Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría del consumidor racional. Explica las propiedades de las preferencias racionales como la completitud y transitividad. Introduce la noción de utilidad para ordenar las preferencias de un individuo. Muestra cómo se representan gráficamente las curvas de indiferencia y la relación marginal de sustitución. Finalmente, analiza cómo un consumidor maximiza su utilidad sujeto a una restricción presupuestaria mediante las condiciones de primer y segundo orden.

1. Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Econom´ General
ıa
Teor´ del Consumidor
ıa
Jos´ David Sol´rzano
e
o
Octubre 2013
III Cuatrimestre 2013

2. Axiomas de decisiones racionales
Propiedades del comportamiento racional
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Cuando un individuo afirma que “A es preferido a B” se entiende que
se siente mejor con la situaci´n A que en la situaci´n B. La relaci´n
o
o
o
de preferencia tiene las siguientes propiedades:
Completitud: Si A y B son dos situaciones cualesquiera, el individuo siempre puede elegir entre las posibilidades:
1
2
3
A es preferido a B
B es preferido a A
A y B son igualmente preferidos
Transitividad: Si el individuo afirma que A es preferido a B y B es
preferido a C, entonces A es preferido a C.
Continuidad: Si un individuo afirma que “A es preferido a B”
entonces tambi´n “Cercano a A es preferido a B”
e
III Cuatrimestre 2013

3. Utilidad
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Dados los axiomas de elecciones racionales es posible ordenar todas las situaciones de la menos a la m´s deseable.
a
A este ordenamiento Jeremy Bentham le llam´ utilidad.
o
Las situaciones m´s deseables ofrecen mayor utilidad que las mea
nos deseables.
Si A es preferido a B entonces U(A) > U(B)
Aunque a la utilidad se le puede asignar un valor num´rico, ese
e
valor no tiene ning´n significado ni es comparable a trav´s de
u
e
diferentes individuos. S´lo se utiliza para comparar situaciones
o
del mismo individuo
Es como un ranking de una pel´
ıcula
III Cuatrimestre 2013

4. Utilidad
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La funci´n de utilidad puede representarse de la siguiente manera:
o
Utilidad = U(x1 , x2 , . . . , xn ; otras cosas)
donde xi se refiere a las cantidades consumidas de diferentes bienes. Otras cosas son los otros factores que tambi´n afectan la
e
utilidad (por ejemplo, el clima)
Se centra la atenci´n en el consumo de bienes y por tanto se
o
puede obviar las “otras cosas” asumiendo ceteris paribus
Utilidad = U(x1 , x2 , . . . , xn )
III Cuatrimestre 2013

5. Bienes econ´micos
o
M´s es mejor
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Se asume que un consumo mayor de un bien es preferido a menos
consumo
Esto se puede observar en la siguiente figura
III Cuatrimestre 2013

6. Curvas de indiferencia
Combinaciones de bienes con la misma utilidad
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Una curva de indiferencia es el conjunto de cestas de consumo en
el que el individuo es indiferente, es decir, que generan el mismo
nivel de utilidad.
III Cuatrimestre 2013

7. Relaci´n marginal de sustituci´n
o
o
RMS
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
El negativo de la pendiente de una curva de indiferencia en un
punto se llama relaci´n marginal de sustituci´n (RMS), es decir:
o
o
RMS = −
dy
dx
U=Ui
La relaci´n marginal de sustituci´n indica acerca del intercambio
o
o
que har´ una persona del bien x por el bien y para mantenerse
ıa
con el mismo nivel de utilidad
Esta relaci´n var´ a lo largo de la curva (la pendiente se hace cada
o
ıa
vez menor en t´rminos absolutos), lo que muestra que mientras
e
m´s se tiene de un bien menos se est´ dispuesto a ofrecer por una
a
a
unidad m´s
a
III Cuatrimestre 2013

8. Mapa de Curvas de indiferencias
Curvas de nivel de una funci´n de dos variables
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Se pueden graficar varias curvas de indiferencia en un mismo plano
Cada curva de nivel representa diferentes niveles de utilidad, mientras m´s alejadas est´n del origen mayor es la utilidad
a
e
III Cuatrimestre 2013

