Analisis vectorial

Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
e

Tema 1: An´lisis Vectorial
a

1. Campos escalares y vectoriales: Campos escalares. Superficie equiescalar. Campos vecto-
riales. L´ıneas y tubos de campo.
2. Integrales sobre campos: De l´ ınea. Circulaciń. De superficie. Flujo. De volumen.
o
3. Gradiente: Derivada direccional. Definiciń de gradiente en coordenadas cartesianas. Inter-
o
pretaciń geom´trica y propiedades. Definiciń intr´
o e o ınseca. Componentes en distintos sistemas co-
ordenados.
4. Divergencia: Definiciń intr´
o ınseca. Expresiń en distintos sistemas coordenados. Interpretaciń
o o
f´
ısica. Teorema de la divergencia (Gauss-Ostrogradsky).
5. Rotacional: Definiciones intr´ ınsecas. Expresiń en distintos sistemas coordenados. Inter-
o
pretaciń f´
o ısica. Teorema de Stokes.
6. El operador nabla: Propiedades. Aplicaciń doble sobre campos. Aplicaciń sobre productos
o o
de campos.
7. Diadas: Definiciń y propiedades. Aplicaciones al c´lculo diferencial.
o a
8. Algunos teoremas integrales: Teoremas de Green. Teorema del gradiente. Otros teoremas.
´ o o e ´
9. Angulo s´lido: Definiciń y medida. Interpretaciń geom´trica. Angulo s´lido subtendido por
o o
una superficie cerrada.
10. Funciń δ de Dirac: Definiciń. Distribuciones. Propiedades. Funciń δ tridimensional. Apli-
o o o
caciones f´ ısicas.
11. Campos irrotacionales: definiciń y propiedades.
o
12. Campos solenoidales: definiciń y propiedades.
o
13. Campos armńicos: definiciń y propiedades.
o o
14. Teorema de Helmholtz: Enunciado y demostraciń. Fuentes escalares y vectoriales.
o

1.1. Campos escalares y vectoriales
• Se define campo escalar, ϕ(r), como una funciń de la posiciń que a cada punto del espacio
o o
asigna una magnitud escalar. La funciń debe ser monovaluada para que la magnitud pueda tener
o
significado f´
ısico.
Ejemplos de campos escalares son la presiń p, densidad ρ y temperatura T de un cuerpo,
o
definidas en el espacio tridimensional. Otro ejemplo, ahora en dos dimensiones, es el de la altitud
de un punto geogr´fico, h(x, y), respecto del nivel del mar.
a
Una representaciń muy util de un campo escalar se consigue mediante una familia de super-
o ´
ficies equiescalares, definidas como el lugar geom´trico de puntos que satisfacen la ecuaciń
e o
ϕ(x, y, z) = C, donde C es una constante que fija el valor considerado del campo escalar y que,
al variar, nos genera la familia. Un ejemplo de representaciń mediante una familia de superficies
o
equiescalares lo tenemos en los mapas topogr´ficos que incluyen l´
a ıneas de nivel, o altitud constante.
En este caso bidimensional las superficies se sustituyen por l´ıneas.
• Se define campo vectorial, F (r), como una funciń de la posiciń que a cada punto del espacio
o o

a 1

e

asigna una magnitud vectorial. La funciń debe ser tambiń monovaluada por la misma razń,
o e o
pero adem´s para que se trate de una magnitud vectorial debemos exigir que sus componentes se
a
transformen como las del vector de posiciń ante una transformaciń de coordenadas.
o o
El campo de velocidades de un fluido o el campo gravitatorio terrestre son campos vectoriales,
pero la terna de campos escalares (p, ρ, T ) no lo es.
Una forma habitual de representar un campo vectorial es mediante una familia de l´ ıneas de
campo, que se definen como aquellas curvas que cumplen la condiciń de ser tangentes al campo
o
en cada uno de sus puntos. Cada una de ellas se construye a partir de un punto inicial r0 mediante
la concatenaciń de vectores elementales dados por la expresiń Δri+1 = F (ri ), (i = 0, 1, . . .),
o o
donde el par´metro se hace tender a cero. Las ecuaciones que determinan este lugar geom´trico
a e
expresan simplemente la condiciń de paralelismo entre dr y F (r) en cada punto. En coordenadas
o
cartesianas,
dx dy dz
= = .
Fx Fy Fz

z
eF(r0) eF(rn-1)
r0 r1
rn

O
y

x

Tambiń resulta util a veces considerar el lugar geom´trico de l´
e ´ e ıneas de campo que se apoyan
en una curva cerrada dada, lo cual constituye una superficie que se denomina tubo de campo.
Un tubo de campo divide el espacio en dos regiones, una interior y otra exterior, de tal forma que
l´
ıneas de campo que pertenecen a una regiń no pueden pasar a la otra (de otra forma el campo
o
no ser´ monovaluado en el punto donde se produce la transiciń).
ıa o

1.2. Integrales sobre campos: circulaciń y flujo
o
Sobre campos escalares y vectoriales se pueden definir integrales de l´
ınea, de superficie y
de volumen. En particular conviene resaltar por su importancia la circulaciń de un campo
o
vectorial a lo largo de un camino y su flujo a trav´s de una superficie.
e
• Circulaciń: si γ representa una curva en el espacio que va del punto A al B, se denomina
o
circulaciń del campo F entre A y B a lo largo de γ a la expresiń
o o
B N
Γ= F · dr = l´
ım F (ri ) · Δri ,
A,γ N →∞
i=1

siendo Δri un elemento gen´rico de una particiń de la curva γ en N segmentos orientados.
e o
La curva γ puede ser conocida en funciń de un par´metro, γ : {r = r(t), t ∈ (tA , tB )}. En ese
o a
caso la integral de l´
ınea se reduce a una en t sustituyendo la dependencia r(t) en F (r) y escribiendo

a 2

e

dr = (dr/dt)dt (si la derivada existe):
tB dr
Γ= F (r(t)) · dt.
tA dt

Un ejemplo en el que interviene el concepto de circulaciń es el trabajo realizado por un campo
o
de fuerza sobre una part´
ıcula m´vil al describir una curva entre dos puntos.
o

Ejemplo: Dado el campo vectorial F = x2 ux + 2yzuy + y 3 uz , calc´ lese su circulaciń entre los puntos O(0, 0, 0) y
u o
P (1, 1, 1) a trav´s de dos caminos distintos: (a) la recta que pasa por ambos puntos, y (b) una par´bola contenida
e a
en un plano vertical con v´rtice en O.
e

z
P(1,1,1)

O
y
x

Una circulaciń elemental expresada en coordenadas cartesianas es dΓ = F · dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz. Debemos
o
parametrizar convenientemente ambos recorridos:
(a) La recta que une O y P cumple x = y = z y por tanto dx = dy = dz. Tomando x como par´metro de
a
1 2 2 3
integraciń podemos escribir Γ(a) = 0 (x dx + 2x dx + x dx) = 5/4.
o

(b) La par´bola vertical con v´rtice en O que pasa por P es la intersecciń del plano x = y y el paraboloide
a e o
z = (x2 + y 2 )/2. Tomando nuevamente x como par´metro de integraciń se tiene z = x2 , dy = dx y dz = 2xdx.
a o
Por tanto, dΓ = x2 dx + 2x3 dx + 2x4 dx y la integraciń en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 da Γ(b) = 37/30. El resultado
o
depende del camino de integraciń.
o

