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UNIDAD 2 Análisis
Numérico I
INFLUENCIA DE ERRORES
Lizeth Vargas VeraUNADM

Análisis Numérico I
INFLUENCIA DE ERRORES. Sistemas numéricos
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 1
Actividad 3. Influencia de errores.
Muchas veces se nos presentan distintas posturas filosóficas, teorías matemáticas y
físicas de cierta forma en la que es fácil entenderlas como si la realidad que percibimos a
través de nuestros sentidos fuera una aproximación a un universo platónico y perfecto
conformado por sólidos regulares, perfectamente continuos y delicadamente
sincronizados con la que debemos conformarnos.
A lo largo del siglo XX ha habido varios momentos en el desarrollo de la física y la
matemática que han puesto este punto a debate.
Investiga y debate con tus compañeros como los siguientes temas influyen en tu concepto
de Error.
a) Determinismo y el demonio de Laplace
b) El principio de incertidumbre de Heissenberg
c) Edward N. Lorenz, atractores extraños y la teoría del Caos.
d) El problema no. 2 de Hilbert y el teorema de incompletitud de Gödel
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P.S. Laplace, en su ensayo filosófico,desarrolló el concepto de determinismo radical basándose
en la hipótesis de que si conociéramos todas las condiciones primigenias del universo y
tuviéramos una capacidad de cálculo ilimitada –basadasen las leyesde la mecánica de Newton-
, podríamospredecir las conductasde todoslos organismos y su evolución.Es decir,estaríamos
en disposición de analizar el estado presente del universo como efecto de su pasado y causa
de su futuro (Laplace).
Lógicamente, para imaginar estos supuestos, los físicos han ideado un ser con capacidades
sobrehumanas (demonio) que le permite observar de cerca las leyes de la naturaleza e
intervenir en ellas, sin contravenirlas, para obtener conclusiones de relación causa-efecto.

Quédense con este concepto, pues les invito ahora a que lo trasladen al mundo de la gestión
estratégica de las empresas, entendida ésta como la definición de los patronesde conducta que
regulan la forma de operar de la compañía a través del tiempo, generando planes de actuación
internos y externos que compensen y se sobrepongan a las fuerzas competitivas que regulan
su mercado, sobre la base de experiencias anteriores(pasado) ycon la formulación de objetivos
(futuro) para crecer frente a la competencia.
El principio de incertidumbre de Heissenberg
El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone
restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su
velocidad. Este principio fué enunciado por W. Heisenberg en 1927.
 Es natural pensar que si una partícula está localizada, debemos poder
asociar con ésta un paquete de ondas más o menos bien localizado.

Un paquete de ondas se construye mediante la superposición de un número
infinito de ondas armónicas de diferentes frecuencias.
En un instante de tiempo dado, la función de onda asociada con un paquete
de ondas está dado por:
dónde k representa el número de onda:
dónde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número
de ondas) que varían desde 0 a ∞ ponderadas mediante el factor g(k).
El momento de la partícula y el número de ondas están relacionados
ya que
de lo cual se deduce que
 Queda claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas las
contribuciones de las ondas cuyo número de onda varía entre 0 a ∞ y por
lo tanto el momento también varía entre 0 a ∞. Es decir que está
completamente indeterminado.
 Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes
tipos de paquetes de onda y su transformada de Fourier que nos dice
como están distribuidas las contribuciones de las ondas con número de
ondas
k dentro del paquete.