9. Convexidad
Balance en el consumo
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Un conjunto de puntos se dice convexo si dos puntos cualesquiera
se pueden unir por un segmento de recta que est´ contenido en
e
el conjunto
La convexidad es equivalente a la propiedad de una RMS decreciente
Si la curva de indiferencia es estrictamente convexa la combinaci´n (x1 +x2 ) y (y1 +y2 ) son preferidos a las combinaciones iniciales.
o
2
2
Esto significa que un consumo balanceado es preferido a consumo
de canastas de bienes con mucho de un producto
III Cuatrimestre 2013

10. Convexidad
Gr´fica
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
III Cuatrimestre 2013

11. Derivaci´n matem´tica de la RMS
o
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Si la utilidad de una persona en est´ representada por U(x,y),
a
entonces:
∂U
∂U
dU =
dx +
dy
∂x
∂y
En una curva de indiferencia particular dU = 0, entonces:
RMS = −
dy
dx
=
U=cte
∂U/∂x
∂U/∂y
Esto quiere decir que la RMS de x por y es la raz´n de la utilidad
o
marginal de x entre la utilidad marginal de y
III Cuatrimestre 2013

12. Funciones de Utilidad
Funciones que expresan diferentes preferncias
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Cobb-Douglas:
U(x, y ) = x α y β
Los valores de α y β indican la importancia relativa de los bienes
para el individuo. Usualmente se normaliza α + β = 1
Sustitutos perfectos
U(x, y ) = αx + βy
Esta relaci´n lineal que tiene una RMS constante indica que la
o
persona est´ dispuesta a cambiar la misma cantidad de un bien
a
por otro
III Cuatrimestre 2013

13. Funciones de Utilidad
Funciones que expresan diferentes preferncias
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Complementos perfectos:
U(x, y ) = m´ (αx, βy )
ın
En este caso α y β son par´metros positivos. Esta funci´n india
o
ca que se requiere una proporci´n exacta de los dos bienes para
o
consumir, no se puede consumir m´s de uno y aumentar la utilidad
a
CES
U(x, y ) =
xδ
yδ
+
δ
δ
para δ ≤ 1, δ = 0 y
U(x, y ) = ln x + ln y
cuando δ = 0 Esta funci´n es una generalizaci´n de los casos
o
o
anteriores, lo que hace probar casos que est´n entre esos
e
III Cuatrimestre 2013

14. Funciones de Utilidad
Gr´ficas
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
III Cuatrimestre 2013

15. El caso de muchos bienes
Generalizaci´n del caso de dos bienes
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La utilidad est´ en funci´n de n bienes:
a
o
Utilidad = U(x1 , x2 , ..., xn )
El diferencial total de esta expresi´n es
o
∂U
∂U
∂U
dU =
dx1 +
dx2 + . . . +
dxn
∂x1
∂x2
∂xn
Como antes, sabemos que dU = 0, y manteniendo constante las
cantidades diferentes a solo dos tenemos:
∂U
∂U
dU = 0 =
dxi +
dxj
∂xi
∂xj
Por lo tanto
RMS(xi por xj ) = −
III Cuatrimestre 2013
∂U/∂xi
dxj
=
dxi
∂U/∂xj

16. Maximizaci´n de utilidad
o
Cr´
ıtica a la teor´ de la elecci´n
ıa
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
El modelo del comportamiento del consumidor asume que est´ lia
mitado por su poder adquisitivo y busca maximizar su utilidad. Se
basa en los axiomas de elecci´n
o
Aunque el consumidor en la realidad no conozca sus funciones de
utilidad, de manera subjetiva si optimiza su utilidad tomando en
cuenta su restricci´n presupuestaria
o
El altruismo tambi´n provee utilidad
e
III Cuatrimestre 2013

17. Maximizaci´n de utilidad
o
Principio de Optimizaci´n
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Principio de optimizaci´n
o
Para maximizar la utilidad, dada una cantidad de renta fija disponible
para gastar, un individuo comprar´ las cantidades de bienes que agoten
a
su renta total y para las que la relaci´n de intercambio ps´
o
ıquica entre
dos bienes cualquiera (RMS) sea igual a la tasa a la que se puede
intercambiar esos bienes entre s´ en el mercado.
ı
Como no hay saciedad, es l´gico que se exija gastar toda la renta
o
para maximizar la utilidad
La tasa a la que se cambia un bien por el otro en el mercado viene
dada por el cociente de sus precios
III Cuatrimestre 2013