• Flujo: si S define una superficie en el espacio, se denomina flujo del campo vectorial F a trav´s
e
de la superficie S a la expresiń
o
N
Φ= F · dS = l´
ım F (ri ) · ΔSi ,
S N →∞
i=1

siendo ΔSi uno de los N elementos en que se divide la superficie S. El m´dulo de dS corresponde
o
al area del elemento de superficie y su direcciń es la normal en ese punto. Existen dos posibles
´ o
sentidos para el vector normal y debe ser especificado. Por ejemplo, si la superficie es cerrada el
sentido que se toma por convenciń para los elementos de superficie es el saliente del volumen
o
encerrado.
Si conocemos una parametrizaciń de la superficie del tipo S : {r = r(α, β), α ∈ (α1 , α2 ), β ∈
o
(β1 , β2 )}, podemos reducir la integral de superficie a dos integrales sucesivas en los dos par´metros,
a
α y β. Esto se consigue teniendo en cuenta que en cada punto podemos construir dos vectores,
drα = (∂r/∂α)dα y drβ = (∂r/∂β)dβ, en general no colineales y contenidos en la superficie. Su

a 3

e

producto vectorial en m´dulo nos da el area de un paralelogramo definido en la superficie, y su
o ´
direcciń es normal a ella (ver figura adjunta), por todo lo cual podemos escribir
o
∂r ∂r
dS = × dα dβ.
∂α ∂β

∂r dS(α,β)
dβ
∂β
∂r
dα
∂α
r(α,β)

α=cte
r(α+dα,β) β=cte
r(α,β+dβ)

Ejemplo: Evaluar el flujo del campo vectorial F = x2 ux + 2yzuy + y 3 uz a trav´s de una superficie plana triangular
e
cuyos v´rtices son los puntos P0 (1, 0, 0), P1 (0, 2, 0) y P2 (0, 0, 2), con una orientaciń de la superficie seg´ n un vector
e o u
que se aleja del origen.

z
dS(r)
P2
r
v2
P1
P0 y
v1
x

Un flujo elemental se puede escribir

dΦ = F · dS = Fx dSx + Fx dSx + Fy dSy + Fz dSz .

Necesitamos parametrizar la superficie triangular y conocer las componentes cartesianas del elemento de superficie.
La superficie puede describirse por la f´rmula
o

r(α, β) = r0 + αv1 + βv2 ,

donde r0 = OP0 = (1, 0, 0), v1 = P0 P1 = (−1, 2, 0) y v2 = P0 P2 = (−1, 0, 2). Los vectores v1 y v2 forman una
base (no ortogonal) del espacio vectorial bidimensional asociado al plano que contiene nuestra superficie triangular.
Los valores que toman los par´metros α y β estń comprendidos entre 0 y 1, pero adem´s sujetos a la restricciń
a a a o
ımites del trińgulo son: α = 0, 0 ≤ β ≤ 1
α ≤ 1−β. En efecto, en el espacio vectorial generado por la base v1 , v2 los l´ a
para el lado P0¯ 2 ; β = 0, 0 ≤ α ≤ 1 para el lado P0 P1 , y para el lado P1¯ 2 debemos imponer la condiciń
P ¯ P o

αv1 + βv2 = v1 + δ(v2 − v1 ),

con δ otro par´metro auxiliar que define la posiciń en dicho segmento. Igualando componentes en ambos miembros
a o
seg´ n la base elegida resulta α = 1 − δ; β = δ y por tanto los valores l´
u ımite cumplen α = 1 − β.
El siguiente paso es construir dS seg´ n la f´rmula dada.
u o

dS = v1 × v2 dαdβ = (4, 2, 2)dαdβ

a 4

e

A continuaciń debemos expresar las componentes cartesianas de F en funciń de α y β mediante las sustituciones
o o
(x, y, z) = (1, 0, 0) + α(−1, 2, 0) + β(−1, 0, 2). Finalmente se llega a una integral doble:
1 1−β
Φ= dβ dα 4(1 − α − β)2 + 2 · 2(2α)(2β) + 2(2β)3 = 9/5.
0 0

Un ejemplo f´ısico en el que se utiliza el concepto de flujo es el de una tuber´ por la que circula
ıa
un fluido. El caudal, o volumen de fluido que atraviesa una secciń de la tuber´ por unidad de
o ıa
tiempo, Δτ /Δt, se puede expresar como el flujo del campo de velocidades v(r) del fluido a trav´s e
de la secciń considerada S.
o

v Dt
dS dt

S

v(r)
En efecto, si fijamos un intervalo de tiempo Δt las part´
ıculas de fluido recorren una distancia vΔt,
donde v es la velocidad en un determinado punto. El volumen elemental de fluido que atraviesa
una superficie elemental dS tomada en un punto de la secciń durante ese intervalo de tiempo es
o

dτ = dSvΔt cos α,

donde α es el ńgulo que forman la base dS y la generatriz vΔt del cilindro inclinado que debemos
a
considerar. En la expresiń anterior podemos identificar el producto escalar dSv cos α = dS · v. Si
o
extendemos este c´lculo a toda la secciń obtenemos el volumen total de fluido que la atraviesa
a o
durante el intervalo Δt:
Δτ = Δt dS · v.
S
Dividiendo por el intervalo Δt encontramos en el primer miembro la definiciń de caudal y en el
o
segundo su expresiń en t´rminos de un flujo. Hay que sobreentender en la notaciń que, en la
o e o
integral, v · dS realmente significa v(r) · dS(r).
• Las integrales de volumen se definen de forma an´loga en el sentido de Riemann. Como ejemplo
a
consideramos un campo escalar integrado sobre un volumen τ :
N
ϕ dτ = l´
ım ϕ(ri )dτi ,
τ N →∞
i=1

donde dτi es un elemento de una particiń de τ en N vol´ menes elementales.
o u

a 5

e

Otras integrales posibles, cuyos significados son ahora evidentes, son
B B
|F | |dr|, ϕ dr, F dS, ϕ dS, etc,
A,γ A,γ S S

donde unas tienen carćter vectorial y otras escalar.
a

1.3. Gradiente
Se define la derivada direccional de un campo escalar ϕ(r) en la direcciń del unitario v como
o
el cociente incremental
dϕ ϕ(r + v) − ϕ(r) ϕ(x + vx , y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y, z)
= l´
ım = l´
ım ,
ds →0 →0

donde (vx , vy , vz ) son las componentes cartesianas de v.
La derivada direccional nos da la tasa de crecimiento en el valor de la magnitud ϕ por unidad
de longitud en una direcciń definida por v. La notaciń usada (derivaciń respecto del par´metro
o o o a
s) hace referencia justamente al arco elemental, ds ≡ |dr|, recorrido para hacer el c´lculo.
a
Podemos relacionar la derivada direccional con el concepto de derivada parcial, escribiendo