 En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el
espacio x, tiene contribuciones prácticamente iguales de todas las ondas
con número de ondas k.
 En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del
paquete de ondas, también es posible definir el número de ondas (o el
momento) de la partícula.
 En el último caso vemos que para definir bien el momento de la
partícula, entonces su posición queda completamente indefinida.
 Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas
tanto en el espacio normal como en el espacio de momento .
El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en
la precisión con el cual podemos determinar al mismo tiempo la
posición y el momento de una partícula.
 La expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de
Heisenberg es
 Si queremos determinar con total precisión la posición:
 De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos entonces
que

Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.
EDWARD N. LORENZ, ATRACTORES EXTRAÑOS Y LA TEORÍA DEL
CAOS
El término Caos se refiere a una interconexión subyacenteque se manifiesta en acontecimientos de la vida cotidiana que
son aparentemente aleatorios y desordenados. Por eso el concepto de caos a menudo puede crear en nosotros una idea
negativa, una visión de desorden en donde las cosas no funcionan bien, en un mundo en donde lo establecido y lo correcto
es precisamente el orden.
Durante mucho tiempo la noción de que en el universo existía un orden totaly continuo fue algo innegable, las teorías de
Newton
veían al mundo como un compuesto de bloques mecánicos en interrelación, partes separadas de la realidad que respondían

a una causa-efecto. De hecho nuestra cultura sigue estando impregnada de este mecanicismo y predictibilidad, intentamos
y nos obsesionamos por predecir cualquier fenómeno desde una perspectiva reduccionista. Pero es justamente aquí donde
surge el nuevo paradigma, al ver a la realidad como un todo en donde cualquier factor, por pequeño que parezca, puede
afectar el comportamiento y la evolución de la naturaleza.
Del entendimiento de estos factores y sus relaciones surge la Teoría del Caos, en la cual existen tres componentes
esenciales: el control, la creatividad y la sutileza. El control por dominar la naturaleza es imposible desde la perspectiva
del caos, pactar con el caos significa no dominarlos sino ser un participantecreativo. Más allá de nuestros intentos por
controlar y definir la realidad se extiende el infinito reino de la sutileza y la ambigüedad, mediante el cual nos podemos
abrir a dimensiones creativas que vuelven más profundas y armoniosas nuestras vidas.
En este sentido se dice que un sistema visto desde el punto de vista del caos, es decir sistema caótico, es un sistema
flexible y no lineal, en donde el azar y lo no predecible juegan un papelfundamental. Un ejemplo de sistema caótico
podría ser un río, en donde cada partícula de agua sigue una trayectoria aleatoria e impredecible que sin embargo no
rompe con la dinámica establecida en el mismo río.
Podríamos decir entonces que la Teoría del Caos es todo lo anterior y mucho más. Es encontrar el orden en el desorden, y
constituyeel principal afán de quienes, en los diversos campos de la ciencia, adoptan esta nueva perspectiva. Por ejemplo
en la geometría moderna surgen figuras caóticamente raras y bellas como resultado de modelos recursivos que generan
comportamientos impredecibles, sin embargo estos conservan un cierto orden. Estas formas son conocidas como fractales.
Hacia 1960, el meteorólogo Edward Lorenz se dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmósfera, tratando de
encontrar un modelo matemático, un conjunto de ecuaciones, que permitiera predecir a partir de variables sencillas,
mediante simulaciones de ordenador, el comportamiento de grandes masas de aire, en definitiva, que permitiera hacer
predicciones climatológicas.
Lorenz realizó distintas aproximaciones hastaque consiguió ajustar el modelo a la influencia de tres variables que
expresan como cambian a lo largo del tiempo la velocidad y la temperatura del aire. El modelo se concretó en tres
ecuaciones matemáticas, bastantesimples, conocidas hoy en día como modelo de Lorenz.
Pero, Lorenz recibió una gran sorpresacuando observó que pequeñas diferencias en los datos de partida (algo apar

