Informe teoría del caos

1. Colegio Palmarés
Depto. De Ciencias,Física.
Grade NM4/ Fourth Grade.
Teacher Marco Jiménez
Teoría del Caos
Integrantes:
-Javier Silva Orellana.
-Gian Villarroel Arenas
Quilicura, Santiago de Chile, 14 de agosto de 2014

2. 2
Índice
Introducción 3
Desarrollo
-Historia del Caos
-Poincaré y Lorenz 4
-La Convección 6
-Mapas Logísticos 6
-Fractales 7
-Atractores 9
-Entropía 12
-Línea de tiempo de la teoría 15
-Detractores y defensores 16
-Aplicaciones 17
Conclusión 18
Referencias 19
Anexos 20

3. 3
Introducción
Desde el inicio de los tiempos, la física ha buscado dar
explicación a la infinidad de fenómenos que ocurren en la naturaleza,
explicaciones que han sido reducidas a la simplicidad de fórmulas o
teorías. A finales del siglo XIX, la física llegó a un nivel de desarrollo
tan alto que los científicos de la época llegaron incluso a pensar que
esta ciencia se estaba acercando cada vez más a su fin, pues se
consideraba que las explicaciones a todos los fenómenos existentes
ya habían sido descubiertas.
No obstante, las primeras décadas del siglo XX trajeron consigo
una serie de revoluciones que hicieron volar por los aires este
pensamiento tan poco optimista sobre el futuro de la física, las
principales revoluciones de dicho siglo corresponden a la Teoría de la
Relatividad de Einstein, la Mecánica Cuántica y la Teoría del Caos.
Estas dos primeras revoluciones nos hablan de los
comportamientos de los cuerpos a niveles macroscópicos y
subatómicos, en los cuales la mecánica clásica o Newtoniana no logra
explicar ciertos fenómenos.
La tercera, en cambio, nos habla de la sensibilidad de los
sistemas a las condiciones iniciales, a un punto tal que el simple batir
de alas de una mariposa puede llegar a desencadenar un tornado en
otro lado del mundo. Pero esta teoría no solo se compone de dicha
sensibilidad: Fractales, Atractores, Mapas Logísticos y Entropía son
algunos de los otros componentes, los cuales pueden resultar
completamente extraños al lector. Por lo tanto, la explicación de esta
tercera revolución, La Teoría del Caos, ha de ser la problemática
principal del presente informe, junto con familiarizar al lector con ella.

4. 4
Desarrollo
A. POINCARÉ Y LORENZ
Si bien Lorenz es considerado es padre de la Teoría del Caos, el
matemático y físico Henri Poincaré esgrime su título como el principal
precursor del Caos, siendo el primero en cavilar acerca de su posible
existencia durante sus trabajos con sistemas matemáticos no
lineales1, alrededor del año 1903.
Poincaré trabaja estos sistemas en base a al esquema
laplaceano2 determinista, sin embargo, su trabajo lo lleva a ciertas
conclusiones, llegando a formular la hipótesis del Universo como un
sistema inestable, de manera que a pesar de conocer la situación
inicial, pequeñas diferencias en dicha condición pueden generar
grandes diferencias en el resultado final, volviendo al sistema fortuito
e impredecible a largo plazo.
No es hasta el año 1963 que la Teoría del Caos nace
concretamente, a manos de un matemático y meteorólogo llamado
Edward Lorenz, quien buscaba un modelo matemático con el cual se
pudiesen predecir y explicar los fenómenos atmosféricos. Las
ecuaciones planteadas por Lorentz, llevan finalmente a 3 ecuaciones
diferenciales3 ordinarias4 de tres variables: X, Y y Z, las cuales
1 Se dice que un sistema es no lineal cuando la potencia de las variables de ese sistema es diferente a
uno, hay productos entre diferentes variables o funciones de las variables , la mayoría de estos sistemas
son analíticamente irresolubles , pero se puede lograr alguna solución mediante una aproximación.
2 Este tipo de esquema plantea que si se tiene conocimiento exacto de las condiciones iniciales y las leyes
que rigen la evolución del universo, se puede conocer con exactitud cualquier situación futura de este.
No obstante, la situación inicial del universo solo se puede conocer aproximadamente, por lo tanto, lo
mismo se aplica a la situación futura.
3 Corresponden a ecuaciones que involucran derivadas.
4 Son aquellas ecuaciones diferenciales que no involucran derivadas parciales.

