Derivacion e intregracion de funciones de varias variables

1. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Ingeniería de sistemas
-Materia: MATEMATICA III
-Sección: “A”
Nombres:
Juan Ordaz C.I:30.132.423

2. Introduccion
• En este apartado se estudia el concepto de límite de
una función de varias variables y algunas de las
técnicas utilizadas en su cálculo. Después,
basándose en este concepto, se establece la
definición de función continua y cómo estudiar la
continuidad de una función de varias variables. En
principio se comienza con campos escalares y
después se extiende la definición a los campos
vectoriales

3. Antes de comenzar con los campos escalares conviene recordar la definición de límite en
un punto de una función real de variable real y = f (x) de la forma:
f :D⊂ ℝ→ℝ
donde D=(a,b) es un intervalo abierto.
En este contexto se dice que dado x0 ∈D∪ {a,b} el límite de la función y = f (x), cuando x
tiende a 0
x , es L si ∀ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀x ∈D
con 0 x ≠ x y tal que | − |< δ 0
x x se tenga
que | f (x) − L |< ε .
Limite y continuidad de
funciones de varias variables

4. Limite y continuidad de
funciones de varias variables
NOTAS: 1ª. Se destaca que esta definición de límite está basada en la idea “topológica” de proximidad,
entre los valores de la variable x con 0 x y los de la función f (x) con L. 2ª. También es valioso darse cuenta
de que esta definición no proporciona ningún método para calcular el límite de una función en un punto. La
definición sirve, no obstante, para verificar si dicho límite tiene un valor de terminado.
3ª. También se debe destacar que en el límite de una función en un punto 0 x no influye el valor ( ) 0 f x de
la función en dicho punto.
Para extender este concepto a un campo escalar es necesario ampliar la idea de proximidad en el
conjunto ℝ al espacio ℝ 𝑛 Para ello se introduce la definición de bola abierta en ℝ 𝑛 (que equivale al
concepto de entrono de un punto en ℝ)

5. Limite y continuidad de
funciones de varias variables
• Casos Particulares:
• Si n = m = 1, f : A ⊂ R → R es una función real de variable real.
• Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ R n → R es una función real de n variables o de variable
vectorial.
• Si n = 1, m > 1, f : A ⊂ R → R m es una función vectorial de variable real.
• Si n > 1, m > 1, f : A ⊂ R n → R m es una función vectorial de variable vectorial.
• Si n = m = 1, f : A ⊂ R → R Gráfica de f : (x, y) ∈ R 2/y =f(x)
• Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ R n → R Gráfica de f : (x1, x2, · · · , xn, y) ∈ R n+1/y = f(x1,x2,
· · · , xn) n = 2: (x, y, z) ∈ R 3/z = f(x, y)

6. Limite y continuidad de
funciones de varias variables
DEF. Se dice que f : A ⊂ R n → R m es continua en ~a ∈ A si:
1 ~a ∈ Ais(A)
⊂ A o 2 ~a
∈ A ′ tal que:
i) existe lim ~x→~a f(~x) =~l
ii) ~l = f(~a)
PROP. Se dice que f : A ⊂ R n → R m es continua en ~a ∈ A si sus m funciones
componentes lo son

7. Limite y continuidad de
funciones de varias variables
Propiedades
1) Los polinomios de varias variables son continuos en ℝ 𝑛
2) La suma, producto y cociente de funciones continuas es continua
3) La composición y la restricción de funciones continuas es otra función continua
4) La imagen continua de un conjunto compacto es otro conjunto compacto

8. Derivada de funciones de
varias variables
Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene recordar este
concepto en el contexto de las funciones reales de una variable real. Así, dada una función de
la forma f :I⊂ ℝ→ℝ , donde I⊂ℝ es un intervalo abierto, y x0 ∈ I un punto de dicho intervalo,
se define la derivada de f en 0 x como el límite:

9. Derivada de funciones de
varias variables
Desde el punto de vista geométrico, f’ (𝑥0) corresponde a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de la función f (x) en el punto,( 𝑥0 𝑓 𝑥0 ) por
tanto, mide la mayor o menor inclinación de la gráfica de la función en ese
punto. La pendiente de la recta tangente es el valor de la tangente del
ángulo que forma con la horizontal.

10. Derivadas
parciales
En cálculo diferencial, una
derivada parcial de una
función de diversas variables,
es la derivada respecto a
cada una de esas variables
manteniendo las otras como
constantes. Las derivadas
parciales son útiles en cálculo
vectorial, geometría
diferencial, funciones
analíticas, física,
matemática, etc.
La derivada parcial de una
función f respecto a la
variable x se representa
con cualquiera
de las siguientes
notaciones equivalentes:

11. Derivadas parciales
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de
la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano
formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje
que representa los valores de la función.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la
dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos
indica hacia donde hay mayor variación en la función.

12. Derivadas parciales
Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función
no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las
derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces
la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a.
En este caso, f es una función C1.
De la definición propuesta se infiere que las reglas para calcular las
derivadas parciales son las mismas que se usan para hallar la derivada de
las funciones de una variable, es necesario , solo, tener en cuenta ,
respecto a qué variable se plantea la derivada.

