1. Unidad
IV
–
El
riesgo
y
la
diversificación
de
las
inversiones
Portafolios
de
Inversión
de
dos
activos,
de
varios
activos
y
modelo
CAPM
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

2. Retorno
esperado
• Es
el
retorno
que
se
espera
de
una
acción
el
próximo
período.
Se
puede
aproximar
mediante
un
promedio
simple
si
no
se
tiene
la
distribución
de
probabilidad
• Se
denota
por:
E(Rt)
donde
Rt
es
el
retorno
de
un
activo
en
el
período
t
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

3. Varianza
y
desviación
estándar
• La
varianza
del
retorno
de
un
valor
es
una
medida
de
volatilidad.
La
desviación
estándar
es
la
raíz
cuadrada
de
la
varianza
• Se
denota
por:
V AR(Rt ) = E[(Rt E(Rt ))2 ]
• La
desviación
estándar
es
la
raíz
cuadrada
de
la
varianza
p
SD(Rt ) = V AR(Rt )
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

4. Covarianza
y
correlación
• La
covarianza
es
una
medida
de
interrelación
entre
dos
valores.
Esta
relación
se
puede
replantear
en
términos
de
correlación
• Se
denota
por:
COV (RAt , RBt ) = E[(RAt E(RAt ))(RBt E(RBt ))]
• La
correlación
está
dada
por:
COV (RAt , RBt )
⇢ = CORR(RAt , RBt ) = p
V AR(RAt )V AR(RBt )
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

5. Ejemplos
de
correlaciones
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

6. Portafolio
de
dos
activos
• Un
portafolio
es
una
canasta
de
valores.
Se
utiliza
para
diversificar
riesgos
• Retorno
esperado
E(Rp ) = XA E(RAt ) + XB E(RBt )
• Donde
XA
es
es
el
porcentaje
del
valor
de
A
en
el
portafolio,
y
de
manera
análoga
XB
XA + XB = 1
E(Rp ) = XA E(RAt ) + (1 XA )E(RBt )
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

7. Varianza
de
un
portafolio
• Medida
de
volatilidad
del
portafolio,
es
decir,
de
los
valores
globalmente
• Varianza
del
portafolio
V AR(Rp ) = XA V AR(RA ) + 2XA XB COV (RA , RB ) + XB V AR(RB )
2 2
• Desviación
estándar
del
portafolio
q
SD(Rp ) = V AR(Rp )
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

8. Efecto
de
la
diversificación
• Promedio
ponderado
de
las
desviaciones
estándar
XA SD(RA ) + XB SD(RB )
• Varianza
del
portafolio
en
términos
de
correlación
2 2
V AR(Rp ) = XA V AR(RA ) + 2XA XB ⇢SD(RA )SD(RB ) + XB V AR(RB )
• Si
ρ=1
V AR(Rp ) = (XA SD(RA ) + XB SD(RB ))2
• Es
igual
al
promedio
ponderado
SD(Rp ) = XA SD(RA ) + XB SD(RB )
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

9. Efecto
de
la
diversificación
• Mientras
𝜌<1,
la
desviación
estándar
de
un
portafolio
de
dos
valores
será
menor
que
el
promedio
ponderado
de
las
desviaciones
estándar
de
los
valores
individuales
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

10. La
combinación
eficiente
de
dos
activos
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

11. La
combinación
eficiente
de
dos
activos
• El
efecto
de
la
diversificación
ocurre
cuando
ρ<1
• La
línea
recta
representa
los
puntos
que
son
generados
cuando
ρ=1
• El
inversionista
tiene
la
opción
de
elegir
entre
los
puntos
de
una
misma
curva,
pero
no
puede
cambiar
de
curvas.
Estas
dependen
de
las
correlaciones.
• El
punto
MV
representa
el
portafolio
de
mínima
varianza
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

12. La
combinación
eficiente
de
dos
activos
• Un
inversionista
puede
elegir
puntos
sobre
la
curva
pero
no
por
encima.
• Entre
el
punto
B
y
el
MV
se
nota
que
el
retorno
aumenta
y
la
desviación
estándar
disminuye.
Este
se
debe
a
la
diversificación,
como
la
correlación
es
negativa
cuando
se
agregan
valores
de
A
al
portafolio
esto
hace
reducir
la
desviación
estándar.
• Ningún
inversionista
tendría
un
portafolio
por
debajo
del
punto
MV
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

13. Portafolio
de
Mínima
Varianza
• Este
es
el
portafolio
con
menor
riesgo
que
dadas
las
varianzas
y
covarianzas
entre
los
activos
de
un
portafolio
se
puede
obtener
• Para
el
caso
de
un
portafolio
con
dos
activos
se
puede
obtener
la
ponderación
para
el
primer
activo
con
la
siguiente
fórmula:
⇤ V AR(RB ) COV (RA , RB )
XA =
V AR(RA ) 2COV (RA , RB ) + V AR(RB )
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