ϕ(x + vx , y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y, z) =
ϕ(x + vx , y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y + vy , z + vz ) +
ϕ(x, y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y, z + vz ) +
ϕ(x, y, z + vz ) − ϕ(x, y, z),

donde simplemente hemos sumado y restado al mismo tiempo t´rminos convenientes; con ello, al
e
dividir por , obtenemos de la primera diferencia la derivada parcial respecto de x, tras multiplicar
y dividir por vx y tomar l´
ımite:
ϕ(x + vx , y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y + vy , z + vz )
→
∂ϕ ∂ϕ
→ vx (x, y + vy , z + vz ) = vx (x, y, z).
∂x ∂x
Llevando a cabo operaciones similares con las otras dos diferencias se llega a
dϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
= vx + vy + vz ≡ v · grad ϕ,
ds ∂x ∂y ∂z
donde aparece la definiciń de gradiente del campo escalar en coordenadas cartesianas:
o
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
grad ϕ = ux + uy + uz .
∂x ∂y ∂z

El m´dulo de la derivada direccional se puede escribir |dϕ/ds| = |grad ϕ| cos α, con α definido
o
como el angulo que forma el gradiente con el unitario v. De aqu´ se deduce que el gradiente es un
´ ı
campo vectorial cuyo m´dulo nos da el valor m´ximo que puede tomar una derivada direccional en
o a
cada punto y cuya direcciń nos indica hacia dńde se produce la m´xima variaciń de la funciń
o o a o o
por unidad de longitud.

a 6

e

El gradiente en un punto es perpendicular a aquella superficie equiescalar que pase por dicho
punto. En efecto, si r0 pertenece a la superficie ϕ(r) = C, y pasamos a otro punto de esa superficie
que est´ infinitamente cercano mediante el desplazamiento dr = (dx, dy, dz), se tendr´
e a

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
dϕ = dx + dy + dz = dr · grad ϕ .
∂x ∂y ∂z
Por la propia definiciń de superficie equiescalar, dϕ = 0 en este caso, y se concluye que ambos
o
vectores son perpendiculares para cualquier desplazamiento elemental dr que se realice en el plano
tangente a la superficie en r0 .

Ejemplo: Encuńtrese un vector unitario normal a una superficie esf´rica de radio R.
e e
En general, si F (x, y, z) = 0 es la forma impl´
ıcita de expresar una superficie S y P (x0 , y0 , z0 ) pertenece a S,
grad F evaluado en P ser´ un vector normal a S en dicho punto. Si dividimos por el m´dulo tendremos el unitario
a o
pedido.

En el caso de la esfera se tiene F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − R2 , y grad F = 2xux + 2yuy + 2zuz . Dividiendo por
|grad F | = 2 x2 + y 2 + z 2 = 2R queda u = (xux + yuy + zuz )/R = r/R, es decir, un vector radial.

• Definiciń intr´
o ınseca de gradiente:
La representaciń anterior del gradiente est´ referida al sistema de coordenadas cartesianas. Una
o a
definiciń independiente del sistema de coordenadas utilizado es la siguiente:
o
1
grad ϕ(r) = l´
ım ϕ(r1 )dS(r1 ),
Δτ →0 Δτ SΔτ

siendo Δτ un volumen elemental que incluye al punto r y sobre cuya frontera (la superficie cerrada
denotada por SΔτ se realiza la integraciń.
o

z SDt Dt

r dS( r1 )
r1

y
x

En la figura se muestra (de manera exagerada) un recinto de integraciń y los distintos elementos
o
geom´tricos que intervienen en la definiciń.
e o
El l´
ımite debe existir independientemente de la forma que elijamos para el volumen Δτ . En
particular, si tomamos un volumen en forma de paralelep´ ıpedo con caras paralelas a los planos
coordenados y aristas de longitudes Δx, Δy y Δz respectivamente, podemos comprobar que la
definiciń intr´
o ınseca coincide con la dada originalmente, v´lida s´lo en cartesianas.
a o

a 7

e

Ejercicio: Compru´bese la afirmaciń anterior.
e o

dS(x ,y ,z )
0 0 0 Δz

r0(x ,y ,z ) dS(x +Δx,y ,z )
0 0 0
0 0 0
Δx
Δy

La definiciń intr´
o ınseca de gradiente, aplicada a un volumen como el de la figura, genera seis integrales de
superficie, una por cada cara del paralelep´ ıpedo. Consideraremos solamente dos de ellas, las sombreadas, que son
perpendiculares al eje Ox. El elemento de superficie de la de la derecha (S(x0 + 1 Δx)) es dS = dy dz ux , y su
2
opuesto le corresponde a la de la izquierda (S(x0 − 1 Δx)). Teniendo en cuenta que el volumen Δτ y las superficies
2
se harń arbitrariamente pequeõs en el paso al l´
a n ımite, podemos aproximar la integral de superficie por la funciń
o
evaluada en el punto medio multiplicada por el area de la superficie, es decir
´
Δx
ϕ(r1 )dS1 ϕ(x0 + , y0 , z0 )Δy Δzux.
S(x0 + 1 Δx)
2
2

An´logamente,
a
Δx
ϕ(r1 )dS1 ϕ(x0 − , y0 , z0 )Δy Δz(−ux ).
S(x0 − 1 Δx)
2
2
La suma de ambas integrales, dividida por el volumen Δx Δy Δz da

1 Δx Δx ∂ϕ
ϕ(x0 + , y0 , z0 ) − ϕ(x0 − , y0 , z0 ) u x = ux ,
Δx 2 2 ∂x

que no es otra cosa que la componente del gradiente seg´ n la direcciń Ox. Un tratamiento an´logo de las otras
u o a
cuatro caras completa el resultado adelantado.

• Expresiń del gradiente en otros sistemas coordenados ortogonales
o
Las coordenadas cartesianas (x, y, z) son una forma muy util de describir la posiciń de un punto
´ o
en el espacio, pero no la unica. Existen infinidad de sistemas coordenados, constituidos por tres
´
par´metros, (q1 , q2 , q3 ), que permiten igualmente dar una posiciń en el espacio. En particular son
a o
de especial inter´s por su simplicidad de manejo los sistemas coordenados llamados ortogonales,
e
que tienen la propiedad de que las l´ ıneas obtenidas al variar cada uno de los tres par´metros a
a
partir de un punto (l´ ıneas coordenadas) son perpendiculares entre s´ en dicho punto.
ı
La descripciń de un sistema coordenado se realiza usualmente en relaciń a las coordenadas
o o
cartesianas, mediante las f´rmulas de transformaciń q1 = q1 (x, y, z), q2 = q2 (x, y, z), q3 = q3 (x, y, z)
o o
o bien sus inversas x = x(q1 , q2 , q3 ), y = y(q1 , q2 , q3 ), z = z(q1 , q2 , q3 ).
Una traslaciń elemental dr de un punto a otro vecino puede ser descrita mediante un triedro
o
construido localmente, cuyos vectores base var´ de un punto a otro:
ıan
∂r ∂r ∂r
dr = dq1 + dq2 + dq3 = h1 dq1 u1 + h2 dq2 u2 + h3 dq3 u3 ,
∂q1 ∂q2 ∂q3

a 8

e

donde debemos definir los vectores unitarios de la base local ui y los factores geom´tricos hi
e
mediante
1 ∂r ∂r
ui ≡ , hi ≡ .
hi ∂qi ∂qi
Estos vectores son ortogonales entre s´ en un sistema ortogonal. Hay que tener siempre presente
ı
que en general la terna de vectores unitarios var´ de un punto a otro, puesto que dependen de las
ıa
coordenadas. En cambio el triedro local en el sistema de coordenadas cartesianas es invariante.
Para hallar el gradiente en otros sistemas coordenados ortogonales es conveniente usar la expre-
siń dϕ = grad ϕ · dr. En la base ortogonal {u1 , u2, u3 } definida en cada punto del espacio el
o
gradiente tiene componentes {(grad ϕ)1 , (grad ϕ)2 , (grad ϕ)3 }. Si efectuamos el producto escalar y
lo igualamos al desarrollo del diferencial de ϕ como funciń de las variables qi ,
o
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
dϕ = dq1 + dq2 + dq3 ,
∂q1 ∂q2 ∂q3
se llega a la f´rmula:
o
1 ∂ϕ
(grad ϕ)i = .
hi ∂qi
Los sistemas coordenados ortogonales m´s usuales son las coordenadas cil´
a ındricas y las co-
ordenadas esf´ricas.
e
• Coordenadas cil´
ındricas:

uz
uf
ur
r
z

r
f

Su relaciń con las coordenadas cartesianas son
o

x = r cos φ
y = r senφ
z = z

A partir de las definiciones de los factores geom´tricos hi se tiene
e

hr = 1, hφ = r, hz = 1.

El gradiente resulta
∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ϕ
grad ϕ = ur + uφ + uz .
∂r r ∂φ ∂z

a 9

e

• Coordenadas esf´ricas:
e

ur
uf
r uq
q r

f

Su relaciń con las coordenadas cartesianas son
o

x = r senθ cos φ
y = r senθ senφ
z = r cosθ

Los factores geom´tricos son en este caso
e

hr = 1, hθ = r, hφ = rsenθ,

y el gradiente,
∂ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ϕ
grad ϕ = ur + uθ + uφ .
∂r r ∂θ rsenθ ∂φ

1.4. Divergencia
Otra operaciń b´sica, esta vez definida sobre campos vectoriales, es la divergencia, cuya defini-
o a
ciń intr´
o ınseca es
1
div F (r) = l´
ım F (r1 ) · dS(r1 ),

donde los s´
ımbolos usados y las condiciones que deben imponerse en el c´lculo del l´
a ımite son
las mismas que en el caso del gradiente. Se trata de un operador diferencial, puesto que en la
definiciń aparece el cociente incremental ΔΦ/Δτ (flujo a trav´s de la frontera de Δτ dividido
o e
por el volumen).
La interpretaciń f´
o ısica de la divergencia se hace a veces por analog´ con el campo de ve-
ıa
locidades en un fluido incompresible: las l´
ıneas de dicho campo que tienden a salir o divergir de
un punto ponen de manifiesto la presencia de una fuente, y en tal caso el resultado del c´lculo de
a
la divergencia en dicho punto es no nulo. Por ello se la suele llamar densidad volum´trica de
e
fuentes.
La representaciń de la divergencia en coordenadas cartesianas se puede encontrar c´moda-
o o
mente haciendo uso de la definiciń intr´
o ınseca de gradiente:
1
div F = l´
ım (ux Fx + uy Fy + uz Fz ) · dS =

a 10

e

1 1 1
= ux · l´
ım Fx dS + uy · l´
ım Fy dS + uz · l´
ım Fz dS =
Δτ →0 Δτ SΔτ Δτ →0 Δτ SΔτ Δτ →0 Δτ SΔτ
∂Fx ∂Fy ∂Fz
= + + .
∂x ∂y ∂z

El c´lculo de la divergencia en otros sistemas coordenados ortogonales, tales como el
a
ındrico o el esf´rico, no puede hacerse de la misma forma, puesto que los unitarios ui son en
cil´ e
general dependientes de las coordenadas {q1 , q2 , q3 }.

q1 q3+Dq3
q2+Dq2

q 2 q3 q1+Dq1
q1=r r
q2=f z
q3=z
f r

Si elegimos un volumen elemental limitado por superficies coordenadas, es decir por seis caras
que quedan definidas por los valores qi y qi + Δqi (i = 1, 2, 3), la definiciń intr´
o ınseca de la
divergencia hace intervenir elementos de superficie correspondientes a cada superficie coordenada.
Como ejemplo, la superficie definida por un valor constante q1 + Δq1 ser´ ıa

∂r ∂r
dS = × dq2 dq3 = h2 h3 (u2 × u3)dq2 dq3 = h2 h3 dq2 dq3 u1,
∂q2 ∂q3

y lo opuesto para la superficie en q1 . Expresiones an´logas obtenemos para los otros elementos de
a
superficie. El campo vectorial tiene componentes {F1 , F2 , F3 } en el triedro ortogonal {u1 , u2, u3 }.
El flujo a trav´s de la superficie elemental definida en q1 + Δq1 queda
e

Φ(q1 + Δq1 ) = dq2 dq3 (F1 h2 h3 )(q1 +Δq1 ,q2 ,q3) .

Si agrupamos los seis flujos en tres parejas del tipo

Φ(q1 + Δq1 ) + Φ(q1 ) = dq2 dq3 (F1 h2 h3 )(q1 +Δq1 ,q2,q3 ) − (F1 h2 h3 )(q1 ,q2,q3 ) ,

y an´logamente para las otras coordenadas q2 y q3 , y dividimos por el volumen elemental en
a
ıneas dτ = (h1 dq1 )(h2 dq2 )(h3 dq3 ) = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 , se llega a la expresiń
coordenadas curvil´ o
general
3
1 ∂ h1 h2 h3
div F = Fi .
h1 h2 h3 i=1 ∂qi hi
Los ultimos pasos son sencillos y se dejan al lector.
´
Ejercicio: Obtńganse las expresiones de la divergencia en coordenadas cil´
e ındricas y esf´ricas.
e

a 11

e

• Teorema de la divergencia: Un resultado importante dentro del An´lisis Vectorial es el
a
siguiente teorema, tambiń llamado de Gauss-Ostrogradsky:
e
Dado un campo vectorial F y un volumen arbitrario τ , se verifica

div F dτ = F · dS,
τ Sτ

siendo Sτ la superficie cerrada que es frontera del volumen considerado.
La demostraciń puede construirse a partir del c´lculo de la integral de volumen como suma
o a
riemanniana y usando la definiciń de divergencia:
o
N
1
div F dτ = l´
ım F (r) · dS Δτi ,
τ N →∞ Δτi SΔτi
i=1

donde se ha realizado una particiń en N vol´ menes elementales.
o u

r
Dti
dS

La suma de flujos involucrada en la expresiń anterior se reduce a los flujos definidos en superficies
o
pertenecientes a la frontera de τ , puesto que los de superficies interiores a τ se cancelan al ser
comunes a dos vol´menes contiguos. Los flujos que no se cancelan estń definidos justamente en
u a
una particiń de la superficie Sτ y por tanto se identifica la integral de superficie del enunciado.
o

