Trabajo que describe el Método de Euler y de Runge-Kutta para desarrollar mas conocimientos que permitan resolver ecuaciones diferenciales con ellos

1. Método de Euler y
Runge Kutta
Integrantes:
Marco Rodríguez C.I: 25568792
Cruz Waldrop C.I: 25059313
21 de junio del 2016
Universidad Nororiental Privada Gran Mariscal de Ayacucho
Núcleo: El Tigre
Asignatura: Métodos Numéricos

2. Introducción
Si hablamos de las ecuaciones diferenciales es casi natural modelar
o hacer simulaciones de situaciones reales donde pueden existir
cambios de una o varias funciones desconocidas con respecto a
variables que se pueden llamar independientes. Si bien son
situaciones reales, dichas situaciones necesitan una solución, ya
que por lo general son problemas que se plantean y que envuelven
una sola ecuación diferencial acoplada en varias funciones que
pueden ser o no desconocidas.
Por lo general cuando se tiene una situación y estas se transforman
en ecuaciones usualmente estas ecuaciones vienen acompañadas de
una condición adicional que logra especificar el estado del sistema
en un tiempo o posición inicial. Esto conjuntamente con una
ecuación diferencial forman lo que se conoce como problemas de
valor inicial.

3. Método de
Euler
o Método de las tangentes

4. Antecedentes
Fue creado por el suizo fisico-matemático Leonhard Paul Euler (1707-
1783) a quien se le atribuyo el titulo del principal matemático del sigo
XVII y uno de los mas grandes y prolificos de todos los tiempos.
Formas de interpretar una
ecuación Diferencial
1. Analiticamente: es la resolución
matemática de ecuaciones a
traves de los simbolos
2. Cualitativamente: es el análisis e
interpretación de la ecuación en
terminos generalmente graficos
para conocer el comportamiento
del fenomeno simulado
3. Númericamente:es el estudio de
las ecuaciones diferenciasles
mediante la utilización de
construcción de algoritmos
computaciones para dar
aproximaciones mas exactas
¿Cuando usar el Método de Euler?
Se utiliza cuando las ecuaciones
diferenciales no tienen una
solución análitica, aunque en
problemas reales se evita de
utilizar este método ya que el
error de las curvas generadas
con respecto al comportamiento
real es mayor que el error que
genera mediante otros métodos.

5. Es un procedimiento de integración numérica que
se utiliza para poder resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias a partir de un valor
inicial dado, es decir, con el método de Euler se
logra obtener una solución aproximada en un
conjunto finito de puntos partiendo de la ecuación
de la recta.
y’ = f(x, y), y(x0) = y0
Definición

6. Caracteristicas del Método de
Euler
El método
aproxima a la
función solución
por medio de una
línea poligonal.
Solo se puede
obtener como
resultado una
única solución al
problema
Se hace un
incremento
independiente de
la variable h
El uso de este
método viene
dado si la
interpretación de
la ecuación no se
puede dar de
forma analitica
Es el método mas
sencillo para la
resolución de
ecuaciones
diferenciales
Con el uso del
Método de Euler
se supone que se
verifica la
hipotesis del
Teorema de Picard
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3
4
5
6

7. Pasos para resolver ecuaciones diferenciales a
traves del Método de Euler
Se multiplican los
intervalos que van de “X” a
“x.” en “n” cantidad de sub-
intervalos con ancho “h”;
es decir:
Con esto se obtine un
conjunto discreto de
“n+1” puntos . Para
los que se debe
cumplir lo siguiente:
𝑥𝑖 = 𝑥0 + ih.0 ≤ i ≤
ℎ =
𝑋1 − 𝑋0
𝑛
Ya con la condición
inicial y x0= y0 que
representa el punto
P0 =(x0,y0) y por
donde pasa la curva
obtenemos la solución
de la ecuación del
planteamiento inicial:
F(x) =y
Con el punto “P0” se
puede evaluar la
primera derivada de
F(x) en ese punto; por
lo tanto:
F’(x)=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f(X0, Y0)
Con esta información se
traza una recta, aquella
que pasa por “Po” y de
pendiente “F(xo, yo)”. Esta
recta aproxima “F(x) en
una vecinidad de “x1”
Se toma la recta
como reemplazo
de F(x) y se
localiza en ella el
valor de y
correspondiente a
x1.
Enotnces, se puede
deducir segun esta
información para la
grafica que:
𝑦1−𝑦𝑜
𝑥1−𝑥𝑜
= f(xo,yo)
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5 6 7