13. Diferencial total
En análisis matemático, la
diferencial total de una
función real de diversas
variables reales corresponde
a una combinación lineal de
diferenciales cuyos
componentes (coeficientes)
son los del gradiente de la
función.
Formalmente el diferencial total de una función es
una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada
rigurosamente como un elemento de un espacio
vectorial de dimensión n, donde n es el número de
variables dependientes de la función. Por ejemplo, si
z=z (x,y) una función diferenciable entonces el
diferencial total de z es:

14. GradienteEn análisis matemático (cálculo avanzado),
particularmente en análisis vectorial, el
gradiente o también conocido como vector
gradiente, denotado 𝛻𝑓 de un campo escalar 𝑓,
es un campo vectorial. El vector gradiente de 𝑓
evaluado en un punto genérico 𝑥 del dominio de
𝑓, 𝛻𝑓(𝑥) indica la dirección en la cual el campo 𝑓
varía más rápidamente y su módulo representa el
ritmo de variación de 𝑓 en la dirección de dicho
vector gradiente.

15. Gradiente
El gradiente se representa con el operador diferencial nabla 𝛻 seguido de la
función (atención a no confundir el gradiente con la divergencia, esta última se
denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo).
También puede representarse mediante 𝛻𝑓, o usando la notación 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 .
La generalización del concepto de gradiente para funciones vectoriales de varias
variables es el concepto de matriz Jacobiana

16. Rotacional
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de
un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como
la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con
dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).

17. Rotacional
Aquí, 𝛻𝑠 es el área de la superficie
apoyada en la curva C , que se
reduce a un punto. El resultado de
este límite no es el rotacional
completo (que es un vector), sino
solo su componente según la
dirección normal a 𝛻𝑠 y orientada
según la regla de la mano derecha.
Para obtener el
rotacional completo
deberán calcularse tres
límites, considerando
tres curvas situadas en
planos perpendiculares.
El rotacional de un
campo se puede
calcular siempre y
cuando este sea
continuo y
diferenciable en
todos sus puntos.

18. Rotacional
El resultado del rotacional es otro campo
vectorial que viene dado por el determinante
de la siguiente ecuación:

19. Rotacional
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
•Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales
continuas de segundo orden entonces el rot (𝛻f) =0
• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F)
= 0
•Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo
ℝ3cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el
rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

20. 30%
70%
5%
Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo
saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido
solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre
distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como
el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del
punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la
ecuación

21. 35%
30%
36%33%
30%
Divergencia
Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el
campo magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y 𝛻 es el
operador nabla, que se calcula de la siguiente forma:

22. Divergencia
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo,
quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es
una fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto
del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese
cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes
y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es
nula

23. Divergencia
Los campos cuya divergencia es cero se
denominan campos solenoidales, que se
caracterizan porque sus líneas de campo son
cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen
extremos donde nacen o mueren. De tener dichos
extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos
no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de
una fuente o sumidero del campo.

24. Plano tangente y recta normal
Hemos visto muchos ejemplos de la utilidad de las rectas normales en aplicaciones con curvas. Las
rectas normales son igualmente importantes en el análisis de superficies y sólidos. Por ejemplo,
consideremos la colisión de dos bolas de billar. Cuando se le da el golpe a una bola detenida, en un
punto P de su superficie, esta se mueve en la recta de impacto determinada por P y el centro de la
bola. El impacto puede suceder de dos maneras. Si la bola lanzada se mueve en la recta de impacto,
esta se para en seco y cede todo su momento a la bola detenida, como se muestra en la figura 6.1.
Este tipo de disparo requiere precisión, ya que la
recta de impacto debe coincidir exactamente con la
dirección de la bola lanzada. Frecuentemente, la bola
lanzada se desvía a un lado u otro, reteniendo parte
de su momento. La parte de momento que se trasmite
a la bola detenida siempre se orienta sobre la línea
de impacto, con independencia de la dirección de la
bola lanzada, como se indica en la figura 6.2.
Llamamos a esta recta de impacto, recta normal a la
superficie de la bola en el punto P.

25. Plano tangente y recta normal
En el proceso de encontrar una recta normal a una superficie, se nos
da la posibilidad de resolver el problema de encontrar un plano
tangente a la superficie. Sea S una superficie dada por F(x,y,z)=0, y
sea P(x0,y0,z0) un punto sobre S.

26. Plano tangente y recta normal
Sea C una curva en S que pasa por el punto P y que se define mediante la función vectorial
Entonces, para todo t,
Si F es diferenciable y existen x'(t),y'(t) y z'(t), por la regla de la cadena resulta que
En (x0,y0,z0) la forma vectorial equivalente es =(gradiente).(vector tangente)

27. Conclusión
• La derivación e integración representan cálculos de
importancia para todo el que quiera ahondar en algún
problema matemático, para ello se parte por el tema
pasado de funciones de varias variables, esta vez se
incluyo el tema de limites de dichas funciones y su
resolución, por otra parte también se tomo en cuenta la
continuidad de esos limites así como su derivada,
secuencialmente también se estudio lo que es derivadas
parciales, diferencial total, gradiente, rotacional,
divergencia, plano tangente y recta normal.

28. Bibliografía
Medina Luis (2019) plano tangente y recta normal
https://www.academia.edu/11468228/6_6_PLANO_TANGENTE_Y_RE CTA_NORMAL
Rúa maxwell (2011) rotacional y divergencia
http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetismo/
magnetismo_rotacionalydivergencia.htm
Wikipedia (2019) gradiente, diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente
https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total

29. Anexos
• https://youtu.be/pWccSRU3ntM
• https://www.youtube.com/watch?v=zDeeJBKiAfI
• https://www.youtube.com/watch?v=tb00qQBYm48
• https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg