Teoria triangulos-puntos-notables-copia

EXÁMENES UNSAAC – TRIÁNGULOS – LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES
WILBER CONDOR AQUISE2
Dados tres puntos no coloniales A, B y C se
llama triángulo a la reunión de los
segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 𝑦 𝐶𝐴.
Notación: 𝛥𝐴𝐵𝐶 = 𝑨𝑩 ∪ 𝑩𝑪 ∪ 𝑪𝑨
Elementos
Vértices: A, B, C
Lados: AB, BC, CA
Sus medidas son:
AB = c , BC = a , AC = b
Ángulos interiores:
⊀ABC, ⊀ BCA, ⊀CAB
Sus medidas respectivas son:
 ,  , 
Ángulos exteriores:
Sus medidas son: x , y , z
Perímetro:
2p = a + b + c
Semiperimetro:
p =
𝐚 + 𝐛 +𝐜
𝟐
Puntos:
Interior(I)
Exterior(E)
Aferente(F)
PROPIEDADES
FUNDAMENTALES
En todo triángulo, la suma de las medidas
de los ángulos interiores, es 180°:
+  +  = 180°
En todo triángulo, la suma de las medidas
de tres ángulos exteriores, es 360°.
x + y + z = 360°
En todo triángulo, la medida de un ángulo
exterior es igual a la suma de las medidas
de los ángulos interiores no adyacentes a
dicho ángulo.
𝒙 = 𝜽 + 𝜷
En todo triángulo se cumple que a mayor
lado se le opone mayor ángulo y viceversa.
a > c ⇔ α > θ
En todo triángulo la longitud de uno de
sus lados está comprendida entre la
diferencia y la suma de las longitudes de
los otros dos lados.
𝒃 − 𝒄 < 𝐚 < 𝒃 + 𝒄
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS
Triángulo Equilátero
Sus tres lados son de igual longitud.
En un triángulo equilátero:
α = 60°
ac
 
A
B
C
aa
a



A
B
C
 

x
y
z
Región exterior
Relativa a 𝑨𝑪
I
E
F
ab
c
Región
Interior
Región exterior
Relativa a 𝑩𝑪

Triángulo Isósceles
Dos de sus lados tienen igual longitud
Se cumple: α = β
Triángulo Escaleno
No tiene lados de igual longitud
Sus ángulos interiores tienen diferente
medida.
Se cumple: α ≠ β ≠ θ ⇒a ≠ b ≠ c
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS
ÁNGULOS INTERIORES
Triángulo Rectángulo
Uno de sus ángulos interiores es recto.
Propiedad:
α + β = 90°
𝐚 𝟐
= 𝐛 𝟐
+ 𝐜 𝟐
Triángulo Acutángulo
Sus ángulos interiores son agudos
Propiedad:
α < 90° , θ < 90° , β < 90°
Si a > b, a > c, entonces:
𝐚 𝟐
< 𝐛 𝟐
+ 𝐜 𝟐
Triángulo Obtusángulo
Uno de sus ángulos interiores es obtuso.
Propiedad:
α > 90° , θ < 90° , β < 90°
Si a > b, a > c, entonces
𝐚 𝟐
> 𝐛 𝟐
+ 𝐜 𝟐
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CUYOS ÁNGULOS INTERIORES
MIDEN
PROPIEDADES
A
B
C
aa
α β
A
B
C
a
b
c
 



a
b
cA
C
B
A
B
C
a
b
c
 

A
B
C
a
b
c



m
n
ab
m + n = a + b

 x
x = α + β + θ
45º
45º
k
k k 2
30º
60º
k 3
k
2k
37º
53º
4k
3k
5k
16º
74º
24 k
7k
25k

𝑥 =
m+n
2
x =
m+n
2
x = 45° −
Â
4
x = 120° − α
x = 120° − 2α
x = 60°
Aparte de los lados que se presentan un
triángulo hay ciertas líneas que están
relacionadas con los triángulos como lo
son las medianas, las mediatrices, las
bisectrices, las alturas y las cevianas.
BISECTRIZ:
Es el segmento que biseca al ángulo de
referencia, se tienen bisectrices interiores
y exteriores.
MEDIANA:
Es el segmento determinado por un
vértice y el punto medio del lado opuesto.
MEDIATRIZ:
Es la línea recta perpendicular en el punto
medio de un lado cualquiera.

2
x

2
x
m
  
n
x
a
m
n
b m + n = a + b
m
n

 

x





 x
x
60º +


  
A
B
CDE
Bisectriz interior
Bisectriz exterior
Mediana
A
B
C
Mediatriz
A
B
C
B
A C

ALTURA:
Es el segmento que parte de un vértice y
llega perpendicularmente al lado opuesto o
su prolongación.
CEVIANA:
Es el segmento determinado por un vértice
y un punto cualesquiera del lado opuesto o
de su prolongación.
ÁNGULOS FORMADOS POR LAS
LÍNEAS NOTABLES
Ángulo formado por dos bisectrices
interiores. Su medida es igual a 90° más la
mitad de la medida del tercer ángulo
interior.
𝐱 = 𝟗𝟎° +
𝐁̂
𝟐
ángulo formado por dos bisectrices
exteriores. Su medida es igual a 90° menos
la mitad de la medida del tercer ángulo
interior.
𝐱 = 𝟗𝟎° −
𝐀̂
𝟐
Ángulo formado por una bisectriz interior
y una exterior, su medida es igual a la
mitad del tercer ángulo interior.
𝐱 =
𝐁̂
𝟐
PROPIEDADES EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En un triángulo rectángulo el ortocentro,
baricentro y circuncentro están
contenidos en la mediana relativa hacia
la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo la mediana
relativa hacia la hipotenusa es la mitad
de esta.
A
B
CDE
Ceviana interiorCeviana exterior

 

x
A
B
C
A
B
C




Dx
A
B
C




D
x
B
C
altura relativa
hacia BC
A
altura relativa
hacia AC
altura relativa
hacia AB
A
B
CM
a
2a
3a 3a
A
B
CM
Ortocentro
Baricentro
Circuncentro

Teorema de Poncelet
En todo triángulo rectángulo: (catetos: a,
b) (hipotenusa: c), donde “r” es el irradio o
radio de la circunferencia inscrita. Se
cumple que:
𝐚 + 𝐛 = 𝐜 + 𝟐𝐫
PROPIEDADES EN UN TRIÁNGULO
ISÓSCELES
En un triángulo isósceles al trazar la altura
relativa a su base, este también cumple la
función de bisectriz, mediana y parte de la
mediatriz.
{
𝑩𝒊𝒔𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛
𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛
𝑪𝒆𝒗𝒊𝒂𝒏𝒂
La suma de las distancias de un punto
cualesquiera de la base en un triángulo
isósceles a sus lados congruentes son igual
a cualquiera de las alturas congruentes.
𝐱 = 𝐚 + 𝐛
PROPIEDADES EN UN
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
En un triángulo equilátero los puntos
notables coinciden en un único punto
{
𝑶𝒓𝒕𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐
𝑰𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐
𝑩𝒂𝒓𝒊𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐
𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐
La suma de las distancias de un punto
interior a un triángulo equilátero hacia
sus lados es igual a cualquiera de las
alturas congruentes.
h = a + b + c
BARICENTRO:
La intersección de las tres medianas es un
punto interior al triangulo llamado
baricentro.
a b
c
r
a
bc
h
A
B
CM
G
NP
a
2a
m
2m
b
2b
 
a b
x
P

 El baricentro G, determina en la
mediana, dos segmentos cuyas
medidas están en la relación de dos a
uno.
 El baricentro G, es un punto interior del
triángulo.
 Todo triángulo tiene un solo
baricentro.
ORTOCENTRO:
La intersección de las alturas o de sus
prolongaciones es un punto llamado
Ortocentro.
 El ortocentro “O” en un triángulo
acutángulo se encuentra en el interior
del triangulo.
obtusángulo se encuentra en el
exterior del triángulo.
rectángulo es el vértice del ángulo
recto.
INCENTRO:
El punto de intersección de las bisectrices
interiores se llama incentro “I” que es el
centro de la circunferencia inscrita en el
triángulo.
Inradio (r): Radio de la circunferencia
inscrita.
 El incentro “I” equidista de los lados
del triángulo.
 El incentro “I” es un punto interior al
triángulo.
EXCENTRO:
Dos bisectrices exteriores y una bisectriz
interior se intersecan en un punto
llamado Excentro.
Un vértice, el incentro “I” y el excentro “E”
están contenidos en una línea recta.
B
CA
Ortocentro
A
Ortocentro
B
r
A
B
C
Ortocentro
r 