14. Aproximación matricial
Aproximación
matricial
A B
A 𝑋 𝑉𝐴𝑅(𝑅 ) 𝑋 𝑋 𝐶𝑂𝑉 𝑅 , 𝑅
B 𝑋 𝑋 𝐶𝑂𝑉 𝑅 , 𝑅 𝑋 𝑉𝐴𝑅(𝑅 )
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

15. Diversificación
• Si
se
asume
lo
siguiente:
– Todos
los
valores
tienen
la
misma
varianza
– Todas
las
covarianzas
son
iguales
– Todos
los
valores
tienen
igual
peso
en
el
portafolio
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

16. Diversificación
(Continuación
• Varianza
del
portafolio
• Varianza
del
portafolio
cuando
N
tiende
a
infinito
es
igual
a
COV
N ! 1 ) V AR(Rp ) = COV
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

17. Gráfico
de
diversificación
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

18. Riesgo
de
un
valor
Riesgo
no
Riesgo
de
un
Riesgo
del
sistemático
o
valor
individual
portafolio
diversificable
​ 𝑉 𝐴𝑅
=
​ 𝐶 𝑂𝑉
+
El
riesgo
del
portafolio
también
es
llamado
riesgo
sistémico
porque
no
se
puede
deshacer
de
éste.
Sin
embargo
el
riesgo
no
sistemático
(la
diferencia)
sí
se
puede
diversificar.
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

19. Ejercicio
• Se
tienen
las
siguientes
dos
empresas
con
los
respectivos
retornos
para
los
diferentes
estados
de
la
economía
• Calcular
medidas
estadísticas
para
los
valores,
retorno
y
varianza
de
portafolio
para
XA=0.6.
Calcular
las
ponderaciones
del
portafolio
de
equilibrio
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

20. PORTAFOLIOS
DE
MÁS
DE
DOS
ACTIVOS
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

21. Portafolios
de
Varios
activos
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

22. Portafolio
con
activos
sin
riesgos
• Un
inversionista
puede
combinar
en
su
portafolio
activos
sin
riesgos
con
activos
riesgosos.
• También
puede
decidir
invertir
todo
su
dinero,
o
incluso
prestar
a
una
tasa
de
interés
sin
riesgo
para
invertir
más.
• El
retorno
esperado
es
el
promedio
ponderado
de
los
retornos
del
activo
con
riesgo
y
el
activo
sin
riesgo
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

23. Activos
sin
riesgos
• La
varianza
dada
por
2 2
V AR(Rp ) = XA V AR(RA ) + 2XA XB COV (RA , RB ) + XB V AR(RB )
• Como
el
activo
B
no
tiene
riesgo
tenemos
2
V AR(Rp ) = XA V AR(RA )
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

24. Combinaciones
de
portafolio
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

25. El
portafolio
óptimo
• El
inversor
en
la
práctica
lo
que
hace
es
combinar
un
activo
sin
riesgo
con
un
portafolio
de
activos
riesgosos.
• En
el
gráfico
se
combina
la
línea
recta
que
representa
la
combinanción
de
un
activo
sin
riesgo
con
otros
riesgosos
y
la
región
que
representa
un
portafolio
de
varios
activos.
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

26. El
portafolio
óptimo
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

27. El
portafolio
óptimo
• La
recta
II
es
tangente
a
la
curva
en
el
punto
A.
• La
recta
II
es
más
eficiente
que
la
recta
I
porque
se
pueden
conseguir
mayores
retornos
esperados
a
una
misma
desviación
estándar.
• El
segmento
de
la
la
recta
II
de
a
A,
son
las
combinaciones
del
portafolio
A
con
el
activo
a
la
tasa
de
interés
sin
riesgo.
• El
segmento
de
la
recta
II
de
A
en
adelante
es
cuando
se
presta
para
adquirir
más
acciones
del
portafolio
A.
• El
portafolio
A
es
el
óptimo
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

28. Principio
de
Separación
• La
decisión
de
un
inversionista
consiste
en
dos
pasos
separados:
– El
inversionista
calcula
el
punto
A.
Este
punto
está
determinado
por
las
características
de
los
activos,
como
retorno
esperados,
varianzas
y
covarianzas
– El
inversionista
determina
cuanto
ha
de
combinar
del
portafolio
A
con
el
activo
sin
riesgo,
o
alternativamente,
si
desea
prestar
dinero
para
invertir
más
en
el
portafolio
A
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

