Ejercicios resueltos rdi ss

1. UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ. FACULTAD DE INGENIERÍA.
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN. LÓGICA SIMBÓLICA
EJERCICIOS RESUELTOS
Reglas Derivadas de Inferencia Ss
Lcda. Irma Chin, 2012
1. Simbolizar en Ss las premisas y la conclusión en cada uno de los siguientes argumentos, y
hallar las derivaciones correspondientes.
1.1. Si los bancos aumentan la tasa de interés, subirá el índice de ahorristas. Si sube el índice
de ahorristas entonces no habrá fuga de divisas. Pero, habrá fuga de divisas. Por lo tanto,
los bancos no aumentarán la tasa de interés.
p: Los bancos aumentan la tasa de interés.
q: Subirá el índice de ahorristas.
r: Habrá fuga de divisas.
p→q
q→¬r
r
¬p
1 p→q H
2 q→¬r H
3 r H
4 ¬q MTT 3, 2
5 ¬p MTT 4, 1
1.2. Si hoy no es domingo, entonces si soy flojo, no trabajo. Yo soy flojo. Luego, si yo
trabajo, hoy es domingo.
p: Hoy es domingo.
q: Soy flojo.
r: Trabajo.
¬p→(q→¬r)
q
r→p
1 ¬p→(q→¬r) H
2 q H
3 ¬¬p∨(q→¬r) CD 1
4 p∨(q→¬r) EN 3
5 p∨(¬q∨¬r) CD 4
6 p∨(¬r ∨¬q) Conm 5
7 (p∨¬r) ∨¬q Asoc 6
8 p∨¬r MTP 2, 7
9 ¬r ∨ p Conm 8
10 r→p CD 9
1.3. Resuelvo este ejercicio o paso al siguiente. Si paso al siguiente, he dejado una laguna. Si
resuelvo este ejercicio, entonces paso al siguiente. Luego, he dejado una laguna.
p: Resuelvo este ejercicio.
q: Paso al siguiente ejercicio.
r: He dejado una laguna.

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p∨q
q→r
p→q
r
1 p∨q H
2 q→r H
3 p→q H
4 p H
5 p→q C 3
6 q→r C 2
7 p→r SH 5, 6
8 r MPP 4, 7
9 q H
10 q→r C 2
11 r MPP 9, 10|
12 r ED 1, 4, 8, 9, 11
Otra forma de resolverlo:
1 p∨q H
2 q→r H
3 p→q H
4 ¬p∨q CD 3
5 (p∨q)∧(¬p∨q) IC 1, 4
6 (p∧¬p)∨q Dist 5 (una suerte de factor común)
7 q TE 6 (también puede verse como MTP 6)
8 r MPP 2, 7
1.4. Compramos materiales de óptima calidad o no podremos comenzar a construir la
urbanización. Y, si la municipalidad nos da el permiso de construcción la empresa nos
exigirá que cumplamos el contrato antes de finalizar el año. Si la empresa nos exige que
cumplamos el contrato antes de fin de año, podríamos estar en graves problemas. Pero,
no compramos materiales de calidad y la municipalidad nos dará el permiso. Entonces no
podremos construir la urbanización y podríamos estar en graves problemas.
p: Compramos materiales de óptima calidad.
q: Podremos comenzar a construir la urbanización.
r: La municipalidad nos da el permiso de construcción.
s: La empresa nos exige que cumplamos el contrato antes de finalizar el año.
t: Podríamos estar en graves problemas.