8. Ejercicio Práctico
El ejemplo práctico se saco del siguiente link:
https://issuu.com/luiseduardovivar/docs/monografia_metodo_de_euler

10. Ventajas
• Mientras mas se divide el
tamaño del paso de h, los
errores disminuyen
• Es un método muy sencillo
de implementar pero de
orden bajo por lo que
dependiendo del grado de
precisión que deseas el h
puede ser muy pequeña
• Una forma de mejorar el
método es utilizar una
mejor aproximación a la
integral.
Ventajas y Desventajas del Método
de Euler
Desventajas
• Tiene errores cuando la
pendiente instantanea
cambia rapidamente dentro
de la x.
• Para mejores
aproximaciones no solo se
debe considerar el punto
inicial, sino un promedio
del inicial y el final, el
problema es que no se
conoce el valor de y en ese
punto final

11. Método de
Runge-Kutta
Método de Euler de Segundo Orden.

12. Antecedentes
Fue desarrollado inicialmente alrededor del año 1900 por los
matemáticos C. Runge y M. W. Kutt
Teorias
En cada paso el método de Euler se
mueve a lo largo de la tangente de
una cierta curva que esta "cerca" a la
curva desconocida o buscada. Los
métodos Runge-Kutta extienden
esta idea geométrica al utilizar
varias derivadas o tangentes
intermedias, en lugar de solo una,
para aproximar la función
desconocida. Los métodos Runge-
Kutta más simples se obtienen
usando dos derivadas intermedias.
¿Cuando usar el Método de Runge-Kutta?
Cuando se desea resolver modelos
analíticamente complejos mediante la
aplicación de técnicas matemáticas básicas
(estas técnicas numéricas, son las bases
para la solución y simulación de problemas
complejos utilizando computadoras), por
ejemplo, en ingeniería mecánica, se utilizan
para resolver de forma aproximada casos o
aplicaciones especiales de las ecuaciones de
navier-Stokes, aplicando técnicas
numéricas y posteriormente resolviéndolas
en una computadora ( a estas técnicas se les
conoce como CFD o computational fluid
Dynamics).

13. Se define como el Método de
iteraciones que extiende la idea
geométrica y utiliza varias derivadas
o tangentes intermedias para poder
aproximar la función desconocida.
Definición
xn+1 = xn + h(∑si=1 bi ki)
con ki = f( xn + ∑sj=1aij kk, tn + hci)
Y el error cumple la condición:
Max | X( tt) - xi| ≤ Ch tp

14. Caracteristicas Método de
Runge-Kutta
Son una especialización de los
métodos numéricos a un paso.
Sustituye el problema de
valor inicial por la integral
equivalente
Aunque posee el error
local de truncamiento del
método de Taylor, este
prescienden del cálculo y
evaluación de las
derivadas de la función
f(t,y)
El Método de Runge-Kutta puede
ser de segundo, tercer o cuarto
orden.
Forma parte de la familia
de los métodos iterativos
tanto implicitos como
explicitos para aproximar
las solcuiones de
ecuaciones diferenciales
de primer orden
El método de Euler es el
método de Runge- Kutta
de orden 1
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3
456