entemente tan simple como utilizar 3 o 6 decimales) llevaban a grandes diferencias en las predicciones del modelo. De tal
forma que cualquier pequeña perturbación, o error, en las condiciones iniciales del sistema puede tener una gran
influencia sobre el resultado final. De tal forma que se hacía muy difícil hacer predicciones climatológicas a largo plazo.
Los datos empíricos que proporcionan las estaciones meteorológicas tienen errores inevitables, aunque sólo sea porque
hay un número limitado de observatorios incapaces de cubrir todos los puntos denuestro planeta. Esto hace que las
predicciones se vayan desviando con respecto al comportamiento real del sistema.
Lorenz intentó explicar esta idea mediante un ejemplo hipotético. Sugirió que imaginásemos a un meteorólogo que
hubiera conseguido hacer una predicción muy exacta del comportamiento de la atmósfera, mediante cálculos muy precisos
y a partir de datos muy exactos. Podría encontrarse una predicción totalmente errónea por no haber tenido en cuenta el
aleteo de una mariposa en el otro lado del planeta. Ese simple aleteo podríaintroducir perturbaciones en el sistema que
llevaran a la predicción de una tormenta.
De aquí surgió el nombre de efecto mariposa que, desde entonces, ha dado lugar a muchas variantes y recreaciones.
Se denomina, por tanto, efecto mariposa a la amplificación de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un
sistema complejo. En definitiva, el efecto mariposa es una de las características del comportamiento de un sistema caótico,
en el que las variables cambian de forma compleja y errática, haciendo imposible hacer predicciones más allá de un
determinado punto, que recibe el nombre de horizontede predicciones.

El segundo problema de Hilbert pretende probar la compatibilidad de los axiomas de la aritmética. Es decir partiendo de
ellos, un número finito de pasos lógicos, nunca puedeconducir a resultados contradictorios. El famoso teorema de Gödel,
establece que en cualquier sistema simbólico formal es posibleconstruir una proposición que no se puede probar ni refutar
en el mismo sistema.
El teorema de Gödel es equiparable por su importancia a la teoría de la relatividad de Albert Einstein, y es una de las
construcciones fundamentales de las matemáticas de todos los tiempos. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para
demostrar, sin lugar a dudas, que las matemáticas mismas son incompletas. En su artículo de 1931, Gödel demuestra que

en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuyaverdad o falsedad no
vamos a poder decidir, basándonos en la propialógica matemática del sistema. Antes de Gödel esto ni siquiera se
consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o bien era falso. A partir de Gödel
aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad.
El teorema de Gödel tiene que ver con enunciados que hacen referencia a sí mismos. Sócrates afirmaba, en su famosa
frase:” Yo sólo sé que no sé nada”. Se contradecía, al afirmar que sólo sabía una cosa y, al mismo tiempo, no sabía nada:
hacía referencia a sí mismo y ahí es donde residía su contradicción.
En 1931 Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25 años, publicó su famoso artículo” Sobre proposiciones
formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados” y desmontó, definitivamente, la soberbia
estructuramontada sobre la lógica matemática, que se suponía completa. Destrozó el programa planeado por Hilbert,
porquedemostró que cualquiera de estos sistemas matemáticos precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia
(finitos), siempre que sea lo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritméticas simples y siempre
qué esté libre de contradicción, debe contener algunos enunciados que no son demostrables ni indemostrables con los
medios permitidos dentro del sistema. Gödel demostró que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema
axiomático debe ser una de esas proposiciones indecidibles.
Gödel nos descubrió que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la
posibilidad, mediante intuición directa, de ir más allá de las limitaciones de cualquier sistema matemático formalizado.
Penrose utiliza el argumento de Gödel parademostrar el funcionamiento no algorítmico de la mente. El sistema
matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapaz por
principio de probar la verdad/falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin demasiada
dificultad. Un ordenador basado en la programación automática que conocemos, a base de algoritmos matemáticos, tiene
una limitación fundamental independiente de que el programa sea mejor o peor o que su memoria y capacidad de cálculo
sean de mayor o menor potencia.
Conclusiones:
En este mundo donde todo es el seguir esta o aquella doctrina, y todas ellas luchan
diciéndonos a todos que su teoría y lema son los verdaderos que rigen al mundo, donde
surgen tantos líderes y pensadores algunos buenos, otros malos pero nos vamos llenado de
diferentes pensamientos.
El principio del "determinismo" sostiene que todo lo que ha habido, hay y habrá, así como todo
lo que ha sucedido, sucede y sucederá, está fijado y establecido de antemano, y que no
puede suceder nada sin estar previamente fijado, condicionado o establecido.

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