5. dependen del tiempo. Estas ecuaciones plantean un sistema dinámico
(que depende del tiempo) y no lineal (pues hay productos entre sus
variables).
Las ecuaciones de Lorentz no han sido resueltas por nadie hasta
el presente. Cuando Lorentz intentó resolverlas en su computadora,
descubrió que la herramienta matemática que estaba utilizando tenía
fallas: encontró comportamientos altamente oscilatorios y aleatorios,
e incluso, encontró que variando mínimamente las condiciones
iniciales, al cabo de un tiempo los resultados eran completamente
distintos. De manera que las predicciones meteorológicas a largo o
mediano plazo eran imposibles. En pocas palabras, la esencia del
Caos consiste en su alta sensibilidad a las condiciones iniciales.
A partir de lo anterior se desprende el famoso “Efecto
Mariposa”, el cual plantea que la perturbación producida por el batir
de las alas de una mariposa en el Amazonas, puede producir dos
meses más tarde un tornado en Texas. Dicho efecto pone en
manifiesto la esencia del caos descrita anteriormente, pues una ligera
perturbación en las condiciones iniciales, mediante un proceso de
amplificación, puede terminar produciendo un efecto diametralmente
distinto.
Un componente importante del caos y los sistemas dinámicos en
general consiste en su determinismo, pues dada una condición inicial,
determinan el comportamiento subsiguiente. Esto puede sonar
contradictorio con todo lo aclarado anteriormente, pero más adelante
se dará a entender el porqué de este determinismo.
5

6. 6
B. LA CONVECCIÓN
El fenómeno de la convección es una de las formas de
transmisión del calor, ocurrida al calentar un fluido, y consiste en que
las partículas más calientes ascienden, se enfrían y luego bajan, de
manera cíclica. No obstante, al seguir aumentando la temperatura,
este flujo de partículas se vuelve más complicado y errático,
generando lo que se conoce como turbulencia (la cual es fácilmente
apreciable cuando se hace hervir agua en una olla), dicha turbulencia
sería el equivalente al caos en este sistema.
La turbulencia, fue estudiada desde 1883 por O. Reynolds, cuyo
famoso número que lleva su nombre, permite distinguir un flujo
laminar5 de uno turbulento.
C. MAPAS LOGÍSTICOS6
El físico-biólogo Robert May, creó este modelo de mapas
buscando explicar a través de un modelo matemático sencillo el
crecimiento de una población, considerando situaciones en las que
escasea el alimento, se estabiliza la población, oscila periódica o
caóticamente, o incluso, que decae a cero con la muerte de todos los
individuos.
Sin embargo, se percató de que este modelo podía presentar
una gran variedad de soluciones muy distintas entre sí, complejas y
casi aleatorias. El hecho de que una situación como esta ocurriese en
un modelo determinista causó gran impacto, motivando el estudio de
la teoría del caos.
5 Corresponde al movimiento de un fluido cuando éste es ordenado, estratificado, suave.
6 Debido a la complejidad que poseen, a pesar de ser catalogados como un “modelo sencillo”, solo se
realizará una somera explicación de ellos y su relación con el caos.

7. 7
D. FRACTALES
Concepto desarrollado por el matemático Benoit Mandelbrot, el
cual deriva del latín fractus (dividir). La geometría fractal no se basa
en dimensiones de números enteros, sino en fracciones: “las nubes no
son esferas y las montañas no son conos”. Un aspecto de la
geometría fractal corresponde al hecho de que es capaz de imitar la
auto-similitud7 de la naturaleza.
Según Campbell, la importancia de la geometría fractal al
estudio de la complejidad radica en que: provee dimensiones
adicionales y más fieles a la realidad que la geometría Euclidiana8; los
sistemas complejos de tipo caótico exhiben conductas que no se
pueden representar en dimensiones enteras; los sistemas dinámicos
pueden ser representados en series de tiempo y sus dimensiones
adquieren importancia; los fractales son escalables9.
Las primeras aproximaciones de lo que se conoce como fractales
fueron formuladas por figuras geométricas como las curvas de Peano,
las de Hilbert y las de Koch (Anexo 1), las cuales se basan en el
concepto de iteración, el cual consiste en una repetición infinita de
algo, en este caso, corresponde a la repetición de patrones
geométricos, con lo que finalmente se generan líneas contenidas en
un área finita, pero de largo infinito10.
Una de las principales interrogantes surgidas consistió en la
determinación la dimensión de estas nuevas figuras, problemática que
fue estudiada por Hausdorff y Besicovitch, por lo que el concepto de
dimensión más usado en esta área corresponde al de Haudorff-
7 Cada una de las partes conserva una relación de similitud con la figura completa
8E s aquella geometría que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional.
9 Es decir, se pueden ampliar o reducir, conservando sus formas básicas.
10 Para comprender de mejor manera, ir al Anexo 1