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p∨¬q
r→s
s→t
¬p∧r
¬q∧ t
1 p∨¬q H
2 r→s H
3 s→t H
4 ¬p∧r H
5 ¬p EC 4
6 r EC 4
7 ¬q MTP 1, 5
8 r→t SH 2, 3
9 t MPP 6, 8
10 ¬q∧t IC 7, 9
1.5. 6 es impar si no es divisible por 2. 6 es divisible por 2. Luego, 6 no es impar.
p: 6 es impar. p→¬q
q: 6 es divisible por 2. q
¬p
1 p→¬q H
2 q H
3 ¬p MTT 1, 2
1.6. Si acudimos a la oficina de reclamos y llenamos la planilla explicando la situación,
resolveremos legalmente el problema. Si resolvemos legalmente el problema, no
tendremos que utilizar la fuerza. Pero, tendremos que utilizar la fuerza. Por consiguiente,
no es cierto que: acudiremos a la oficina de reclamos y llenamos la planilla explicando
nuestro problema.
p: Acudimos a la oficina de reclamos.
q: Llenamos la planilla explicando la situación.
r: Resolveremos legalmente el problema.
s: Tendremos que utilizar la fuerza.
p∧q→r
r→¬s
s
¬(p∧r)
1 p∧q→r H
2 r→¬s H
3 s H
4 ¬r MTT 2, 3
5 ¬(p∧r) MTT 1, 4

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2. En cada uno de los siguientes casos, derivar explícitamente la última fmla a partir de las fmlas
anteriores.
2.1. ( ) ( ) qrprqp ∨∧∧∨
1 (p∨q)∧r H
2 (p∧r)∨(q∧r) Dist 1
3 (p∧r) EC 2
4 (p∧r)∨q ID 3
Otra forma de resolverlo:
1 (p∨q)∧r H
2 (p∧r)∨(q∧r) Dist 1
3 p∧r H
4 p∧r C 3
5 q∧r H
6 q EC 5
7 (p∧r)∨q PPC 2, 3, 4, 5, 6
2.2. ( ) ( ) rqprqp →∧→→
1 p→ (q→r) H
2 ¬p∨(q→r) CD 1
3 ¬p∨(¬q∨r) CD 2
4 (¬p∨¬q)∨r Asoc 3
5 ¬(p∧q)∨r DM 4
6 (p∧q)→r CD 5
2.3. ( )rqpp ∨→¬
1 ¬p H
2 p→(q∨r) NA 1
Otra forma de resolverlo:
1 ¬p H
2 ¬p∨(q∨r) ID 1
3 p→(q∨r) CD 2
2.4. ( ) ( )qpqpp ¬∨∧∨
1 p H
2 p∨(q∧¬q) TE 1
3 (p∨q)∧ (p∨¬q) Dist 2

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2.5. ( ) ( ) rqprqp →¬¬∧→∧
1 (p∧q)→r H
2 ¬(p∧q) ∨r CD 1
3 (¬p∨¬q) ∨r DM 2
4 ¬ (¬p∨¬q) → r CD 3
5 ¬¬p∧¬¬q → r DM 4
6 p∧¬¬q → r EN 5
2.6. ( ) qpqp ¬↔¬↔
1 p↔q H
2 (p→q)∧(q→p) Bic 1
3 (¬q→¬p)∧(¬p→¬q) CR 2
4 (¬p→¬q)∧(¬q→¬p) Conm 3
5 ¬p↔¬q Bic 4
2.7. ( ) ( ) qqpqp →→∨
1 p∨q H
2 (p∨q)∧(¬q∨q) TE 1
3 (p∧(¬q∨q)) ∨ (q∧(¬q∨q)) Dist 2
4 (p∧(¬q∨q)) ∨ q Abs 3
5 ((p∧¬q)∨(p∧q)) ∨ q Dist 4
6 (p∧¬q)∨((p∧q) ∨ q) Asoc 5
7 (p∧¬q)∨q Abs 6
8 ¬(p∧¬q)→q CD7
9 ¬p∨¬¬q→q DM 8
10 ¬p∨q→q EN 9
11 (p→q)→q CD 10
Otra forma de resolverlo:
1 p∨q H
2 (p∨q)∧(¬q∨q) TE 1
3 (p∧(¬q∨q)) ∨ (q∧(¬q∨q)) Dist 2
4 (p∧(¬q∨q)) ∨ q Abs 3
5 ((p∧¬q)∨(p∧q)) ∨ q Dist 4
6 (p∧¬q)∨((p∧q) ∨ q) Asoc 5
7 (p∧¬q)∨q Abs 6
8 ¬(p∧¬q)→q CD7
9 (p→q)→q CC 8
Nota: obsérvese que hasta el ítem 8 ambas derivaciones son iguales. Los últimos
ítemes difieren en función de las leyes de inferencia aplicadas, aunque al final se
obtiene el mismo resultado.

