Resolver una ecuación diferencial ordinaria de orden dos y primer grado para condiciones iniciales dadas, mediante los métodos:
1. Coeficientes Indeterminados
2. Variación de los Parámetros
3. Transformada de Laplace
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
Consistencia en la solución de Ecuaciones Diferenciales.
1. Determinar la solución particular en una Ecuación Diferencial
de la forma F( D ) y = g(t) mediante varios métodos
Preparado por Profesora: Rosa Cristina De Peña
Presentamos una Ecuación Diferencial de la forma:
I. F ( D )y = g(t) para n = 2 tenemos que la ecuación I se puede expresar:
( A2 D2 + A1 D + A0 )y = g(t)
**¿Cómo obtener la misma solución particular con los tres métodos?:
1. Coeficientes indeterminados
2. Variación de los parámetros
3. Transformada de Laplace.
*** La Transformada de Laplace genera la solución particular.
1. Método de Coeficientes Indeterminados.
(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5
y = y c+ y p
r2-5r + 6 = 0 (r-3) (r-2) = 0 r 1= 3 r2 = 2
yc = C1e3t + C2 e2t
g(t) = 4 g’ (t) = 0 y p= A D yp = 0 D2 y p = 0
4 2
D2yp -5 D yp + 6 yp= 4 yp = =
6 3
2
Y = yc + yp = C1e3t + C2 e2t +
3
Y’ = 3 C1e3t + 2 C2 e2t
Para las condiciones iniciales :
2
4 = C1e3(0) + C2 e2(0) + = C1 + C2
3
-5 = 3 C1e3(0) + 2 C2 e2(0) = 3 C1 + 2 C2
35
Resolviendo el sistema anterior: C1= 15 C2 = −
3
35 2t + 2
Y= F(t) = 15 e3t − e
3 3
1
2. 2. Método de Variación de los Parámetros.
(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5
y = y c+ y p
r2-5r + 6 = 0 (r-3) (r-2) = 0 r 1= 3 r2 = 2
yc = C1e3t + C2 e2t
yp = µ 1 e 3 t + µ 2 e 2 t
y’p : µ '1 e 3t + µ ' 2 e 2t = 0
3µ '1 e 3t + 2 µ ' 2 e 2t = 4
e 3t e 2t
W = 3t 2t
= 2e 5t − 3e 2t = −e 5t
3e 2e
0 e 2t
4 2e 2 t − 4e 2 t 4 e −3 t
µ '1 = = = 4e − 3 t µ1 = ∫ 4e −3t dt =
− e 5t −e 5t
−3
e 3t 0
− 4e −2t
3t
3e 4 4e 3 t
µ '2 = = = − 4e − 2 t µ 2 = ∫ − 4e − 2t dt = = 2e − 2 t
− e 5t −e 5t
−2
− 4 − 3 t 3t −4 −4+6 2
yp = µ 1 e 3 t + µ 2 e 2 t = e e + 2e − 2 t e 2 t = +2= =
3 3 3 3
2