Ejemplo: Compru´bese que se verifica el teorema de la divergencia en el caso de la funciń v = r cos θ ur +
e o
rsenθ uθ + rsenθ cos φ uφ usando como volumen de integraciń el hemisferio τ : {r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ 2π}.
o

z

ur
S1

S2
y
uq
x

La f´rmula para la divergencia en coordenadas esf´ricas es:
o e
1 ∂ 1 ∂ 1 ∂vφ
div v = 2 ∂r
r2 vr + (senθvθ ) +
r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ

a 12

e

y en este caso su aplicaciń da
o
1 ∂ 1 ∂ 1 ∂
div v = r3 cos θ + rsen2 θ + (rsenθ cos φ) = 5 cos θ − senφ.
r2 ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ
La integral de volumen resulta
R π/2 2π
5πR3
div v dτ = dr r2 senθ dθ dφ (5 cos θ − senφ) = .
τ 0 0 o 3

Calculamos ahora el flujo Φ1 a trav´s de la superficie hemisf´rica S1 , definida por el valor r = R y cuyo elemento
e e
de superficie es dS = R2 senθ dθ dφ ur :
π/2 2π
Φ1 = v · dS = vr dSr = R3 cos θ senθ dθ dφ = πR3 .
S1 S1 0 0

Por ultimo calculamos el flujo Φ2 a trav´s del plano ecuatorial S2 , definido por el valor θ = π/2 y con elemento de
´ e
superficie descrito por dS = r dr dφ uθ :
2π R
2πR3
Φ2 = v · dS = vθ dSθ = dφ r2 dr = .
S2 S2 0 0 3

El flujo total es Φ1 + Φ2 = 5πR3 /3 y ambos c´lculos coinciden.
a

1.5. Rotacional
Tambiń como operador que act´ a sobre campos vectoriales, el rotacional tiene la siguiente
e u
definiciń intr´
o ınseca:
1
rot F (r) = l´
ım dS(r1 ) × F (r1 ),

donde los s´ımbolos y condiciones son los habituales. Se trata de otro importante operador de
carćter diferencial, cuya aplicaciń nos da un nuevo campo vectorial a partir de F .
a o
Aunque la definiciń anterior es la an´loga a las vistas para el gradiente y la divergencia, resulta
o a
m´s c´moda de usar otra equivalente:
a o
1
a · rot F (r) = l´
ım F (r1 ) · dr1 ,
ΔS→0 ΔS γΔS

siendo a un vector unitario arbitrario, ΔS una superficie elemental plana perpendicular al vector
a y γΔS la curva cerrada que es frontera de ΔS. El punto donde se calcula el rotacional debe
pertenecer a la superficie y el l´
ımite debe existir sea cual sea la familia de superficies ΔS utilizada.
La segunda definiciń nos da solamente la componente del rotacional en la direcciń de a, pero
o o
basta tomar tres direcciones ortogonales entre s´ para reconstruir el rotacional en ese punto.
ı

Ejercicio: Compru´bese que la primera definiciń de rotacional conduce a la segunda.
e o
Multiplicamos escalarmente la primera expresiń por a, tomando como volumen elemental el cilindro recto con
o
base ΔS y altura ξ. Esto da
1
a · rot F = l´ l´
ım ım a · (dS × F ).
ξ→0 ΔS→0 ξΔS SΔτ

a 13

e

El integrando se puede reescribir como (a × dS) · F . La superficie cerrada SΔτ posee dos bases planas paralelas y
una superficie lateral. En las bases el integrando es nulo por ser a y dS paralelos. Queda la integraciń sobre la
o
superficie lateral, para la cual podemos a su vez transformar el integrando en

(a × dS) · F = ξdr1 · F (r1 ),

puesto que el m´dulo del producto vectorial es ξdr1 y la direcciń es tangente al contorno de ΔS. En la figura
o o
se muestra la construcciń geom´trica utilizada. Hay que hacer notar que el sentido de a determina el sentido de
o e
circulaciń de la integral de l´
o ınea mediante la regla de la mano derecha: el pulgar indica el sentido de a si los
cuatro dedos restantes indican el sentido de dr1 .

a Dt

r dr1 x

dS

El factor ξ se cancela en la integral y se obtiene la segunda definiciń.
o

El mismo ejemplo f´ısico del campo de velocidades de un fluido nos permite hacernos una idea
del significado del rotacional. En torno al centro de un torbellino, la circulaciń presente en la
o
segunda definiciń del rotacional es no nula debido a la trayectoria que tienen las lńeas de campo
o ı
en esa zona. Podemos as´ interpretar un rotacional no nulo como indicio de un giro local de las
ı
l´
ıneas de campo. Sin embargo otras situaciones en las que dicho rotacional es no nulo no poseen
una relaciń tan evidente con un giro local (por ejemplo el campo F = kyux ), y viceversa: campos
o
cuyas l´ıneas son familias de circunferencias centradas en un eje tienen rotacional nulo (como el
campo F = uφ /r).
El c´lculo del rotacional en coordenadas cartesianas se puede realizar, como en el caso de
a
la divergencia, relacionando la primera definiciń de rotacional con la definiciń intr´
o o ınseca de
gradiente. El resultado se expresa en forma compacta mediante un determinante:

ux uy uz
rot F = ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z .
Fx Fy Fz

El uso de cualquiera de las definiciones de rotacional aplicadas a un sistema de coordenadas
curvil´
ıneas ortogonales permite obtener la siguiente expresiń general:
o

h1 u1 h2 u2 h3 u3
1
rot F = ∂/∂q1 ∂/∂q2 ∂/∂q3 .
h1 h2 h3
h1 F1 h2 F2 h3 F3
Ejercicios:
(1) Ded´ zcase la expresiń anterior componente a componente mediante la segunda definiciń de rotacional.
u o o
(2) Obtńgase el rotacional en coordenadas cil´
e ındricas y esf´ricas.
e

a 14

e

• Teorema de Stokes: dado un campo vectorial F y una superficie S, se verifica

rot F · dS = F · dr,
S γS

siendo γS la l´ınea cerrada que es frontera de S, recorrida seg´ n la regla de la mano derecha en
u
relaciń a la orientaciń de los elementos de superficie.
o o
La demostraciń se realiza de forma muy similar a la del teorema de la divergencia. Escribimos
o
la integral de superficie seg´ n su definiciń, incluyendo la segunda de rotacional:
u o
N N
1
rotF · dS = l´
ım (rot F )i · ni ΔSi = l´
ım F · dr ΔSi .
N →∞ N →∞ ΔSi γΔSi
i=1 i=1

En lo anterior hemos trabajado con una particiń de S en N superficies elementales ΔSi . Tras
o
cancelar este factor la expresiń se reduce a una suma de circulaciones elementales a lo largo de
o
los contornos γΔSi , en los cuales podemos distinguir tramos que pertenecen a la frontera de S
y tramos interiores. Las circulaciones sobre tramos interiores se cancelan entre s´ puesto que dos
ı
elementos contiguos producen circulaciones opuestas en el tramo com´ n. Lo que sobrevive no es
u
otra cosa que la circulaciń sobre una particiń de γS , que da lugar a la integral de la derecha en
o o
el teorema.
Hay que hacer notar que el sentido de circulaciń del contorno viene dado por la regla de la
o
mano derecha debido que este criterio se hab´ establecido en la segunda definiciń de rotacional.
ıa o

Ejemplo: Compru´bese que se verifica el teorema de Stokes en el caso de la funciń v = r cos2 θ ur −r cos θ senθuθ +
e o
3r uφ usando como circuito de integraciń la l´
o ınea indicada en la figura.