I rr
A
B
C
E
A C
B






r
rI

CIRCUNCENTRO:
Las tres mediatrices de un triángulo se
interceptan en un punto llamado
circuncentro que es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
 El circuncentro “L” en un triángulo
acutángulo se encuentra en el interior
del triángulo.
obtusángulo se encuentra en el
exterior del triangulo.
rectángulo es el punto medio de la
hipotenusa.
R: Circunradio “El Circuncentro Equidista de los
vértices del triángulo”
PROPIEDAD DEL
CIRCUNCENTRO
En la figura si “L” es Circuncentro, se
cumple:
m⊀ALB = 2m⊀ACB
m⊀BLC = 2m⊀BAC
m⊀ALC = 2m⊀ABC
A
B
C
L

2
A
B
C
R
L
A
C
L
B
R
A C
B
RR L

Es la recta que contiene a los Puntos:
Ortocentro, Baricentro y Circuncentro.
PROPIEDADES
 En todo triángulo la distancia del
ortocentro al baricentro es dos veces la
distancia del baricentro al
circuncentro:
𝐎𝐆 = 𝟐𝐆𝐋
 La distancia del ortocentro a un vértice
es el doble de la distancia del
circuncentro al lado opuesto del
vértice mencionado.
𝐎𝐁 = 𝟐𝐋𝐌
 También se cumple:
𝐁𝐇 = 𝟑𝐆𝐍
 También se cumple:
m⊀AOC + m⊀ABC = 180°
 El baricentro “G” se encuentra entre el
ortocentro “O” y el circuncentro “L”.
 Todo triángulo, excepto el triángulo
equilatero, tienen una unica recta de
Euler.
 El triángulo equilatero tiene
INFINITAS rectas de Euler ya que el
ortocentro , incentro, baricentro y
circuncentro son el el mismo punto.
 En todo triangulo isósceles el
circuncentro, baricentro, incentro ,
Ortocentro y el excentro relativo a la
base se encuentran contenidos en la
recta de euler.
 En un triángulo rectángulo el
ortocentro, baricentro y el
circuncetro se encuentran
contenidas en la mediana relativa a
la hipotenusa, que esta a la vez
contenida en la recta de Euler.
 En todo triángulo se pueden
encontrar tres circunferencias ex-
inscritas.
a
2a
3a 3a
A
B
CM
Ortocentro
Baricentro
Circuncentro
A CM
B
O
G
L
Re cta de
Euler
NH
1E
2E
3E
A
B
C
2r
3r
1r

TRIÁNGULOS
Problema 1
En el triángulo rectángulo ABC de la
figura. La medida del ángulo formado
por la bisectriz del ángulo B, y la
mediatriz de AC es:
a)28° b)26° c)23° d)25° e) 22°
Solución:
Por propiedad del cuadrilátero cóncavo:
45° + x + 23° =90°
x = 22°
Problema 2
Los de los lados de un triángulo miden 8
y 10 respectivamente. SI el mayor de los
tres lados mide 10, calcular el menor
valor entero del tercer lado para que el
triángulo sea acutángulo.
a) 7 b) 6 c)8 d) 5 e) 9
Solución:
Si el triángulo es acutángulo, entonces:
𝛼 < 90°
Por ser un triángulo acutángulo:
102
< 82
+ 𝑥2
6 < 𝑥
Por existencia de triángulos:
10 - 8< x <10 + 8
2 < x < 18
Intersecando:
6< x <10
𝑥 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 7
Problema 3
En un triángulo ABC equilátero, se ubica
el punto L exterior al triangulo tal que el
segmento 𝐵𝐿̅̅̅̅ interseca ala lado 𝐴𝐶̅̅̅̅. Si
m⊀ALC > 90°, AL =2u y CL=13u. Calcule
el menor perímetro entero del triángulo
ABC.
a) 42 b) 41 c) 40 d)43 e) 44
Solución:
A C
B
23º
8 10
x

A C
B
23º
45º
45º
x

Piden: 2𝑝△𝐴𝐵𝐶 = 3x
El △ABC es equilátero:
AB = BC =AC = x
13 -2 < x < 13 + 2
11 < x < 15
La m⊀ALC > 90° entonces el △ALC es
un triángulo obtuso:
𝑥2
> 22
+ 132
x > √173
x > 13,15
Intersecando:
13,15 < x < 15
Multiplicando por 3:
13,15(3) < 3x < 15(3)
39,45 < 2𝑝△𝐴𝐵𝐶 < 45
El menor 2𝑝△𝐴𝐵𝐶 = 40u
Problema 4
En un triángulo ABC equilátero, se ubica
el punto D exterior al triangulo tal que el
segmento 𝐵𝐷̅̅̅̅ interseca ala lado 𝐴𝐶̅̅̅̅. Si la
m⊀ADC es obtuso, AD =8u y CD=15u.
Calcule el menor perímetro entero del
triángulo ABC.
a)50 b)51 c)52 d)54 e) 55
Solución:
AB = BC =AC = x
15 -8 < x < 15 + 8
7 < x < 23
La m⊀ADC > 90° entonces el △ALC es
un triángulo obtuso:
𝑥2
> 152
+ 82
x > 17
Intersecando:
17 < x < 23
17(3) < 3x < 23(3)
51 < 2𝑝△𝐴𝐵𝐶 < 69
El menor 2𝑝△𝐴𝐵𝐶 = 52u
Problema 5
Los lados 𝐴𝐵̅̅̅̅ y 𝐵𝐶̅̅̅̅ de un triángulo ABC
miden 4cm y 6cm respectivamente. Sobre
el lado 𝐴𝐶̅̅̅̅ se contruye el triángulo
equilátero AFC, exterior al triangulo ABC,
Hallar el mayor valor entero del
perímetro del triángulo AFC.
a)27 b)28 c)29 d)30 e) 31
Solución:
AB = BC =AC = x
6 -4 < x < 4 + 6
2 < x < 10

2(3) < 3x < 10(3)
6 < 2𝑝△𝐴𝐵𝐶 < 30
El mayor 2𝑝△𝐴𝐵𝐶 = 29cm
Problema 6
En un triángulo ABC, m⊀A=2m⊀C, AB =2.
Calcular BC, si se sabe que es un número
entero.
a) 1 b) 2 c)3 d)4 e) 5
Solución:
Piden: BC =x
Trazamos el segmento 𝐵𝐷̅̅̅̅ para formar
triángulos Isósceles:
AB = BD = DC =2
A mayor Angulo se le opone mayor lado:
Del △ABC
2α > α
x > 2
En el △BDC por existencia de triángulos:
2 - 2 < x < 2 + 2
0 < x < 4
Intersecando:
2 < x < 4
𝑥 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 3
Problema 7
En un triángulo ABC, m⊀A=4m⊀C,
Calcular el mayor valor entero de BC, si
AB = 2
a) 6 b) 7 c) 8 d)4 e) 5
Solución:
Piden: BC =x
Trazamos el segmento 𝐵𝐷̅̅̅̅ 𝑦 𝐵𝑀̅̅̅̅̅ para
formar triángulos Isósceles:
AB = BD = DM =2
BM = MC = m
A mayor Angulo se le opone mayor lado:
Del △ABC
4α > α
x > 2
En el △BDM por existencia de
triángulos:
2 - 2 < m < 2 + 2
(0 < m < 4)2
0 < 2m < 8
En el △BMC por existencia de
triángulos:
m – m < x < m + m
0 < x < 2m
Sumando las inecuaciones:
0 + 0 < 2m + x < 2m +8
2m + x < 2m +8
x < 8
Intersecando:
2 < x < 8
𝑥 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 7
Problema 8
Los catetos 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶 de un triángulo
rectángulo miden 6k y 8k
respectivamente; la distancia del vértice
B a la mediana relativa a la hipotenusa,
es:
a)4,8k b )5k c) 7k d)4k e)4,5k

Solución:
Graficando según el enunciado, resulta
ser un triángulo notable de 37° y 53°
En el triángulo rectángulo sombreado
relacionando sus lados:
x =
24𝑘
5
x = 4,8k
Problema 9
En la figura adjunta, la suma de las
medidas de los ángulos: m⊀BAC y
m⊀ACB es 124°. Determinar la medida
del ángulo m⊀EOF. Si 𝑂𝐹 es
perpendicular a 𝐴𝐵 y 𝑂𝐸, es paralela a
𝐵𝐶.
a)112° b)146° c)124° d)130° e)136°
Solución:
Por ángulo exterior:
m + n = 124°
La suma de ángulos exteriores es igual a
360°:
124° + 90° + x = 360°
x = 146°
Problema 10
En un triángulo acutángulo ABC, se
trazan la mediana 𝐵𝑀 y la altura 𝐵𝐻; si
16(𝐵𝐶)2
− 9(𝐴𝐶)2
= 144, además se
cumple 2m⊀ABH = m⊀ABM entonces
medida de𝐵𝐻,es:
a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6
Solución:
Del dato del problema:
16(𝐵𝐶)2
− 9(𝐴𝐶)2
= 144
16(2a√3)
2
− 9(4a)2
= 144
192a2
− 144a2
= 144
48𝑎2
= 144 ⇒ a = √3
En el triángulo rectángulo HBM por
Pitágoras se tiene:
BH =a√3 ⇒ √3(√3) = 3
BH= 3
Problema 11
En la figura:
Si AH = 3 y HC = 10, entonces el valor de
AB, es:
a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) 7
••• •••
2a
2aA C
B
a aH M
  30º
2a
a 3
a 3
P
a60º
37º
A
B
C
6k
8k
5k
5k
37º
53º
x
A C
B
F
O
E
124º
x
m n n
A C
B
F
O
E•

Solución:
HC = 10
AH = 3
Piden: AB
De la gráfica al ∆ABD es Isósceles:
AB = BD = x
De la gráfica el ∆BDC es isósceles:
BD=DC=x
Luego:
HC = 10
x+3 = 10
x = 7
𝐴𝐵 = 7
Problema 12
En la figura, calcular el menor valor
entero de BN, si BN=NC, AM = MC, GM = 6,
AG =10 y el m⊀B es obtuso.
a) 14 b) 13 c) 15 d) 12 e) 16
Solución:
Piden: a menor entero
De la gráfica el punto G es el baricentro
del ∆ ABC de donde:
GN = 5
BG = 12
Por condición del problema el ángulo
BGN es obtuso, por lo tanto:
a2 > 122 + 52
a2 > 169
a > 13
Por existencia triangular:
15 – 5 < a < 12 + 5
7 < a < 17
Intersecando:
13 < a < 17
a 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 14
Problema 13
En la figura, calcular el valor de x.
a) 24 b) 23 c) 25 d) 22 e) 26

Solución:
Piden: x
Trazamos 𝐻𝐷̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅̅̅ para aplicar el
teorema de la Bisectriz de dónde:
HD = DB = 8
El ∆ ACB notable (53° - 37°):
18 = 3k ⇒ k = 6
x = 4k ⇒ 4(6)=24
X= 24
Problema 14
En un triángulo ABC, m⊀ABC=40° y
m⊀ACB=80°, se trazan las cevianas
interiores 𝐴𝑃 𝑦 𝐶𝐸 ; si m⊀BAP=10° y
AE=AC. Hallar la medida del ángulo APE.
a)20° b)45° c)25° d)40° e)30°
Solución:
AE = AC = PC
Piden: m⊀ APE =x
De la gráfica ∆ ECP es Isósceles:
x + 50° = 80°
x = 30°
Problema 15
Sea el triángulo obtusángulo ABC, obtuso
en B . Si AB = √3 y AC =√6 ,entonces el
máximo valor entero de BC, es:
a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) 1
Solución:
Piden: x máximo entero
Como la m ⊀ABC es obtuso se cumple que:
(√6)2
> (√3)2
+ 𝑥2
6 > 3 + x2
3 > x2
√3 > 𝑥
1,73 > x
√6 - √3 < 𝑥 < √6 + √3
0,72 < x < 4,18
Intersecando:
0,72 < x < 1,73
𝑋 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 1
Problema 16
En la figura, PS = 2 y SR = 7. Halle PQ.
a)6 b)7 c)5 d)4 e)3

Solución:
Cuando se tiene un ∆𝐴𝐵𝐶
y la 𝑚∢𝐵𝐴𝐶 = 2(𝑚∢𝐵𝐶𝐴), una de las
sugerencias que se debe tomar en cuenta
es trazar la ceviana interior BM, tal que
BM = MC, de lo cual 𝑚∢𝑀𝐵𝐶 = 𝜃 y
𝑚∢𝐵𝑀𝐴 = 2𝜃, y se tiene:
AB = BM = MC
es decir, se forman triángulos isósceles.
Piden: PQ = x
En este problema, aplicamos la
sugerencia planteada anteriormente; es
decir, se traza QM, tal que:
QM =MR
de donde se obtiene:
PQ = QM = MR = x
Como en el ∆𝑃𝑄𝑀:
PQ = QM y PS = SM = 2
x = SR – MS
x = 7 – 2
x = 5
PQ = 5
Problema 17
En un cuadrilátero ABCD, las
prolongaciones de los lados BA y CD se
intersecan en M (A ∈ 𝐵𝑀) y las
prolongaciones de los lados AD y BC se
intersecan en N(C∈ 𝐵𝑁). Si los angulos
BAD y BCD miden 70° y 80°
respectivamente, determine el ángulo
que forman las bisectrices interiores de
los ángulos AMC y ANC.
a)90° b)100° c)105°
d)110° e)115°
Solución:
Piden: 𝑚∢𝑀𝑂𝑁 = 𝑥
MO y NO son bisectrices.
RECORDANDO
x =
𝑚+𝑛
2
Del gráfico:
𝑥 =
110° + 100°
2
𝑥 = 105°
Problema 18
En un triángulo ABC se cumple AB = 2m y
AC = 32m. Halle el perímetro del
triángulo en metros, sabiendo que es un
número entero y el ángulo en A es obtuso.
a)65 b)66 c)67 d)68 e)69
m
   
n
x

Solución:
Se pide: 2𝑝 𝐷𝐴𝐵𝐶
AB =2; AC = 32; A es obtuso y el perímetro
es numéricamente entero.
Del grafico:
𝑥2
> 22
+ 322
x >32,06
Po existencia de triangulos:
30 < x < 34
Intersecando :
32,06 < x < 34
Sumando mas 34 a ambos miembros:
32,06 +34 < x + 34 < 34 + 34
66,06 < x + 34 < 68
66,06< 2𝑝 𝐷𝐴𝐵𝐶 < 68
2𝑝 𝐷𝐴𝐵𝐶 = 67
Problema 19
Dos lados de un triángulo miden 8m y
14m. hallar el mínimo valor entero de la
mediana en metros, relativo al tercer
lado.
a)3 b)6 c)7 d)4 e)5
Solución:
Graficamos el ∆ 𝐴𝐵𝐶:
Se traza la mediana BM = x
Por M se traza 𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐵, tal que MN es
base media y se cumple:
Luego MN = 4 y además BN = NC =7, por
ser N punto medio.
Tomando el ∆𝐵𝑀𝑁 y aplicando la
existencia del∆, se tiene:
7 − 4 < 𝑥 < 7 + 4
3 < 𝑥 < 11
𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 4
Problema 20
En un triángulo ABC, se cumple que
5(𝑚∢𝐴𝐶𝐵) = 3(𝑚∢𝐵𝐴𝐶). Si AC = 8,
calcule el mínimo valor entero de AB.
a) 4 b) 1 c)5 d)2 e)3
Solución:
Se traza la ceviana:
BD → 𝑚∢𝐵𝐴𝐷 = 𝑚∢𝐵𝐷𝐴 = 5𝜃
En el triángulo ABD isósceles, se traza la
altura BH → AH = HD = a y sea DC = b.
Del gráfico:
2a + b = 8
Aplicamos la existencia del triángulo:
⊿𝐵𝐻𝐷:
a < 𝑥 (Multiplicando por 2)
2a < 2𝑥

∆𝐵𝐷𝐶:
𝑏 < 𝑥
Sumando y reemplazando:
2a + 𝑏⏟ < 3𝑥
8 < 3𝑥
2, … < 𝑥
Por tanto:
xminimo = 3
Problema 21
Del gráfico, calcule x.
a)12° b)25° c)10° d)18° e)15°
Solución:
RECORDANDO
x =
𝑚+𝑛
2
De la gráfica se cumple:
𝑥 =
𝛳 + 𝛼
2
⇒ 2𝑥 = 𝛳 + 𝛼
En el △ABC se cumple:
4x + 3(ϴ + α)=180°
4x + 3(2x)=180°
10x =180°
𝑥 = 18°
Problema 22
En el gráfico calcular el valor de x es:
a)37° b)35° c)36° d)30° e)45°
Solución:
RECORDANDO
x = 𝑚+𝑛
2
De la gráfica:
𝑥 =
𝛳 + 𝛼
2
⇒ 2𝑥 = 𝛳 + 𝛼
m
   
