciable. En el tiempo 2
el resorte recibe un golpe preciso, que lo deja en
las condiciones del estado “b”.
t1=2
Se generan las siguientes preguntas:
¿Cómo se modelaría matemáticamente el cambio que sufrió el sistema, en el instante de
tiempo 1?
¿Existe alguna manera de predecir el cambio en el comportamiento del sistema?

5. Impulso unitario
Los sistemas mecánicos suelen ser
afectados por una fuerza externa
en un periodo muy corto.
Por ejemplo, podría caer un rayo
en el ala vibrante de un avión, un
martillo de bola podría golpear
con precisión una masa en un
resorte, una bola de golf podría
ser enviada por el aire al ser
golpeada de modo violento con un
palo de golf.

6. La función definida por partes que
se muestra podría servir como
modelo para estas fuerzas. Ya que
si se considera un valor muy
pequeño de 𝑎, 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 es en
esencia una función constante que
está “activada” sólo durante un
periodo muy corto
*𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 tiene la propiedad de
integración 0
∞
𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 𝑑𝑡 = 1.
𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 =
0, 0 ≤ 𝑡 < 𝑡0 − 𝑎
1
2𝑎
, 𝑡0 − 𝑎 ≤ 𝑡 < 𝑡0 + 𝑎
0, 𝑡 ≥ 𝑡0 + 𝑎

7. La forma que toma esta función cuando 𝑎 → 0, debido a su propiedad de integración, es
como se muestra en b:
Por lo que en general podemos definir las propiedades:
1. 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 =
∞, 𝑡 = 𝑡0
0, 𝑡 ≠ 𝑡0
2. 0
∞
𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 𝑑𝑡 = 1
El impulso unitario 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 se llama
función delta de Dirac

8. Transformada de Laplace de la función delta de Dirac
Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de
Dirac por la suposición formal de que,
ℒ 𝛿 𝑡 − 𝑡0 = lim
𝑎→0
ℒ 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0
Así se puede escribir a la función de Dirac en términos de escalón
unitario, tal que:
𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 =
1
2𝑎
𝒰 𝑡 − 𝑡0 − 𝑎 − 𝒰 𝑡 − 𝑡0 + 𝑎
A partir de la propiedad de la linealidad la transformada de Laplace
puede ser escrita así:

9. ℒ 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 =
1
2𝑎
ℒ 𝒰 𝑡 − 𝑡0 − 𝑎 − ℒ 𝒰 𝑡 − 𝑡0 + 𝑎
usando las transformada de Laplace* se sabe,
*ℒ 𝑓(𝑡 − 𝑎)𝒰(𝑡 − 𝑎) = 𝑒−𝑎𝑠 𝐹(𝑠)
*ℒ 1 =
1
𝑠
ℒ 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 =
1
2𝑎
𝑒−𝑠 𝑡0−𝑎
𝑠
−
𝑒−𝑠 𝑡0+𝑎
𝑠
ℒ 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 = 𝑒−𝑠𝑡0
𝑒 𝑠𝑎 − 𝑒−𝑠𝑎
2𝑠𝑎

10. puesto que el límite de esta última parte toma una forma indeterminada cuando
𝑎 → 0, se aplica la regla de L’Hopital:
lim
𝑎→0
ℒ 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 = 𝑒−𝑠𝑡0 lim
𝑎→0
𝑑
𝑑𝑎
(𝑒 𝑠𝑎
− 𝑒−𝑠𝑎
)
𝑑
𝑑𝑎
2𝑠𝑎
lim
𝑎→0
ℒ 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 = 𝑒−𝑠𝑡0 lim
𝑎→0
𝑠𝑒 𝑠𝑎 + 𝑠𝑒−𝑠𝑎
2𝑠
ℒ 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 = 𝑒−𝑠𝑡0
Tomando que 𝑡0 → 0, como un caso específico, se concluye que,
ℒ 𝛿 𝑡 − 0 = 𝑒0
ℒ 𝛿 𝑡 = 1