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2.8. ( ) ( ) rprqpqp ∨↔∨∨ ,
1 p∨q H
2 p∨(q↔r) H
3 p H (para eliminar disyunción 1)
4 p∨r ID 3
5 q H (para eliminar disyunción 1)
6 p∨(q↔r) C 2
7 p H (para prueba por casos ítem 6)
8 p C7
9 q↔r H (para prueba por casos ítem 6)
10 q C 5
11 r EE 9, 10
12 p∨r PPC 6, 7, 8, 9, 11
13 p∨r ED 1, 3, 4, 5, 12
Otra forma de resolverlo:
1 p∨q H
2 p∨(q↔r) H
3 (p∨q) ∧ (p∨(q↔r)) IC 1, 2
4 p∨( q∧ (p∨(q↔r)) ) Dist 3
5 p H (para eliminar disyunción ítem 4)
6 p∨r ID 5
7 q∧ (p∨(q↔r)) H (para eliminar disyunción ítem 4)
8 q EC 7
9 p∨(q↔r) EC 7
10 p H (para prueba por casos ítem 9)
11 p C 10
12 q↔r H (para prueba por casos ítem 9)
13 q C 8
14 r EE 12, 13
15 p∨r PPC 9, 10, 11, 12, 14
16 p∨r ED 4, 5, 6, 7, 15

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3. Derivar explícitamente las siguientes tesis a partir de sus hipótesis:
3.1. ( )rqp →→ | ( )rpq →→
1 p→(q→r) H
2 ¬p∨(q→r) CD 1
3 ¬p∨(¬q∨r) CD 2
4 ¬q∨(¬p∨r) Conm 3
5 ¬q∨(p→r) CD 4
6 q→(p→r) CD 5
3.2. ( ) ( ) ( )sqrpqp →¬→∨ ,, |( )rs ¬→¬
1 p∨q H
2 p→¬r H
3 q→s H
4 p H (para prueba por casos ítem 1)
5 p→¬r C 2
6 ¬r MPP 4, 5
7 q H (para prueba por casos ítem 1)
8 q→s C 3
9 s MPP 7, 8
10 s∨¬r PPC 1, 4, 6, 7, 9
11 ¬s→¬r CD 19
3.3. ( ) ( ) ( )srrqrqp →→∨→ ,, |( )sp →
1 p→(q∨r) H
2 q→r H
3 r→s H
4 ¬p∨(q∨r) CD 1
5 (¬p∨¬p)∨(q∨r) Idemp 4
6 (¬p∨q)∨(¬p∨r) Conm 5
7 (p→q) ∨ (p→r) CD 6
8 p→q H (para ED ítem 7)
9 q→r C 2
10 r→s C 3
11 q→s SH 9, 10
12 p→s SH 8, 11
13 p→r H (para ED ítem 7)
14 r→s C 3
15 p→s SH 13, 14
16 p→s ED 7, 8, 12, 13, 15

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3.4. ( ) ( )prqp ¬→→¬ , | ( )qrp →¬→¬
1 ¬p→q H
2 r→¬p H
3 r→q SH 1, 2
4 ¬r∨q CD 3
5 ¬r H
6 ¬r ∨ (p ∨ r) ID 5
7 p ∨ (¬r∨r) Conm 6
8 p TE 7 (o bien, MTP 6)
9 ¬p→(¬r→q) NA 8
10 q H
11 ¬r→q AC 5
12 ¬p→(¬r→q) AC 6
13 ¬p→(¬r→q) ED 4, 5, 9, 10, 12