n
x
m
   
n
x
C
A C
 2
4x
a
a
b
b
x
2

 2
4x
a
a
b
b
x
2


Del △ABC:
2𝛽 + 2𝛳 + 40° = 180°
4x = 140°
x = 35°
NOTI WIL
También se cumple
x = 45° −
⊀ 𝐵
4
x = 45° −
40°
4
x = 45° - 10°
x = 35°
Problema 23
En un triángulo ABC, se traza la ceviana
BN, tal que BN = AC, además se sabe que
𝑚∢𝐵𝐴𝐶 = 100°, 𝑚∢𝐵𝐶𝑁 = 30°. Calcule
𝑚∢𝑁𝐵𝐶.
a)10° b)20° c)30° d)40° e)50°
Solución:
Se prolonga BA tal que TC = BT
∆𝐵𝑁𝑇𝐶: prop. Del cuadrilátero no
convexo
𝑚∢𝑇𝐵𝑁 = 40°
Por tanto:
x = 10°
Problema 24
En un triángulo ABC, el ángulo agudo
formado por la bisectriz interior trazado
de A y la bisectriz exterior trazado de C ,
mide 30° .Si m⊀BAC = 2m⊀ACB ,entonces
la medida del ángulo exterior en C . es :
a)120° b)145° c)125°
d)140° e)130°
Solución:
Piden: 2𝜃
El punto E es el excentro del ∆ ABC con
respecto al lado 𝐵𝐶̅̅̅̅ por lo tanto se
cumple:
m⊀ABC = 2 m⊀ AEC
m⊀ABC = 2 (30°)
m ⊀ABC = 60°
Por otro lado:
120 - 2 + 2 = 180°
 -  = 30°
De la condición del problema:
m ⊀BAC = 2m ⊀ ACB
2 = 2(120 - 2)
 = 40°
Luego:
 -  = 30°
 - 40° = 30°
 = 70°
2 = 140°

Problema 25
En la figura:
Si AB = BC, EF = FH, entonces el valor de x
es:
a)20° b)45° c)25° d)40° e)30°
Solución:
AB = BC
EF = FH
Piden: x
Como el ∆ ABC es isósceles:
m ⊀BAC = m⊀ BCA
10 + 3x = 110 – 2x
3x + 2x = 100
5x = 10
x = 20°
Problema 26
En un triángulo ABC, 𝐵𝐷̅̅̅̅ es bisectriz del
ángulo exterior en B cuya prolongación
corta en E a la bisectriz del ⊀ACB. Si
m⊀BAC = 72° y m⊀ACB)=54°, entonces la
m⊀CED, es:
a)30° b)35° c)36° d)40° e)37°
Solución:
Piden: m⊀ CED = x
Propiedad:
72° + 27° + 27° = 2
63° = 
En el ∆ MBE:
81° + x +  =180°
81° + x + 63° = 180°
x = 36°
Problema 27
En la bisectriz de un ángulo de vértice A,
se considera el punto F y se trazan 𝐹𝐵̅̅̅̅
perpendicular a un lado y 𝐵𝐷̅̅̅̅
perpendicular al otro lado. Si AB = 17 y
BD = 15, entonces la distancia de F a 𝐵𝐷̅̅̅̅,
es:
a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 9
Solución:
BD = 15
Piden: FH = x
Aplicando el teorema de la bisectriz.
AB = AP = 17
FB = FP

Pitágoras en el ∆ Recto ABD:
172 = BD2 + AD2
172 = 152 + AD2
64 = AD2
8 = AD
Luego:
AB = AD + DP
17 = 8 + DP
9 = DP
De la gráfica:
FH = DP
x=9
Problema 28
En un triángulo BAC, obtuso en A, AB=2 y
AC = 6; el valor entero de BC es:
a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 9
Solución:
Piden: x entero
Aplicando existencia triangular:
6 -2 < x < 6 + 2
4 < x < 8
Como el ∆ ABC es obtuso en B se cumple:
x2 > 62 + 22
x2 > 36 + 4
x2 > 40
x > 6,32
Intersecando:
6,32 < x < 8
𝑥 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 7
Problema 29
Determinar el valor del ángulo “x” en el
gráfico mostrado
a)120° b)145° c)125°
d)140° e)130°
Solución:
En el triángulo ABC, " " es el ángulo
formado por dos bisectrices interiores.
De donde: 𝛽 = 90° +
𝑥
2
En el triángulo rectángulo sombreado,
suma de ángulos externos:
𝛽 + 𝑥 + 90° = 360°
90° +
𝑥
2
+ 𝑥 + 90° = 360°
3𝑥
2
= 18
x = 120°
Problema 30
En un triángulo rectángulo ABC, recto en
B se traza la altura 𝐵𝐻. La bisectriz del
⊀BHC interseca en P a 𝐻𝐶. Si 𝐴𝐵 = 5.
Calcular el máximo valor entero de BP.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Solución:
A
B
C

 

x
x
A
B
CH P
 

x
2  + 
5
5
A
B
C

 

x
x


Al trazar la bisectriz, notamos que:
2𝛼 + 𝛽 = 90°
Con lo cual: ⊀A = 2α y m⊀C = β
Luego, en  BPC, por ángulo exterior:
m⊀APB = β + α
Por existencia de triángulos en el △ABP:
0 < x < 10
Por otro lado, m⊀BAP es agudo entonces
el △ABP es acutángulo:
𝑥2
< 52
+ 52
𝑥2
< 50
x < 7,07
Intersecando:
0 < x < 7,07
𝑋 𝑀𝑎𝑥 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 7
Problema 31
Determinar el valor del ángulo “x” en el
gráfico mostrado.
a)130° b)145° c)125°
d)140° e)150°
Solución:
En el cuadrilátero cóncavo CEDP:
𝛼 + 𝜃 + 20° = 150°
𝛼 + 𝜃 = 130°
De la gráfica:
2𝜑 = 2𝛼 + 20°
De la gráfica:
2𝛽 = 2𝜃 + 20°
Sumando las ecuaciones:
2𝜑 + 2𝛽 = 2𝛼 + 20° + 2𝜃 + 20°
2𝜑 + 2𝛽 = 2(𝛼 + 𝜃) + 40°
2𝜑 + 2𝛽 = 2(130°) + 40°
𝜑 + 𝛽 = 150°
En el cuadrilátero convexo QAEB:
𝑥 + 20° = 𝜑 + 𝛽
𝑥 + 20° = 150°
x = 130°
Problema 32
En el siguiente gráfico 𝐴𝐶 = 𝐹𝐵 = 𝐷𝐵,
determinar el valor del ángulo “x” si  es
entero.
a) 4° b) 0,75° c) 1° d) 2° e) 0,5°
Solución:
En el triángulo DFB por ser Isósceles:
3 + 𝛼 < 90°
𝛼 < 87°
En el triángulo ACB:
𝐶𝐵 > 𝐴𝐶
3° > 174° − 2𝛼
𝛼 > 85,5°
20º150º






x
20º150º


C
D
EP




x
A
B
Q
20º


C
D
EP150º
A B
C
D
E
F
3º

x
A B
C
D
E
F
3º

x3º +
3º + 174º 2−

Intersecando:
85,5° < α < 87° ⇒ 𝛼 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 86°
Finalmente:
𝑥 = 174° − 2𝛼
𝑥 = 174° − 2(86°)
x = 2°
Problema 33
El ángulo A de un triángulo ABC mide 20°.
Se traza la ceviana 𝐶𝑇 y en el triángulo
ATC se traza la ceviana 𝑇𝑄.Si se cumple
que m⊀ATQ = 40° y 𝑇𝑄 = 𝑄𝐶 = 𝐵𝐶.
Calcular la m⊀B.
a)80° b)45° c)75° d)70° e)90°
Solución:
Graficando de acuerdo con los datos:
En  ATQ, por ángulo exterior
m⊀TQC = 60°, luego:  TQC es equilátero,
así 𝑄𝑇 = 𝑇𝐶 = 𝑄𝐶 como:
m⊀BTC = m⊀TBC = 80°
m⊀B = 80°
Problema 34
Dado el triángulo isósceles 𝐴𝐵𝐶, donde
AB=BC; 𝑃 ∈ 𝐴𝐵 y 𝑄 ∈ 𝑃𝐶 de modo que
𝐵𝑃 = 𝐵𝑄 y m⊀QBC = 48°.Calcular la
m⊀PCA.
a)20° b)25° c)35° d)24° e)50°
Solución:
De la gráfica:
 48º 2x+ = +
2𝑥 = 48°
x = 24°
Problema 35
En un triángulo ABC se traza la ceviana
interior BD, de tal manera que se cumpla
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 30 y 𝐴𝐶 = 20. Hallar el
mínimo valor entero de BD.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Solución:
En el 𝛥 ABD: 𝑐 − 𝑚 < 𝑥
En el 𝛥 BDC: a − 𝑛 < 𝑥
Sumándolos las inecuaciones:
𝑐 + a − (𝑚 + 𝑛) < 2𝑥
Reemplazando se tiene que:
30 − 20 < 2𝑥
5 < x ⇒𝑥: 6,7,8, . . ..
𝑋 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 6
Problema 36
En el siguiente gráfico determinar la
diferencia entre el máximo y mínimo
valor entero que asume el ángulo “x”
a)28° b)29° c)38° d)24° e)42
A B
C
D
E
30º
x 20º
20º 60º 60º
60º40º
80º
A Q C
T
B
x