18. Restricci´n presupuestaria
o
An´lisis gr´fico
a
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
El individuo tiene que asignar I unidades monetarias entre el bien
x y el bien y . Si px y py son sus precios, entonces:
px x + py y ≤ I
Un individuo solo puede elegir combinaciones en el ´rea sombreada
a
La pendiente de esa recta es −px /py
III Cuatrimestre 2013

19. Condiciones de primer orden
Punto ´ptimo
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Si solo se puede elegir las cesta de bienes que est´n en el ´rea
a
a
definida por la restricci´n presupuestaria se desea elegir la cesta
o
que brinda la mayor utilidad posible
Las curvas de utilidad mientras m´s largo est´n del origen mayor
a
a
utilidad representa
Por estas dos razones el punto que se debe elegir es en el cual la
curva de indiferencia sea tangente con la restricci´n presupuestaria
o
La pendiente de la restricci´n presupuestaria debe ser igual a la
o
pendiente de la curva de indiferencia
−
px
dy
=−
py
dx
III Cuatrimestre 2013
dy
px
=
py
dx
U=cte
= RMS(de x por y )
U=cte

20. Condiciones de primer orden
An´lisis gr´fico
a
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
III Cuatrimestre 2013

21. Condiciones de segundo orden
Necesidad de la convexidad
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La condici´n de tangencia es condici´n necesaria pero no sufio
o
ciente. Se puede dar el caso que se cumpla la condici´n de primer
o
orden pero no se alcance la utilidad m´xima como se muestra en
a
el siguiente gr´fico
a
Por tanto se debe de suponer cuasi concavidad de las curvas de
indiferencia, es decir, que la RMS sea decreciente, para que la
tangencia sea una condici´n suficiente
o
III Cuatrimestre 2013

22. El caso de n bienes
Derivaci´n matem´tica
o
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Con n bienes el objetivo del individuo es maximizar la utilidad que
generan estos bienes:
Utilidad = U(x1 , x2 , . . . , xn )
Sujeto a la restricci´n presupuestaria:
o
I = p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn
o
I − p1 x1 − p2 x2 − · · · − pn xn = 0
III Cuatrimestre 2013

23. Condiciones de primer orden
El Lagragiano
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Para realizar la optimizaci´n anterior se plantea el Lagrangiano
o
L = U(x1 , x2 , . . . , xn ) + λ(I − p1 x1 − p2 x2 − . . . − pn xn )
Derivando e igualando a cero:
∂L
∂U
=
− λp1 = 0
∂x1
∂x1
∂U
∂L
=
− λp2 = 0
∂x2
∂x2
.
.
.
∂L
∂U
=
− λpn = 0
∂xn
∂xn
∂L
= I − p1 x1 − p2 x2 − · · · − pn xn = 0
∂λ
Estas n + 1 ecuaciones se puede resolver para obtener los valores
o
´ptimos de x1 , x2 , . . . , xn y para λ
III Cuatrimestre 2013

24. Condiciones de primer orden
Implicaciones
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Reescribimos los resultados de la optimizaci´n anterior para dos
o
bienes cualesquiera xi y xj ,
pi
∂U/∂xi
=
∂U/∂xj
pj
Pero sabemos que el cociente de las utilidades marginales de dos
bienes es igual a la RMS entre ambos, por tanto
pi
RMS(xi por xj ) =
pj
Este es el mismo resultado derivado de forma gr´fica para el caso
a
de dos bienes
III Cuatrimestre 2013

25. Multiplicador de Lagrange
Interpretaci´n
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Otra manera que se puede reescribir las soluciones ´ptimas del
o
problema planteado es la siguiente
∂U/∂x2
∂U/∂xn
∂U/∂x1
=
= ... =
p1
p2
pn
o lo que es lo mismo
UMx1
UMx2
UMxn
λ=
=
= ... =
p1
p2
pn
Estas ecuaciones indican que cada bien adquirido debe ofrecer la
misma cantidad marginal por dolar gastado en ese bien
λ=
Si no se cumpliera esta condici´n, se puede asignar un mayor
o
monto gastado al bien que brinde el m´s alto cociente
a
III Cuatrimestre 2013

