1) El documento trata sobre la derivación e integración de funciones de varias variables. 2) Introduce conceptos como derivadas parciales, diferencial total, gradiente, divergencia y rotor para funciones de más de una variable. 3) Explica cada uno de estos conceptos a través de definiciones formales y ejemplos ilustrativos.

1. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
2do Semestre “Ingeniería Industrial”
Realizado por:
Jesús D. Lugo V.
C.I: 28.501.507

2. CONTENIDO
• Introducción
• Límite y Continuidad de una función en el Espacio R3
• Derivada de funciones de varias variables (en el Espacio R3)
• Derivadas Parciales
• Diferencial Total
• Gradientes
• Divergencia y Rotor
• Plano Tangente y Recta Normal
• Conclusiones
• Bibliografía

3. INTRODUCCIÓN
La experiencia ganada en el cálculo de una variable puso de manifiesto que la gráfica de una
función puede ser un recurso muy importante para generar ideas e interpretaciones. No obstante, el
trabajo inicial, que fue dedicado a graficar cierto tipo de superficies: cuádricas, cilindros y planos
dejó ver que graficar superficies en ℝ3 no es una tarea cómoda, aún para “superficies sencillas”.
Más aún, la tarea no sólo se vuelve complicada sino eventualmente imposible si la superficie en
cuestión nos requiere ir más allá de ℝ3. Esto significa que se necesita apoyarse en otras ideas para
ganar conocimiento sobre funciones de varias variables. De manera más concreta, esta idea
provendrá del concepto de derivada para funciones de varias variables. La derivada, entre muchas
otras aplicaciones, permitió lograr interpretaciones de funciones de una variable, conceptos tales
como crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad fueron discutidos sin la
necesidad de tener la gráfica de una función a la vista. Ahora se precisa lo que la derivada significa
para funciones de varias variables, y en la medida que se avance se estudiará qué aspectos de su
gráfica pueden ser detectados sin la necesidad de tenerla a la vista.

4. INTRODUCCIÓN
De la misma manera en que la integral de una función positiva f(x) de una variable definida en un
intervalo puede interpretarse como el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la
doble integral de una función positiva f (x,y) de dos variables, definida en una región del plano xy,
se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese
intervalo. Al realizar una «integral triple» de una función f (x,y,z) definida en una región del espacio
xyz, el resultado es un hipervolumen; sin embargo, es bueno notar que si f (x,y,z ) = 1 el resultado se
puede interpretar como el volumen de la región de integración.

5. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN EL
ESPACIO (R3)
Generalizando lo que se conoce para funciones reales de variable real, se estudiara las nociones de
límite y continuidad para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera. Se define de forma que
quede claro que se trata de nociones topológicas. Se analiza con detalle el carácter local de ambas
nociones, se aclara la relación entre ellas y se comprueba que la composición de aplicaciones
preserva la continuidad. Al considerar el límite de una composición de funciones, se obtiene una regla
de cambio de variable, útil en la práctica para el cálculo de límites. Se presta especial atención al caso
particular de funciones definidas en un subconjunto de RN y con valores en RM donde M ∈ N, que se
denominan campos escalares cuando M = 1, o campos vectoriales cuando M > 1.

6. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN EL
ESPACIO (R3)
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Recordemos la caracterización(ε−δ) de la continuidad para funciones reales de variable real: si E es
un subconjunto no vacío de R, una función f: E → R es continua en un punto x ∈ E cuando verifica la
siguiente condición:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : y ∈ E, |y − x|< δ ⇒| f (y) − f (x) | < δ (1)
Usando en R la distancia usual y en E la inducida, (1) toma la forma:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : f B (x, δ) ⊂ B( f(x, ε) (2)

7. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN EL
ESPACIO (R3)
En resumen, si consideramos en R la distancia usual, y en E la inducida por ella, hemos visto que f es
continua en x si, y sólo si, la imagen inversa por f de cada entorno de f (x) en R es un entorno de x en
E. Tenemos así expresada la continuidad de una forma que sólo involucra entornos en los espacios
métricos de partida y llegada de nuestra función. Esta condición es la que tomaremos como definición
de continuidad para una función entre dos espacios métricos cualesquiera, definición que podríamos
usar también para espacios topológicos. En lo que sigue, E y F serán dos espacios métricos
arbitrarios, cuyas distancias se denotan ambas por d.
Decimos que una función f: E → F es continua en un punto x ∈ E cuando la imagen inversa por f de
cada entorno de f (x) en el espacio F es un entorno de x en E:
V ∈ U f (x) ⇒ f −1 (V) ∈ U (x)

8. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN EL
ESPACIO (R3)
LÍMITE FUNCIONAL
La caracterización (ε−δ) del límite en un punto para una función real de variable real se generaliza
también fácilmente para funciones entre espacios métricos cualesquiera. Dada una función f: A→R
donde A es un subconjunto no vacío de R, y dados α ∈ A’ y L ∈ R, tenemos
Así pues, dado α ∈ A’, decimos que f tiene límite en el punto α cuando existe L ∈ F verificando la
siguiente condición:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : x ∈ A, 0 < d (x, α) < δ ⇒ d (f(x,L) < ε

9. DERIVADA DE FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES EN EL ESPACIO (R3)
Derivadas parciales de primer orden
Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente x al
siguiente límite, si existe y es finito:
calculado suponiendo y constante.
Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguiente límite,
si existe y es finito:
calculado suponiendo x constante.

