Matemáticas aplicadas a la Economía II: Interpretación del gradiente. Regla de la cadena. Rectas y planos tangentes

1. March 7, 2010
() March 7, 2010 1 / 18

2. Semana 7
Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables
(continuación)
Interpretación del gradiente. Regla de la cadena. Rectas y plano
tangentes.
Universidad Carlos III. Madrid
Matemáticas II
Curso 2009-2010
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 2 / 18

3. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación
Notemos el siguiente hecho, que viene de consideraciones no demostradas
aquí:
El producto escalar de dos vectores u , v en Rn satisface la expresión
u · v = u v cos θ
donde θ es el ángulo comprendido entre ellos
u
θ
v
Usando esto, y la fórmula para la derivada en la dirección de v :
D fv (p ) = f (p ) · v = f (p ) v cos θ
donde θ es el ángulo comprendido entre los vectores f (p ) y v .
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 3 / 18

4. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación
Notemos el siguiente hecho, que viene de consideraciones no demostradas
aquí:
El producto escalar de dos vectores u , v en Rn satisface la expresión
u · v = u v cos θ
donde θ es el ángulo comprendido entre ellos
u
θ
v
Usando esto, y la fórmula para la derivada en la dirección de v :
D fv (p ) = f (p ) · v = f (p ) v cos θ
donde θ es el ángulo comprendido entre los vectores f (p ) y v .
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 3 / 18

5. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación (Continuación)
Si v = 1, entonces
D f (p) = f (p) cos θ
v
Así, el valor de D f (p) es:
v
máximo cuando θ = 0 (pues cos 0 = 1), es decir, cuando los vectores f (p )
y v tienen la misma dirección y el mismo sentido.
mínimo cuando θ = π (pues cos π = −1) , es decir, cuando los vectores
f (p) y v tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
cero cuando θ = π/2 o θ = 3π/2 (pues cos π/2 = cos 3π/2 = 0), es decir,
cuando los vectores f (p) y v son perpendiculares. Se deduce que
1La dirección de máximo crecimiento de f es la dirección
determinada por f (p ).
2La dirección de máximo decrecimiento de f es la dirección
opuesta a f (p ).
3La función f permanece constante en las direcciones
perpendiculares a f (p).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 4 / 18

6. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación (Continuación)
Si v = 1, entonces
D f (p) = f (p) cos θ
v
Así, el valor de D f (p) es:
v
máximo cuando θ = 0 (pues cos 0 = 1), es decir, cuando los vectores f (p )
y v tienen la misma dirección y el mismo sentido.
mínimo cuando θ = π (pues cos π = −1) , es decir, cuando los vectores
f (p) y v tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
cero cuando θ = π/2 o θ = 3π/2 (pues cos π/2 = cos 3π/2 = 0), es decir,
cuando los vectores f (p) y v son perpendiculares. Se deduce que
1La dirección de máximo crecimiento de f es la dirección
determinada por f (p ).
2La dirección de máximo decrecimiento de f es la dirección
opuesta a f (p ).
3La función f permanece constante en las direcciones
perpendiculares a f (p).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 4 / 18

7. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación (Continuación)
Si v = 1, entonces
D f (p) = f (p) cos θ
v
Así, el valor de D f (p) es:
v
máximo cuando θ = 0 (pues cos 0 = 1), es decir, cuando los vectores f (p )
y v tienen la misma dirección y el mismo sentido.
mínimo cuando θ = π (pues cos π = −1) , es decir, cuando los vectores
f (p) y v tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
cero cuando θ = π/2 o θ = 3π/2 (pues cos π/2 = cos 3π/2 = 0), es decir,
cuando los vectores f (p) y v son perpendiculares. Se deduce que
1La dirección de máximo crecimiento de f es la dirección
determinada por f (p ).
2La dirección de máximo decrecimiento de f es la dirección
opuesta a f (p ).
3La función f permanece constante en las direcciones
perpendiculares a f (p).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 4 / 18

8. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación (Continuación)
Si v = 1, entonces
D f (p) = f (p) cos θ
v
Así, el valor de D f (p) es:
v
máximo cuando θ = 0 (pues cos 0 = 1), es decir, cuando los vectores f (p )
y v tienen la misma dirección y el mismo sentido.
mínimo cuando θ = π (pues cos π = −1) , es decir, cuando los vectores
f (p) y v tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
cero cuando θ = π/2 o θ = 3π/2 (pues cos π/2 = cos 3π/2 = 0), es decir,
cuando los vectores f (p) y v son perpendiculares. Se deduce que
1La dirección de máximo crecimiento de f es la dirección
determinada por f (p ).
2La dirección de máximo decrecimiento de f es la dirección
opuesta a f (p ).
3La función f permanece constante en las direcciones
perpendiculares a f (p).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
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9. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación (Continuación)
Si v = 1, entonces
D f (p) = f (p) cos θ
v
Así, el valor de D f (p) es:
v
máximo cuando θ = 0 (pues cos 0 = 1), es decir, cuando los vectores f (p )
y v tienen la misma dirección y el mismo sentido.
mínimo cuando θ = π (pues cos π = −1) , es decir, cuando los vectores
f (p) y v tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
cero cuando θ = π/2 o θ = 3π/2 (pues cos π/2 = cos 3π/2 = 0), es decir,
cuando los vectores f (p) y v son perpendiculares. Se deduce que
1La dirección de máximo crecimiento de f es la dirección
determinada por f (p ).
2La dirección de máximo decrecimiento de f es la dirección
opuesta a f (p ).
3La función f permanece constante en las direcciones
perpendiculares a f (p).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 4 / 18

10. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación (Continuación)
Si v = 1, entonces
D f (p) = f (p) cos θ
v
Así, el valor de D f (p) es:
v
máximo cuando θ = 0 (pues cos 0 = 1), es decir, cuando los vectores f (p )
y v tienen la misma dirección y el mismo sentido.
mínimo cuando θ = π (pues cos π = −1) , es decir, cuando los vectores
f (p) y v tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
cero cuando θ = π/2 o θ = 3π/2 (pues cos π/2 = cos 3π/2 = 0), es decir,
cuando los vectores f (p) y v son perpendiculares. Se deduce que
1La dirección de máximo crecimiento de f es la dirección
determinada por f (p ).
2La dirección de máximo decrecimiento de f es la dirección
opuesta a f (p ).
3La función f permanece constante en las direcciones
perpendiculares a f (p).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
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11. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación (Continuación)
Si v = 1, entonces
D f (p) = f (p) cos θ
v
Así, el valor de D f (p) es:
v
máximo cuando θ = 0 (pues cos 0 = 1), es decir, cuando los vectores f (p )
y v tienen la misma dirección y el mismo sentido.
mínimo cuando θ = π (pues cos π = −1) , es decir, cuando los vectores
f (p) y v tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
cero cuando θ = π/2 o θ = 3π/2 (pues cos π/2 = cos 3π/2 = 0), es decir,
cuando los vectores f (p) y v son perpendiculares. Se deduce que
1La dirección de máximo crecimiento de f es la dirección
determinada por f (p ).
2La dirección de máximo decrecimiento de f es la dirección
opuesta a f (p ).
3La función f permanece constante en las direcciones
perpendiculares a f (p).
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 4 / 18

12. Cálculo diferencial en varias variables Interpretación del gradiente
Observación (Continuación)
Si v = 1, entonces
D f (p) = f (p) cos θ
v
Así, el valor de D f (p) es:
v
máximo cuando θ = 0 (pues cos 0 = 1), es decir, cuando los vectores f (p )
y v tienen la misma dirección y el mismo sentido.
mínimo cuando θ = π (pues cos π = −1) , es decir, cuando los vectores
f (p) y v tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
cero cuando θ = π/2 o θ = 3π/2 (pues cos π/2 = cos 3π/2 = 0), es decir,
cuando los vectores f (p) y v son perpendiculares. Se deduce que
1La dirección de máximo crecimiento de f es la dirección
determinada por f (p ).
2La dirección de máximo decrecimiento de f es la dirección
opuesta a f (p ).
3La función f permanece constante en las direcciones
perpendiculares a f (p).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 4 / 18

13. Cálculo diferencial en varias variables Derivada a lo largo de una curva
Proposición (Un caso especial de la regla de la cadena)
Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y f :D→R una función
diferenciable, donde D es una subconjunto abierto de Rn .
Supongamos que, σ(t ) se escribe como
σ(t ) = (σ1 (t ), σ2 (t ), . . . , σn (t ))
donde para cada i = 1, . . . , n y cada t ∈R la función σi (t ) es
diferenciable.
En este caso, podemos escribir
d σ d σ1 d σ2 d σn
= , ,...,
dt dt dt dt
Entonces, tenemos que f (σ(t )) es diferenciable y
d d σ
(f (σ(t ))) = f (σ(t )) ·
dt dt
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 5 / 18

14. Cálculo diferencial en varias variables Derivada a lo largo de una curva
Proposición (Un caso especial de la regla de la cadena)
Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y f :D→R una función
diferenciable, donde D es una subconjunto abierto de Rn .
Supongamos que, σ(t ) se escribe como
σ(t ) = (σ1 (t ), σ2 (t ), . . . , σn (t ))
donde para cada i = 1, . . . , n y cada t ∈R la función σi (t ) es
diferenciable.
En este caso, podemos escribir
d σ d σ1 d σ2 d σn
= , ,...,
dt dt dt dt
Entonces, tenemos que f (σ(t )) es diferenciable y
d d σ
(f (σ(t ))) = f (σ(t )) ·
dt dt
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 5 / 18

15. Cálculo diferencial en varias variables Derivada a lo largo de una curva
Proposición (Un caso especial de la regla de la cadena)
Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y f :D→R una función
diferenciable, donde D es una subconjunto abierto de Rn .
Supongamos que, σ(t ) se escribe como
σ(t ) = (σ1 (t ), σ2 (t ), . . . , σn (t ))
donde para cada i = 1, . . . , n y cada t ∈R la función σi (t ) es
diferenciable.
En este caso, podemos escribir
d σ d σ1 d σ2 d σn
= , ,...,
dt dt dt dt
Entonces, tenemos que f (σ(t )) es diferenciable y
d d σ
(f (σ(t ))) = f (σ(t )) ·
dt dt
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 5 / 18

16. Cálculo diferencial en varias variables Derivada a lo largo de una curva
Proposición (Un caso especial de la regla de la cadena)
Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y f :D→R una función
diferenciable, donde D es una subconjunto abierto de Rn .
Supongamos que, σ(t ) se escribe como
σ(t ) = (σ1 (t ), σ2 (t ), . . . , σn (t ))
donde para cada i = 1, . . . , n y cada t ∈R la función σi (t ) es
diferenciable.
En este caso, podemos escribir
d σ d σ1 d σ2 d σn
= , ,...,
dt dt dt dt
Entonces, tenemos que f (σ(t )) es diferenciable y
d d σ
(f (σ(t ))) = f (σ(t )) ·
dt dt
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 5 / 18

17. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Observación (El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel)
Sea p ∈ D y f : D ⊂ Rn → R diferenciable. Sea c ∈ R y supongamos que
el conjunto de nivel
c = {x ∈ D : f (x ) = c }
S
es no vacío. Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y supongamos que
σ(t ) ∈ SC para todo t ∈ R. Es decir, f (σ(t )) = c para todo t ∈ R.
Por un lado, tenemos que g (t ) = f (σ(t )) es una función de una sola
d d
variable. Cuando g (t ) = c , dt g (t ) = dt f (σ(t )) = 0.
Esto ocurre en la supercie de nivel Sc , en particular a lo largo de la
curva σ(t ), por denición.
Ahora bien. Diferenciando y aplicando la regla de la cadena obtenemos
d d σ
f (σ(t )) = f (σ(t )) ·
dt dt
Por lo tanto f (σ(t )) · d σ = 0. Es decir, los vectores
dt f (σ(t )) y
d σ(t )/dt son perpendiculares entre sí para todo t ∈ R.
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 6 / 18

18. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Observación (El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel)
Sea p ∈ D y f : D ⊂ Rn → R diferenciable. Sea c ∈ R y supongamos que
el conjunto de nivel
c = {x ∈ D : f (x ) = c }
S
es no vacío. Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y supongamos que
σ(t ) ∈ SC para todo t ∈ R. Es decir, f (σ(t )) = c para todo t ∈ R.
Por un lado, tenemos que g (t ) = f (σ(t )) es una función de una sola
d d
variable. Cuando g (t ) = c , dt g (t ) = dt f (σ(t )) = 0.
Esto ocurre en la supercie de nivel Sc , en particular a lo largo de la
curva σ(t ), por denición.
Ahora bien. Diferenciando y aplicando la regla de la cadena obtenemos
d d σ
f (σ(t )) = f (σ(t )) ·
dt dt
Por lo tanto f (σ(t )) · d σ = 0. Es decir, los vectores
dt f (σ(t )) y
d σ(t )/dt son perpendiculares entre sí para todo t ∈ R.
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 6 / 18

19. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Observación (El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel)
Sea p ∈ D y f : D ⊂ Rn → R diferenciable. Sea c ∈ R y supongamos que
el conjunto de nivel
c = {x ∈ D : f (x ) = c }
S
es no vacío. Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y supongamos que
σ(t ) ∈ SC para todo t ∈ R. Es decir, f (σ(t )) = c para todo t ∈ R.
Por un lado, tenemos que g (t ) = f (σ(t )) es una función de una sola
d d
variable. Cuando g (t ) = c , dt g (t ) = dt f (σ(t )) = 0.
Esto ocurre en la supercie de nivel Sc , en particular a lo largo de la
curva σ(t ), por denición.
Ahora bien. Diferenciando y aplicando la regla de la cadena obtenemos
d d σ
f (σ(t )) = f (σ(t )) ·
dt dt
Por lo tanto f (σ(t )) · d σ = 0. Es decir, los vectores
dt f (σ(t )) y
d σ(t )/dt son perpendiculares entre sí para todo t ∈ R.
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 6 / 18

20. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Observación (El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel)
Sea p ∈ D y f : D ⊂ Rn → R diferenciable. Sea c ∈ R y supongamos que
el conjunto de nivel
c = {x ∈ D : f (x ) = c }
S
es no vacío. Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y supongamos que
σ(t ) ∈ SC para todo t ∈ R. Es decir, f (σ(t )) = c para todo t ∈ R.
Por un lado, tenemos que g (t ) = f (σ(t )) es una función de una sola
d d
variable. Cuando g (t ) = c , dt g (t ) = dt f (σ(t )) = 0.
Esto ocurre en la supercie de nivel Sc , en particular a lo largo de la
curva σ(t ), por denición.
Ahora bien. Diferenciando y aplicando la regla de la cadena obtenemos
d d σ
f (σ(t )) = f (σ(t )) ·
dt dt
Por lo tanto f (σ(t )) · d σ = 0. Es decir, los vectores
dt f (σ(t )) y
d σ(t )/dt son perpendiculares entre sí para todo t ∈ R.
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
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21. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Observación (El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel)
Sea p ∈ D y f : D ⊂ Rn → R diferenciable. Sea c ∈ R y supongamos que
el conjunto de nivel
c = {x ∈ D : f (x ) = c }
S
es no vacío. Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y supongamos que
σ(t ) ∈ SC para todo t ∈ R. Es decir, f (σ(t )) = c para todo t ∈ R.
Por un lado, tenemos que g (t ) = f (σ(t )) es una función de una sola
d d
variable. Cuando g (t ) = c , dt g (t ) = dt f (σ(t )) = 0.
Esto ocurre en la supercie de nivel Sc , en particular a lo largo de la
curva σ(t ), por denición.
Ahora bien. Diferenciando y aplicando la regla de la cadena obtenemos
d d σ
f (σ(t )) = f (σ(t )) ·
dt dt
Por lo tanto f (σ(t )) · d σ = 0. Es decir, los vectores
dt f (σ(t )) y
d σ(t )/dt son perpendiculares entre sí para todo t ∈ R.
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 6 / 18

22. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Observación (El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel)
Sea p ∈ D y f : D ⊂ Rn → R diferenciable. Sea c ∈ R y supongamos que
el conjunto de nivel
c = {x ∈ D : f (x ) = c }
S
es no vacío. Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y supongamos que
σ(t ) ∈ SC para todo t ∈ R. Es decir, f (σ(t )) = c para todo t ∈ R.
Por un lado, tenemos que g (t ) = f (σ(t )) es una función de una sola
d d
variable. Cuando g (t ) = c , dt g (t ) = dt f (σ(t )) = 0.
Esto ocurre en la supercie de nivel Sc , en particular a lo largo de la
curva σ(t ), por denición.
Ahora bien. Diferenciando y aplicando la regla de la cadena obtenemos
d d σ
f (σ(t )) = f (σ(t )) ·
dt dt
Por lo tanto f (σ(t )) · d σ = 0. Es decir, los vectores
dt f (σ(t )) y
d σ(t )/dt son perpendiculares entre sí para todo t ∈ R.
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 6 / 18

23. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Observación (El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel)
Sea p ∈ D y f : D ⊂ Rn → R diferenciable. Sea c ∈ R y supongamos que
el conjunto de nivel
c = {x ∈ D : f (x ) = c }
S
es no vacío. Sea σ : R → Rn una curva diferenciable y supongamos que
σ(t ) ∈ SC para todo t ∈ R. Es decir, f (σ(t )) = c para todo t ∈ R.
Por un lado, tenemos que g (t ) = f (σ(t )) es una función de una sola
d d
variable. Cuando g (t ) = c , dt g (t ) = dt f (σ(t )) = 0.
Esto ocurre en la supercie de nivel Sc , en particular a lo largo de la
curva σ(t ), por denición.
Ahora bien. Diferenciando y aplicando la regla de la cadena obtenemos
d d σ
f (σ(t )) = f (σ(t )) ·
dt dt
Por lo tanto f (σ(t )) · d σ = 0. Es decir, los vectores
dt f (σ(t )) y
d σ(t )/dt son perpendiculares entre sí para todo t ∈ R.
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 6 / 18

24. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Observación
El anterior argumento demuestra que en cualquier punto p ∈ SC , el
gradiente f (p ) es perpendicular al conjunto de nivel Sc .
Grácamente,
∇ f(p)
σ (t) SC
T p
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 7 / 18

25. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Observación
Para el caso de funciones de utilidad de dos bienes, x e y:
Y
∇ U x , y
U  x , y =u0
0 X
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 8 / 18

26. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Recta tangente a una función de una variable)
Consideremos una función diferenciable f : R → R.
La gráca de f es el conjunto G = {(x , f (x )) : x ∈ R}
Denimos la función de dos variables g (x , y ) = f (x ) − y
Entonces, G es también G = {(x , y ) ∈ R2 : g (x , y ) = 0}
Y T
a , f a
G ={ x , f  x : x ∈ℝ }
2
v= x , y  G ={ x , y ∈ℝ : g  x , y =0 }
∇ g a , f a
0 X
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 9 / 18

27. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Recta tangente a una función de una variable)
Consideremos una función diferenciable f : R → R.
La gráca de f es el conjunto G = {(x , f (x )) : x ∈ R}
Denimos la función de dos variables g (x , y ) = f (x ) − y
Entonces, G es también G = {(x , y ) ∈ R2 : g (x , y ) = 0}
Y T
a , f a
G ={ x , f  x : x ∈ℝ }
2
v= x , y  G ={ x , y ∈ℝ : g  x , y =0 }
∇ g a , f a
0 X
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 9 / 18

28. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Recta tangente a una función de una variable)
Consideremos una función diferenciable f : R → R.
La gráca de f es el conjunto G = {(x , f (x )) : x ∈ R}
Denimos la función de dos variables g (x , y ) = f (x ) − y
Entonces, G es también G = {(x , y ) ∈ R2 : g (x , y ) = 0}
Y T
a , f a
G ={ x , f  x : x ∈ℝ }
2
v= x , y  G ={ x , y ∈ℝ : g  x , y =0 }
∇ g a , f a
0 X
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 9 / 18

29. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Continuación)
Vemos que dado un punto a ∈ R, la recta T tangente a G en el punto
(a, f (a)) satisface las siguientes propiedades
T contiene el punto (a, f (a)).
T es perpendicular al vector gradiente g (a, f (a)).
Usando esto (ver gráco), para = (x , y ) ∈ T , tenemos que
v
v − (a, f (a)) = (x , y ) − (a, f (a)) = (x − a, y − f (a)) es perpendicular
a g (a, f (a)). En otras palabras,
( , (a)) · [x − a, y − f (a)] = 0
g a f
Ahora, como g (x , y ) = f (x ) − y , g (a, f (a)) = (f (a), −1). Por
tanto, la ecuación correspondiente es
(f (a), −1) · [x − a, y − f (a)] = 0, ó
f (a)(x − a) − (y − f (a)) = 0
En otras palabras, y = f (a) + f (a)(x − a).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 10 / 18

30. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Continuación)
Vemos que dado un punto a ∈ R, la recta T tangente a G en el punto
(a, f (a)) satisface las siguientes propiedades
T contiene el punto (a, f (a)).
T es perpendicular al vector gradiente g (a, f (a)).
Usando esto (ver gráco), para = (x , y ) ∈ T , tenemos que
v
v − (a, f (a)) = (x , y ) − (a, f (a)) = (x − a, y − f (a)) es perpendicular
a g (a, f (a)). En otras palabras,
( , (a)) · [x − a, y − f (a)] = 0
g a f
Ahora, como g (x , y ) = f (x ) − y , g (a, f (a)) = (f (a), −1). Por
tanto, la ecuación correspondiente es
(f (a), −1) · [x − a, y − f (a)] = 0, ó
f (a)(x − a) − (y − f (a)) = 0
En otras palabras, y = f (a) + f (a)(x − a).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 10 / 18

31. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Continuación)
Vemos que dado un punto a ∈ R, la recta T tangente a G en el punto
(a, f (a)) satisface las siguientes propiedades
T contiene el punto (a, f (a)).
T es perpendicular al vector gradiente g (a, f (a)).
Usando esto (ver gráco), para = (x , y ) ∈ T , tenemos que
v
v − (a, f (a)) = (x , y ) − (a, f (a)) = (x − a, y − f (a)) es perpendicular
a g (a, f (a)). En otras palabras,
( , (a)) · [x − a, y − f (a)] = 0
g a f
Ahora, como g (x , y ) = f (x ) − y , g (a, f (a)) = (f (a), −1). Por
tanto, la ecuación correspondiente es
(f (a), −1) · [x − a, y − f (a)] = 0, ó
f (a)(x − a) − (y − f (a)) = 0
En otras palabras, y = f (a) + f (a)(x − a).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 10 / 18

32. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Continuación)
Vemos que dado un punto a ∈ R, la recta T tangente a G en el punto
(a, f (a)) satisface las siguientes propiedades
T contiene el punto (a, f (a)).
T es perpendicular al vector gradiente g (a, f (a)).
Usando esto (ver gráco), para = (x , y ) ∈ T , tenemos que
v
v − (a, f (a)) = (x , y ) − (a, f (a)) = (x − a, y − f (a)) es perpendicular
a g (a, f (a)). En otras palabras,
( , (a)) · [x − a, y − f (a)] = 0
g a f
Ahora, como g (x , y ) = f (x ) − y , g (a, f (a)) = (f (a), −1). Por
tanto, la ecuación correspondiente es
(f (a), −1) · [x − a, y − f (a)] = 0, ó
f (a)(x − a) − (y − f (a)) = 0
En otras palabras, y = f (a) + f (a)(x − a).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 10 / 18

33. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Continuación)
Vemos que dado un punto a ∈ R, la recta T tangente a G en el punto
(a, f (a)) satisface las siguientes propiedades
T contiene el punto (a, f (a)).
T es perpendicular al vector gradiente g (a, f (a)).
Usando esto (ver gráco), para = (x , y ) ∈ T , tenemos que
v
v − (a, f (a)) = (x , y ) − (a, f (a)) = (x − a, y − f (a)) es perpendicular
a g (a, f (a)). En otras palabras,
( , (a)) · [x − a, y − f (a)] = 0
g a f
Ahora, como g (x , y ) = f (x ) − y , g (a, f (a)) = (f (a), −1). Por
tanto, la ecuación correspondiente es
(f (a), −1) · [x − a, y − f (a)] = 0, ó
f (a)(x − a) − (y − f (a)) = 0
En otras palabras, y = f (a) + f (a)(x − a).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 10 / 18

34. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Continuación)
Vemos que dado un punto a ∈ R, la recta T tangente a G en el punto
(a, f (a)) satisface las siguientes propiedades
T contiene el punto (a, f (a)).
T es perpendicular al vector gradiente g (a, f (a)).
Usando esto (ver gráco), para = (x , y ) ∈ T , tenemos que
v
v − (a, f (a)) = (x , y ) − (a, f (a)) = (x − a, y − f (a)) es perpendicular
a g (a, f (a)). En otras palabras,
( , (a)) · [x − a, y − f (a)] = 0
g a f
Ahora, como g (x , y ) = f (x ) − y , g (a, f (a)) = (f (a), −1). Por
tanto, la ecuación correspondiente es
(f (a), −1) · [x − a, y − f (a)] = 0, ó
f (a)(x − a) − (y − f (a)) = 0
En otras palabras, y = f (a) + f (a)(x − a).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 10 / 18

35. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Continuación)
Vemos que dado un punto a ∈ R, la recta T tangente a G en el punto
(a, f (a)) satisface las siguientes propiedades
T contiene el punto (a, f (a)).
T es perpendicular al vector gradiente g (a, f (a)).
Usando esto (ver gráco), para = (x , y ) ∈ T , tenemos que
v
v − (a, f (a)) = (x , y ) − (a, f (a)) = (x − a, y − f (a)) es perpendicular
a g (a, f (a)). En otras palabras,
( , (a)) · [x − a, y − f (a)] = 0
g a f
Ahora, como g (x , y ) = f (x ) − y , g (a, f (a)) = (f (a), −1). Por
tanto, la ecuación correspondiente es
(f (a), −1) · [x − a, y − f (a)] = 0, ó
f (a)(x − a) − (y − f (a)) = 0
En otras palabras, y = f (a) + f (a)(x − a).
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 10 / 18

36. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Caso del plano tangente a una función en R2 )
Ahora f : R2 → R.
En este caso G = {(x , y , f (x , y )) : (x , y ) ∈ R2 }
Denimos la función de tres variables g (x , y , z ) = f (x , y ) − z
Entonces, G = {(x , y , z ) ∈ R3 : g (x , y , z ) = 0}
Usando las mismas propiedades del plano tangente T , para
v = (x , y , z ) ∈ T ,
g (a, b , f (a, b )) · ((x , y , z ) − (a, b , f (a, b ))) = 0
Observando que
∂f ∂f
( , , (a, b)) =
g a b f (a, b), (a, b), −1
∂x ∂y
vemos que la ecuación para T es
∂f ∂f
z = f (a, b) + (a, b) · (x − a) + (a, b) · (y − b)
∂x ∂y
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 11 / 18

37. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Caso del plano tangente a una función en R2 )
Ahora f : R2 → R.
En este caso G = {(x , y , f (x , y )) : (x , y ) ∈ R2 }
Denimos la función de tres variables g (x , y , z ) = f (x , y ) − z
Entonces, G = {(x , y , z ) ∈ R3 : g (x , y , z ) = 0}
Usando las mismas propiedades del plano tangente T , para
v = (x , y , z ) ∈ T ,
g (a, b , f (a, b )) · ((x , y , z ) − (a, b , f (a, b ))) = 0
Observando que
∂f ∂f
( , , (a, b)) =
g a b f (a, b), (a, b), −1
∂x ∂y
vemos que la ecuación para T es
∂f ∂f
z = f (a, b) + (a, b) · (x − a) + (a , b ) · (y − b )
∂x ∂y
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 11 / 18

38. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Caso del plano tangente a una función en R2 )
Ahora f : R2 → R.
En este caso G = {(x , y , f (x , y )) : (x , y ) ∈ R2 }
Denimos la función de tres variables g (x , y , z ) = f (x , y ) − z
Entonces, G = {(x , y , z ) ∈ R3 : g (x , y , z ) = 0}
Usando las mismas propiedades del plano tangente T , para
v = (x , y , z ) ∈ T ,
g (a, b , f (a, b )) · ((x , y , z ) − (a, b , f (a, b ))) = 0
Observando que
∂f ∂f
( , , (a, b)) =
g a b f (a, b), (a, b), −1
∂x ∂y
vemos que la ecuación para T es
∂f ∂f
z = f (a, b) + (a, b) · (x − a) + (a , b ) · (y − b )
∂x ∂y
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 11 / 18

39. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Caso del plano tangente a una función en R2 )
Ahora f : R2 → R.
En este caso G = {(x , y , f (x , y )) : (x , y ) ∈ R2 }
Denimos la función de tres variables g (x , y , z ) = f (x , y ) − z
Entonces, G = {(x , y , z ) ∈ R3 : g (x , y , z ) = 0}
Usando las mismas propiedades del plano tangente T , para
v = (x , y , z ) ∈ T ,
g (a, b , f (a, b )) · ((x , y , z ) − (a, b , f (a, b ))) = 0
Observando que
∂f ∂f
( , , (a, b)) =
g a b f (a, b), (a, b), −1
∂x ∂y
vemos que la ecuación para T es
∂f ∂f
z = f (a, b) + (a, b) · (x − a) + (a , b ) · (y − b )
∂x ∂y
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 11 / 18

40. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Caso del plano tangente a una función en R2 )
Ahora f : R2 → R.
En este caso G = {(x , y , f (x , y )) : (x , y ) ∈ R2 }
Denimos la función de tres variables g (x , y , z ) = f (x , y ) − z
Entonces, G = {(x , y , z ) ∈ R3 : g (x , y , z ) = 0}
Usando las mismas propiedades del plano tangente T , para
v = (x , y , z ) ∈ T ,
g (a, b , f (a, b )) · ((x , y , z ) − (a, b , f (a, b ))) = 0
Observando que
∂f ∂f
( , , (a, b)) =
g a b f (a, b), (a, b), −1
∂x ∂y
vemos que la ecuación para T es
∂f ∂f
z = f (a, b) + (a, b) · (x − a) + (a , b ) · (y − b )
∂x ∂y
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 11 / 18

41. Cálculo diferencial en varias variables Otra Interpretación del vector gradiente
Ejemplo (Caso del plano tangente a una función en R2 )
Ahora f : R2 → R.
En este caso G = {(x , y , f (x , y )) : (x , y ) ∈ R2 }
Denimos la función de tres variables g (x , y , z ) = f (x , y ) − z
Entonces, G = {(x , y , z ) ∈ R3 : g (x , y , z ) = 0}
Usando las mismas propiedades del plano tangente T , para
v = (x , y , z ) ∈ T ,
g (a, b , f (a, b )) · ((x , y , z ) − (a, b , f (a, b ))) = 0
Observando que
∂f ∂f
( , , (a, b)) =
g a b f (a, b), (a, b), −1
∂x ∂y
vemos que la ecuación para T es
∂f ∂f
z = f (a, b) + (a, b) · (x − a) + (a , b ) · (y − b )
∂x ∂y
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 11 / 18

42. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Denición
Dada una función f (x ) = (f1 (x ), f2 (x ), · · · , fm (x )) : D ⊂ Rn → Rm y un
punto p ∈ D , denimos la matriz Jacobiana de f en el punto p como la
siguiente matriz de orden m × n
∂ f1 ( p ) ∂ f1 (p ) ∂ f1 (p )
 
∂ x1 ∂ x2 ··· ∂ xn
∂ f2 ( p ) ∂ f2 (p ) ∂ f2 (p )
···
 
∂ x1 ∂ x2 ∂ xn
D f (p ) = 
 
.
. .
. .
. .
.

. . . .
 
 
∂ fm ( p ) ∂ fm (p ) ∂ fm (p )
∂ x1 ∂ x2 ··· ∂ xn
Observación
1 Si f (x ) = D ⊂ Rn → R ¾cuál es la diferencia entre D f (p ) y f (p )?
2 Si m = n = 1 ¾Qué es D f (p )?
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 12 / 18

43. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Denición
Dada una función f (x ) = (f1 (x ), f2 (x ), · · · , fm (x )) : D ⊂ Rn → Rm y un
punto p ∈ D , denimos la matriz Jacobiana de f en el punto p como la
siguiente matriz de orden m × n
∂ f1 ( p ) ∂ f1 (p ) ∂ f1 (p )
 
∂ x1 ∂ x2 ··· ∂ xn
∂ f2 ( p ) ∂ f2 (p ) ∂ f2 (p )
···
 
∂ x1 ∂ x2 ∂ xn
D f (p ) = 
 
.
. .
. .
. .
.

. . . .
 
 
∂ fm ( p ) ∂ fm (p ) ∂ fm (p )
∂ x1 ∂ x2 ··· ∂ xn
Observación
1 Si f (x ) = D ⊂ Rn → R ¾cuál es la diferencia entre D f (p ) y f (p )?
2 Si m = n = 1 ¾Qué es D f (p )?
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 12 / 18

44. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Denición
Dada una función f (x ) = (f1 (x ), f2 (x ), · · · , fm (x )) : D ⊂ Rn → Rm y un
punto p ∈ D , denimos la matriz Jacobiana de f en el punto p como la
siguiente matriz de orden m × n
∂ f1 ( p ) ∂ f1 (p ) ∂ f1 (p )
 
∂ x1 ∂ x2 ··· ∂ xn
∂ f2 ( p ) ∂ f2 (p ) ∂ f2 (p )
···
 
∂ x1 ∂ x2 ∂ xn
D f (p ) = 
 
.
. .
. .
. .
.

. . . .
 
 
∂ fm ( p ) ∂ fm (p ) ∂ fm (p )
∂ x1 ∂ x2 ··· ∂ xn
Observación
1 Si f (x ) = D ⊂ Rn → R ¾cuál es la diferencia entre D f (p ) y f (p )?
2 Si m = n = 1 ¾Qué es D f (p )?
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 12 / 18

45. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Denición
Una función f (x ) = (f1 (x ), f2 (x ), · · · , fm (x )) : D ⊂ Rn → Rm es
diferenciable en un punto p ∈ D si cada una de las funciones
f1 (x ), f2 (x ), · · · , fm (x ) es diferenciable en p .
Teorema (Regla de la cadena)
Sean : Rn → Rm y f : Rm → Rl . Supongamos que g es diferenciable en
g
p ∈R n y que f es diferenciable en g (p ) ∈ Rm . Entonces la función f ◦ g es
diferenciable en p , y
D(f ◦ g )(p ) = D f (g (p )) D g (p )
Observación
La expresión D(f ◦ g )(p ) = D f (g (p )) D g (p ) contiene el producto de 2
matrices.
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 13 / 18

46. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Denición
Una función f (x ) = (f1 (x ), f2 (x ), · · · , fm (x )) : D ⊂ Rn → Rm es
diferenciable en un punto p ∈ D si cada una de las funciones
f1 (x ), f2 (x ), · · · , fm (x ) es diferenciable en p .
Teorema (Regla de la cadena)
Sean : Rn → Rm y f : Rm → Rl . Supongamos que g es diferenciable en
g
p ∈R n y que f es diferenciable en g (p ) ∈ Rm . Entonces la función f ◦ g es
diferenciable en p , y
D(f ◦ g )(p ) = D f (g (p )) D g (p )
Observación
La expresión D(f ◦ g )(p ) = D f (g (p )) D g (p ) contiene el producto de 2
matrices.
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 13 / 18

47. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Denición
Una función f (x ) = (f1 (x ), f2 (x ), · · · , fm (x )) : D ⊂ Rn → Rm es
diferenciable en un punto p ∈ D si cada una de las funciones
f1 (x ), f2 (x ), · · · , fm (x ) es diferenciable en p .
Teorema (Regla de la cadena)
Sean : Rn → Rm y f : Rm → Rl . Supongamos que g es diferenciable en
g
p ∈R n y que f es diferenciable en g (p ) ∈ Rm . Entonces la función f ◦ g es
diferenciable en p , y
D(f ◦ g )(p ) = D f (g (p )) D g (p )
Observación
La expresión D(f ◦ g )(p ) = D f (g (p )) D g (p ) contiene el producto de 2
matrices.
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 13 / 18

48. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo (Caso especial anterior de la regla de la cadena, más
formalmente)
Sea σ : R → R2 una curva diferenciable y f : R2 → R una función
diferenciable. Supongamos que σ(t ) se escribe como
σ(t ) = (x (t ), y (t ))
Entonces la regla de la cadena dice que
d
f (x (t ), y (t )) = D(f ◦ σ)(t ) = D f (x , y )|x =x (t ) D σ(t )
dt
y =y (t )
∂f ∂f x (t )
= ∂x ∂y x =x (t ) y (t )
y =y ( t )
∂f ∂f
= (x (t ), y (t ))x (t ) + (x (t ), y (t ))y (t )
∂x ∂y
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 14 / 18

49. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo (Caso especial anterior de la regla de la cadena, más
formalmente)
Sea σ : R → R2 una curva diferenciable y f : R2 → R una función
diferenciable. Supongamos que σ(t ) se escribe como
σ(t ) = (x (t ), y (t ))
Entonces la regla de la cadena dice que
d
f (x (t ), y (t )) = D(f ◦ σ)(t ) = D f (x , y )|x =x (t ) D σ(t )
dt
y =y (t )
∂f ∂f x (t )
= ∂x ∂y x =x (t ) y (t )
y =y ( t )
∂f ∂f
= (x (t ), y (t ))x (t ) + (x (t ), y (t ))y (t )
∂x ∂y
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 14 / 18

50. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo (Caso especial de la regla de la cadena)
Sea g (s , t ) : R2 → R2 una función diferenciable y f (x , y ) : R2 → R una función
diferenciable. Supongamos que g (s , t ) se escribe como g (s , t ) = (x (s , t ), y (s , t )),
por lo que (f ◦ g )(s , t ) = f (g (s , t )) = f (x (s , t ), y (s , t )) Entonces la regla de la
cadena dice que
D f (x (s , t ), y (s , t )) = D( f ◦ g )(s , t ) = D f (x , y )| x =x (s ,t )
D g (s , t )
y =y (s ,t )
∂x ∂x
∂f ∂f ∂s ∂t
= ∂x ∂y ∂y ∂y
∂s ∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y
= ∂x ∂s + ∂y ∂s ∂x ∂t + ∂y ∂t
Es decir,
∂(f ◦ g ) ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
∂(f ◦ g ) ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 15 / 18

51. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo (Caso especial de la regla de la cadena)
Sea g (s , t ) : R2 → R2 una función diferenciable y f (x , y ) : R2 → R una función
diferenciable. Supongamos que g (s , t ) se escribe como g (s , t ) = (x (s , t ), y (s , t )),
por lo que (f ◦ g )(s , t ) = f (g (s , t )) = f (x (s , t ), y (s , t )) Entonces la regla de la
cadena dice que
D f (x (s , t ), y (s , t )) = D( f ◦ g )(s , t ) = D f (x , y )| x =x (s ,t )
D g (s , t )
y =y (s ,t )
∂x ∂x
∂f ∂f ∂s ∂t
= ∂x ∂y ∂y ∂y
∂s ∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y
= ∂x ∂s + ∂y ∂s ∂x ∂t + ∂y ∂t
Es decir,
∂(f ◦ g ) ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
∂(f ◦ g ) ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 15 / 18

52. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo (Caso especial de la regla de la cadena)
Sea g (s , t ) : R2 → R2 una función diferenciable y f (x , y ) : R2 → R una función
diferenciable. Supongamos que g (s , t ) se escribe como g (s , t ) = (x (s , t ), y (s , t )),
por lo que (f ◦ g )(s , t ) = f (g (s , t )) = f (x (s , t ), y (s , t )) Entonces la regla de la
cadena dice que
D f (x (s , t ), y (s , t )) = D( f ◦ g )(s , t ) = D f (x , y )| x =x (s ,t )
D g (s , t )
y =y (s ,t )
∂x ∂x
∂f ∂f ∂s ∂t
= ∂x ∂y ∂y ∂y
∂s ∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y
= ∂x ∂s + ∂y ∂s ∂x ∂t + ∂y ∂t
Es decir,
∂(f ◦ g ) ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
∂(f ◦ g ) ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
Universidad Carlos III. MadridMatemáticas II ()
Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 15 / 18

53. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo (Caso especial de la regla de la cadena)
Sea g (s , t ) : R2 → R2 una función diferenciable y f (x , y ) : R2 → R una función
diferenciable. Supongamos que g (s , t ) se escribe como g (s , t ) = (x (s , t ), y (s , t )),
por lo que (f ◦ g )(s , t ) = f (g (s , t )) = f (x (s , t ), y (s , t )) Entonces la regla de la
cadena dice que
D f (x (s , t ), y (s , t )) = D( f ◦ g )(s , t ) = D f (x , y )| x =x (s ,t )
D g (s , t )
y =y (s ,t )
∂x ∂x
∂f ∂f ∂s ∂t
= ∂x ∂y ∂y ∂y
∂s ∂t
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y
= ∂x ∂s + ∂y ∂s ∂x ∂t + ∂y ∂t
Es decir,
∂(f ◦ g ) ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
∂(f ◦ g ) ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 15 / 18

54. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo
Consideremos la función de producción Cobb-Douglas
f (K , L) = 5K 1/3 L2/3
donde f es el número de unidades producidas, K es el capital y L es el
traba jo. Supongamos que el capital y el trabajo son funciones del tiempo
K = K (t ), L = L(t )
Entonces la producción
f (K (t ), L(t ))
es también una función del tiempo. ¾Cómo cambia la producción en un
instante determinado? Usando la regla de la cadena podemos expresar este
cambio.
df (K (t ), L(t )) =
∂f dK +
∂ f dL
dt ∂K dt ∂ L dt
=
5
3
K −2/3 L2/3 dK
dt +
10
3
K 1/3 L−1/3 dL
dt
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 16 / 18

55. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo
Consideremos la función de producción Cobb-Douglas
f (K , L) = 5K 1/3 L2/3
donde f es el número de unidades producidas, K es el capital y L es el
traba jo. Supongamos que el capital y el traba jo son funciones del tiempo
K = K (t ), L = L(t )
Entonces la producción
f (K (t ), L(t ))
es también una función del tiempo. ¾Cómo cambia la producción en un
instante determinado? Usando la regla de la cadena podemos expresar este
cambio.
df (K (t ), L(t )) =
∂f dK +
∂ f dL
dt ∂K dt ∂ L dt
=
5
3
K −2/3 L2/3 dK
dt +
10
3
K 1/3 L−1/3 dL
dt
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 16 / 18

56. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo
Consideremos la función de producción Cobb-Douglas
f (K , L) = 5K 1/3 L2/3
donde f es el número de unidades producidas, K es el capital y L es el
traba jo. Supongamos que el capital y el traba jo son funciones del tiempo
K = K (t ), L = L(t )
Entonces la producción
f (K (t ), L(t ))
es también una función del tiempo. ¾Cómo cambia la producción en un
instante determinado? Usando la regla de la cadena podemos expresar este
cambio.
df (K (t ), L(t )) =
∂f dK +
∂ f dL
dt ∂K dt ∂ L dt
=
5
3
K −2/3 L2/3 dK
dt +
10
3
K 1/3 L−1/3 dL
dt
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 16 / 18

57. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo
Consideremos la función de producción Cobb-Douglas
f (K , L) = 5K 1/3 L2/3
donde f es el número de unidades producidas, K es el capital y L es el
traba jo. Supongamos que el capital y el traba jo son funciones del tiempo
K = K (t ), L = L(t )
Entonces la producción
f (K (t ), L(t ))
es también una función del tiempo. ¾Cómo cambia la producción en un
instante determinado? Usando la regla de la cadena podemos expresar este
cambio.
df (K (t ), L(t )) =
∂f dK +
∂ f dL
dt ∂K dt ∂ L dt
=
5
3
K −2/3 L2/3 dK
dt +
10
3
K 1/3 L−1/3 dL
dt
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 16 / 18

58. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo
Supongamos que un agente tiene una función de utilidad diferenciable
( , )
u x y donde x es un bien de consumo e y es la contaminación
ambiental. Entonces la utilidad del agente es creciente en x y
∂u ∂u
decreciente en y ,
∂x 0, ∂ y 0.
Supongamos que para producir x unidades del bien se generan y = f (x )
unidades de contaminación, ¾Cuál es el nivel óptimo de consumo del
bien x para el agente?
La utilidad del agente cuando consume x del bien y se generan y = f (x )
unidades de contaminación es u x f ( , (x )). Por tanto el agente maximiza
la función de utilidad anterior. La condición de primer orden es
( , (x ))
du x f
=0
dx
Por la regla de la cadena, vemos que la ecuación para optimizar es
∂u ∂u
(x , f (x )) + (x , f (x ))f (x ) = 0
∂x ∂y
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
Curso 2009-2010 17 / 18

59. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo
Supongamos que un agente tiene una función de utilidad diferenciable
( , )
u x y donde x es un bien de consumo e y es la contaminación
ambiental. Entonces la utilidad del agente es creciente en x y
∂u ∂u
decreciente en y ,
∂x 0, ∂ y 0.
Supongamos que para producir x unidades del bien se generan y = f (x )
unidades de contaminación, ¾Cuál es el nivel óptimo de consumo del
bien x para el agente?
La utilidad del agente cuando consume x del bien y se generan y = f (x )
unidades de contaminación es u x f ( , (x )). Por tanto el agente maximiza
la función de utilidad anterior. La condición de primer orden es
( , (x ))
du x f
=0
dx
Por la regla de la cadena, vemos que la ecuación para optimizar es
∂u ∂u
(x , f (x )) + (x , f (x ))f (x ) = 0
∂x ∂y
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
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60. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo
Supongamos que un agente tiene una función de utilidad diferenciable
( , )
u x y donde x es un bien de consumo e y es la contaminación
ambiental. Entonces la utilidad del agente es creciente en x y
∂u ∂u
decreciente en y ,
∂x 0, ∂ y 0.
Supongamos que para producir x unidades del bien se generan y = f (x )
unidades de contaminación, ¾Cuál es el nivel óptimo de consumo del
bien x para el agente?
La utilidad del agente cuando consume x del bien y se generan y = f (x )
unidades de contaminación es u x f ( , (x )). Por tanto el agente maximiza
la función de utilidad anterior. La condición de primer orden es
( , (x ))
du x f
=0
dx
Por la regla de la cadena, vemos que la ecuación para optimizar es
∂u ∂u
(x , f (x )) + (x , f (x ))f (x ) = 0
∂x ∂y
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61. Cálculo diferencial en varias variables La regla de la cadena: caso general
Ejemplo
Supongamos que un agente tiene una función de utilidad diferenciable
( , )
u x y donde x es un bien de consumo e y es la contaminación
ambiental. Entonces la utilidad del agente es creciente en x y
∂u ∂u
decreciente en y ,
∂x 0, ∂ y 0.
Supongamos que para producir x unidades del bien se generan y = f (x )
unidades de contaminación, ¾Cuál es el nivel óptimo de consumo del
bien x para el agente?
La utilidad del agente cuando consume x del bien y se generan y = f (x )
unidades de contaminación es u x f ( , (x )). Por tanto el agente maximiza
la función de utilidad anterior. La condición de primer orden es
( , (x ))
du x f
=0
dx
Por la regla de la cadena, vemos que la ecuación para optimizar es
∂u ∂u
(x , f (x )) + (x , f (x ))f (x ) = 0
∂x ∂y
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Semana 7 Tema 3: Cálculo diferencial en varias variables (continuación)
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