26. Multiplicador de Lagrange
Interpretaci´n
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La ecuaci´n anterior plantea que un d´lar adicional deber´ ofrecer
o
o
ıa
la misma utilidad marginal independientemente en qu´ bien se
e
gaste
Se puede considerar λ como la utilidad marginal de un d´lar adio
cional en consumo (la utilidad marginal de la renta)
Si reescribimos de otra manera los resultados
UMxi
pi =
λ
lo que afirma que el precio de cada bien que compra el individuo representa su evaluaci´n de la utilidad de la ultima unidad
o
´
consumida
III Cuatrimestre 2013

27. Funci´n de utilidad indirecta
o
V (p1 , p2 , . . . , pn , I )
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Los valores obtenidos de la optimizaci´n por lo general dependen
o
de los precios de todos los bienes y la renta del individuo (Estas
son funciones de demanda)
∗
x1 = x1 (p1 , p2 , . . . , pn , I )
∗
x2 = x2 (p1 , p2 , . . . , pn , I )
.
.
.
∗
xn = xn (p1 , p2 , . . . , pn , I )
Si sustituimos estos valores en la funci´n de utilidad, obtenemos
o
∗ ∗
∗
Utilidad m´xima = U(x1 , x2 , . . . , xn )
a
= V (p1 , p2 , . . . , pn , I )
La funci´n de utilidad indirecta V indica que la utilidad de un
o
individuo depende indirectamente de los precios de los bienes y
del ingreso
III Cuatrimestre 2013

28. El principio de grandes cantidades
Intuici´n
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Ilustra la superioridad en los impuestos al ingreso de las personas
sobre los impuestos a un bien espec´
ıfico
Este resultado se deriva del hecho que un impuesto a la renta deja
la libertad individual de decidir como asignar sus recursos
Los impuestos cambian el poder adquisitivo de la persona y distorsionan sus decisiones porque se crean precios artificiales
III Cuatrimestre 2013

29. El principio de grandes cantidades
Gr´fico
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Gr´ficamente se tiene que con el impuesto sobre el producto se
a
cambia la pendiente de la restricci´n presupuestaria (raz´n de
o
o
precios) y con el impuesto sobre la renta se desplaza hacia la
izquierda
III Cuatrimestre 2013

30. Minimizaci´n del gasto
o
Problema dual de la Maximizaci´n de utilidad
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Para el problema primal de la maximizaci´n de la utilidad sujeto
o
a la restricci´n presupuestaria se tiene asociado el problema dual
o
de la minimizaci´n del gasto sujeto a alcanzar determinado nivel
o
de utilidad
Los dos problemas son equivalentes en el sentido que da los mismos valores ´ptimos de x1 , x2 , ..., xn
o
Algunas veces este enfoque del problema es m´s util porque los
a ´
gastos son directamente observable, mientras que la utilidad no
lo es
III Cuatrimestre 2013

31. Minimizaci´n del gasto
o
Gr´fico
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Para resolver el problema dual se debe de alcanzar la curva de
utilidad con la recta presupuestaria m´s cerca al origen
a
III Cuatrimestre 2013

32. Minimizaci´n del gasto
o
Planteamiento matem´tico
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Formalmente el problema se puede plantear como la minimizaci´n
o
de
gasto total = E = p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn
sujeto a la restricci´n
o
¯
utilidad = U = U(x1 , x2 , ..., xn )
Los valores ´ptimos van a depender de los precios y del nivel de
o
utilidad requerida. Esta dependencia se resume en la funci´n de
o
gasto
La funci´n de gasto muestra el gasto m´
o
ınimo necesario para alcanzar un determinado nivel de utilidad para un determinado conjunto
de precios
gasto m´
ınimo = E (p1 , p2 , ..., pn , U)
Esta es la funci´n inversa de la funci´n de utilidad indirecta
o
o
III Cuatrimestre 2013

33. Funciones de demanda
Derivadas del problema primal del consumidor
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Las funciones de demanda fueron las obtenidas como soluci´n del
o
problema primal del consumidor
Al resolver la maximizaci´n con restricciones se tiene:
o
∗
x1 = x1 (p1 , p2 , . . . , pn , I )
∗
x2 = x2 (p1 , p2 , . . . , pn , I )
.
.
.
∗
xn = xn (p1 , p2 , . . . , pn , I )
Ahora analizaremos que ocurre cuando cambia el ingreso o cuando
cambia el precio de un bien
III Cuatrimestre 2013

34. Variaciones de la renta
∂x
∂I
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
A medida que aumenta la renta la cantidad de cada bien comprado
tambi´n incrementa
e
Como la raz´n py permanece constante, lo que pasa es que la reso px
tricci´n presupuestaria se desplaza paralelamente hacia la derecha
o
III Cuatrimestre 2013