z
C(0,0,1)
S2

S1 -n=uf
O y
A(1,0,0) B(1/ 2,1/ 2,0)
-n=uq
x

Hallaremos primero la circulaciń del campo v usando coordenadas esf´ricas. En general escribimos un desplaza-
o e
miento elemental en la forma
dr = dr ur + rdθ uθ + rsenθ dφ uφ .
La circulaciń se calcula por tramos:
o
(i) Tramo OA, que viene descrito por los valores θ = π/2, φ = 0 y 0 < r < 1. Se cumple dr = dr ur .
A
ΓOA = vr | θ=π/2 dr = 0,
φ=0
O

puesto que vr = 0 para θ = π/2.
(ii) Tramo AB, descrito por θ = π/2, r = 1 y 0 < φ < π/4. Se tiene dr = dφ uφ .
B π/4
ΓAB = vφ | r=1 dφ = 3 dφ = 3π/4.
θ=π/2
A 0

a 15

e

(iii) Tramo BC, descrito por φ = π/4, r = 1 y 0 < θ < π/2. Se tiene dr = dθ uθ .
C 0
ΓBC = vθ | r=1 dθ = − cos θ senθ dθ = 1/2.
φ=π/4
B π/2

(iv) Tramo CO, con θ = 0, φ indeterminado y 0 < r < 1. Igual que en el primer tramo dr = dr ur .
O 0
ΓCO = vr |θ=0 dr = r dr = −1/2.
C 1

La circulaciń total es Γ = 0 + 3π/4 + 1/2 − 1/2 = 3π/4.
o
La f´rmula para el rotacional en coordenadas esf´ricas es:
o e

ur r uθ rsenθ uφ
1
rot v = ∂/∂r ∂/∂θ ∂/∂φ
r2 senθ
vr rvθ rsenθvφ

y en este caso su aplicaciń da
o
rot v = 3 cot θ ur − 6uθ .
Para aplicar el teorema de Stokes podemos elegir cualquier superficie que se apoye en el contorno dado. En este
caso lo m´s sencillo es tomar las dos superficies planas que aparecen sombreadas en la figura (S = S1 S2 ). Los
a
elementos de superficie deben estar orientados de acuerdo con la regla de la mano derecha.
Evaluamos el flujo del rotacional en cada superficie plana:
6π 3π
rot v · dS = − (rot v)θ dSθ = 6 dS = = .
S1 S1 S1 8 4

Por otra parte, S2 rot v · dS = − S2 (rot v)φ dSφ = 0, puesto que el rotacional no tiene componente seg´ n uφ .
u

En consecuencia ambos c´lculos coinciden.
a

1.6. Operador nabla
En las operaciones gradiente, divergencia y rotacional expresadas en cartesianas aparece de forma
natural el operador nabla, definido como
∂ ∂ ∂
∇ = ux + uy + uz .
∂x ∂y ∂z
Tiene carćter vectorial y diferencial a la vez. De lo visto hasta ahora se pueden proponer las
a
siguientes representaciones:

grad ϕ = ∇ϕ, div F = ∇ · F , rot F = ∇ × F .

Podemos considerar algunas identidades vectoriales utiles que surgen bien de la aplicaciń dos veces
´ o
de nabla sobre un campo, bien de su aplicaciń sobre el producto de dos campos. La deducciń de
o o
cualquiera de ellas puede hacerse, no sin esfuerzo en algunos casos, desarrollando en cartesianas
ambos miembros de la igualdad y viendo que coinciden.
• Aplicaciń de nabla sobre un producto:
o
∇(ϕ ψ) = ϕ ∇ψ + ψ ∇ϕ ,

a 16

e

∇ · (ϕ F ) = ϕ ∇ · F + (∇ϕ ) · F ,

∇ × (ϕ F ) = ϕ ∇ × F + (∇ϕ ) × F ,

∇ · (F × G) = (∇ × F ) · G − F · (∇ × G),

∇(F · G) = F × (∇ × G) + (F · ∇)G + G × (∇ × F ) + (G · ∇)F ,

∇ × (F × G) = F (∇ · G) − (F · ∇)G − G(∇ · F ) + (G · ∇)F ,
donde ϕ y ψ son dos campos escalares y F y G son dos campos vectoriales. Adem´s se define el
a
nuevo operador escalar
∂ ∂ ∂
F · ∇ = Fx + Fy + Fz .
∂x ∂y ∂z
• Aplicaciń doble de nabla:
o

∇ × (∇ϕ ) = 0,
∇ · (∇ × F ) = 0,
∇ · (∇ϕ ) = ∇2 ϕ ,
∇ × (∇ × F ) = ∇(∇ · F ) − ∇2 F ,

donde aparece un nuevo operador escalar, el laplaciano, definido en cartesianas mediante la
expresiń
o

∂2 ∂2 ∂2
∇2 = + 2 + 2.
∂x2 ∂y ∂z
Este operador es fundamental en la teor´ del potencial.
ıa
Mientras que las dos primeras igualdades son resultados, las dos ultimas se deben considerar como
´
definiciones de la aplicaciń del operador laplaciano (sobre escalares y vectores respectivamente)
o
en otros sistemas coordenados. En particular de las operaciones de gradiente y divergencia se
deduce la expresiń
o
3
1 ∂ h1 h2 h3 ∂ϕ
∇2 ϕ = .
h1 h2 h3 i=1 ∂qi h2 ∂qi
i

Ejercicios:
(1) Demostrar la primera igualdad calculando el flujo de ∇ × (∇ϕ ) a trav´s de cualquier superficie.
e
(2) Demostrar la segunda igualdad calculando la integral de volumen de ∇ · (∇ × F ) extendida a un volumen
arbitrario.
(3) Obtener el laplaciano en coordenadas cil´
ındricas y esf´ricas.
e

1.7. Diadas
• Definiciń y propiedades
o
Adem´s del producto escalar entre dos vectores, que da lugar a un escalar, y de su producto
a
vectorial, que puede considerarse otro vector (aunque esto debe matizarse debido a sus propiedades

a 17

e

de transformaciń frente a una simetr´ especular; váse por ejemplo Lorrain & Corson), existe
o ıa e
un tercer producto entre dos vectores, que da lugar a otro ente matem´tico. Para definirlo nos
a
valdremos de la representaciń cartesiana de los vectores, A = (Ax , Ay , Az ) y B = (Bx , By , Bz ).
o
El producto di´dico de ambos se representa mediante una matriz 3 × 3:
a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Ax Bx Ax By Ax Bz Ax
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
AB = ⎝ Ay Bx Ay By Ay Bz ⎠ = ⎝ Ay ⎠ (Bx , By , Bz ).
Az Bx Az By Az Bz Az
El producto di´dico de dos vectores, o diada, posee la propiedad distributiva, pero no la conmuta-
a
tiva, es decir, AB = B A. Su transformaciń ante un cambio de sistema de referencia viene dictado
o
por la transformaciń de los vectores constituyentes, y gracias a ello resulta tener carćter tenso-
o a
rial. Como todo tensor, cuya representaciń cartesiana es una matriz 3 × 3, podemos considerar
o
su aplicaciń por la izquierda o por la derecha sobre un vector C, pero por su propia construcciń,
o o
el resultado de ambas operaciones se puede expresar de forma muy sencilla:
(AB)C = A(B · C); C(AB) = (C · A)B.