8. Besicovitch, método con el cual se obtienen adecuadamente dichas
dimensiones. Una definición matemática de la dimensión se basa en la
forma en que el tamaño del objeto crece cuando aumenta la
dimensión, la Expresión que relaciona el tamaño S del objeto, con la
escala L en una dimensión D, corresponde a: 푆 = 퐿퐷.
Para un cuerpo de área 1, la relación entre la longitud de una
fracción de una figura (L) y el número de piezas necesarias para
completar la figura (N(L)) cumple 푁(퐿) × 퐿2 = 1 . A partir de esto se
puede llegar a generalizar que la dimensión de un objeto geométrico
cumple: D= LogN(L)/Log(1/L)
A partir de esto se han podido determinar dimensiones en
fractales como la curva de Koch (1,2618…); el polvo de Cantor
(0.6309…); el triángulo (1,584…), tetraedro y alfombra de
Sierspinski; y la Esponja de Menger11.
Lo anteriormente expuesto era ya conocido antes de que
Mandelbrot lo expusiera, sin embargo se les consideraba como
casualidades matemáticas. Mandelbrot logró conectar toda esa
información existente, creando una nueva área en la matemática: la
geometría fractal.
Devaney define una función como caótica si es impredecible e
indescomponible pero que posee regularidad, esto se debe a que los
sistemas caóticos no son aleatorios ni desordenados, sino que solo lo
parecen, pues tienen una ecuación que determina su
comportamiento12. Muchos fenómenos caóticos presentan estructuras
fractales.
8
11 Estos fractales también se hallan en el Anexo 1.
12 Esto explica cuando anteriormente se mencionó que el caos es un fenómeno determinista.

9. 9
E. ATRACTORES
La topología o geometría del espacio elástico centra su estudio
en el análisis de las formas que van adquiriendo los sistemas
dinámicos13. Para trabajar esto, se emplean los espacios de fases
(Anexo 2), que son diagramas donde se representa el movimiento del
sistema, graficándolo de forma geométrica. Poincaré identificó cuatro
tipos de espacios de fases: los sumideros (puntos hacia donde
confluyen otros puntos), fuentes (puntos que repelen a otros puntos),
sillas de montar (que actúan como sumideros y fuentes dependiendo
de la dirección) y ciclos límite (conjunto de fases que forman un
círculo que atrae al resto de los puntos).
El sumidero y el ciclo límite tienen la propiedad de ser
estructuras estables, son puntos o zonas de atracción, es decir,
atractores. Un atractor se caracteriza por atraer a un sistema
dinámico hacia sí, y luego de un cierto tiempo acaban por estabilizarlo
en algún punto.
También existen los repulsores (fuente y silla de montar), los
cuales repelen al sistema. Un sistema dinámico puede tener tanto
atractores como repulsores al mismo tiempo.
Poincaré trabajaba con cortes transversales de los flujos de
trayectorias de los sistemas dinámicos, las llamadas secciones de
Poincaré (Anexo 3). Cuando en ellas se obtiene una imagen bien
definida, corresponde a un sistema dinámico determinista; por otro
lado, si en la sección se obtiene una nube desordenada, corresponde
a un sistema dinámico aleatorio.
13 También se halla interesada en el estudio de las figuras inmutables en el espacio cambiante y
desfigurado y las propiedades que estas figuras geométricas poseen.