11. Volviendo al problema inicial…
El sistema descrito corresponde a un modelo
que describe el movimiento de una masa en un
resorte, dado por 𝑦′′
+ 𝑦 = 4𝛿 𝑡 − 2𝜋 .
Como la masa está en reposo cuando ocurre el
cambio los valores iniciales para el problema
son: 𝑦 0 = 0, 𝑦′
= 0
Estado a
t0=0
Estado b
t22
Golpe preciso
(Perturbación)
t1=2
Con estos datos se puede resolver el problema a partir de la transformada de Laplace
para ecuaciones diferenciales, y usando las transformadas*:
*ℒ 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑡 =
𝑘
𝑠2+𝑘2 , ℒ 𝑓(𝑡 − 𝑎)𝒰(𝑡 − 𝑎) = 𝑒−𝑎𝑠
𝐹(𝑠)

12. La ecuación diferencial es:
𝑠2 𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′(0) + 𝑌 𝑠 = 4𝑒−2𝜋𝑠 ,de la que se
despeja,
𝑠2 𝑌 𝑠 + 𝑌 𝑠 = 4𝑒−2𝜋𝑠
𝑌 𝑠 𝑠2 + 1 = 4𝑒−2𝜋𝑠
𝑌 𝑠 =
4𝑒−2𝜋𝑠
𝑠2+1
, para obtener y(t)
se aplica la transformada inversa, tal que:
y 𝑠 = 4ℒ−1 𝑒−2𝜋𝑠 ∗
1
𝑠2+1
𝑦 𝑠 = 4𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 2𝜋 𝒰 𝑡 − 2𝜋 , a partir de la definición
de la función escalón unitario se sabe entonces que:
=
0, 0 ≤ 𝑡 < 2𝜋
4𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡 ≥ 2𝜋

13. Los datos de los valores iniciales pueden cambiar la función resultante, así, si se supone
que la masa se libera a partir del reposo una unidad más debajo de la posición de
equilibrio. Con los valores iniciales 𝑦 0 = 1, 𝑦′
0 = 0
Entonces, a partir de la ecuación diferencial 𝑠2 𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′(0) + 𝑌 𝑠 = 4𝑒−2𝜋𝑠
al despejarla se tiene:
𝑠2 𝑌 𝑠 − 𝑠 + 𝑌 𝑠 = 4𝑒−2𝜋𝑠
𝑌 𝑠 𝑠2 + 1 = 4𝑒−2𝜋𝑠 + 𝑠
𝑌 𝑠 =
4𝑒−2𝜋𝑠+𝑠
𝑠2+1
=
4𝑒−2𝜋𝑠
𝑠2+1
+
𝑠
𝑠2+1
, para obtener y(t) se aplica la transformada inversa,
tal que:
y 𝑠 = 4ℒ−1 𝑒−2𝜋𝑠 ∗
1
𝑠2+1
+ ℒ−1 𝑠
𝑠2+1

14. Usando las siguientes transformadas de Laplace*:
*ℒ 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑡 =
𝑘
𝑠2+𝑘2 , ℒ 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑡 =
𝑠
𝑠2+𝑘2
*ℒ 𝑓(𝑡 − 𝑎)𝒰(𝑡 − 𝑎) = 𝑒−𝑎𝑠 𝐹(𝑠)
se obtiene:
𝑦 𝑠 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 2𝜋 𝒰 𝑡 − 2𝜋 , a partir de la definición de la función escalón
unitario se sabe entonces que:
=
𝑐𝑜𝑠𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 2𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡 ≥ 2𝜋

15. En general, la delta de Dirac puede representar, la concentración de la fuerza en un
tiempo que tiende a 0.
Esta función constituye una aproximación para funciones picudas. En ocasiones se
denomina también función de impulso

16. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2013). Ecuaciones diferenciales.
McGraw-Hill Interamericana.
Referencias