Trabajo presentado en el coloquio fmat-cimat. Universidad autonoma de Yucatan. Work presented at the Fmat-Cimat Colloquium at Universidad Autonoma de Yucatan, Mexico

1. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Condiciones de rigidez en ν-configuraciones
principales de superficies inmersas en R4
R. García1
1Facultad de matemáticas
Universidad Autónoma de Yucatán
Coloquio FMAT-CIMAT, 2016

2. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Outline
Introducción
Configuraciones principales en R3.
ν-Configuraciones principales

3. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Geometría de superficies
Geometría de Superficies
Definición
Una superficie S ⊂ R3 es un subespacio topológico que
localmente parece un abierto en R2, en el sentido que
existen homeomorfismos locales φ : U ⊂ S → V ⊂ R2.

4. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
En general, una superficie es un caso particular de variedad.
Es posible dar una definición más general, que no hace
referencia a la inclusión en R3. En este caso pedimos que S
sea hausdorff segundo contable.
Si cada vez que tenemos dos homeomorfismos locales
φk : Uk → Vk, k = 1, 2 tales que U1 ∩ U2 = ∅, el mapeo
φ2 ◦ φ−1
1 : φ1(U1 ∩ U2) → φ2(U1 ∩ U2) es diferenciable,
decimos que S, es diferenciable. Análogamente, si cada
componente de φ2 ◦ φ−1
1 es una función de clase
Cr (φ1(U1 ∩ U2)), decimos que S es también de clase Cr .

5. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Ejemplos
Si F : R3 → R es tal que F ∈ C1(R3) y siempre que
F(x) = 0, se tiene que F(x) = 0, el teorema de la función
implícita garantiza que F−1(0) será una superficie, al menos
de clase C1.
En particular, la esfera de radio r
x2
+ y2
+ z2
= r2
,
y los hiperboloides
x2
+ y2
− z2
= r2
, −x2
− y2
+ z2
= r2
,
Son superficies suaves.

6. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Estudiar la geometría de la superficie consiste en estudiar las
propiedades métricas, por ejemplo, medir ángulos y
distancias entre puntos.
Hay dos clases de geometría: la intrínseca, y la extrínsica.

7. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
El plano tangente
Definición
Si S ⊂ R3 es una superficie de clase C1, un vector v ∈ R3 se
dice tangente a S en p, si existe una curva γ : I → S, tal
que γ(0) = p, y γ (0) = v. La unión disjunta
∪p∈S {(p, v) : v tangente a S en p }
se llama el haz tangente, TS.
Observación
Si S no es un subconjunto de Rn, aún es posible definir una
noción de espacio tangente y de haz tangente, aunque es un
poco más abstracta.

8. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Geometría intrínseca
Definición
Una métrica Riemanniana es una función que a cada punto
p ∈ S asigna un tensor simétrico definido positivo
gp ∈ T∗
p S ⊗ T∗
p S.
Lo que esta definición dice, es que hay una manera de
asignar a cada plano tantente TpS un producto interno gp,
que nos permite medir ángulos y distancias en el espacio
tangente.

9. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
El haz normal
Definición
Dada una superficie S ⊂ R3 de clase C1, definimos el haz
normal
NS = ∪p∈S {(p, w) : w ⊥ v para todo v tangente a S en p}
El haz normal es un ejemplo de haz vectorial, en este caso
de rango 1.

10. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Geometría extrínseca
Si S ⊂ R3, es posible definir una métrica Riemanniana
restringiendo el producto euclidiano a cada plano tangente.
Es posible describir cómo la superficie se curva dentro de R3
utilizando el mapeo de Gauss.

11. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Mapeo de Gauss
Definición
Si S ⊂ R3 es una superficie C1 orientada, la función
N : S → S2, tal que a cada p ∈ S, le asigna el vector normal
unitario en NpS compatible con la orientación, se llama el
mapeo de Gauss.
Proposición
Es posible identificar TpS con TN(p)S2, de manera que la
derivada del mapeo de Gauss es un operador
dNp : TpS → TpS.

12. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Ejemplos
Intuitivamente, el mapeo de Gauss nos dice cómo se curva la
superficie localmente.
Si S = S2 es la esfera, entonces N(p) = p, ∀p ∈ S2, de
modo que dNp = Idp.
Análogamente, si S es la esfera de radio r, uno puede
probar que dNp = 1
r Idp.
En el caso de los hiperboloides, hay una dirección en la
que el mapeo de Gauss invierte la dirección, y otro en el
que la preserva.

13. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Curvatura seccional
Definición
Dada una curva diferenciable γ : I → S, con γ(0) = p, la
curvatura seccional de S en p en la dirección de v = γ (0),
es dNp(v), v /||v||.
dNp es un operador autoadjunto.
Como dNp es autoadjunto, es diagonalizable, i.e.
existen dos direcciones perpendiculares, vi ∈ TpS, y dos
valores de la curvatura, ki , tales que dNp(vi ) = ki vi .

14. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Puntos umbílicos
Definición
Un punto p ∈ S se dice umbílico, si las curvaturas
principales son iguales.
Si un punto es umbílico, en todas las direcciones tangentes a
dicho punto, la curvatura se ve igual.

15. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Ejemplos
En la esfera, todos los puntos son umbílicos. La
curvatura se ve igual en todas direcciones.
En el elipsoide de rotación,
x2
a2
+
y2
a2
+
z2
b2
= 1,
los dos polos (0, 0, ±b) son puntos umbílicos.
En el caso general
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1,
con los tres parámetros diferentes, se puede probar que
hay cuatro puntos umbílicos.

16. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Direcciones principales
Proposición
Si p ∈ S no es umbílico, las direcciones de máxima y mínima
curvatura son las curvaturas principales, más aún, como
funciones del punto, ambas son diferenciables en una
vecindad de p.
Si p ∈ S no es umbílico, las direcciones principales, es decir,
las direcciones propias determinadas por las curvaturas
principales, definen dos foliaciones ortogonales de la
superficie, llamadas las líneas de curvatura de la superficie.

17. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Ejemplo
Figure: Puntos umbílicos y líneas de curvatura.

18. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Ejemplo

19. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Dinámica de configuraciones principales
Localmente, si (u, v) representa un sistema de coordenadas
en S, las líneas de curvatura satisfacen la ecuación diferencial
Adu2
+ Bdudv + Cdv2
= 0,
donde,
A = fG − gF,
B = eG − gE,
C = eF − fE,
y e, f , g son los coeficientes de la métrica, y E, F, G los de
la segunda forma fundamental en la carta coordenada.

20. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Inmersiones
Definición
Dada una superficie abstracta S, una inmersión es un mapeo
α : S → R3, tal que la derivada α∗ es inyectiva para cada
p ∈ S.

21. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Dada una inmersión α, esta induce una métrica
Riemanniana en S dada por g(v, w) = α∗v, α∗w ,
para v, w ∈ TpS.
De la misma forma, α permite jalar el haz tangente
TR3 → R3, hacia S: α∗ TR3 → S.
Bajo esta identificación, se tiene una descomposición
α∗
TR3 ∼= TS ⊕ NS, (1)
donde NS, el haz normal, es el complemento ortogonal
de TS bajo la identificación TS → α∗ TR3 .

22. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
El espacio de las inmersiones
Definición
Sea Ir,s el espacio de las inmersiones S → R3 de clase Cr ,
con la topología Cs de Hirsch, s ≤ r.
Definición
Dada una inmersión α de clase Cr , sean Uα el conjunto de
puntos umbílicos de la inmersión, Fi,α las lineas de curvatura
principal correspondientes. La terna Pα = (Uα, F1,α, F2,α) se
llama la configuración principal de la inmersión.

23. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Estabilidad estructural
Definición
α ∈ Ir,s es Cs estructuralmente estable, si existe una
vecindad V de α en Ir,s, tal que para cada β ∈ V , existe un
homeomorfismo h : S → S, tal que mapea Uα sobre Uβ, y
manda las lineas Fi,α sobre las líneas Fi,β.

24. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Geometría de las configuraciones principales
Definición
Dada una inmersión α, u, v ∈ TpS, la torsión geodésica se
define como
τα(v, w) = dNα(u) ∧ dα(w), Nα ,
donde Nα es el mapeo de Gauss, y ∧ representa el producto
vectorial en R3.
Definición
Sea Π : PS → S el haz proyectivo definido por el haz
tangente, es decir, por cada p ∈ S, consideramos el conjunto
de líneas que pasan por el origen en TpS.

25. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Si (u, v) es una carta definida en una vecindad U ⊂ S,
entonces, es posible definir dos cartas (u, v, p = dv/du),
(u, v, q = du/dv) que cubren Π−1(U). Nótese que la
expresión local de la ecuación de líneas de curvatura se
puede extender al haz proyectivo.
Proposición
Para cada α ∈ Ir,s, el conjunto,
Lα = {τα = 0}
es una variedad en PS, que es regular de clase Cr−2 en
SUα, cubre dos a uno SUα, y contiene una línea
proyectiva Π−1(p) sobre cada p ∈ Uα.

26. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Configuraciones Darbouxianas
Definición
Un punto p ∈ Uα es Darbouxiano, si se cumplen las
siguientes condiciones:
1. Lα es regular sobre Π−1(p), es decir, dτα = 0.
2. Ambas líneas de curvatura se levantan en un solo
campo de líneas α de clase Cr−3, tangente a Lα, que
se puede extender de manera única sobre Π−1(p) de
manera que tenga solamente singularidades
hiperbólicas, de uno de los siguientes tipos:
D1 Una sola silla.
D2 Un único nodo entre dos sillas.
D3 Tres sillas.

27. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Figure: Configuraciones Darbouxianas en la superficie
Figure: Levantamiento al haz proyectivo

28. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Bifurcación D1
2
Definición
Un punto umbílico aislado es de tipo D1
2 si sigue cumpliendo
la condición de regularidad, Lα regular sobre Π−1(p), pero
ahora en lugar de la segunda condición cumple lo siguiente:
D1
2 Las líneas principales se levantan a un solo
campo de líneas en Lα, que se extiende de
manera única a Π−1(p), en donde se encuentra
una singularidad en forma de silla hiperbólica,
y un nodo-silla, cuya variedad central se
encuentra sobre la línea proyectiva que
corresponde a p.

29. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
La notación D1
2 es debida a la siguiente proposición.
Proposición
Si α ∈ Ir , r ≥ 5, satisface la condición D1
2, en un punto
umbílico p, entonces existe una función B de clase Cr−3 en
una vecindad W de α, y una vecindad V de p, tal que cada
β ∈ W posee un único punto umbílico en pβ ∈ V , tal que
1. dB(α) = 0,
2. B(β) > 0 sii pβ es de tipo D1.
3. B(β) < 0 sii pβ es de tipo D2.
4. B(β) = 0 sii pβ es de tipo D1
2.

30. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Levantamiento de D1
2
Figure: Comparación de D1, D1
2 y D2

31. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Bifurcación D1
2,3
Definición
Un punto umbílico aislado es de tipo D1
2,3 si falla la
condición de transversalidad en dos puntos sobre sí mismo,
en los cuales Lα es no degerada de tipo Morse.

32. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Proposición
Si α ∈ Ir , r ≥ 5, y p ∈ S satisface la condición D1
2,3,
entonces, existe una función B de clase Cr−3 en una
vecindad W de α, y una vecindad V de p tales que
1. dB(α) = 0,
2. B(β) > 0 sii β no tiene puntos umbílicos en V .
3. B(β) < 0 sii β tiene dos puntos umbílicos de tipos D2 y
D3 en V .
4. B(β) = 0 sii β tiene un único punto umbílico en V de
tipo D1
2,3.

33. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Ejemplos
Figure: Caso estable B(β) < 0, bifurcación D1
2,3 y B(β) > 0

34. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Ejemplo: Bifurcación D1
2,3

35. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Ejemplo: Configuraciones principales en las
ciencias aplicadas

36. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
ν-Configuraciones principales
Sea α : S → R4. Como en el caso tridimensional, α induce
una descomposición α∗ R4 ∼= TS ⊕ NS.
En R4, el haz normal es de rango 2, por lo que ya no es
posible definir el mapeo de Gauss. Sin embargo, todavía es
posible definir direcciones principales y puntos umbílicos,
toda vez que mantengamos fijo un campo normal unitario
ν : S → NS.

37. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Geometría de superficies en R4
Debido al isomorfismo α∗ R4 ∼= TS ⊕ NS, la conexión ˜
en TR4, induce una conexión en el pullback, tal que la
proyección = ˜ t coincide con la connección de Levi-Civita
en S, y tal que la proyección al haz normal, ⊥ es
compatible con la restricción de la métrica inducida.

38. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Las ecuaciones fundamentales
Sean Rm, Rm, Rm⊥ los tensores de curvatura de ˜ , y
⊥ respectivamente.
Theorem (Gauss’ equation)
Sean X, Y , Z, W ∈ TS, entonces
Rm(X, Y , Z, W ) = Rm(X, Y , Z, W ) + g(α(X, Z), α(Y , W ))
− g(α(X, W ), α(Y , Z)).
Theorem (Codazzi-Mainardi equation)
Sean X, Y , Z ∈ TM, entonces
(Rm(X, Y )Z)⊥
= ( ⊥
X α)(Y , Z) − ( ⊥
Y α)(X, Z)

39. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Theorem (Ricci’s equation)
Sean X, Y ∈ TM y ν ∈ NM,
(Rm(X, Y )ν)⊥
= Rm⊥
(X, Y )ν + α(SνX, Y ) − α(X, SνY ).

40. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
En todos los casos, α : TM × TM → NM es la segunda
forma fundmamenta,
α(X, Y ) = ( ˜ X Y )⊥
,
y Sν : TM → TM es el ν-operador de forma, que generaliza
al mapeo de Gauss,
SνX = − ˜ X ν
t
.

41. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
El teorema fundamental de las subvariedades
Las ecuaciones fundamentales representan condiciones
de rigidez para la inmersión de una subvariedad en otra,
pues cualesquiera dos inmersiones que cumplan las tres
ecuaciones deben estar relacionadas por una
transformación afín del espacio ambiente, en este caso
R4.
Salvo ciertas modificaciones, lo mismo es cierto para las
ecuaciones equivalentes que corresponden a inmersiones
isométricas en las otras formas espaciales: Sn(r) y
Hn(r).

42. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Inmersiones de codimensión dos
Dada ν, una sección del haz normal, Eν denota el haz cuya
fibra en p es el espacio generado por νp.
Eν es ⊥ plano.
La ecucación de Ricci en Eν se simplifica en
(Rm(X, Y )ν)⊥
= 0.
Si ν, ν⊥ es una base local unitaria de NM,
α = lν ν + l⊥
ν ν⊥
.

43. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Theorem
In codimension two, Gauss equation becomes:
Rm(X, Y , Z, W ) = Rm(X, Y , Z, W ) + lν(X, Z) lν(Y , W )
− lν(X, W ) lν(Y , Z)
+ l⊥
ν (X, Z) l⊥
ν (Y , W ) − l⊥
ν (X, W ) l⊥
ν (Y , Z).
Theorem
Codazzi-Mainardi equation in codimension two has a ν
component given by
g(Rm(X, Y )Z, ν) = ( ⊥
X lν)(Y , Z) − ( ⊥
Y lν)(X, Z)
+ l⊥
ν (Y , Z)g( ⊥
X ν⊥
, ν) − l⊥
ν (X, Z)g( ⊥
Y ν⊥
, ν).

44. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Theorem
Ricci equation in codimention two is equivalent to
(Rm(X, Y )ν)⊥
= Rm⊥
(X, Y )ν + g([S⊥
ν , Sν] X, Y )ν⊥
,
where [S⊥
ν , Sν] = S⊥
ν Sν − SνS⊥
ν is the commutator.

45. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Corollary
The image of an isometrically immersed surface f : M → R4
belongs to a hyperplane if and only if there exists a normal
section ν⊥ parallel with respect to the ambient connection.
This is a special case for a more general theorem due to
Erbacher.

46. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
ν-puntos umbílicos
Una vez fijada una sección normal unitaria ν, el operador de
forma nos permite definir una ν dirección principal, y
ν-curvatura principal, como la dirección generada por un
vector propio, y el respectivo valor propio.
Como sucede en el caso de tres dimensiones, un punto p ∈ S
es ν-umbílico, si Sν es un múltiplo del operador identidad en
el punto.

47. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Rigidez de los puntos umbílicos
Teorema
Dada α : S → R4 inmersión isométrica, si U ⊂ S es abierto,
simplemente conexo, y ν, ν⊥ son tales que U es totalmente
ν y ν⊥ umbílico, entonces α(U) está contenido ya sea en un
plano bidimensional o en una esfera de dimensión 2.
Este teorema es la contraparte del teorema análogo
para inmersiones en R3.
No es necesario suponer que ν y ν⊥ sean una base
ortogonal.

48. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Sea f : U → R3 ⊂ R4 una inmersión isométrica. Entonces,
necesariamente existe un campo normal unitario, paralelo, de
manera que f es totalmente umbílica respecto de este
campo. Sin embargo, f es arbitraria como inmersión de U a
R3. Por lo tanto, la hipótesis de tener dos direcciones
totalmente umbílicas es esencial para que el teorema sea
cierto.

49. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Dinámica de ν-configuraciones principales
En el caso de una inmersión en R4, las configuraciones
principales y la bifurcación dependen del campo normal de la
forma que se aprecia en la imagen
En este caso, los coeficientes b y d que parametrizan la

50. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Referencias I
L.V." "Ahlfors and L." "Sario, Riemann surfaces,
Princeton University Press, Princeton, N. J., 1960.
Marcos Dajczer, Submanifolds and isometric
immersions, Publish or Perish, Inc, 1990.
Manfredo P. do Carmo, Riemannian geometry,
Birkhäuser, Boston, 1992.
Joseph Erbacher, Reduction of the codimension of an
isometric immersion, J. Differential Geom. 5 (1971),
no. 3-4, 333–340.
, Isometric immersions of constant mean
curvature and triviality of the normal connection,
Nagoya Math. J. 45 (1972), 139–165.

51. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Referencias II
C. Gutierrez and J. Sotomayor, Structurally stable
configurations of lines of principal curvatures, Astérisque
98-99 (1982), 195–215.
, Lines of curvature, umbilic points and
carathéodory conjecture, Resenhas 3 (1998), 291–322.
C. Gutierrez and F. Sánchez-Bringas, On a loewner’s
umbilic index conjecture for surfaces in R4, J. Dynam.
Control Systems 4 (1998), no. 1, 127–136.
Victor Guillemin, Differential topology, Prentice-Hall,
1974.
H. Hamburger, Beweis einer carathéodoryschen
vermutung i, Ann. of Math. 41 (1940), 63–68.

52. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Referencias III
D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the
imagination, Chelsea Publishing Company, New York,
1932.
Heinz Hopf, Differential geometry in the large, Stanford
University, 1956.
John M. Lee, Riemannian manifolds: An introduction to
curvature, Springer-Verlag, New-York, 1997.
William S. Massey, Algebraic topology: An introduction,
Springer-Verlag, 1967.
John W. Milnor, Topology from the differentiable
viewpoint, Princeton University Press, Princeton, New
Jersey, 1965.

53. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Referencias IV
Matías Navarro, Bifurcaciones de puntos umbílicos
simples de superficies inmersas en R4, Ph.D. thesis,
Universidad Nacional Autónoma de México, 2001.
"J. M. Gutiérrez Núñez", "C. Romero Fuster", and
"F. Sánchez-Bringas", Codazzi fields and loewner’s
conjecture for surfaces in 4-space, por aparecer.
M. Navarro and F. Sánchez-Bringas, Bifurcations of
simple umbilical points defined by vector fields normal to
a surface immersed in R4, Qual. Theory Dyn. Sist. 2
(2001), 359–380.
T. Rado, über den begriff der riemannschen fläsche,
Acta Litt. Sci. Szeged 2 (1925), 101–112.

54. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Referencias V
M. Spivak, A comprehensive introduction to differential
geometry, A Comprehensive Introduction to Differential
Geometry, no. v. 3, Publish or Perish, Incorporated,
1975.
Michael Spivak, A comprehensive introduction to
differential geometry, 3rd ed., vol. Vol.3., Publish or
Perish, 1999.
J. Wolf, Spaces of constant curvature, American
Mathematical Society, 2010.

55. Condiciones de
rigidez en
ν-configuraciones
principales de
superficies
inmersas en R4
R. García
Introducción
Configuraciones
principales en R3
.
ν-Configuraciones
principales
Gracias