35. Bienes normales e inferiores
Variaciones en la renta
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
En la figura anterior tanto ∂x/∂I y ∂y /∂I son positivas. Este es
el caso de los bienes normales
Si se tiene que ∂z/∂I es negativo entonces tenemos un bien inferior
III Cuatrimestre 2013

36. Cambios en el precio del bien
∂x
∂px
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
El efecto de un cambio del precio de un bien en la cantidad demanda es m´s complejo de analizar que el efecto de la renta
a
Geom´tricamente es porque un cambio en el precio hace variar no
e
s´lo el intercepto de la restricci´n presupuestaria pero tambi´n su
o
o
e
pendiente
Por lo tanto, moverse a la nueva opci´n mazimizadora implica no
o
solo un movimiento de la curva de indiferencia, sino tambi´n una
e
alteraci´n de la RMS
o
Cuando cambia el precio de un bien entran en juego dos efectos:
el efecto sustituci´n y el efecto renta
o
III Cuatrimestre 2013

37. Cambios en el precio del bien
Gr´fico
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La figura ilustra los dos efectos que suceden cuando hay una disminuci´n del precio del bien x
o
III Cuatrimestre 2013

38. Cambios en el precio del bien
Anal´
ıticamente
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
1
Se tiene una recta presupuestaria I = px x + py Y . Y ahora su2
pongamos que el precio baja a px ,as´ que se tiene la nueva recta
ı
2
presupuestaria I = px x + py Y
El movimiento a un nuevo punto optimo se puede descomponer
en dos movimientos
El primero se debe al cambio de la pendiente, al disminuir px
se vuelve menos inclinada negativamente la recta presupuestaria,
as´ que se mueve sobre la misma curva de indiferencia hacia un
ı
nuevo punto donde consume m´s de x. Este es el efecto sustitua
ci´n.
o
Despues ocurre lo mismo que pasaba cuando variaba la renta, la
persona ahora tiene mayor renta real y puede obtener una utilidad
mayor desplazando hacia la derecha. Este es el efecto renta.
III Cuatrimestre 2013

39. Cambios en el precio del bien
Gr´fico
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La figura ilustra los dos efectos que suceden cuando hay un aumento del precio del bien x
III Cuatrimestre 2013

40. Cambio de precios de un bien inferior
Efecto renta y efecto sustituci´n contrarios
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Para el caso de bienes inferiores el efecto renta y el efecto sustituci´n act´an en direcci´n contraria
o
u
o
Una disminuci´n en el precio provocar´ que por el efecto sustituo
a
ci´n el individuo consuma m´s del producto, pero por el efecto
o
a
renta el individuo va a consumir menos del producto
Por lo tanto, el resultado est´ indeterminado y va a depender de
a
la magnitud de los dos efectos
Si el efecto ingreso es mayor que el efecto sustituci´n, resulo
tar´ que a mayor precio la cantidad consumida ser´ mayor. Esta
a
a
es la paradoja de Giffen.
III Cuatrimestre 2013

41. Curvas de demanda
Descripci´n
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Asumiendo que solo se tienen dos bienes, la curva de demanda
est´ dada por
a
x ∗ = x(px , py , I )
Si mantenemos constante py e I . Esto para poder graficar en el
plano cartesiano
x ∗ = x(px , py , I )
¯ ¯
El gr´fico muestra las cantidades maximizadoras de utilidad de x
a
e y a medida que se bajan los precios de x manteniendo constante
lo dem´s
a
Asumimos que no son bienes Giffen
III Cuatrimestre 2013

42. Curvas de demanda
Gr´fico
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La curva de demanda se construye a partir de las curvas de indiferencias al variar los precios
III Cuatrimestre 2013

43. Curva de demanda compensada
Demandas hicksianas
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
En la figura anterior, el nivel de utilidad var´ a medida que el
ıa
precio cambia
Esto ocurre porque la curva de demanda se construye manteniendo
constante el ingreso nominal, por lo que una disminuci´n en el
o
precio hace aumentar el poder adquisitivo
Una manera alternativa de construir curvas de demanda puede ser
manteniendo el ingreso real constante (o Utilidad)
En este caso al aumentar el precio de un bien, para mantenerse en
el mismo nivel de utilidad, al individuo se le tiene que compensar
en su ingreso nominal
Una curva de demanda compensada muestra la relaci´n entre el
o
precio de un bien y la cantidad consumida asumiendo que los otros
precios y la utilidad permanecen constantes. Tambi´n se le llama
e
curva de demanda hicksiana
III Cuatrimestre 2013

44. Curva de demanda compensada
Gr´fica
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La demanda hicksiana se puede representa por
x = x c (px , py , U)
¯ ¯
III Cuatrimestre 2013

45. Relaci´n entre las curvas de demandas
o
compensadas y no compensadas
Demandas marshallianas vs demandas hicksianas
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
A un precio determinado las demandas son iguales porque el ingreso nominal es igual al ingreso real, es decir, con el ingreso nominal
se puede alcanzar el nivel de utilidad de la demanda compensada
Para precios menores que ´ste la demanda compensada es mee
nor que la demanda no compensada porque se reduce el ingreso
nominal para mantener el mismo nivel de utilidad
Para precios mayores la demanda compensada es mayor que la
demanda no compensada porque se compensa el ingreso nominal
para mantener el mismo nivel de utilidad
Para cuestiones pr´cticas se usan m´s las demanda marshallianas
a
a
porque los datos son observables, pero para cuestiones te´rica las
o
demandas hicksianas son muy utiles
´
III Cuatrimestre 2013

46. Relaci´n entre las curvas de demandas
o
compensadas y no compensadas
Gr´fico
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La demanda compensada es menos sensible al precio que la demanda no compensada
III Cuatrimestre 2013

47. Cambios en los precios
Derivaci´n matem´tica
o
a
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Partimos de la funci´n de gasto, que indica el gasto m´
o
ınimo para
obtener un nivel deseado de utilidad
gasto m´
ınimo = E (px , py , U)
Entonces, por definici´n
o
x c (px , py , U) = x[px , py , E (px , py , U)]
La demanda compensada se obtiene al introducir el nivel de gasto
en la funci´n de demanda marshalliana
o
Si derivamos parcialmente la ecuaci´n
o
c
∂x
∂x
∂x
∂E
=
+
×
∂px
∂px
∂E
∂px
reordenando se tiene
∂x
∂x c
∂x
∂E
=
−
×
∂px
∂px
∂E
∂px
El primer t´rmino de la expresi´n de la derecha indica el efecto
e
o
sustituci´n y el segundo el efecto ingreso
o
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48. La ecuaci´n de Slutsky
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La ecuaci´n anterior se puede reescribir sustituyendo
o
∂x
∂E
∂px |u=cte y ∂px por x.
∂x c
∂px
por
Esta ecuaci´n muestra que el efecto sustituci´n y renta provocao
o
das por un cambio de precio puede ser representado por
∂x
= efecto sustituci´n + efecto sustituci´n
o
o
∂px
∂x
∂x
=
∂px
∂px
−x
U=cte
∂x
∂I
La expresi´n del efecto sustituci´n ser´ negativo siempre que la
o
o
a
RMS sea decreciente
Si x es un bien normal entonces el segundo t´rmino es positivo.
e
En el caso del bien inferior, el t´rmino es negativo. Si este t´rmino
e
e
es suficientemente grande puede dar lugar a la paradoja de Giffen
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49. Identidad y Lemas
Obtenci´n de las demandas
o
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
La identidad de Roy sirve para obtener la demanda Marshalliana
a partir de la funci´n de utilidad indirecta
o
x(px , py , I ) = −
∂V /∂px
∂V /∂I
El lema de Sheppard sirve para obtener la demanda hicksiana a
partir de la funci´n de m´
o
ınimo gasto
∂E
x c (px , py , U) =
∂px
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50. Relaci´n entre los conceptos de demanda
o
Resumen
Econom´
ıa
General
Jos´ David
e
Sol´rzano
o
Problema primal
Maximizar U(x, y )
s.a. I = px x + py y
Utilidad indirecta
U ∗ = V (px , py , I )
Problema dual
Minimizar E (x, y )
¯
s.a. U = U(x, y )
Inversas
Gasto m´
ınimo
¯
E ∗ = E (px , py , U)
Identidad de Roy
Lema de Sheppard
Demanda marshalliana
x(px , py , I ) = − ∂V /∂px
∂V /∂I
Demanda hicksiana
∂E
x c (px , py , U) = ∂px
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