10. DERIVADAS PARCIALES
Una derivada parcial de una función de varias variables, es su derivada respecto a una de esas
variables con las otras manteniéndose constantes. Las derivadas parciales son útiles en el calculo
vectorial y geometría diferencial
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:
Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante,
mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera
constante.
Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función: Z= e x2
+y2

11. DERIVADAS PARCIALES
Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’. eu, siendo u en nuestro caso:
x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de
u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:
Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:
mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y:

12. DERIVADAS PARCIALES
Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una
función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:
En cada una de ellas se consideran constantes los dos parámetros distintos a los que se realiza la
derivada.

13. DIFERENCIAL TOTAL
En análisis matemático, el diferencial total de una función real de diversas variables reales
corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del
gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada
rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión ”n”, donde “n” es el número
de variables dependientes de la función.
Por ejemplo, si z= z(x,y) , una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

14. DIFERENCIAL TOTAL
Sea z = f (x,y) una función para la cual existen las derivadas parciales fx y fy. Sean “x” y “y” cualquier
par de números no cero.
Entonces:
1) Las diferenciales de las variables independientes son:
dx = x
dy = y
2) La diferencial total de la función es:
dz = fx dx + fy dy

15. GRADIENTE
El gradiente o también conocido como vector gradiente, denotado de un campo escalar f, es un
campo vectorial. El vector gradiente de “f” evaluado en un punto genérico “x” del dominio de ,
indica la dirección en la cual el campo f varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de
variación de f en la dirección de dicho vector gradiente.
El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función. También puede
representarse mediante , o usando la notación

16. GRADIENTE
En matemáticas, el ‘gradiente’ es una generalización multivariable de la derivada. Mientras que una
derivada se puede definir solo en funciones de una sola variable, para funciones de varias variables,
el gradiente toma su lugar. El gradiente es una función de valor vectorial, a diferencia de una
derivada, que es una función de valor escalar.
Al igual que la derivada, el gradiente representa la pendiente de la línea tangente a la gráfica de una
función. Más precisamente, el gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene
un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.
Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la
ecuación del espacio tangente al gráfico. Esta propiedad de caracterización del degradado permite
que se defina independientemente de la elección del sistema de coordenadas, como un campo
vectorial cuyos componentes en un sistema de coordenadas se transformarán cuando se pase de un
sistema de coordenadas a otro.

17. GRADIENTE
Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo
escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la
dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa
de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas
latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en
un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector
gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas «equiescalares») del mapa. El
gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas
parciales del campo escalar, esto es:
Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales.
Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

18. GRADIENTE
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector
unitario, da la derivada direccional del campo escalar:
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa
alternativamente mediante el uso del operador nabla:

19. DIVERGENCIA
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre
la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia
será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez
neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia
idénticamente igual a cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo
del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero,
para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
 Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo
magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y es el operador nabla, que se
calcula de la siguiente forma:

20. DIVERGENCIA
 Teorema de la Divergencia
El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un
campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho
campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante
tanto en aplicaciones relacionadas con la electrostática como en la mecánica de fluidos.
El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial “v” diferenciable definida sobre un conjunto
un conjunto cerrado limitado por una frontera o superficie de
contorno (que sea una variedad diferenciable) y sea “n” el vector normal en cada punto de la
superficie, entonces se cumple que:

21. ROTOR
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales
definidos en un abierto de R3 que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación
alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado
del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero
Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado
de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la
dirección normal a S y orientada según la regla de la mano derecha.

22. ROTOR
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
 Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces, el
rot ( f ) =0
 Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0
 Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo R3 , cuyas componentes tienen
derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

23. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
 Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas
las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
 Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al
plano tangente.
 Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación
del plano tangente en un punto P (X0,Y0, Z0) de la superficie viene definido por la ecuación:

24. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
y la recta normal por:
 Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación
del plano tangente en el punto P (X0,Y0, Z0) viene definida por:
y la ecuación de la recta normal:
 “La ecuación del plano tangente se puede utilizar para
calcular el valor aproximado de una función. Gráficamente
significa medir el valor de la función sobre el plano
tangente y no sobre la superficie”.

25. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
Ejercicio: Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación z= x2
+ y2 – 2xy + 2y – 2,
en el punto P(1,2,3).
Solución:
Hallamos las derivadas parciales:

26. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:
Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es:
y la ecuación de la recta normal es:

27. CONCLUSIONES
El contenido de la presentación permitió estudiar y revisar los conceptos básicos
relacionados con la derivación e integración de funciones de varias variables en el espacio
(R3), el cual representa un tema de mucho interés debido al gran contenido de información
que se puede obtener de dichos cálculos tales como: intervalos de crecimiento, puntos de
inflexión, pendientes de la recta, áreas, volúmenes ente otros, los cuales facilitan el
análisis matemático y el comportamiento de las funciones en el espacio.
Es importante destacar que los temas reseñados son muy amplios y a los efectos de esta
presentación se realizó un resumen de cada punto tratando de ser los mas preciso y claro
posible para comprender la esencia de los mismos, motivo por el cual se hace imperativo
seguir profundizando en dichos conceptos y sus aplicaciones.

28. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 https://sites.google.com/
 https://es.wikipedia.org/
 https://es.khanacademy.org/
 https://www.youtube.com/watch?v=RdxXv3lFjls
 https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_w0
 https://www.youtube.com/watch?v=Jc_X-XYKN0o