2x +
2x +
48º
x +
A C
B
P
•
Q
x
m nA
B
CD
ac
20
x

Solución:
Del triángulo rectángulo ABC:
𝑥 < 60°
En el triángulo sombreado se tiene que:
A mayor lado se opone mayor ángulo y
viceversa
x > 20°
Intersecando:
20° < 𝑥 < 60°
𝑥 𝑚𝑖𝑛= 21° y 𝑥 𝑚𝑎𝑥= 59°
Piden la diferencia: 59° - 21° = 38°
Diferencia = 38°
Problema 37
En un triángulo ABC se traza la bisectriz
interior 𝐵𝐷 tal que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 = 𝐷𝐶.
Hallar la medida del ángulo C.
a)38° b)39° c)36° d)24° e)42°
Solución:
De la figura en el 𝛥𝐴𝐵𝐷:
2𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 180°
x = 36°
Problema 38
En el siguiente gráfico determinar el
valor del ángulo “  ”
a)18° b)19° c)16° d)14° e)10°
Solución:
En el 𝛥ABC se traza la ceviana interior
BD a fin de obtener el DBC isósceles
𝐵𝐷 = 𝐷𝐶
Luego se tiene el 𝛥BED equilátero,
finalmente en el 𝛥EDC isósceles por
ángulo exterior.
2ϴ = 20°
ϴ = 10°
Problema 39
En la figura: hallar “x” si: m⊀BAC =60°
y m⊀ABC =40°
a)68° b)69° c)66° d)64° e)60°
A 10º
10º

20º
100º
B
C
A
10º

20º 60º
B
C
40º
40º
10º
20º
D
E



xº


C A
B
A B
C
D
E
x 20º
30º
A
B
C
2x 2x
x x
x
D

Solución:
En el ABC propiedad del ángulo
exterior:
2𝛽 = 60° + 40° ⇒ 𝛽 = 50°
En el ADC propiedad del ángulo
exterior:
𝛽 = 30° + 2𝜑
50° = 30° + 2𝜑 ⇒ 𝜑 = 10°
En el  sombreado propiedad del ángulo
externo: 𝑥 = 𝜑 + 𝛽
𝑥 = 10° + 50°
x = 60°
Problema 40
En la figura, ME=MP; FN=NQ; AE=ED y
FDFC. Calcule x.
a)48° b)49° c)46° d)44° e)40°
Solución:
En el 𝛥ABC: 𝑥 + 𝛽 + 𝜔 = 180°
En los triángulos isósceles AED y DFC
m⊀EAD = m⊀EDA = β
m⊀FDC = m⊀FCD = ω
En el punto D se forma un un llano:
β + m⊀EDF + ω = 180° ⇒ m⊀EDF = x
En el cuadrilátero cóncavo PDQ:
𝑥 + 𝛼 + 𝜃 = 120°
En el cuadrilátero EBFD (Propiedad)
𝑥 + 𝑥 = 𝛼 + 𝜃 ⇒ 2𝑥 = 𝛼 + 𝜃
Reemplazando en:
𝑥 + 𝛼 + 𝜃 = 120° ⇒ 𝑥 + 2𝑥 = 120°
x = 40°
Problema 41
En la figura mostrada, hallar “x”.
a)22° b)23° c)22,5° d)24° e)27°
Solución:
En el cuadrilátero cóncavo ABCD, por
propiedad se obtiene el ángulo  :
𝛽 = 𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 ⇒ 𝛽 = 6𝑥
En el triángulo sombreado:
𝑥 + 𝑥 + 6𝑥 = 180°
x = 22,5°
A D C
B
E
M
F
N
P Q
120º
x
  
x

 

x x
2x
x 3x



xº
30
30
C A
B
40D
x x
2x
x 3x
6x

A
B
C
A D C
B
E
M
F
N
P Q
120º
x

Problema 42
En la figura siguiente, hallar: 𝑦 − 3𝑥
a)12° b)13° c)15° d)14° e)17°
Solución:
En el gráfico:
m⊀ADB = 30° ⇒ m⊀BDC = 60°
El ángulo “x” está formado por una
bisectriz interior y otra exterior entonces
se cumple:
m⊀CDB = 2m⊀CFB
60° = 2x ⇒ x = 30°
Por suma de ángulos interiores:
15° + 60° + 𝑦 = 180° ⇒ 𝑦 = 105°
Luego: y – 3x = 105° - 90° = 15°
y – 3x = 15°
Problema 43
En la figura ABCD es un cuadrado y AED
es un triángulo equilátero, determinar el
valor de “x”:
a)12° b)13° c)15° d)14° e)17°
Solución:
En el gráfico:
Aplicando propiedad en la parte
sombreada:
45° + 30° = 60° + 𝑥
60° + 𝑥 = 75°
x = 15°
Problema 44
Del siguiente gráfico, hallar el valor de
“x” si: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶
a)12°
b)13°
c)14°
d)15°
e)16°
Solución:
La m⊀BDC = x +α
Del grafico sombreado por propiedad:
𝛼 + 28° = 2𝑥 + 𝛼
x = 14°
C
D
A
E F
x
B
y
z
z 60º
A B
C
D
28º
x
x
A
B
D
C
E
x
A
B
D
C
E
45º
30º
60º
60º
A B
C
D
28º
x


x +
C
D
A
E
F
x
B
y
15º
60º15º
30º
60º
45º
45º

Problema 45
En el gráfico; hallar PQ, si: 𝐴𝑃 = 𝐴𝐷 = 3
; 𝐶𝑄 = 𝐶𝐷 = 4
a)3 b)4 c)7 d)5 e)6
Solución:
Por propiedad en el cuadrilátero cóncavo
ABCD:
Trazamos PD y QD se obtienen los
triángulos equiláteros APD y CQD.
Luego: PD=3 y QD=4
En el cuadrilátero ABCD:
m⊀ADC = 60° + 30° + 60°
m⊀ADC = 150°
También observamos que:
m⊀PDQ = 90°
El triángulo PDQ es notable, entonces:
PQ = 5
Problema 46
En un triángulo ABC; AB=BC; 𝐶𝑅 es una
ceviana interior, tal que m⊀RCB = 24°.
Además, La bisectriz del ángulo ARC
corta a 𝐴𝐶 en el punto Q. Hallar m⊀AQR.
a)72° b)73° c)75° d)74° e)78°
Solución:
Graficando:
Por ángulo ext. en el 𝛥RQC:
𝛼 + 𝛽 = 𝑥
Suma de ángulos interiores:
24° + 𝛽 + 2𝛼 + 𝛽 = 180°
2(𝛼 + 𝛽) = 156°
2𝑥 = 156°
x = 78°
Problema 47
En un triángulo ABC, desde el vértice B se
trazan las perpendiculares BP y BQ a las
bisectrices de los ángulos exteriores A y C.
Si m⊀ABC=40°, calcular la m⊀PBQ
a)110° b)128° c)127°
d)136° e)143°
Solución:
PA y QC se prolongan hasta que se
intercepten en E.
Por propiedad de las bisectrices
exteriores se cumple:
m⊀AEC = 90° -
𝑚⊀𝐴𝐵𝐶
2
A
D
C
B
P
Q
60º
60º
30º
A
D
C
B
P Q
60º
60º
30º
150º
60º 60º
3 4
43
60º60º
3 4
A Q C
R
B
24º
24º + x
 
A C
Q
P
B
x

 

70º
E
40º

m⊀AEC = 90° -
40°
2
m⊀AEC = 70°
Como nos piden m⊀PBQ observamos
que en el cuadrilátero PBQE se tiene
que:
𝑥 + 70° = 180°
x = 110°
Problema 48
En la figura, si 𝛼 + 𝛽 = 50°, entonces el
valor de x es:
a)10° b)28° c)27° d)36° e)43°
Solución:
Piden: x
Dato del problema:
 + 𝛽 = 50°
De la gráfica:
90° -  +90° – 𝛽 + 180° – 13x = 180°
180° -  - 𝛽 – 13 x = 0°
180° - 13x =  + 𝛽
180° - 13x = 50°
130° = 13x
x = 10°
Problema 49
En el triángulo ABC, AB + BC = 20 y
AC = 8; el mayor valor entero de BM es:
a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 9
Solución:
En el 𝛥 ABD: 𝑐 − 𝑚 < 𝑥 < m + c
En el 𝛥 BDC: a − 𝑛 < 𝑥 < a +n
Sumándolos las inecuaciones:
𝑐 + a − (𝑚 + 𝑛) < 2𝑥 < 𝑚 + 𝑐 + 𝑎 + 𝑛
Reemplazando se tiene que:
20 − 8 < 2𝑥 < 20 + 8
6 < x < 14
𝑋 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 = 13
Problema 50
En un triángulo ABC se cumple que
m⊀BAC - m⊀ACB = 32° se traza la altura
𝐵𝐻̅̅̅̅ y la bisectriz interior 𝐵𝐷̅̅̅̅ (D 𝐴𝐶̅̅̅̅). La
medida del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos BHC y BDC, es:
a)7° b)8° c)17° d)13° e)16°
DA
B
C
x
m n
x
A
B
CD
ac
x

Solución:
Piden:
En el ∆ ABC:
32 +  +  + m⊀ABC = 180°
m⊀ABC = 148° - 2
Por propiedad:
2 = 16° + 90°
2 = 106°
 = 53°
Por otro lado:
45° + 16° =  + x
61° = 53° + x
x = 8°
Problema 51
En un triángulo rectángulo ABC (recto en
B), se traza la altura 𝐵𝐷̅̅̅̅. La medida del
ángulo que forman las bisectrices de los
ángulos BAC y DBC, es:
a)87° b)88° c)67° d)90° e)76°
Solución:
Piden: x
En la gráfica del ∆ ABM:
x + 90° -2 +  +  = 180°
x = 90°
Problema 52
En la figura Hallar el valor de x.
a) 8° b) 5° c) 6.5° d) 7° e) 6°
Solución:
Trazamos BD para formar el triángulo
isósceles ABD:
De la gráfica se puede observar que el
Triangulo ABC es isósceles:
m⊀DAC= m⊀ACD = 2x
RECORDANDO
En el cuadrilátero ADBC se cumple:
m⊀ADB= 2x+2x+3x+3x
m⊀ADB= 10x
El triángulo ABD es isósceles:
m⊀ABD =m⊀ADB= 10x
Entonces el m⊀DBC = 3x , de donde el
triángulo BDC es isósceles por lo que el
triangulo ABD será equilátero.
10x = 60°
x = 6°
A
B
C
D
3x
2x
13x
A
B
C
D
3x
2x2x

3x10x
10x
n
A
B
C

 x
𝑥 = 𝛼 + 𝛽 + 𝜃

Problema 53
trazan las alturas 𝐴𝐷̅̅̅̅ y 𝐵𝐹̅̅̅̅̅que se
intersecan en H, luego en el triángulo
HDC se traza la mediana 𝐷𝑀̅̅̅̅̅. Si la
m⊀ACB = 30° y FD = 6, el valor de MC es:
a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 9
Solución:
FD = 6
Piden: MC
Por dato del problema:
𝜃 + 𝛼 = 30°
En el ∆ DFM:
2𝜃 + 2𝛼 = 2(𝜃 + 𝛼) = 2(30°)
2𝜃 + 2𝛼 = 60°
Se deduce que el ∆ DFM es equilátero:
FD = FM = DM = 6
Luego:
MC = DM =6
𝑀𝐶 = 6
Problema 54
El valor de x, es:
a)47° b)48° c)46° d)49° e)45°
Solución:
Piden: x
De la gráfica:
118° - x +  +  = 180°
62° = +  - x
62°+ x = + 
Por otro lado:
42° + 118° - x =  + 
160° - x =  + 
Reemplazando:
160° - x = 62° + x
98° = 2x
𝑥 = 49°
Problema 55
En un triángulo rectángulo ABC recto en
B. Si la m⊀ACB= 23°, entonces la medida
del ángulo formado por la bisectriz
interior del ⊀ABC y la mediatriz de 𝐴𝐶̅̅̅̅,
es:
a)22° b)23° c)26° d)29° e)25°
Solución:
Por propiedad del cuadrilátero cóncavo:
45° + x + 23° =90°
x = 22°
A C
B
23º
45º
45º
x
M

Problema 56
En la figura el valor de “x” es:
a)27° b)28° c)26° d)20° e)25°
Solución:
RECORDANDO
x = 90° +
B̂
2
De la gráfica se cumple:
𝑎 = 90° +
3𝑥
2
2a = 180° + 3x
Por propiedad de triángulos se cumple:
3x + a = 180°
6x + 2a = 360°
6x +180° + 3x = 360°
x = 20°
PUNTOS Y LÍNEAS NOTABLES
Problema 57
Señalar el valor de verdad (V o F) de las
siguientes proposiciones:
I. Un triángulo equilátero tiene infinitas
de rectas de Euler.
II. En un triángulo rectángulo, la
mediana relativa a la hipotenusa está
contenida en la recta de Euler.
III.Los puntos notables en la recta de
Euler, se encuentran en el siguiente
orden: ortocentro, baricentro y
circuncentro.
a)FFF b)VVF c) VFF
d)VVV e)VFV
Solución:
(Verdadero)Todo triangulo solo tiene
Una recta de Euler a excepción del
triángulo equilátero que tiene infinitas
rectas de Euler ya que el punto
INCENTRO, ORTOCENTO, BARICENTRO y
CIRCUNCENTRO es el mismo punto.
(Verdadero)En un triángulo rectángulo,
la mediana relativa a la hipotenusa si
está contenida en la recta de Euler.
(Verdadero)Los puntos notables en la
recta de Euler se encuentran en el
siguiente orden: ortocentro, baricentro y
circuncentro.
VVV
Problema 58
En un triángulo ABC, el mayor de sus
lados mide “c” metros y la suma de dos de
sus ángulos exteriores, mide 270°;
calcular la distancia del ortocentro al
baricentro en metros.
a)
c
2
b)
2
c
3
c)
c
4
d)
c
3
e)
c
5

 

x
A
B
C

Solución:
Si los ángulos exteriores en los vértices A
y B suman 270°, entonces el ángulo
interior en C es recto.
C: ortocentro
G: baricentro
M: circuncentro
Piden: 𝐶𝐺 = 2𝑘
Por propiedad: 3𝑘 =
𝑐
2
⇒ k =
𝑐
6
Luego: 2k =
𝑐
3
CG =
𝑐
3
Problema 59
En un triángulo isósceles ABC, AB=BC,
m⊀BAC = 30° y AB=12, la distancia entre
el baricentro y el ortocentro es:
a) 24 b) 14 c) 16 d) 10 e) 18
Solución:
O: ortocentro
G: baricentro
Piden: OG
En el triángulo rectángulo ABH , BH=6
Además:
BG = 2GH ⇒ GH = 2 y GB = 4
En el triángulo rectángulo PBO:
OB = 12
= +OG OB BG
OG = 12+ 4 ⇒ 16
OG = 16
Problema 60
En la figura, se tiene que m⊀ABC = (5x)°,
m⊀BAC = 65° y m⊀AEC = (3x – 4)°
La medida del ángulo ACB es:
a) 70° b) 65° c) 75° d) 85° e) 80°
Solución:
Como E es el punto excentro se cumple:
m⊀ABC = 2 m⊀AEC
5x = 2 (3x – 4)
5x = 6x – 8
x = 8
En el ABC :
y +(5x)° + 65° = 180°
y + 40° + 65° = 180°
y =75°
30º 30º
30º 30º
A C
B
O
12
6
12
G
H
2
4
60ºP
30º 30º
A
B
E
C


A
B
E
C


65º
5x
(3x
4)º
−
y
A B
C
c
G
k
2k
M

Problema 61
La distancia del ortocentro al
circuncentro en un triángulo es 24m, la
distancia del ortocentro al baricentro en
metros es:
a)8m b)16m c)4m d)20m e)12m
Solución:
O: Ortocentro
G: Baricentro
L: Circuncentro
En todo triángulo la distancia del
ortocentro al baricentro es dos veces la
distancia del baricentro al circuncentro:
𝑂𝐺 = 2(𝐺𝐿)
Datos del problema:
OL = 24
De la gráfica:
OG + GL = OL
2GL + GL = 24 ⇒ GL = 8
Luego:
OG=2(8) = 16m
Problema 62
En un triángulo la distancia del
ortocentro a un vértice es 18m, la
distancia del circuncentro al lado
opuesto del vértice es:
a)8m b) 6m c)7m d)9m e)12m
Solución:
O: Ortocentro
G: Baricentro
L: Circuncentro
La distancia del ortocentro a un vértice es
el doble de la distancia del circuncentro
al lado opuesto del vértice mencionado.
𝑶𝑩 = 𝟐(𝑳𝑴)
18 = 2LM
LM = 9
Problema 63
Para un triángulo ABC se ubica su punto
excentro con respecto al lado 𝐴𝐵̅̅̅̅. Si la
distancia del vértice A al punto incentro
es 5 y m⊀ABC = 60°, entonces la,
distancia del punto incentro al excentro,
es:
a)10 b) 6 c)7 d)9 e)12
Solución:
Piden: x
Como el punto E es Excentro entonces:
𝑚 ⊀ 𝐴𝐸𝐶 =
𝑚 ⊀ 𝐴𝐵𝐶
2
=
60°
2
𝑚 ⊀ 𝐴𝐸𝐶 = 30°
∆ Recto IAE es notable (30°- 60°):
x = 10
O LG k2k
Recta de Euler
A
B
C
L
G
O
H N M
Recta de Euler
A
B
C
L
G
O
H N M

Problema 64
En un triángulo rectángulo ABC (recto en
B) de baricentro G, se traza la ceviana
interior 𝐵𝑃̅̅̅̅ y el triángulo rectángulo BGP
(recto en G). Si m⊀GPC = 30° y AC=6,
entonces el valor de BP es:
a)√7 b) 6 c)7 d)9 e)12
Solución:
Piden BP = x
Como el punto G es baricentro entonces:
GM = k ; BG = 2k
De la gráfica:
3k = 3
k = 1
∆Recto PGM notable (30°-60°)
𝑃𝐺 = 𝑘√3
𝑃𝐺 = √3
Pitágoras en el ∆ PGB:
𝑥2
= 22
+ √3
2
𝑥 = √7
Problema 65
En un triángulo acutángulo ABC, se tiene
que m⊀ABC = 60°. Si la distancia del
punto circuncentro al vértice A mide 6,
entonces la distancia del punto
ortocentro al vértice B, mide:
a)8 b) 6 c)7 d)9 e)12
Solución:
H es el ortocentro △ABC
O es el circuncentro △ABC
Piden: BH
Como el punto O es circuncentro del ∆
ABC:
m⊀AOC = 2m⊀ ABC:
m ⊀ AOC = 2(60°)
m ⊀ AOC = 120°
El ∆ AOM notable (60° - 30°)
OM = 3
Para todo triangulo la distancia del
ortocentro a un vértice es el doble de la
opuesto al vértice mencionado.
BH = 2(OM)
BH = 2(3)
BH = 6
Problema 66
En la figura:
De las siguientes proposiciones:
I. G es el ortocentro del triángulo ABC
II. E es el ortocentro del triángulo AEB
III. A es el ortocentro del triángulo GBC
La secuencia correcta, es:
a)FFF b)VVF c) VFF
d)VVV e)VFV

Solución:
(Verdadero) G es el ortocentro del
triángulo ABC.
(Verdadero) E es el ortocentro del
triángulo AEB.
(Verdadero) A es el ortocentro del
triángulo GBC.
VVV
Problema 67
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
exterior en A y la bisectriz exterior en C
que forman un ángulo agudo que mide
45°. SI AB = 12 y BC = 16, entonces la
distancia del ortocentro al circuncentro
del triángulo ABC, es:
a)8 b)10 c)11 d)9 e)12
Solución:
B es el ortocentro △ABC
M es el circuncentro △ABC
Piden: BM = a
En ángulo formado por dos bisectrices
exteriores en la gráfica es 45° por lo tanto
se cumple que.
45° = 90° −
2
2
= 45°
m⊀ABC = 90°
∆ABC notable (53° - 37°):
AC = 2a = 20 ⇒ a = 10
Luego:
BM = a = 10
Problema 68
En un triángulo ABC obtusángulo
isósceles, donde AB = BC, se trazan sus
puntos incentro I y excentro E
correspondiente al lado AB. Si la
distancia de B a I es 3 y la distancia de E
al lado BC es 5, entonces la distancia de
I al lado AC, es:
a)2 b)3 c)4 d)5 e)6
Solución:
AB = BC
BI = 3
Piden: IH = x
Aplicando el teorema de la bisectriz:
EN = ME = 5
De la gráfica BENH es un rectángulo es
donde.
BH = EN = 5
3 + x = 5
x = 2
Problema 69
En un triángulo ABC, el ángulo agudo
formado por la bisectriz interior trazado
de A y la bisectriz exterior trazado de C ,
mide 30°.Ademas se cumple lo siguiente
m⊀BAC = 2m⊀ACB,entonces la medida
del ángulo exterior en C es :
a)121° b)130° c)140°
d)105° e)160°

Solución:
Piden: 2𝜃
El punto E es el excentro del ∆ ABC con
respecto al lado 𝐵𝐶̅̅̅̅ por lo tanto se
cumple:
m⊀ABC = 2 m⊀ AEC
m⊀ ABC = 2 (30°)
m⊀ ABC = 60°
Por otro lado:
120 - 2 + 2 = 180°
 -  = 30°
De la condición del problema:
m⊀ BAC = 2m ⊀ ACB
2 = 2(120 - 2)
 = (120- 2)
3 = 120
 = 40°
Luego:
 -  = 30°
 - 40° = 30°
 = 70°
2 = 140°
Problema 70
En un triángulo isósceles ABC, AB = BC,
m⊀BAC = 30° y AB = 12. La distancia
entre el baricentro y el circuncentro es;
a)2 b)3 c)4 d)5 e)8
Solución:
G: Baricentro
O: Circuncentro
Piden: OG
Como G es el Baricentro del ∆ ABC:
GH = 2 ⇒ BG = 4
El ∆ rect. POB notable (60° - 30°)
BO = 12
BG + GO = 12 ⇒ 4 + GO = 12
GO = 8
Problema 71
En el triángulo ABC acutángulo, H y Q son
su ortocentro y circuncentro
respectivamente. Si los ángulos AHC y
AQC son congruentes entonces ángulo
ABC mide:
a)30° b)37° c)45° d)60° e)53°
Solución:
H: Ortocentro
G: Baricentro
Q: Circuncentro
Piden: m⊀ ABC = x
Como Q es circuncentro del ∆ABC se
cumple que:
m⊀ AQC = 2 m⊀ABC = 2x
Por condición del problema:
m⊀AHC = m⊀ AQC = 2x
Recta de Euler
A
B
C
Q
G
H
H N M

Por propiedad:
m⊀ AHC + m⊀ ABC = 180°
2x + x = 180°
3x = 180°
x = 60°
m⊀ ABC = 60°
Problema 72
En un triángulo ABC acutángulo, su recta
de Euler es paralelo al lado 𝐴𝐶̅̅̅̅. Si el
ángulo ABC mide 60° y su circunradio
mide 4, entonces la altura 𝐵𝐻̅̅̅̅, H 𝐴𝐶̅̅̅̅,
mide:
a)6 b)3 c)4 d)5 e)8
Solución:
O: Ortocentro
G: baricentro
Q: Circuncentro
Piden: BH
Por propiedad del Circuncentro se tiene:
m⊀ AQC = 2m⊀ ABC
m⊀ AQC = 2(60°)
m⊀ AQC = 120°
Como el punto Q es circuncentro se
cumple lo siguiente:
AQ = QC = BQ =4
El ∆Recto NQC es notable (60° - 30°):
QC = 4 ⇒ QN = 2
Como la recta de Euler es paralelo al lado
𝐴𝐶̅̅̅̅ entonces:
QN =OH = 2
Por propiedad: BH = 3(QN) = 3(2) = 6
BH = 6
Problema 73
Sea el triángulo ABC obtuso en A, se traza
𝐶𝐻 perpendicular al segmento BA (H en
la prolongación de 𝐵𝐴). Si m⊀ABC = 30°
y HA = 3√2, entonces la distancia del
vértice A al ortocentro del triángulo ABC,
es:
a)6√2 b)3 c)4 d)5 e)8
Solución:
Piden: AO = x
Dato: AH = 3√2
∆Recto OHA es notable (30° - 60°):
x = 6√2
Problema 74
En un triángulo acutángulo ABC, O es su
ortocentro y L es su circuncentro. Si
m⊀OAC = 25°, m⊀OCA =28° y AC =24. La
distancia de L al vértice B, es:
a)16 b)13 c)14 d)15 e)18
Solución:
O: Ortocentro
L: Circuncentro

