(Otoño) geometria

Lic. WILDER MIÑANO LEÓN
MSc. JAVIER LOZANO MARREROS
Lic. GILBERTO PLATERO ARRIATA

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Geometría y Trigonometría

Índice


III

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

CENTRO PREUNIVERSITARIO

PÁG
.

SEGMENTOS Y ÁNGULOS
TRIÁNGULOS
POLÍGONOS y CUADRILÁTEROS
CIRCUNFERENCIA
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
RELACIONES MÉTRICAS
ÁREA DE REGIONES PLANAS
POLIEDROS
SÓLIDOS POLIÉDRICOS
CUERPOS REDONDOS

R. T. DE UN ÁNGULO AGUDO
TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS


1
13
37
53
68
85
103
126

130
132
137
152

155
162
163
185

Introducción
El punto, la recta y el plano son elementos fundamentales de la geometría
que no se definen, solo se pueden dar
idea acerca de su existencia.
Punto . A

Notación: Punto A

Recta

L

Notación: Recta L:

Plano
P:

Notación: Plano
P

P

EUCLIDES
Una figura geométrica es un conjunto
Ilustración 1Euclides
de puntos que adopta una forma determinada, representando una línea, una
superficie o un sólido.
La geometría estudia las figuras geométricas según su forma, tamaño y las
relaciones que existen entre sus partes. Se divide en dos partes:
Geometría Plana y
Geometría del Espacio.
La Geometría plana estudia las figuras planas, esto es, aquellas cuyos puntos están en un mismo plano.
La Geometría del espacio trata de las figuras cuyos puntos no están en un
mismo plano.

2

UNJBG - Centro Preuniversitario

Es una porción de la línea recta
comprendida entre dos puntos.

punto O, la recta es dividida en dos
partes, a cada parte se le llama
semirrecta de origen O. La semirrecta no incluye al origen.

L
O

B

A

Segmento AB
Notación: Segmento AB:

AB

Es aquel punto que pertenece al
segmento y que lo divide en dos
segmentos parciales de igual longitud.

M

Semirrecta OA
Rayo: Se llama así cuando la semirrecta incluye al origen.

Expresa el tamaño de un segmento y
resulta de la comparación del segmento con otro que es tomado como
unidad.

A

A

O

Es la abertura que forman dos rayos que tienen un mismo origen.

A•

B

•

O
M

AM

es

punto

medio

L

A

de

B

AB :

MB

Se llama puntos colineales a aquellos puntos que pertenecen a una
misma recta. Si se indica en un
orden determinado, se dirá que son
consecutivos.

Elementos:
Lados: OA y OB
Vértice: O
Notación:

AOB,


Si sobre una recta L marcamos un

O, O

Medida del ángulo AOB :

m AOB =

Segmentos y Ángulos

3

Se llama bisectriz de un ángulo al
rayo que partiendo de su vértice lo
divide en dos partes iguales.

Es aquel ángulo cuya
medida es mayor que 90° pero
menor que 180°.

: Es aquel ángulo cuya
medida es 180°

: Es aquel ángulo cuya
medida es mayor que 0° menor
que 90°.

= 180°

Son dos
ángulos cuyas medidas suman
90°

Es aquel ángulo cuya medida es 90°
+

A•

= 90° O


•

B

C =
(C : complemento de

)

= 90°

4


: Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°

= 180° S =
( S : suplemento de

Son dos
ángulos determinados al trazar
dos rectas secantes, dichos Angulo son iguales

)

: Son dos ángulos
que tienen el vértice y un lado
común, el cual es Intermedio.
AOB

=

POQ

1.
Consecutivos: Son dos o más
ángulos adyacentes.

180
2.


5

Ángulos alternos externos:
m 1=m 7ym 2=m 8
Ángulos correspondientes:
m 1 = m 5, m 4 = m 8,
m 2 =m 6 y m 3 = m 7
Ángulos conjugados internos:

m 4 + m 5 = 180°

360
:

m 3 + m 6 = 180°
Ángulos conjugados externos:

Dos rectas que no se cruzan en
ningún punto del plano reciben el
nombre de rectas paralelas. Si se
cortan, serán rectas secantes.

m 1 + m 8 = 180°
m 2 + m 7 =180°

a) Si L1 // L2

: L1 // L2
Ángulos formados por dos rectas
paralelas cortadas por una secante.

x
1
4

2

L1

3

5 6
8 7

Ángulos alternos internos:
m 4=m 6ym 3=m 5

L2

b) Si L1 // L2

6


. Si L1 // L2

180


01. Sobre una recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C y
D tal que AB CD = 14;
BD AC = 18. Hallar AD
A) 18

B) 19 C) 16

(CEPU 98-I) L1, L2 y L3 son
paralelas. Hallar X

D) 17 E) 15

02. En el segmento AD , la longitud del segmento que une los
puntos medios de AB y CD es
30. Si BD = 32. Hallar AC
A) 22

B) 24 C) 26 D) 28

E) 30

03. Sobre una línea recta se toman
los puntos colineales A, B, C y
D
de
modo
que
BC 5 AD 2 AC 34 , BC 1
y BD 4 . Hallar AD .
A) 5

B) 7

C) 9

D) 11

A) 20° B) 22° C) 30° D) 24° E) 18°

06. En la figura, calcular la razón
aritmética entre x e y, cuando x
toma su mínimo valor entero.

x-y

E) 12

2x
04. En una recta se ubican los
puntos consecutivos A, B, C, D
y E tal que: AD BE 80 m 2
calcule: AD BE

si:
AC BC CD CE 18m
( AD BE )

A) 5°

B) 10°

x+2y
C) 8°

D) 15°

E) 7°

08. Sea L1// L2 // L3. Calcular x, si
a + b = 200°

L1

A) 3m B) 2m C) 2.5m D) 3.5m E) 4m

X

b
05. La diferencia entre el suplemento y el doble del complemento de un ángulo es igual a
la mitad del suplemento del
ángulo. Hallar dicho ángulo.
A) 20°

B) 30°

C) 40° D) 50° E)60°

L2
a
L3
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90°

8


09. L1 es paralela a L2.. Hallar x

10. En la figura, calcule x
si a + b = 270°
x

2x
a

A) 65°

A) 35° B) 30° C) 40° D) 45° E) 50°

B) 66° C) 67° D) 68° E) 69°

01.

a
b
c
A
B
C
D
Del problema: a + c = 14
También (b + c) + (a +b) = 18
O bien, a + c + 2b = 18
14 + 2b = 18
b =2
Luego AD =a + b + c = 14 + 2

AD = 16

02.