10. Un tipo de espacio de fases corresponde a los mapas de
retardo, en los que se toman como referencia dimensiones
temporales para graficar el comportamiento de un sistema dinámico,
esta técnica sigue el rastro de los valores de las variables en función
del tiempo. Con una sola serie temporal se puede obtener la
información suficiente para poder reproducir el atractor del sistema.
Existen tres tipos de atractores: los sumideros, los ciclos límites
y los atractores extraños, estos últimos son atractores no periódicos,
donde no se repiten nunca, su órbita nunca se cruza con una anterior.
Los atractores extraños representan un cierto orden en medio
del caos, principalmente bajo el concepto de turbulencia. Da Vinci
trabajó el fluir del agua como una serie de remolinos pequeños con
auto-similitud de forma en diferentes escalas, más tarde, los estudios
de la turbulencia derivaron en modelos más complejos14. Muchos
sistemas dinámicos aparentemente desordenados presentan
atractores extraños.
Los atractores extraños presentan la paradoja de recoger un
número infinito de orbitas dentro de un espacio finito, por lo que las
trayectorias necesitan replegarse sobre sí mismas repetidamente. En
segundo lugar, un atractor se define como una zona que atrae
trayectorias, no obstante, en este tipo de atractores, dos condiciones
de condiciones iniciales casi idénticas pueden devenir en puntos muy
alejados, es decir, une inestabilidad y estabilidad, orden y desorden.
10
14 Los cuales, dado el grado de complejidad que presentaron para ser comprendidos no han de ser
abarcados en este informe

11. Los sistemas caóticos son procesos que parecen azarosos, pero
que poseen un desarrollo determinado por leyes muy precisas. Lorenz
diferencia dos tipos de caos: Caos limitado, el cual posee una gran
mayoría de órbitas periódicas o cuasi-periódicas, permiten
predicciones a largo plazo; y en segundo lugar, Caos total, cercano al
azar y la dinámica cíclica, sus predicciones se hallan sujetas a una
corta escala temporal.
Para finalizar este marco histórico de la Teoría del Caos es
necesario recordar que este se compone de cinco características
básicas:
11
-No linealidad
-Marcado carácter dinámico.
-Sensibilidad a condiciones iniciales.
-Está regido por ecuaciones deterministas sencillas
-Mezcla entre orden y desorden simultáneo.

12. 12
F. ENTROPÍA
Los principales conceptos de la termodinámica corresponden a
Temperatura (T), Calor (Q), y Entropía (S), esta última corresponde a
un concepto que suele evitarse. Es lo que comúnmente conocemos
como calor, sin embargo, calor fue asociado a otra cantidad y se le
privó de su significado natural a la entropía.
La entropía no posee peso, puede fluir y está contenida en cada
cosa existente, es una propiedad de la cantidad de materia de un
cuerpo, por lo que puede ser tratada como “sustancia ”. Además,
puede distribuirse, acumularse, confinarse, extraerse, descomprimirse
o transferirse; existe también una “densidad de entropía”, que
corresponde a la cantidad de entropía en cierto volumen.
La entropía tiene la capacidad de cambiar el estado de un
objeto, los materiales de poca entropía se perciben como fríos, en
cambio, los que poseen entropía mayor se perciben como tibios o
calientes. Si se aumenta la entropía, se puede llegar a un cambio de
estado o, como el caso de la madera, a una combustión.
La entropía puede fluir de un cuerpo a otro, del de la posee en
mayor cantidad hacia aquel que la posee en menor cantidad, es decir,
sigue un gradiente. La entropía se considera la causa de todos los
efectos térmicos, pues sin entropía no existe temperatura ni calor.
Esta variable termodinámica tiende extenderse de forma rápida
y uniforme y se produce fácilmente, pues ocurre en toda situación de
la naturaleza en la que se da un cambio. Puede aumentar, pero
nunca disminuir, por lo tanto, es un proceso irreversible.
Desde un punto de vista cinético-molecular, la entropía puede
definirse como la cantidad de “desorden atómico” en un cuerpo, en

13. relación al tipo, movimiento y orientación de los átomos. Una gran
densidad de desorden no siempre implica una gran cantidad de
desorden15.
Respecto a la conservación y producción de la entropía, esta no
puede entrar ni salir en un sistema aislado. El desorden generado por
la entropía se expresa de forma visual mediante el movimiento
Browniano, que corresponde a una migración agitada e irregular de
partículas.
La cantidad de entropía de un cuerpo depende de su estado,
por lo que podemos afirmar que es una variable extensiva. Se puede
producir entropía mediante interacción mecánica, eléctrica o química.
La entropía fluye de un cuerpo a otro siguiendo un gradiente, desde
donde hay mayor desorden hacia donde hay más”. No obstante, se
puede lograr el proceso contrario si se utiliza un “cuerpo auxiliar”,
este proceso es el utilizado en los artefactos llamados refrigeradores o
frigoríficos. La entropía puede crearse, pero también agregarse.
Resumiendo la segunda ley de la termodinámica: “no se puede
destruir la entropía, los procesos de producción de entropía son
irreversibles y los procesos reversibles conservan la entropía”.
Los efectos que puede provocar un incremento de entropía
corresponden a: Aumentos de temperatura, dilatación térmica,
fundición, evaporación o desintegración.
15 Recurriendo al clásico ejemplo del librero: “Si en un se desordena una colección privada de libros
(gran densidad de desorden), esta puede ser reordenada al cabo de unos minutos (baja cantidad de
desorden). Pero si en cambio, en una biblioteca universita ria se desordenan unos cuantos ejemplares
(densidad de desorden baja), puede tardar muchísimo tiempo el volver a restituir el orden que tenían
(gran cantidad de desorden)”.
13

14. A pesar de que la entropía se halla aunque sea en mínimas
cantidades en todos los procesos y en todo lo que se hal la compuesto
por partículas, existe una tercera ley termodinámica para un caso
ideal, la cual nos dice: “la entropía de un cristal ideal a cero absoluto
es cero”.
Ahora que se ha aclarado el concepto de la entropía solo queda
una cosa por dilucidad: ¿Cuál es la relación que esta presenta con la
teoría del caos?
Si retomamos el efecto mariposa, entendemos que un ligero
cambio en las condiciones iniciales puede producir grandes
repercusiones, si a esto le sumamos el concepto de entropía,
podemos entender que cualquier acción mecánica, eléctrica o química
genera desorden en cierto grado. Siendo más explícitos: Con solo
generar una pizca de entropía en base a nuestra respiración (un
proceso químico), estamos liberando una pequeña cantidad de
entropía, equivalente al aleteo de las alas de la mariposa, esa
pequeña liberación entrópica puede producir efectos de proporciones
a largo plazo. Si ahora consideramos la cantidad de seres vivos que
realizan respiración, la cantidad de energía mecánica producida por
las acciones de dichos seres vivos, los fenómenos eléctricos de la
tecnología humana o de la naturaleza, etc. Cada una de esas
liberaciones de entropía lleva a un inevitable caos.
14

15. 15
G. LÍNEA DE TIEMPO
1850
• Rudolf Clausius establece y desarrolla el concepto de Entropía.
1903
• Poincare realiza sus trabajos con sistemas matemáticos no lineales, los
cuales serán antecedentes para el nacimiento de la teoría del caos.
1919
• Trabajos de Hausdorff y Besicovitch en el estudio de la medición de
dimensiones.
Década de
1950
• Invención de los ordenadores.
1963
• Lorenz plantea sus ecuaciones y se percata de la sensibilidad a las
condiciones iniciales. Nacimiento de la Teoría del Caos.
1971
• Estudios de la convección y el flujo turbulento.
1975
• May plantea sus mapas logísticos.
1976
• Mendelbrot da orígen al concepto de fractal. Se consolida lo que es la
Geometría Fractal.

16. 16
H. DETRACTORES Y DEFENSORES
René Thom (Detractor)
Epistemólogo de corte clásico, fuertemente apegado a los
conceptos de simplicidad, orden y determinismo. Lo que se opone
notoriamente a la epistemología moderna, relacionada con la
multiplicidad, el azar, el desorden y la complejidad. Está claro que la
epistemología de Thom y la epistemología de la Teoría del Caos son
dos polos diametralmente opuestos.
Bas Van Fraassen y Larry Laudan (Detractores)
Pragmáticos que aseguran que la capacidad de predicción
empírica es esencial para poder formar parte de la ciencia, por lo que
ellos ven a la Teoría del Caos como una teoría estructuralmente
inestable e inaceptable
Ilya Prigogine (Defensor)
Es un Físico, Químico, y premio nobel por su trabajo con las
estructuras disipativas, en el cual tomó como base la teoría del caos,
estableciendo que ciertas estructuras pueden ordenarse de forma
coherente y auto-organizada en sistemas lejos del equilibrio, es decir,
estructuras para las cuales el caos genera orden.
Alvin Toffler (Defensor)
Escritor y futurista, con un doctorado en Ciencias, considera que
la evolución necesita inestabilidad, pues es la inestabilidad la que
produce cambios, dado que el equilibrio es por definición “no
evolutivo”.