15. Notas importantes para resolver
ecuaciones diferenciales a traves del
Método e Runge-kutta
Siendo Runge-Kutta una especialización de los métodos numéricos a un
paso. Fundamentalmente, lo que caracteriza a este método es que el error en
cada paso i es de la forma:
Ei = Chk
Siendo C una constante real positiva, al número k se le llama orden del
método y h ya sabemos que es el tamaño del paso en cada nodo.
Además de ello en dicho método se le llama etapas a las sucesivas
evaluaciones de la función f en cada paso. El número de etapas de un método
de Runge-Kutta es el número de veces que la función es evaluada en cada
paso i, Este concepto es importante porque evaluar la función requiere un
coste computacional (a veces alto) por tanto se prefieren métodos con el
menor número posible de etapas.

16. Ejercicio Práctico
El ejemplo práctico se saco del siguiente link:
http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/MetN
umTema4Teo(09-10).pdf

18. Ventajas
• Solo requiere de la funcion
f(x,y) y con ello es que se
trabaja.
• Suele usarse para mayos
exactitud.
• Es facil para su
programación.
Ventajas y Desventajas del Método
de Runge-Kutta
Desventajas
• El lado derecho de la
ecuación diferencial debe
evaluarse muchas veces en
cada etapa.
• El consumo de tiempo y
costo es mayor que otros
métodos.

19. Pogramas asociados tanto al
Método de Euler como a
Runge-Kutta
Debido a que dichos Métodos se trabajan a
tráves de cálculos númericos que llevan dentro
la resolución de ecuaciones diferenciales
ordinales, los siguientes software son tan
potentes que tienen la habilidad de poder
resolver por cualquiera de los dos casos:

20. MatLab
Es un software
extraordinariamente potente para
la realización de cálculos
numéricos, representaciones
gráficas y tratamiento de datos.
Permite la resolución de un
amplio espectro de problemas de
forma analítica o numérica
utilizando métodos basados en el
cálculo matricial.
http://www.mathworks.com/products/matlab/

21. GNU Octave
Es un lenguaje de alto nivel
destinado para el cálculo
numérico. Provee una interfaz
sencilla, orientada a la línea de
comandos (consola). Permite la
resolución de problemas
numéricos, lineales y no lineales.
http://www.gnu.org/software/octave/download.html

22. SAGE
Sistema Algebraico
Computacional basado en
lenguajes de programación
orientado a objetos. Puede ser
usado para calcular señales,
análisis estadísticos, simulación
de fluidos dinámicos, optimización
numérica y modelados.
http://www.sagemath.org/download.html

23. Conclusión
La resolución de distintos problemas de la cotidianidad y muchos de
ellos de ingeniería están asociados por lo general a resultados
numéricos.
Si bien con todo lo estudiado nos podemos dar cuenta que para la
resolución de estos problemas es el Método de Runge-kutta la mejor
elección entre el método de Euler es también muy fácil aumentar la
precisión si utilizamos pasos mas pequeños entre los puntos con
Euler el cual da mayor simplicidad.
Aun así sigue siendo Runge-kutta el Método mas utilizado para
proporcionar pequeños márgenes de errores con respecto a ala
solución real del problema con la ventaja de que es mas fácil que
programar un software de este método para realizar las iteraciones
necesarias

24. Referencias Método de Euler
⊸ https://issuu.com/luiseduardovivar/docs/monografia_m
etodo_de_euler
⊸ https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
⊸ http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/32_Euler.html
⊸ http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-
renovables/MATLAB/numerico/diferencial/diferencial.ht
ml
⊸ http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAG
L/Docencia/MetNumTema4Teo(09-10).pdf

25. Referencias Método de Runge-Kutta
⊸ http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/34_RK.html
⊸ https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Rung
e-Kutta
⊸ http://es.slideshare.net/DesireO/trabajo-range-kutta-
computacion

26. Gracias!
Alguna pregunta?
Puedes contactarme a traves del correo: marb_0603@hotmail.com