29. Portafolio
de
equilibrio
de
Mercado
• El
supuesto
de
expectativas
homogeneas
significa
que
todos
los
inversionistas
poseen
los
mismos
estimados
de
retornos
esperados,
varianzas
y
covarianzas.
• Bajo
este
supuesto,
todos
los
inversionistas
tendrían
el
portafolio
de
activos
riesgosos
representados
por
A.
• El
portafolio
de
mercado
es
el
portafolio
con
todos
los
activos
que
existen
con
sus
respectivas
ponderaciones
de
mercado.
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

30. Portafolio
de
equilibrio
de
Mercado
• En
la
práctica
muchos
economistas
usan
indíces
que
abarcan
muchas
acciones
como
el
Standard
&
Poor
500.
• En
la
práctica
no
todos
los
inversionistas
poseen
el
mismo
portafolio,
pero
están
bien
diversificados,
así
que
un
índice
como
el
S&P
500
es
una
buena
variable
proxy.
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

31. Definición
del
riesgo
cuando
se
posee
un
portafolio
de
mercado
(Beta)
• Cuando
se
tiene
un
portafolio
bien
diversificado
que
se
aproxima
al
rendimiento
del
mercado,
la
mejor
medida
de
riesgo
es
el
beta
del
activo
• El
beta
es
igual
a
la
pendiente
del
modelo
de
regresión
donde
se
tiene
el
retorno
de
un
valor
como
variable
dependiente
y
el
retorno
del
portafolio
de
mercado
como
variable
explicativa
Ri = ↵ + i Rm +"
COV (Ri , Rm )
i =
V AR(Rm )
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

32. Beta
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

33. Beta
• El
Beta
mide
la
respuesta
de
un
activo
a
los
movimientos
del
portafolio
de
mercado.
• Por
ejemplo,
si
el
beta
de
eBay
es
de
2.06,
quiere
decir
que
si
el
portafolio
de
mercado
tiene
un
aumento
en
el
retorno
de
1%,
Ebay
tendrá
un
retorno
mayor
en
2.06%
y
al
contrario.
Por
esto,
las
acciones
en
Ebay
son
riesgosas.
• El
Beta
es
la
medida
de
riesgo
de
un
activo
que
se
tiene
en
un
portafolio
bien
diversificado
• El
Beta
de
un
portafolio
es
igual
al
promedio
ponderado
de
los
betas
de
sus
activos
• El
Beta
de
un
portafolio
de
mercado
es
1
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

34. Ejemplos
de
Beta
Compañía
Beta
Apple
0.66
Facebook
1.918
Ebay
0.86
Coca-­‐Cola
0.37
AIG
1.68
Walt
Disney
1.09
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

35. MODELO
DE
VALUACIÓN
DE
ACTIVOS
DE
CAPITAL
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

36. Preliminares
• El
retorno
de
un
valor
está
relacionado
positivamente
con
su
riesgo
que
está
representado
por
su
beta
• El
retorno
de
mercado
es
igual
a
la
suma
de
la
tasa
de
interés
libre
de
riesgo
(retorno
libre
de
riesgo)
más
una
prima
de
riesgo
Rm = Rf + P rima de riesgo
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

37. Capital
Asset
Pricing
Model
(CAPM)
R =
RF + ⇥ (RM RF )
Retorno
Tasa
libre
Beta
del
Prima
de
esperado
de
de
riesgo
activo
riesgo
un
valor
Esta
formula
implica
que
el
valor
esperado
de
un
activo
está
relacionado
linealmente
y
positivamente
con
su
beta.
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

38. Casos
especiales
del
CAPM
• Cuando
β=0,
se
tiene
que
R=Rf.
Es
decir,
como
el
valor
no
tiene
riesgo
(por
el
beta
nulo),
su
retorno
esperado
va
a
ser
igual
al
retorno
de
un
activo
libre
de
riesgo.
• Cuando
β=1,
se
tiene
que
R=Rm.
Esto
significa
que
como
el
valor
se
mueve
junto
con
el
mercado
(tiene
el
mismo
riesgo),
el
retorno
va
a
ser
igual
al
retorno
de
mercado
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

39. CAPM
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano

40. Ejercicio
• Las
acciones
de
Aardwark
tienen
un
beta
de
1.5,
y
las
de
Zebra
tienen
un
beta
de
0.7.
La
tasa
libre
de
riesgo
es
de
3%
y
la
diferencia
entre
el
retorno
esperado
del
mercado
y
la
tasa
libre
de
riesgo
es
de
8%.
Calcular
los
retornos
esperados
de
los
dos
tipos
de
acciones.
• Un
portafolio
está
conformado
por
un
activo
libre
de
riesgo
y
dos
acciones,
cada
una
con
un
beta
de
1.3
y
0.85,
respectivamente.
Si
el
retorno
esperado
de
mercado
es
11.5%
y
la
prima
de
riesgo
es
6.5%,
Cuánto
es
el
retorno
esperado
del
portafolio?
I cuatrimestre 2013
Elaborado por: José David Solórzano