17. 17
I. APLICACIONES
Entre las aplicaciones que se le han podido asignar a la Teoría del
Caos, es posible encontrar:
-Predicciones meteorológicas: las cuales no son fiables a largo plazo,
dado que el tiempo atmosférico cambia constantemente, pues es muy
sensible a sus condiciones iniciales, por lo tanto, estas predicciones
solo son confiables a corto plazo.
-Ecuaciones de población: consistentes en mapas logísticos, con los
cuales se pueden modelar las posibles variaciones en poblaciones de
individuos frente a factores como la mortalidad, el alimento, etc.
-Generación digital de estructuras fractales: como montañas y nubes,
a través de la iteración digital de ciertos polígonos.
-Arte Fractal: el cual se ha desarrollado a través de retoques a
fractales complejos, que son dispuestos en forma de paisajes o
figuras según el gusto estético del artista.
-Estudios médicos en cardiología y osteoporosis: a través del uso de
fractales para diagnosticar a pacientes que puedan ser propensos a
problemas en dichas áreas.
-Música Fractal: esta aplicación se utiliza para producir ideas
musicales de manera impredecible. Se establece una cierta cantidad y
tipo de instrumentos, los cuales pueden reproducir melodías
armónicas en conjunto, o caóticas, en las cuales cada instrumento
produce una melodía distinta.

18. 18
Conclusión
Resumiendo, la Teoría del Caos tuvo como principal Precursor a
Henri Poincaré, el primero en plantear sistemas donde con gran
sensibilidad por las condiciones iniciales. Situación que más tarde,
Lorenz, en su búsqueda por predecir el clima, pudo evidenciar.
La Teoría del caos comprende sistemas en los cuales el
desorden y el orden son simultáneos, estos sistemas son del tipo no
lineales y dinámicos, pues son dependientes del tiempo, y muy
sensibles a las condiciones iniciales, no obstante, por muy aleatorias
que parezcan sus soluciones, son en realidad sistemas deterministas,
regidos por ecuaciones sencillas.
Otros componentes de esta teoría, son la Geometría Fractal, los
Atractores y la Entropía. La primera no se basa en dimensiones
enteras, sino que corresponde a dimensiones fraccionarias, los
fractales son iteraciones infinitas de un determinado patrón
geométrico, lo cual les brinda autosimilitud. Los Atractores en cambio,
son diagramas que nos permiten comprender hacia donde tienden las
soluciones de los sistemas. La entropía es la cantidad de desorden en
el sistema, que puede generarse con mucha facilidad, incrementando
el desorden y cambiando las condiciones iniciales, llevando a grandes
consecuencias y por ende, fomentando el caos.
Finalmente, se ha podido apreciar que la teoría del Caos trajo
consigo una serie de aplicaciones, tanto en la meteorología como en
la biología, computación, medicina, e incluso las artes plásticas y
musicales. Con esto se espera que el lector se haya podido acercar un
poco más a la teoría del caos, a fin de no verla como algo lejano y
misterioso, sino como algo simple y cercano.

19. 19
Referencias
 Canales M. (2011). Teoría General de Sistemas: Teoría del
Caos.
 La Teoría del Caos. (s.f.). Recuperado el 9 de agosto de 2014,
de:
http://antroposmoderno.com/antroarticulo.php?id_articulo=152
 Henri Poincaré, la Topología y el Caos. (s.f.). Recuperado el 9
de agosto de 2014 de:
http://casanchi.com/ref/henritopcaos01.pdf
 Navarro J. (2012). Heisenberg y el Principio de Incertidumbre:
¿Existe el mundo cuando no lo miras? (págs. 7-14). España:
RBA.
 Historia de la Teoría del Caos. (s.f.). Recuperado el 13 de
agosto de 2014 de:
http://es.slideshare.net/lucio0203/historia-de-la-teoria-del-caos
 Filosofía 4. (s.f.). Recuperado el 13 de agosto de 2014 de:
http://visviri.blogspot.com/2014_04_01_archive.html
 La Teoría del Caos. (s.f.). Recuperado el 13 de agosto de 2014
de:
http://www.chenrezy.net/castellano/centro/jornadas%20ciencia
-espiritualidad%20revisitadas/ismel2.html

20. 20
Anexos
1] Algunos Fractales
Curva de Peano Curva de Hilbert Curva de Koch
Triángulo y Tetraedro de Sierspinski Polvo de Cantor
Alfombra de Sierspinski Esponja de Menger

21. 21
2] Algunos espacios de Fases
3] Secciones de Poincaré