30
a

M a

A

b N

c
B

C

b
D

Del problema: a + b + c = 30
También 2b + c = 32
60 – 2a – 2c + c = 32
Luego 2a + c = 28

b

b = 30 – a – c

AC = 28


9

03.

a
A

1
B

3
C

D

Del problema: 1 + 5(a + 4) – 2(a + 1) = 34
Resolviendo: a = 4

AD = 9

04.

a
A

b
B

c
C

d
D

E

Piden: AB BE a b
Por condición: (a + b + c) (b + c + d) = 80
Entonces (2a + 2b + 2c) (2b + 2c + 2d) = 320 ...
Además (a + b) + b + c + c + d + =18
Luego 2b + 2c = 18 – a – b ...
Reemplazando

en

:

(2a + 18 – a – d) (18 – a – d + 2d) = 320
o bien 18 a b 18
2
2
18 – (a – b) = 320

a

b

320

Resolviendo: a – b = 2

AD - BE = 2
05.
Sea x el ángulo pedido.
Del enunciado: ( 180° - x ) – 2( 90° - x ) =
Luego: x =

180 x
2

x = 60°


180 x
2

10


06.
L1
80°

Como: L2 || L3: = 60°
También: L1 || L3: x + = 80°
x = 20°

L2

60°
120°

X

L3

07.
Se pide x – y
Del gráfico: 2x + (x – y) + (x + 2y) = 180°
Entonces 4x + y = 180°
y = 180°- 4x
Además x + y > 0
x>y
x > 180° - 4x
5x > 180°
Luego x > 36°
Por tanto x =37° y a consecuencia
Y = 180° - 4(37°) = 32°

x - y = 5°
08.
L1

Del gráfico: b + 2 = 180°
También a + 2 = 180°
Entonces a + b + 2 + 2 = 360°
Pero a + b = 200° (por dato)
Luego 200° + 2 + 2 = 360°
O bien + = 80°
Además L1 || L3
x= +

x
b
L2

2

L3

a

x = 80°



11

09.
En la figura: x = +
También: x + = 90° -

+ 40°

L1
x

x

x

40°

90°-

90°-

40
°

L2

Luego: x +

+

= 130°

x = 65°

10.

L

L
180°-b

x
90

180° - a

2x

180

a

Se traza L || L. Luego
- 90° + 180° - + 180° - b = x + 2x + 90°
450° - (a + b) = 3x + 90°
Pero: a + b = 270°
Entonces 450° - 270° = 3x + 90°
x = 30°


b

2x = 130°

12


01. Se tienen los puntos consecutivos A ,B, C y D de modo que
AB , BC y CD están en progresión aritmética. Si
Hallar BC

AD

30 .

3x
A) 8 B) 10

C) 12

D) 15

02. ( UNJBG 2003 – I )
Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de modo
que:
AC
45 BD CE . Si
4 AE

A) 18

5BD , Hallar AE

B) 20

C) 22

D) 25

L4
L3

x

L2

A) 44° B) 43° C) 45° D) 46° E) 48°
E) 30

03. AB y CD son paralelas. Hallar
x

A

L1

E) 20

06. Según el gráfico, calcular

x
y

B

46°
3X
19°

x

40°

C

2X

y

D

A) 20° B) 25° C) 30° D) 35° E) 40°

04. ( UNJBG 2003 – I )
La suma de dos ángulos es
120°. El suplemento del mayor
es igual al doble del complemento del menor. ¿Cuanto mide
el ángulo menor?
A) 40° B) 45° C) 50° D) 60° E) 70°
05. Calcule x, si L1 || L2 y L3 || L4

A)

1
2

B)

2
3


C)

07. (CEPU 99-II)

1
4

D)

7
5

E)

3
7


13

L1 es paralela a L2.. Hallar x
Si L1|| L2 , hallar x

44°
-44°

L1

x

L2
121°

A) 15° B) 18° C) 12° D) 16° E) 20°
08. Si L1// L2. Hallar x

A) 50° B) 55° C) 59° D) 60° E) 77°

2
3

A) 52° B) 62° C) 72° D) 82° E) 28°
09. En la figura m ABC = 60°,
m HBC - m ABH = 18°,
MN // AC , DN BC . Calcular x

M

A

B
x

H

D

N

C

A) 28° B) 18° C) 45° D) 39° E) 60°

10. ( UNJBG 2003 – I )

02
TRIÁNGULOS

Un triángulo es aquella figura geométrica formada
por tres puntos, llamados vértices, unidos por tres
lados. En la geometría plana euclídea, los lados
deben ser segmentos rectilíneos, sin embargo en
la geometría esférica, los lados son arcos de circunferencias máximas. El término triángulo se
puede utilizar también para describir una figura
geométrica con tres vértices cuyos lados son curvas cualesquiera. Aquí estudiaremos a los triángulos de la geometría plana euclídea.

B

:
Vértices: A, B, C

a

c

Lados: AB , BC

A

b

C

y

AC

Ángulos interiores: A, B, C
Ángulos exteriores: , ,
Perímetro ( 2p ): 2p = a + b + c

B

Los tres ángulos interiores son agudos.

A

C

: Un ángulo interior es
recto, los lados que forman al ángulo recto se llaman catetos, el tercer

Triángulos

15

lado se llama hipotenusa.

A
+

B

= 90°

: Los lados son desiguales.

C
: Un ángulo interior es

obtuso.

Se llaman triángulos oblicuángulos a los triángulos acutángulos y a los triángulos obtusángulos.
b)

:
: Los tres lados son
iguales, cada uno de los ángulos interiores mide 60°.
B
60▪

A

60
▪

60
▪

C

: Dos lados son iguales, al
lado desigual se le llama base, los
ángulos adyacentes a la base son
iguales.

(h): Es el segmento de recta
que parte de uno de los vértices de
un triangulo y llega en forma perpendicular al lado opuesto o a su
prolongación.

El punto de intersección de las alturas se llama ortocentro.

h

16


: Es aquella ceviana interior o exterior que biseca a un angúlo
interior o exterior respectivamente.

El punto de intersección de las mediatrices se llama circuncentro.
(BF): Es cualquier segmento que trazado por uno de los vértices corta al lado opuesto.

Intersección de las bisectrices interiores se llama incentro y el de exteriores se llama excentro.
(BM): Es el segmento que
une el punto medio de uno de los
lados con el vértice opuesto.
En un triángulo isósceles, las
líneas notables coinciden.

El punto de intercesión de las medianas se llama baricentro.

(MN): Es una recta perpendicular a un lado levantada por
su punto medio.
PROPIEDADES BÁSICAS


Altura
Mediana
Mediatriz
Bisectriz

Triángulos

17

1. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180°.

+ + =180°

2.

En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las
medidas de los ángulos interiores del triángulo no adyacentes a él.

= +

3.

: Para que un triángulo exista se
debe cumplir que un lado debe ser menor que la suma de los otros 2 lados,
pero mayor que su diferencia.

Si a > b


b-c<a<b+c

18


4. El mayor ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos interiores de
un triángulo, es igual a 90° más la mitad del tercer ángulo interior.

x = 90° +

ω
2

5. En todo triángulo la suma de los ángulos exteriores tomados uno por vértice es igual a 360°

+

+

=360°

6. El menor ángulo formado por las bisectrices, una interior y la otra exterior
de un triángulo es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

D

B

x
x=

A

2

C

7. En todo triángulo a lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa.

Triángulos

19

Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.

AQ

y AP BP

QB

En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados de un
triángulo se denomina base media; tiene por longitud la mitad del tercer lado.
También es paralelo a dicho lado.

MN

AC

y

MN | | AC

2

En todo triángulo rectángulo se cumple que la mediana relativa ala hipotenusa
tiene por longitud la mitad de dicha hipotenusa.

BM

AC
2


20


a)

(Angulo-Lado-Angulo)

Dos triángulos son congruentes si poseen un lado congruente y los ángulos
adyacentes a dichos lados respectivamente de igual medida.

b)

(Lado-Angulo-Lado)

Dos triángulos son congruentes si poseen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos comprendidos entre dichos lados son respectivamente
congruentes.

c)

(Lado-Lado-Lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados de una misma medida.
B

A

F

C

E

G


Triángulos
d)

21
(Angulo-Lado-Lado)

Dos triángulos son congruentes cuando poseen dos lados de una misma medida, y al mayor de los lados se le opone un ángulo congruente.
B

F

A

C

A
60°

a

2a

30°

B


C

E

G

22

C

a
53▪/2
A

2a

B

3

1.

2.
X = 30°
x


=

Triángulos

23

01. Según el gráfico
Calcule x.

-

= 46°.

A) 17° B) 19° C) 31° D) 29° E) 47°
04. En el gráfico el triángulo ADE
es equilátero y AD DC .Calcule x.

x

A) 146° B) 92° C) 123°
D) 136° E) 160°

A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60°
05. Si AB

02. Según el gráfico
calcule .

PC ,

AB

BC , PQ

8 y QC

3

. Calcular AP .

B

7

5

P

A

C

A) 11 B) 6.5 C) 7 D) 4 E) 5
A) 12° B) 15° C) 10° D)8° E) 7°
03. X =

06. En la figura. Calcular “x”, si
HM 3 ,
AH 8
B

H
x
A


M

C

24


A) 37º B) 45º C) 53º D) 60º E) 72º
07. En la figura. Si AB DC 8 y
BN

NC . Hallar MN .

09. ABCD es un cuadrado de centro
O.
Calcular
X
si:
MN

3 NO
B

C

O
N
x
M

A) 2

B) 4

C) 6 D) 8 E) 10

A

E

D

A) 84° B) 94° C) 68° D) 100°
E) 104°

08. Hallar
10. En el grafico adjunto AC
Calcular x.

BD

B
x 3x

7x

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

09.

x=?, si BD

A

D

C

A) 10° B) 15° C) 20° D) 12°
E) 18°

AC

B
x

11. En un triangulo rectángulo
ABC, se traza las cevianas AE

D
77▪
26▪

A

C

y AF que trisecan el BAC; se
AC tal que
traza FH
EC 2HC .
Calcular
la
m ACB

A) 13° B) 41° C) 29° D) 36°
E) 26°


A) 26° B) 30° C) 36° D) 37° E) 60°

Triángulos

25
D) 130° E) 140°

13. En la prolongación de cateto
BC de u triángulo rectángulo
ABC recto en B se ubica el punto P tal que AB = CP . Las me-

16. En la figura, hallar “x” si BD =

AC

diatrices de BP y AC se intersecan en Q, calcule m QPB.
A) 25°
E) 45°

2

B) 30° C) 15° D) 37°

14. En la figura, BM es mediana y
A) 30° B) 60° C) 45° D) 53°
E) 54°

AM = BC calcular m BCA.

17. En un triangulo ABC se traza la
ceviana interior BD , las rectas
mediatrices de BD y AC se in-

▪
24

tersectan en Q. Si AB

m DCQ = 25°, Hallar m APC,
si P es la intersección de AB y
CQ .

A) 153° B) 83° C) 103°
D) 106° E) 115°

A) 75° B) 95° C) 80° D) 105°
E) 120°
18. En la figura, BD = 5 y

15. En la figura, calcular m ABC
P

m DBC = 6°. Hallar AC

B
30▪

40▪
20▪

D

A) 100° B) 110° C) 120°

DC y

C

26


A) 15

B) 8 C) 9

D) 10

E) 11
20. En el gráfico hallar MN si los
triángulos ABC y PBQ son
equiláteros. AP QC 12 .

19. En la figura si AM MC y
EM

A)2

4 . Calcular “ MF ”.

B)3

C)5

D)4

A) 3
E) 5

E)2

B) 3 3

C) 4

01.
C

E
x
90

A

AED: x = 90 +
Pero

-

B

D

-

= 45°

x = 90 + 46°


x = 135°

D) 6

Triángulos

27

02.
En el cuadrilátero cóncavo ABPC:
m BPC = + 5 + = 7
Luego BCP es isósceles
BC = PC = a
También ABC es isósceles

7

7
5

4

Luego m BAC = m ACB = 5
∆BCP: 7 + 7 + 4 = 180°

= 10°

03.

De la figura: x + 4x = 155°

x = 31°
04.

En el cuadrilátero cóncavo ABCD:
+ 60° = 17° + 90° + 43°
= 90°
CDE: x + x + =180°
x = 45°


28


05.

ARB =
BQC (HA):
BR = QC = 3 y BQ = AR = 8
Pero: BR + RQ = BQ
3+X=
8
x=5

06.
AHM =
PC 8

MPC: MP

3 y

HPC es notable
x = 53º

07.

Trazamos MP || DC
8
MP
4
2
8
4
También PN
2
MPN es equilátero
x=4

Triángulos

29

08.
B

AC

Trazamos BH

BHC es notable: BH

BC = 2a = AD

2a
a

ABD: m A = 30º (propiedad)
75◙

A

2a

=a

H D

30▪

= 75º

C

09.
Trazamos DE tal que,

m DEA = 77º
BED =

ADC (LAL)

x = 26°

10.

AD y OQ

Trazamos OP

AB
NQO =
Entonces,

OPR (ALA)

OR = a

MOR es notable: α = 14º
X = 90º + 14º
x = 104º


30


11.
Trazamos AE tal que, m BAE = 4X
Luego AE = BE .
CAE =
DBE (LAL)

DE = EC= b y m ACE = m BDE =
ABD: 2 α = 8X

α = 4X

ABC: 7X + 4X +
x = 12°
12.

Se pide: x
Se sabe: EC= 2 HC . Si
Trazamos
Luego
También

CP

HC = a

EC = 2a

a la prolongación de AF .

APC es isósceles

PH = HC.

CEP es isósceles

PC = EC= 2a

PH = HC= a

Asi que, m HCF = x = 2α (T. De las bisectriz interior)
ABC: x + 3α = 90º

α = 18º

x = 36°


Triángulos

31

13.

Sean MQy NQ las mediatrices de BP y AC respectivamente
Trazamos BQ, AQ y QC. Luego BQP es isósceles
m QBP = x y BQ= QP
También
BAQ =

AQC es isósceles

AQ = QC= b

QCP (caso L.L.L).Por tanto m ABQ = m QPC = x

Luego m ABQ + x = 90°
x = 45°
14.

Según los datos: AM = MC = BC = a
Trazamos CD
AEM =

BM y EA a la prolongación de BM .
CDM (H.A): BD = DM = ME = 4a

AEB es notable (14°): Entonces, AE =


BE
= 3a
4

32


AEM:

= 53°

m BCA = 106°

15.

Se construye el ∆ isósceles ABQ.
Trazamos AH

BQy BM

AC

AHB =

Luego QH = HB = BM = a
BPQ : BP = BQ= 2 ; pero BP = BC
BC = 2a
BCM es notable (30° y 60°): m C = 30°
m ABC = 130°
16.


AMB (H.A):

Triángulos

33

BCD: Trazamos la bisectriz DE
Luego DEC es isósceles
ACE = BDE (L.A.L): AE = BE
y m CAE = m DBE =
ABD: 2x = 6
x =3
ABC: x + 7 =180
10 = 180°
= 18°
x = 54°

.
17.

De la figura:

AQB =

DQC ( LLL)

Entonces: m BAQ = m DCQ = 25°
Luego, APC: x + 75° = 180°
x = 105°

18.


34


Se pide: AC
Trazamos la mediana BM
Entonces: AM = MC = BM
AMB es isósceles

m BAM = m ABN = 32°

Además, m BMD = 32° + 32° = 64° y
m BDM = 6° + 58° = 64°
Luego: BM = BD = 5
Asi que, AC = AM + MC

∆MBD es isósceles

AC = 10

19.

Se pide : x
Se sabe: AM =

MC

AEB: trazamos la mediana EP . Luego AP = PB = EP =a y m APE = 2θ:
BFC: trazamos la mediana FQ ,
Luego BQ = QC = FQ = b y m CQF = 2θ
ABC: MP = b y MQ = a (T. Puntos medios)
EPM =

MQF (LAL)

x=4

20.


Triángulos

35

Se pide: MN
Se sabe: AP

APB =

BQC (LAL): AP

QC

QC

6 y m BAP = m QCB =

Trazamos PC, NR || AP y MR || QC

AP
3 ( T. de los puntos medios )
2
QC
3 ( T. de los puntos medios )
PQC: MR
2
Además, m RNC = m PAC = 60°- y
m PRM = PCQ = + .
NRC: m NRP = 120° - APC: NR

Entonces m MRN = m NRP + m PRM = 120°
NRM: NM 3 3
NM

3 3

01. Hallar x, si AC = BC


12

36

B
4x 5x

P

C

A

A) 30° B) 35° C) 25° D) 40° E) 45°
ˆ
02. A

ˆ
C = 40°. x = ?

13x

A) 9° B) 5° C) 4.5° D) 10° E) 7°
05. En el triángulo ABC, la altura
BH y la mediana AM se cortan
en N, tal que, AN NM , si
AH 5 y NH 3 , Calcular AB .
A) 8

B) 10 C) 12 D) 13

E) 15

06. Se traza la mediana BM del trián-

A) 100° B) 110° C) 115° D) 120°
E) 92°

gulo ABC tal que: m MBC=2x y
m ABM=3x. Si BC 2BM , Calcular “x”.
A) 18 B) 22,5 C) 25 D) 30 E) 10

03. x = ?

B

15

A

37°
X

8°

07. En la figura calcular : DE , si
BD 5

C
2

A) 3 B) 4 C) 5 D) 3/2 E) 1
04. BP AC , AP es bisectriz; x = ?
A) 7.5 B) 5 3 C) 5 2 D) 10 E) 12

08. La medida del ángulo del trián-

Triángulos

37
B

gulo ABC es 70, se traza la altura BH , sobre ella se toma el
punto P, tal que, BC AC ;
además M y N son puntos medios de AB y CP. Calcular:

D

x
C

A

m AMN.

56°

A) 55° B) 65° C) 60° D) 72° E) 90°

L

A) 37° B) 38° C) 42° D) 44° E) 48°
13. En un triángulo isósceles ABC
( AB = BC ) AC > AB . Calcule el
máximo valor entero de la

10. Según el gráfico, calcule x.
B

m ACB.

3

x
A

C

2

A) 45° B) 60° C) 36° D) 53° E) 72°

A) 30° B) 59° C) 60° D) 75°
E) 64°
14. Según el gráfico, el triángulo
ABC es equilátero. Calcule “x”

12. Según el gráfico: AE = FB = BE =
ED = DC . Hallar “x”.

B

B

F
x

D

F

E

E

C

x
A

A) 36° B) 30° C) 45° D) 38° E) 20°
13. Según el gráfico AD || L , AC =
BC , calcule “x”.


A

D

C

A) 60° B) 30° C) 15° D) 45°
E) 75°
15. Según el gráfico el triángulo
ABC y CHD son congruentes
DC =5. Calcule AD

38


B
x
37▪

30▪
A

C

D

A) 23° B) 37° C) 18° D) 8°

E) 15°

A) 2 5 B) 3 5 C) 2 3

5 E) 3 3

D)

18. Según la figura, BC // AD ,
AH = HC y CD = 15cm
Calcular: TC.

16. Según el gráfico BC = CE y

AB = DE . Calcule “x”.
C

T
37°

B

C

H

3x
2x

B

D

E

A

D

A) 7.5cm B) 8cm C) 9cm
D) 10cm E) 11.5cm
A

A) 20° B)

37
2

C) 22°30´ D)

E) 30°

17. Según el gráfico 5( AD ) =

53
2

19. Se tiene un triángulo rectángulo
ACD, recto en “C” , se ubica un
punto exterior “B” relativo al lado
AC , tal que m BAC = m CAD. Se
traza CM // AB , (M esta en AD ) y
CM BD ={Q} Si AB 4 , AD 6
Calcular CQ.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 1,5 E) 2,5

4 3 BC . Calcule “x”.
20. Se tiene un triángulo escaleno
ABC, se traza la altura BH , se tiene


Triángulos

39
A

“M” punto medio de AB tal que
AB 16 . Calcular la longitud del
segmento que une los puntos medios de MC y HC .

B
20°

A) 8 B) 4 2

C) 4

D) 12

E) 6

21. Se tiene un triángulo rectángulo
ABC, recto en “B”, en AC se ubica
un punto “P” tal que, PC 2AB , la
bisectriz del m BAC y la mediatriz
de PC se intersectan en “M” y luego
se traza MH BC . Si AP 8 2 .
Calcular “ MH ”
A) 4 B) 8 C) 8 2 D) 6 E) 15
22. El perímetro de un triángulo
ABC es 36, calcular la medida del
segmento que une los pies de las
perpendiculares trazadas desde el
vértice B a las bisectrices exteriores
de los ángulos A y C.
A) 24

B) 18 C) 30 D) 12 E) 15

23. Exteriormente al triángulo
rectángulo ABC (m B=90), se traza
el triángulo equilátero BMC, tal que
AM 12 . Calcular la medida del
segmento que une los puntos medios de BM y AC .
A) 8

B)4 C) 3

D) 6

E) 3

3

2

24. Según el gráfico AB
calcule BC .

CD

4,

20°

C

D

A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5

03
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
Es la figura plana que se encuentra formada por
la unión de un conjunto finito de segmentos de recta que se llaman lados, que se unen por sus extremos y que se llaman vértices.
ELEMENTOS:

vértice

lado

diagonal

ángulo interior

ángulo exterior

CLASES DE POLÍGONOS
1. Convexo: Cuando una recta
secante lo corta como máximo
en dos puntos.

2. Cóncavo: Cuando una recta secante
lo corta en más de dos puntos

3. Equilátero: Todos los lados son iguales.
4. Equiángulo: Todos los ángulos interiores son iguales.

Polígonos y cuadriláteros

41

5. Regular: Todos los lados y todos los ángulos interiores son iguales.
6. Estrellado: Es la figura plana formada por las prolongaciones de los lados
de un polígono convexo.

Según él numero de lados un polígono se llama:
Triangulo
:
Cuadrilátero :
Pentágono
:
Hexágono
:
Heptágono
:
Octágono
:
Nonágono
:
Decágono
:
Endecágono :
Dodecágono :
Pentadecágono:
Icosagono
:

3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
7 lados
8 lados
9 lados
10 lados
11 lados
12 lados
15 lados
20 lados

hexágono

octágono

En todo polígono de n lados se cumple:
1) N° de vértices = N° de lados = N° de ángulos = n
2) Suma de ángulos interiores.- En todo polígono convexo la suma de
las medidas de sus ángulos interiores es:

Si = 180° (n – 2)

42


3) Suma de ángulos externos ( Se ).- En todo polígono convexo la suma de
las medidas de sus ángulos exteriores es:

Se = 360°
4) Suma de ángulos centrales:(

Sc )

Sc = 360°
5) Número total de diagonales:

D

n (n - 3)
2

6) N° de diagonales trazadas desde un vértice = n – 3

7) N° total de diagonales medias =

n ( n 1)
2

8) N° de diagonales trazadas desde v vértices consecutivos

=

n.v

( v 1)( v 2)
2

9) N° de triángulos que se obtiene al trazar diagonales desde un vértice = n – 2

En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces el
número total de diagonales aumenta.
En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces la suma de las medidas de sus ángulos exteriores no varía.

ángulo exterior disminuye.
ángulo interior aumenta.


43

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS REGULARES
1) Medida de un ángulo interior:

180 (n 2)
n

ángulo exterior
ángulo interior

2) Medida de un ángulo exterior:

360º
n

o
ángulo central

3) Medida de un ángulo central:

360º
n

Es un polígono que tiene cuatro lados, dos diagonales y la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 360°.

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados. Pueden ser:
Paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos, sus principales
propiedades son:
- Los lados opuestos son iguales.
- Los ángulos opuestos son iguales.
- Las diagonales se bisecan.

44


Se cumple: AB
AM

MC ; BM

CD ; BC

AD

MD

m A=m Cym B=m D

a.

: Es aquel paralelogramo cuyos lados son iguales
y sus ángulos son rectos. Es un
polígono regular.

c.

: Es el paralelogramo propiamente dicho.
B

b

C

a

A

d.

b.

: Es aquel paralelogramo equiángulo.
B

b

a
A

a

b

: Es aquel paralelogramo equilátero.

C
a

b

D

D



45

II. TRAPECIO
Es el cuadrilátero que tiene dos
lados paralelos que se llaman bases
y dos lados no paralelos. A la distancia entre las bases se le llama
altura.

c) Isósceles: Es aquel trapecio
en el que sus lados no paralelos son iguales.

PROPIEDADES
Donde: BC es la base menor y
AD la base mayor.

1) En todo trapecio la longitud de la
mediana es igual a la semisuma de
las longitudes de las bases.

Clasificación de los trapecios

x

a) Escaleno: Se llama así al trapecio cuyos lados no paralelos son distintos.

b) Rectángulo: Es aquel trapecio en el que un lado no paralelo es su altura.


a b
2

2) En todo trapecio la longitud del
segmento que une los puntos medios de sus diagonales es igual a la
semidiferencia de las longitudes de
sus bases.

x

b- a
2

46


PROPIEDADES

: Si AN ND entonces,

1)

x

b-a
2

x=

+

2)

Son los cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos.
2
C
B

x = 120° A

D

3)

Un trapezoide es simétrico
cuando una de las diagonales es
parte de la mediatriz de la otra diagonal, caso contrario, será asimétrico.

B
x
D
A

2

C
x = 120° - 2


+


47

4) Si G es baricentro, entonces,
B

01. (CEPU 2003-I).Calcular el
número de diagonales de un polígono regular, si la medida de un ángulo interior es igual a cinco veces la
medida de un ángulo exterior.
A) 54 B) 56 C) 60 D) 58 E) 62

G
A

b

a

x

x

a

c

b

C

c

02. Si el octágono mostrado es regular. Calcular x

3
5) Si O es el baricentro del trapezoide ABCD, entonces,

x

°

30

A) 45° B) 53° C) 60° D) 75° E) 90°

x

a

b

c

d

4

a.

03. ( UNJBG 2003-I ).
Si - = 20°. Hallar x, si ABCD es
rectángulo.

En el cuadrado ABCD:

x = 2k
A) 10° B) 20° C) 15° D) 30°
E) 12°

48


04. ( CEPU 2002 – II )
Si ABCD es un trapecio. Hallar la
mediana.

A) 10
D) 8

07. En la figura. Calcular x

B) 11 C) 12
E) 13

A) 90° B) 100° C) 120°
D) 135° E) 60°

05. ( CEPU 98 – I )
PH =


A) 5 B) 3 C) 2 D) 4 E) 3.5

A) 30° B) 40° C) 20° D) 50° E) 60°

06. En la figura mostrada. Calcular x

50° B) 55° C) 60° D) 65°
E) 70°


A) 8° B) 10° C) 12° D) 21°
E) 14°



49

10. En la figura. ABCD es un romboide, si: NC 4 y MN = 12. Hallar

AM .
2

A) 8 B) 13 C) 12 D) 16

E) 15

01.
Sea ND el número de diagonales.
Del enunciado:
medida de un ángulo interior = 5 ( medida de un ángulo exterior )

180 ( n
n

2)

5.

360
n

Resolviendo: n = 12
Asi que,
ND =

n ( n 3)
2

ND = 54

12(12 3)
2

54

50


02.

Trazamos

PS :

=

También, trazamos

m BPS = 30º

RS
QR = RS= a

=

m PQR = X
Y como QR || PB ; m QRP = 30º
Así que: x + x + 30º = 180º
x = 75°

03.
En cuadrilátero cóncavo
PQAR:
180º -α + x + β – 90º = 90º
x=α–β
Pero: α – β = 20º
x = 20º



51

04.

B

4

C
Trazamos

82°

CE|| AB

AE = 4 y m CED = 82º

14

ED = 14

82°
A

4

82°

Mediana

D

14

E

Luego.

16°

=

4 18
= 11
2

Mediana = 11
05.

A

5

M

5

D

5

APD es Isósceles

AM = MD = 5

Además AB || MH : m APM = φ

8

8
x P

B

Prolongamos HP hasta M

H

06.


MP = 5. Luego:
x=3

C

x+5=8

52


P

En la figura, vemos que Q es punto
de intersección de los diagonales
del rectángulo ABCD.

x
B

x
50º

C

∆PQC es isósceles
m PCQ = x
así que, x + x +50 = 180º

70º

40º

Q

Entonces QC =

x = 65º
70º

20°

A

D

07.
Prolongamos

P
50º 50º

º
10°
20° a

30

A

AM = MC = a
a

M

tal que, m BAP = 30º
Luego ΔAPD es Isósceles

B

x

50
º

a

50
º
50
º

CB y Trazamos AP

40°
30°

D

AQC es notable (30º y 60º):

C

AQ

AC
2

a

AMP =
AQD: AD = AP =
Por tanto, ΔAPB = ΔABD (LAL)

Q
m ABD = m ABP = 50º
Así que x + 10 + 50º = 180º
x = 120º

08.



53

B
x
10°
10°
10
°

A

E

10°

P

°

M

º
30
30º

F

C

40°
40°

60º

40º

70º

10

Q

º
40
70º

D
Se construye ΔAFC igual al ΔABC
y se traza FP a la prolongación de
Luego AE = EP

AC, tal que m

EPF = 10º

ΔADP es Isósceles

Así que: m DPE = m DAE = 20º
Trazamos CQ

FP

CM = MQ .

En consecuencia ΔCFQ es equilátero:

CF= FQ = QC =

FQP: m FQD = 30º + 10º = 40º
m DFQ = m FDQ = 70º

DQ = FQ =

Así que: CQD es Isósceles: m CDQ = m DCQ = 40º
Finalmente ΔDCP: x = 40 + 20º

X = 60º

09.


54


B
Se construye

16º

A

16º

16

º

C

x
x
42º

P

30º

30
º

CDE es Isósceles

CE= CD=

H

74º
74º

También,

ABC:

CP = BC =
Se traza CE a la prolongación de AD
tal que AE = AC
Luego,

D

APC =

CPE es Isósceles

E

CP = PE

=

En consecuencia:
APC: 30º = 16º + x
X = 14º
10.
Datos:

NE = 4 y MN= 12

Se pide: AM
se traza BE ||

NC. Luego,

MBE =

MCN

EM = MN= 12
Y BE = NC= 4
Además, AEB es Isósceles

AE = BE = 4
AM = 16


,

01. ( CEPU 2001- I ). Hallar el
número de lados de un polígono de
modo que al duplicar el número de
vértices la suma de las medidas de
sus ángulos internos se cuadruplica.
A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
02. Si la suma de las medidas de los
ángulos interiores de un polígono es
igual a dos veces la suma de las
medidas de sus ángulos exteriores,
el numero de lados que tiene el
polígono es :
A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
03. Al sumar el valor de un ángulo
interno del hexágono regular con el
valor del ángulo externo de un
pentágono regular se obtiene:
A) 162° B) 172° C) 182°
D) 192° E) 204°
04. En un polígono convexo desde
(n-6) vértices consecutivos se trazan
25 diagonales. Hallar la suma de las
medidas de los ángulos internos de
dicho polígono.
A) 1800°
B) 1440° C) 1080°
D) 720°
E) 540°

06. En un polígono regular desde 4
vértice consecutivos se trazan 105
diagonales. Hallar la medida del
ángulo central de dicho polígono.
A) 8° B) 10° C) 12° D) 15° E)18°
07. Los segmentos AB, BC, CD, DE
son 4 lados consecutivos de un
icosagono regular ABCDEF... Hallar
la medida del ángulo formado por
las prolongaciones de los lados AB
y ED.
A) 119°
B) 100° C) 120°
D) 115° E) 126°

08. Del gráfico BCDE es un rombo.
Si AB = 6. calcule la base media del
trapecio
ABCD.

A) 14 B) 15C) 16 D) 18 E) 28
09. Según el gráfico; ABCD y FECD
son trapecios isósceles, calcule “x”.

A

C

B

05. ( CEPU 2000-II)
ABCD es un cuadrado y CPQRFD
es un hexágono regular. Hallar x

30°
F

B

x

D

C
x

F

P
R

Q

A) 9° B) 10° C) 20° D) 15° E) 18°

A

E

D

A) 70° B) 60° C) 80° D) 50° E) 45°
10. Según el gráfico, BCDE es un
paralelogramo. Calcule la razón
entre la altura y el segmento que

56


une los puntos medios de las diagonales del trapecio ABCD.
B

C

60°
A

E

2
5
A)
3
3 3 E) 2 2

D

B)

3 C) 2 3 D)

11. Según el gráfico ABCD y CGFE
son cuadrados cuyos lados son 3 y
5
respectivamente. Calcule el
perímetro de la región AMNP.

A) 24
E) 36

B) 30

C) 34

D) 28

12. Según el gráfico BCEF es un
cuadrado y O es la intersección de la
diagonales del rombo ABCD, si EF =
8. calcule OH .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6


04
CIRCUNFERENCIA
Hay una gran cantidad de cuerpos y objetos que presentan esta figura, como el caso de una moneda, la
base de recipientes en forma cilíndrica, la rueda de
una bicicleta, etcétera.
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos
de un plano cuya distancia a otro punto del mismo
plano llamado centro, es constante. Esa longitud
constante se llama radio.
No hay que confundir lo que es la circunferencia con
el círculo; por ello se procede a identificar ambas
partes en la siguiente figura.

circunferencia

circulo

centro

Como puede observarse en la figura anterior, el contorno es la circunferencia,
en tanto que la circunferencia con su interior es el círculo.
:
O: Centro
R: Radio
AB : Cuerda
AB: Arco
PQ : Diámetro
L: Secante
L1: tangente

58


Centro Pre-Universitario de la UNJBG

Toda tangente de una circunferencia es perpendicular al radio en
el punto de contacto.
L

B
x

x

x p a
O

F
A

Si PFy PG son tangentes a la
circunferencia, entonces:
PF= PG . Además: =

a

C

Donde: p es el semiperimetro del
triangulo ABC
Todo radio perpendicular a
una cuerda, biseca a dicha cuerda y
al arco que la subtiende.
Así, si OP
AB
AH = HB y
además,
P
A

H

B

O

AB y CD son tangentes.
Si AP || BQ

, entonces:

A

B

x y

P

Q


Circunferencia

59

En toda circunferencia se cumple
que a cuerdas iguales le corresponden arcos iguales y viceversa.

En todo triangulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos
es igual a la suma de la longitud de
la hipotenusa y la longitud del diámetro de la circunferencia inscrita.

a c

Es aquel cuadrilátero que tiene sus
vértices en una misma circunferencia.

1. En todo cuadrilátero inscrito, las
diagonales determinan ángulos
de igual medida con los ángulos
opuestos.

b 2r

ABCD: inscrito

En todo cuadrilátero circunscrito a
una circunferencia, la suma de las
longitudes de sus lados opuestos
son iguales.

2. En todo cuadrilátero inscrito la
suma de medidas de dos ángulos interiores opuestos es 180°.

B
x

C

a
b

A

D

y

a

b


= 180°

x

y

60


3. En todo cuadrilátero inscrito, un
ángulo interior tiene igual medida que el ángulo exterior opuesto.


Angulo semi-inscrito:

=

β

β
2

θ

Ángulo Ex – inscrito:
A

β

B

Angulo Central:

θ

θ

A

α

β
2

P
O

β

θ

β
Ángulo Interior:

B

Angulo Inscrito:

β

θ

θ

=

β
2

2

θ

α β
2

Circunferencia

61

Ángulo exterior:

B
P

P

A

θ

α β
2

β

Cuadrilátero Inscriptible
una Circunferencia

Todo ángulo inscrito opuesto a un
diámetro es recto:

de

Es aquel cuadrilátero convexo que
puede inscribirse en una circunferencia; es decir, que sus vértices
pueden ser ubicados en una misma
circunferencia.

= 90°

Si P es punto de tangencia:

En la figura, si: A, B, C y D pueden
ser ubicados en una circunferencia,
entonces:

ABCD: inscriptible


62



Condición para que un cuadrilátero sea inscriptible
Caso I :
Todo cuadrilátero convexo cuyos ángulos interiores opuestos son suplementarios, es inscriptible.

ω

En la figura, si:
Se cumple:

180

ABCD: inscriptible

También, si:
Se cumple:

ABCD: inscriptible

Caso II:
Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determinan con dos lados opuestos ángulos de igual medida, es inscriptible.

C
B
En la figura, sí:
Se cumple:

A

ABCD: inscriptible

D


Circunferencia

63

01. ( CEPU 98-I ).
DB es tangente, AB

04. En la figura. Hallar AD =
BC ; x =

D
A
x
B

O

100°

A) 68° B) 64° C) 100° D) 132° E) 136°

C
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
02. DP || ÁC , m

PDB =

05. En el triangulo rectángulo ABC
( recto en B), calcular “R”, si :
AM MC

P
D
C

A

20°

B

A) 45° B) 55° C) 25° D) 35° E) 65°
03. TF es tangente. ÁB || TF; x =

A) 2 B)

2 C) 1 D) 5 E)

3 5 5
2
06. Calcular “x”

A) 31° B) 56° C) 17° D) 28°
E) 32°

A) 30° B)60° C)37° D)45| E)41°

64



07. Calcular “x” (“O” centro)
10. En la figura, hallar x

o
x

P
A) 90° B) 60° C) 45° D 75° E) 30°
08. Si: AB BC y DC
Calcular “x”

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

2 AH .

11. En la figura, P, Q y R son puntos de tangencia hallar α
Q
B

S
O
R

A) 15° B) 30° C) 20°
D) 10° E) 25°

09. En la figura, hallar PQ

A

P

C

A) 10° B) 15° C) 20° D) 60° E) 30°
12. ( UNJBG 2003-I ).
A, B, C, D son puntos de tangencia. Hallar x.

C
F
B
70°

A) 19° B) 30° C) 23° D) 45°
E) 27°

E

A

x
D

Circunferencia

65

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 40°

01.

Como AB =

BC

el arco AB = al arco BC = α

Luego: α + α + 100º = 360º
Pero: x

α = 130º

2

x = 65º

02.
P
D

Como DP ||

x
40º

20°

Así que: x

B
O

AD = DC = α

Luego: α + α + 40º = 180º

C

A

AC

40º
= 55º
2

x = 55º

03.
Del gráfico: x + 28º + x = 90º
x = 31º


α = 70º

66



04.

A

Sea el arco BC = y
136º - α =

x

x

B

136°-

2

x + y = 272º - 2α …
También,

y
D

y

C

α=

x

y
2

Luego de

x - y = 2α …
y

se tiene que: 2x = 272º

x = 136º
05.

AN = NC = 5

APD

ABN es notable (37º y 53º): AB = 4
y m ANB = 53º

2

2

NM

MC

2a

2

NMC es notable (53º/2)

2

2

Pero, a
( 2a )
5
a
5
También: a + 2a = 5 + 2R (T. Poncelet)

R

35 5
2

a

Circunferencia

67

06.
B
26.5º

22.5º

x
Q

6 7 .5

P
r

T
45º

º

O'

r

22.5º

A

M

r

O

r

2r

Se unen los centros O y O’ cuya prolongación llega al punto de tangencia
P y trazamos O' T .
PO’T es isósceles: O' T = O' P = r
y m O’TP = m O’PT = 22.5º
OTP: m ATO = 22.5º + 45º = 67.5º
m TAO = 22.5º
Luego

AOP es isósceles:

= OP = 2r = OB

MOB es notable (53º/2): m MBO = 53º/2 = 26.5º
B
53
◙2
/

BQT: 67.5º = x +26.5º

M


r

2r

O

x = 41º

68



07.

Trazamos los radios OS , OP y OT
Luego los triángulos OSP y OPT son
equiláteros.
En la circunferencia menor:

o
x
S

x = 60º

60º

60º

T

60º 60º

P

08.
Como ΔABC es Isósceles:
a

CF = AH =

y m BAC = m ACB = α
ABE: m DBE = α + x
En el

ABPC inscrito:

m ACP = m DBE = α + x
m BCP = x
Luego:

BCED es inscriptible

D

◙x
30

B

x
C

x = 30º
x

E

x

Circunferencia

69

09.

ADC es notable ( 53° / 2):
m

CAD = 53° / 2,

m

CQO = 30° = m

53
Luego,
2

OCQ es notable ( 30° y 60°):
QOP

x 30
2

x

23

10.
Trazamos CH
Luego

CH

AB ,

AHC es notable (30° y 60°):

AC

2
equilátero.

a , También HM

Trazamos HQ

MC

m

QHC = m

a

CHQ = m


MHA = 30°

MHC es

70



BCPH es inscriptible: m
También m

PCH = x

PMH = x

BHM: x + x = 30°

x

15

11.

Trazamos OP y OA
Luego
POSA es inscriptible
m SOA = m SPA = α
Por otro lado BO y OA son bisectrices exteriores del ABC
α = 90 – α / 2

60

12.

En el ΔPCD: x +

= m DPC +

Entonces: DPC = x
Luego, alrededor del punto P: x + 140° = 180°

140▪

x = 40°


01. Según el gráfico QBPC es un
romboide. B y C son puntos de
tangencia, calcule “x”.

A) 140° B) 80° C) 120° D) 90° E) 100°
02. Del gráfico AC = AB y D es
punto de tangencia. Calcule “x”.

04. En el gráfico, M es punto de tangencia. Si mMN = 40°. Calcule mNP.

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40°
E) 70°
05. Según el gráfico L1|| L2. P es
punto de tangencia, calcule “ ”.

A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 53°
A) 23° B) 25° C) 24° D) 22°30´ E) 20°
03. En el gráfico, mABC = 200° y C
es punto de tangencia, calcule
mCED.

06. En la figura
el valor de x.

-

= 40°, calcular

x

A) 100° B) 110° C) 120°
D) 130° E) 140°
A) 150° B) 200° C) 180°
D) 240° E) 260°

07. De la figura, calcular el inradio

72



del triángulo rectángulo ABC,
si: AM MC y BN NC

y
x

A

B

C z

A) 90° B) 180° C) 270°
D) 360° E) 540°

A) 5 B) 7 C) 10 D) 14
E) 12

10. Según el gráfico: AH = 3( HP ).
Calcule m AH.

08. Calcular “a + b + c + d”

P
b
a

H
c

o
d

A
A) 100° B) 120° C) 135°
D) 127° E) 143°

A) 360° B) 400° C) 540°
D) 600° E) 480°

09. Si: A, B y C son puntos de
tangencia. Calcular “x + y + z”


B

05
PROPORCIONALIDAD Y
SEMEJANZA
Diremos que dos segmentos AB y BC son
proporcionales a otros dos CD y DE si y

AB

CD

BC

solo si,

DE

Tres o más rectas paralelas determinan
sobre dos o más rectas secantes a ellas,
segmentos proporcionales.

Si L1 || L2 || L3. Entonces:

L1
L2

a
b

m

a
m

n

L3

También;

a
b

m
n

a b
a

m n
m

b
n

74



Si PQ || AC , entonces:

B
m

a
P

Q

a

b
A

b

m

n

n

C
Si P es punto de tangencia, entonces:
P

a

m

B

A
b

a

b

m

n

n

D

C

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
En todo triangulo se cumple que los lados que forman el vértice por donde parte la bisectriz interior son proporcionales a los segmentos determinados por
dicha bisectriz sobre el lado opuesto.

B
c

A

a

m

P

n

c
a

m
n

C

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En todo triangulo se cumple que los lados que forman el vértice por donde parte la bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos determinados por
dicha bisectriz sobre el lado opuesto.

Proporcionalidad y Semejanza

75

B
c

c
a

a

A

n

C

m

m
n

P

TEOREMA DEL INCENTRO
En todo triangulo se cumple que el incentro divide a la bisectriz interior en dos
segmentos que son proporcionales; el que une el vértice con el incentro es a la
suma de los lados que concurren con la bisectriz como el que une el incentro
con el lado opuesto es a este.

B
c

m

m
n

a

I

c a
b

n

A

b

C

TEOREMA DE MENELAO
Una recta secante a un triangulo determina sobre sus lados seis segmentos,
cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes.

abc = xyz


76



TEOREMA DE CEVA
Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triangulo, determinan sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres
de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres
restantes.

abc = xyz

DIVISION ARMÓNICA
Un segmento AB se dice que está dividido armónicamente por los puntos P y
Q ( P en AB y Q en la prolongación de AB ) si y sólo si ,

A

P b B
d

a

c

a
b

Q

d
c

Los puntos A, P, B y Q constituyen una cuaterna armónica.
Al conjunto de cuatro rectas concurrentes en un punto exterior al segmento

AB y que pasan por los puntos A, P, B Y Q se les llama: Haz Armónico.
TEOREMA

En todo triangulo, las bisectrices interior y exterior que parten desde un mismo
vértice determinan un haz armónico.

C
a
b

A

a

P b B
d

c

d
c

Q


77

Dos triángulos se llaman semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y los lados homólogos proporcionales.
Se dicen ángulos homólogos, los ángulos respectivamente iguales; lados
homólogos son los opuestos a ángulos homólogos.
Notación:
Así,

se lee “ es semejante a “.

∆ ABC

∆ DEF

B
E

a

b
x

A

D

C

c

a
x

b
y

y
F

z

c
z

CRITERIOS DE SEMEJANTES
Dos triángulos son semejantes si tienen al menos dos ángulos respectivamente de igual medida.

B
Q

~
A

C

P

R

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados cuyas longitudes son
proporcionales y el ángulo comprendido de igual medida.


78


Así, si m A = m P y


AB

PQ

AC

PR

ABC ~

PQR

B
Q

~
C

A

R

P

Dos triángulos son semejantes si las longitudes de sus tres lados son
proporcionales.
Así, si

AB

BC

AC

PQ

QR

PR

ABC ~

PQR

B
Q

~
C

A

R

P

Dos triángulos rectángulos son semejantes si y solo si, tienen un ángulo agudo
común.

A
D

B

C

E

F


79

PROPIEDADES ADICIONALES:

B

x2

x

A a P

ab

C

b

Si PQ || AC , entonces:

B
P

b

m

A

a

D

Además, si a = b

a
m

Q

n

b
n

C

m=n

02. En la figura, hallar BQ .
01. Del gráfico AE || BF|| CG y EB
|| FC || GD ,
Si AB = 9 y BC = 6. Calcule CD

Si QP = 8 , PC = 5 y CF = 7.

B

A

C

E

P

F

F

G

Q
A

B

C

D

A) 2 B) 8 C) 3 D) 5 E) 4

A) 8 B) 9,5 C) 10

D) 11,2 E) 15

80


03. ABCD es un romboide. Hallar
GH si AP

10

06. En la figura, se muestran dos
semicircunferencias tangentes. M y
N son puntos de tangencia. Hallar
MN si BH = 2 y AC 18

A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 5
A1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

04. En la figura, hallar,
si AC = 3, AR = 10 y PR

4

07. En la figura, hallar
FC 1 y AB 9

A) 1,3 B) 2 C) 1,5 D) 1,2 E) 1

08. En la
3 AF 2FC

si

x,

si

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

05. En la figura, T y P son puntos de
tangencia.
Hallar AC si TP 5 y PC 4 .

DE

figura

hallar

A) 53°/2 B) 45° C) 30° D) 37°/2
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

E) 37°


81

09. ABCD y AEFG son cuadrados; P
10. Sea ABCD un cuadrado inscrito
en una circunferencia. Sobre el arco
BC se toma un punto E, las cuerdas
EA y ED cortan a BC en P y Q.

y Q son Centros.
Hallar PQ , si DE = 8

Hallar QC , si BP = 4 y
PQ = 2.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

A) 3 B) 4 C) 5 D) 1 E) 4 2

01.
Se pide: x
Como, AE || BF|| CG :

E

b

a

F b

A

9

B

a

G

6 C x D


También, EB || FC || GD :

9
6
a 6
b

9

6

6
x=4

x

Luego:

x

82



02.

Se pide: BQ
Como mPC = mQP
Luego: CF || AQ
APQ ~

m CFP = m
m CFP = m

a
CPF:
8

PAQ = α,
SCF = m

BAQ = θ

7
. Así que, a = 11,2
5

Pero: BQ = a
BQ = 11,2

03

ABPR es un romboide
AG

a

B
x

P

a

5
5

b

G

x
x

a

AHE:

a
4a

Q
x=3

b
A

5

BHP ~

C

H

GP

R

a

D

2a

E



83

04.

PQR
x

ACR:

3

4

~

10

X = 1,2

05.

A

T

A

P
x

9

4
C

C

Por T trazamos la tangente común
a las circunferencias.
PAC ~

TAC:

x=6


x

x

9

4

x

84



06.

Se pide: MN
Trazamos MP y NP

m

MPN = 90° (propiedad).

Luego, el cuadrilátero MBNP es un rectángulo.
Asi que, BP

MN . Además α + β = 90°

MN

MN

ABC:

2

18

MBN ~

m

BPC = 90°

BP

2
MN = 18(2)

6

07.

B
9
C

1
A

D

F

x

a
E
ADE ~

FCE:

x

1

a

b

x

a

…


b


También,

ABE ~

Luego de

x

y

85

FDE:

9
a

x
b

9

a

x

b

…

9
x

: x

3

08

ABC: m

Luego,
APB es notable (30° y 60°)
AB 2 AP 2b
AFB ~
ABC:

P
30°
x

b

ABP = 30°.

B

2b

2a

5a

2b

a
AC

x

A 2a F

PC

C

3a

09.

B

A

a 2

45° b 2
b

45°

a

Q

a 2

P

a

G
8
D

C
De la figura:

PAQ ~


DAE:

F

APC:

;

5

2b
30°

b 10

E

5a

3b

b 10

x = 37°/ 2

86

A


A
b

b 2

45 α

45

Q

a

x

α

a 2

x

8

P

a

8

E

a 2
x

D

10.

E
45
°

45°

B
4

P

2

45°
45°
Q x

C

90°

90°

A

D
90°

BEQ: EP es bisectriz interior

Además, EC es bisectriz exterior

Luego: 2

6

BE

4

EQ

2

BE
EQ

2
6

x
x

x
x

x =6

4 2


87

P

01. Del gráfico AB = x - y; BC = x +

B

M

N

C

y;

MN = a – b y NP = a + b.

A

xa
Calcule:
yb

D

A) 24 B) 18 C) 15 D) 22 E) 11

A

04. En la figura

M
30º

AB = 3, BC = 4.

Calcule BE . BD .

30

º

B

C

B

N

P

C

D
A
E

A) 1 B) 1 C) 7 D) 9 E) 2
7
9
5

02. AP // BQ // CR.
A
15
B

A) 24 B) 6 C) 12 D) 16 E) 15
05. Según el gráfico 2( PQ ) = 3( PT
),
SN = 15 y Q es punto de tangencia.

x=

P

Calcule HM .

x
Q

9
C

12
R

A) 25 B) 23 C) 26 D) 30
E) 29
03. En la figura mostrada;
BM 1, NC 4 y MN 2CD.
Calcule el perímetro del rectángulo
ABCD.

A) 7,5 B) 5 C) 10 D)9 E) 12

88



06. P es punto de tangencia.

A

8

P

B

B
4

E

l

5
C

D

A
A)1

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 16
07. Los lados de un triángulo ABC
miden:
AB = 6, BC = 4, AC = 5,
se traza la bisectriz interior BD.
Calcular AD.
A)1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B) 2

D
C) 3

C
D) 4/5

E) 1/3

10. En el rectángulo ABCD, se toma el punto medio M del lado CD ,
las rectas AC y BM se cortan en
el punto F. Calcular la distancia del
punto F al lado BC , si AB = 18.
A)3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
11. Calcular BH .

08. x =

B
9
5
A

7

C

x

A)1

P

09. En la figura, BD y CE son bisectrices interiores.
AD
Hallar
, si:
DC

AE BI
.
EB ID

B) 4

C) 5

D) 2

E) 3

12. RC =
B

M

4

20

R

10

5
F

N

3
A


C

A) 50 B) 40 C) 25 D) 30 E) 45


89

13. En la figura , hallar x, si BE = EC

16. BD =

A) 10 B) 14 C) 16 D) 12 E) 15
A)3

B) 4

C) 6

D) 2

E) 7

17. ( UNJBG 2002-I ).P
de tangencia;

y Q puntos

m BQC = 160°. Hallar x

14. x =

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
A) 8 B) 9 C) 10

15. x =

D) 6

E) 7

18. ( CEPU 99-II ). BC = 2 CD ,

FD =21. AF =

B

C

A
A) 6

B) 7

C) 11

D) 9


E) 10

A) 11

D

F
B) 10

C) 9

D) 7

E) 8

90



19. Halla x =

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
20. ( CEPU 99-II ). AB = 2PQ; QC =

A) 5

B) 8

C) 4

D) 3

E) 10

21. En un triángulo ABC, la mediana
BM y la bisectriz interior AF se
cortan en el punto “O” , la prolongación de CO corta al lado AB en el
punto N. Calcular BN , sabiendo
que: AB = 6 y AC = 12
A)1

B) 2

C) 3 D) 4

E) 5


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