Es decir, el vector contiguo a C se ¸ontrae¸on ´ste mediante un producto escalar, y el resultado
c c e
es un vector colineal con el que no se ha contra´ ıdo. Todo esto puede comprobarse a partir de
las correspondientes representaciones matriciales. Si una magnitud f´
ısica de naturaleza tensorial
puede ser representada por una diada podemos beneficiarnos de la simplicidad de las reglas de
aplicaciń anteriores.
o
No todos los tensores son diadas, aunque s´ es cierto que todo tensor puede ser expresado como
ı
combinaciń lineal de una base formada por las nueve diadas {(uiuj ), i, j = x, y, z}. En particular,
o
el tensor unidad se puede expresar como
I = ux ux + uy uy + uz uz .

• Aplicaciń al c´lculo diferencial
o a
El operador nabla puede intervenir en una representaciń di´dica de un tensor. En particular
o a
podemos definir el gradiente de un vector como
⎛ ⎞
∂Ax /∂x ∂Ay /∂x ∂Az /∂x
⎜ ⎟
∇A = ⎝ ∂Ax /∂y ∂Ay /∂y ∂Az /∂y ⎠ .
∂Ax /∂z ∂Ay /∂z ∂Az /∂z

Es interesante hacer notar que ∇r = I.
Otra aplicaciń importante es la divergencia de una diada:
o
∇ · (AB) = (∇ · A)B + (A · ∇)B,
donde la apariciń de dos t´rminos obedece al hecho de que nabla tiene carćter diferencial y
o e a
est´ operando sobre un producto.
a

1.8. Teoremas integrales
Adem´s de los teoremas de la divergencia y de Stokes existen otros teoremas que involucran
a
integrales de campos. Veamos algunos:

a 18

e

• Teoremas de Green:

(ψ ∇ϕ ) · dS = (ψ∇2 ϕ + ∇ψ · ∇ϕ )dτ.
Sτ τ

(ψ ∇ϕ − ϕ ∇ψ) · dS = (ψ∇2 ϕ − ϕ ∇2 ψ)dτ.
Sτ τ

El primer teorema se obtiene aplicando el teorema de la divergencia a la integral de superficie
y el segundo es consecuencia directa del primero. Tienen una aplicaciń prćtica notable en la
o a
formulaciń del m´todo de resoluciń de problemas de potencial mediante la llamada funciń de
o e o o
Green.
• Teorema del gradiente:
ϕ dS = ∇ϕ dτ.
Sτ τ

Se demuestra de manera an´loga al teorema de la divergencia usando la definiciń intr´
a o ınseca de
gradiente.
• Teorema del rotacional:
dS × F = ∇ × F dτ.
Sτ τ

Se demuestra de manera an´loga al teorema de la divergencia usando la primera definiciń in-
a o
tr´
ınseca de rotacional.
• Otro teorema es el siguiente:
ϕ dr = dS × ∇ϕ
γS S

Su demostraciń se construye multiplicando escalarmente la integral de l´
o ınea por un vector
constante a, que puede incluirse en el integrando. La integral se transforma en una circulaciń a
o
lo largo de una trayectoria cerrada y estamos en condiciones de aplicar el teorema de Stokes. Tras
manipular el nuevo integrando, y teniendo en cuenta que a es arbitrario, se deduce el resultado.
• Finalmente mencionaremos el teorema de la divergencia para tensores. Si trabajamos en carte-
sianas y expresamos un tensor en la base di´dica podemos escribir su divergencia en la forma
a
33
∂
∇·T = ui · uj uk Tjk .
i=1 ∂xi j,k=1

Teniendo en cuenta que en esta expresiń debemos contraer”los vectores unitarios contiguos,
o ¸
ui · uj = δij , con δij = 1 si i = j y cero en otro caso (delta de Kronecker), resulta
3 3
∂Tjk ∂Tik
∇·T = δij uk = uk .
i,j,k=1 ∂xi i,k=1 ∂xi

En vista de ello podemos establecer el siguiente teorema:
3 3 3 3
∂Tik
∇ · T dτ = uk dτ = uk dSi Tik = dS · T ,
τ k=1 τ i=1 ∂xi k=1 Sτ i=1 Sτ

donde el paso fundamental ha consistido en aplicar el teorema de la divergencia a cada una de
las tres integrales de volumen que aparecen en la expresiń integral de partida, puesto que para k
o

a 19

e

fijado, las magnitudes Tik , (i = 1, 2, 3) pueden manejarse como las tres componentes cartesianas
de un campo vectorial cuya divergencia aparece en la segunda expresiń.
o
Si el tensor es una diada el teorema se reduce a

∇ · (AB)dτ = (dS · A)B.
τ Sτ

1.9. ´
Angulo s´lido
o
El ńgulo s´lido es un concepto geom´trico que da una idea cuantitativa de la apertura con que se
a o e
ve desde un punto una superficie determinada. Puede considerarse como el an´logo tridimensional
a
de lo que representa un angulo en el plano (abertura con que se ve un arco desde un punto); de
´
ah´ su nombre.
ı
Se define el ńgulo s´lido subtendido por una superficie S desde un punto r0 mediante la
a o
siguiente expresiń:
o
(r − r0 ) · dS(r)
Ω(r0 , S) = ,
S |r − r0 |3
donde es necesario especificar el sentido elegido para los elementos de superficie dS. Evidentemente
para el sentido opuesto (simbolizado por −S) se tendr´ Ω(r0 , −S) = −Ω(r0 , S). La unidad es el
a
estereorradiń y no tiene dimensiones.
a

dS

r

R

W

r0
R=1

• Interpretaciń geom´trica: En funciń del vector R ≡ r−r0 podemos escribir el integrando en
o e o
la forma uR · dS/R2 , siendo R el m´dulo del vector posiciń relativa de un punto de la superficie al
o o
punto definido por r0 (ver figura) y uR = R/R. Por otra parte uR ·dS representa la proyecciń de un
o
elemento de la superficie sobre el plano tangente a una esfera de radio R con centro en r0 , definido
en el punto r. El factor 1/R2 adicional en el integrando nos permite relacionar esta superficie
proyectada con una superficie definida en la esfera de radio unidad mediante una homotecia con
centro en r0 . Dicho de manera ilustrativa, el angulo s´lido se puede entender como el ´rea m´
´ o a ınima
de un obstćulo situado en la esfera de radio unidad dispuesto de tal forma que un foco luminoso
a
puntual en r0 no ilumina ning´ n punto de la superficie S.
u
Es interesante obtener el ńgulo s´lido correspondiente a una superficie elemental definida sobre
a o
una esfera de radio R, subtendido desde el centro, cuando dicha superficie est´ delimitada por
a
2
ıneas coordenadas en esf´ricas. En tal caso sabemos que uR · dS = dS = R senθdθdφ y por tanto
l´ e
dΩ = senθdθdφ. En este caso el carćter angular del angulo s´lido queda patente.
a ´ o

a 20

e

• Propiedades:
(1) Ω(r0 , Sτ ) = 0 si r0 ∈ τ .
La demostraciń hace uso del teorema de la divergencia:
o
⎛ ⎞
(r − r0 ) · dS(r) R
Ω(r0 , Sτ ) = = ∇ · ⎝ 3 ⎠ dτ.
Sτ |r − r0 |3 τ R

Pero ∇ · (R/R3 ) = ∇ · (uR /R2 ), que calculado en coordenadas esf´ricas {R, θ, φ} resulta ser
e
uR 1 ∂ 1
∇· = R2 2 = 0 si R = 0.
R2 R2 ∂R R

(2) Ω(r0 , Sτ ) = 4π si r0 ∈ τ .
La demostraciń es inmediata si tenemos en cuenta que el angulo s´lido con que se ve una
o ´ o
superficie cerrada desde un punto interior es equivalente al de una esfera de radio unidad desde
su centro, que es obviamente 4π.
(3) Ω(r0 , S1 ) = Ω(r0 , S2 ) si γS1 = γS2 .
Esta propiedad se deduce de la primera teniendo en cuenta que en el caso topol´gicamente m´s
o a
simple S1 ∪ (−S2 ) = S forma una superficie cerrada con vector normal saliente (o entrante) y r0
es un punto exterior. Por tanto

Ω(r0 , S) = Ω(r0 , S1 ) − Ω(r0 , S2 ) = 0.

Si la uniń de ambas superficies deja dentro al punto r0 el resultado ser´ Ω(r0 , S2 ) = Ω(r0 , S1 )−4π.
o ıa
Podemos imaginar situaciones m´s complicadas que requieren un an´lisis topol´gico m´s detallado,
a a o a
pero no las consideraremos aqu´ por simplicidad.
ı

Ejemplo: H´llese el angulo s´lido subtendido por un disco de radio a desde un punto del eje perpendicular que
a ´ o
pasa por su centro, situado a una distancia h de dicho centro.

z z
a

h
a R a

O O
y y

x x
(a) (b)

En la figura (a) se muestra una elecciń de coordenadas adecuadas al problema, siendo O (origen) el punto desde
o
el que se subtiende el angulo s´lido. Podemos escribir
´ o

R
Ω(r0 , S) = · dS,
S R3

a 21

e

donde r0 = 0 y en polares es R = rur + huz y dS = r dr dφ uz . Sustituyendo encontramos
2π a
hrdr h
Ω(r0 , S) = dφ = 2π 1 − √ .
0 0 (h2 +r 2 )3/2
h 2 + a2

En funciń del angulo α definido entre el eje Z y un segmento que una el origen con cualquier punto de la
o ´
circunferencia podemos presentar el resultado anterior en la forma Ω = 2π(1 − cos α). Claramente se entienden
as´ los siguientes casos: (i) punto de observaciń infinitamente alejado, α = 0 y Ω = 0; (ii) punto de observaciń en
ı o o
el mismo plano, α = π/2 y Ω = 2π, es decir el ńgulo s´lido correspondiente a un semiespacio.
a o
Otra forma de calcular Ω en este problema es sustituir la superficie plana por otra en forma de casquete esf´rico,
√ e
que tambiń se apoya en su contorno circular pero que forma parte de la superficie esf´rica de radio R = h2 + a2
e e
(figura (b)). Se deja como ejercicio comprobar que ambos c´lculos coinciden.
a

1.10. Funciń δ de Dirac
o
Se define la funciń δ de Dirac a partir de las siguientes propiedades:
o

0 si x = 0 ∞
δ(x) = , δ(x)dx = 1.
∞ si x = 0 −∞

Aunque se usa el t´rmino “funciń”, no lo es en el sentido usual, sino que se trata de una gener-
e o
alizaciń de este concepto. Debe considerarse como una distribuciń, o l´
o o ımite de una sucesiń de
o
funciones dependientes de un par´metro. Como ejemplo de sucesiń que da lugar a la distribuciń
a o o
δ(x) proponemos:
1 2 2
δ(x) = l´ δ (x) = l´ √ e−x /ε .
ım ım
ε→0 ε→0 πε

5
de(x)
4
3 e=0.125
e=0.25
2 e=0.5
e=1
1
x
-2 -1 0 1 2

Se trata de la familia de gaussianas de anchura proporcional al par´metro ε que se hace tender
a
a cero. Puede comprobarse que para cualquier valor del par´metro la funciń est´ normalizada
a o a
de tal manera que la integral extendida a toda la recta real vale la unidad, de acuerdo con la
propiedad exigida.
Otras familias de funciones que dan lugar a la funciń δ(x) cuando el par´metro tiende a cero
o a
son
ε sen2 (x/ε) ε 1
y .
π x2 π x2 + ε2

a 22

e

A partir de las propiedades vistas es inmediato deducir una expresiń de gran utilidad:
o
b f (x0 ) si x0 ∈ (a, b)
f (x)δ(x − x0 )dx =
a 0 si x0 ∈ [a, b]
(si x0 coincide con a ´ b el resultado es f (x0 )/2).
o
Ejercicios:
(1) Demu´strese lo anterior.
e
(2) Demu´strese que δ(kx) = δ(x)/|k|.
e

Ejemplos:
π/2
(a) 0 cos 2xδ(x + 3)dx = 0, porque la funciń δ(x + 3) s´lo es distinta de cero en x = −3, que est´ fuera del
o o a
intervalo de integraciń.
o
3
(b) −1 ln xδ(x − 2)dx = ln 2
1 3 1
(c) 0 x cos xδ(4x − 3)dx = 1 0 x3 cos xδ(x − 3/4)dx = (3/4)3 cos(3/4)/4
4

• Caso tridimensional.
Podemos generalizar el concepto de funciń δ al caso tridimensional mediante la definiciń:
o o
δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z).

Tambiń podemos generalizar la propiedad vista:
e
f (r0 ) si r0 ∈ τ
f (r)δ(r − r0 )dτ =
τ 0 si r0 ∈ τ
(si r0 ∈ Sτ el resultado es f (r0 )/2).
Un resultado importante que involucra a la funciń δ es el siguiente:
o

1
∇2 = −4πδ(r − r0 ).
|r − r0 |

En efecto, la funciń de la izquierda es singular en r = r0 y cero en r = r0 (compru´bese). Adem´s
o e a
se tiene que
1 r − r0 (r − r0 ) · dS
∇2 dτ = − ∇· dτ = − = −Ω(r0 , Sτ ) = −4π,
τ |r − r0 | τ |r − r0 |3 Sτ |r − r0 |3
con lo cual se verifican todas las propiedades que definen a la funciń de la derecha. (En rigor el
o
teorema de la divergencia no es aplicable si la funciń es singular en el dominio de integraciń. Sin
o o
embargo es posible sustituir la del texto por otra no singular dependiente de un par´metro que en
a
cierto l´
ımite tienda a la original. Váse Panofsky & Phillips, Classical Electricity and Magnetism”,
e ¸
Addison-Wesley (1977), cap. 1.)
La funciń δ tiene una extraordinaria utilidad dentro del desarrollo te´rico de la asignatura.
o o
Como ejemplo de uso, consideremos una distribuciń de n masas puntuales mi colocadas en los
o
puntos ri . Podemos construir la densidad volum´trica de masa en todo el espacio simplemente
e
como n
ρm (r) = mi δ(r − ri ).
i=1

a 23

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