Piden: LC = a
En el ∆ AOC:
25° +  + 28° = 180°
 =127°
Por propiedad.
m⊀ ABC +  = 180°
m⊀ ABC + 127° = 180°
m⊀ ABC = 53°
Como L es circuncentro del ∆ ABC:
m⊀ HLC = 53°
𝐿𝐶 = 15
Problema 75
En la figura, O es el circuncentro del
triángulo ABC, el valor de x es
a)130° b)137° c)145°
d)160° e)153°
Solución:
O: Circuncentro
Piden: x
Como el punto 𝜪 es circuncentro del ∆
ABC se cumple que:
m⊀ BOC = 2m⊀ BAC
140° = m⊀ BAC
De la gráfica por ángulo exterior se
cumple:
x =  + 
x = 70° + 40°
x = 110°
Problema 76
En un triángulo isósceles PQR, PQ=QR,
PR<PQ, la altura relativa a 𝑃𝑅̅̅̅̅ mide 15 y
la distancia del ortocentro a 𝑃𝑅̅̅̅̅ es 2. La
distancia del baricentro al lado 𝑃𝑅̅̅̅̅ es:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10
Solución:
G: Baricentro
O: Ortocentro

Como G en baricentro del ∆ ABC:
QG = 2(GH)
QG= 2(n + 2)
QG = 2n+ 4
QH = 15
4 + 2n + n+2 =15
3n = 9
n = 3
Luego: GH = n + 2 = 5
GH = 5
Problema 77
En la figura: √3(BD) = 2(DC), al calcular
la medida del ángulo BAC, se obtiene:
a)35° b)36° c)37° d)39° e)30°
Solución:
Piden: 2x
√3(BD) = 2(DC)
BD = 2k , DC =k√3
Por el teorema de la bisectriz:
DC = DH = k√3
El ∆Recto BHD notable (30° - 60°):
𝛽 = 60°
Luego en ∆Recto ABC se cumple:
𝛽 + 2𝑥 = 90°
60° + 2𝑥 = 90°
2𝑥 = 30°
Problema 78
La figura ABC es un triángulo rectángulo
y G es su baricentro. Si AC = 12, entonces
la longitud de 𝐵𝐷̅̅̅̅ es:
a) 2√5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10
Solución:
G: Baricentro
Piden: x
Como G es baricentro: MG = 2, GB = 4
En el triángulo rectángulo DMG:
DG =GM = 2
En el ∆Recto BGD:
x2 = 22 +42
x2 =20
x=2√5
Problema 79
En la figura O es el ortocentro del
triángulo ABC, I es el incentro del
triángulo AOC; entonces el valor de x es:
a)130° b)137° c)145°
d)140° e)153°

Solución:
RECORDANDO
Ángulo formado por dos bisectrices
interiores. Su medida es igual a 90° más
la mitad de la medida del tercer ángulo
interior.
𝑥 = 90° +
𝐵̂
2
O: Ortocentro
I: Incentro del ∆ AOC
Piden: x
Como el punto O es ortocentro entonces:
m⊀AOC =100°
De la gráfica como el punto I es Incentro
del ∆ AOC se cumple:
𝑥 = 90° +
100°
2
𝑥 = 90° + 50°
x = 140°
Problema 80
En un triángulo rectángulo, las medidas
de sus lados son números enteros. Si el
menor de sus catetos mide 10, la
distancia del punto baricentro al
circuncentro de dicho triángulo, es:
a) 2,3 b) 6,4 c)
13
3
d)6 e) 4
Solución:
El problema está relacionado al siguiente
triangulo rectángulo pitagórico:
G: Baricentro
M: Circuncentro
Piden: GM
Como G es Baricentro:
GM = x , BG = 2x
En el ∆Recto ABC:
BM = MC = AM
3x = 13
𝑥 =
13
3
x =
13
3
Problema 81
Si la distancia del incentro de un
triángulo rectángulo ABC (recto en B) a
los vértices de los ángulos agudos miden
√13𝑚 𝑦 √104𝑚 ; entonces la hipotenusa
del triángulo ABC en metros, mide:
a)13 b) 14 c)12 d)16 e)11

 

x
A
B
C

Solución:
Piden: x
De la gráfica:
2 + 2 = 90°
 +  =45°
En el ∆Recto IHC:
HC = IH = √52 = 2√13
En el ∆Recto IHC:
x2 = (AH)2 + (HC)2
x2 = (3√13)2 + (2√13)2
x2 = 117 + 52
x2 = 169
x = 13
Problema 82
En la figura el valor de x es:
a)35° b)36° c)37° d)39° e)30°
Solución:
Piden: x
Podemos ver que el punto H es la
intersección de las tres alturas por lo
tanto será el Ortocentro del triángulo:
De la gráfica:
48°- + +16°+x =90°
x + 64° = 90°
x=26°
Problema 83
Si la distancia del circuncentro contenido
en la recta de Euler de un triángulo
acutángulo ABC al lado AC mide 6 y la
distancia del ortocentro contenido en la
misma recta de Euler al lado AC mide 8,
entonces la altura del triángulo ABC que
parte del vértice B al lado opuesto AC
mide:
a)23 b) 24 c)22 d)26 e)20
Solución:

Piden: BH
En todo triángulo la distancia del
ortocentro a un vértice es el doble de la
opuesto del vértice mencionado.
Luego:
BO=2(CM)
BO=2(6)
BO=12
De la gráfica podemos observar:
BH= 12+8 = 20
BH=20
Problema 84
En un triángulo ABC, la m∡ABC = 127°, si
la altura relativa al lado 𝐴𝐶̅̅̅̅ contiene el
baricentro del triángulo, y BC = 15√5,
entonces la distancia del baricentro al
ortocentro es:
a)53 b) 54 c)52 d)56 e)55
Solución:
Piden: OG
Notamos que el ∆Recto BHC es notable
(26,5°-63,5°)
HC= 30 y BH =15
Como el punto G es baricentro del ∆ ABC:
GH=5 y BG= 10
El ∆Recto APB es notable (53°-37°):
Si AB= 15√5 →PB=9√5
El ∆Recto OPB es notable (26,5°-63,5°):
OB=9√5(√5)
OB =45
Finalmente:
OG= 45+10
OG =55
OG=55
Problema 85
En la figura, 𝐵𝐹̅̅̅̅ es bisectriz del ∡ABC y D
es el incentro del triángulo HBF. Si se
cumple m∡A = m∡C + 32°, entonces la
m∡HDF es:
a)98° b)88° c)86° d)80° e)85°
Solución:
Piden: x
La medida del Ángulo formado por una
bisectriz interior y la altura trazadas
desde un mismo vértice es igual a la semi
diferencia de la medida de los otros dos
ángulos interiores.
2 = (32° +) - 
 = 16°
Como el Punto D es incentro del
∆ Recto HBF se cumple:
𝑚 ⊀ 𝐴𝐷𝐹 = 90° +

2
x = 90° +
16°
2
x = 98°

Problema 86
En un triángulo rectángulo ABC, recto en
B, las medianas 𝐵𝑀̅̅̅̅̅ y 𝐴𝑁̅̅̅̅ son
perpendiculares entre sí (M ϵ 𝐴𝐶̅̅̅̅, N e 𝐵𝐶̅̅̅̅);
Si AN = 9, entonces la medida de AC es:
a)5√2 b)8√2 c)7√2
d)6√2 e)9√2
Solución:
Piden: AC
Por el teorema del Baricentro:
AP = 6 y PN = 3
En el ∆ Recto ABC se cumple:
AM=MC=MB=3n
Por Pitágoras:
(AM)2=(n)2 + (6)2
(3n)2=(n)2 + (6)2
2n2=9
2n=3√2
Finalmente:
AC=6n=3(3√2)
AC = 9√2
Problema 87
En un triángulo ABC, se trazan las
medianas 𝐵𝑀̅̅̅̅̅ y 𝐶𝑁̅̅̅̅ tal que 𝐵𝑀̅̅̅̅̅ ⊥ 𝐶𝑁̅̅̅̅ . Si
BC = √2, entonces (AB)2 + (AC)2 es:
a) 15 b) 18 c) 17 d) 10 e) 19
Solución:
Piden: (AB)2+(AC)2
De la gráfica por Pitágoras:
(√2)2
=(2𝑚)2
+(2𝑛)2
1=2(𝑚2
+𝑛2
)
De la gráfica por Pitágoras:
(𝑁𝐵)2
=(𝑚)2
+(2𝑛)2
= 𝑚2
+4𝑛2
(𝑀𝐶)2
= (2𝑚)2
+(𝑛)2
= 4𝑚2
+𝑛2
Se Puede observar:
AB = 2NB , AC = 2MC
Elevando al cuadrado y reemplazando:
AB = 2NB
(𝐴𝐵)2
= 4(𝑁𝐵)2
(𝐴𝐵)2
= 4(𝑚2
+4𝑛2
) = 4𝑚2
+16𝑛2
Elevando al cuadrado y reemplazando:
AC = 2MC
(𝐴𝐶)2
= 4(𝑀𝐶)2
(𝐴𝐶)2
= 4(4𝑚2
+𝑛2
) = 16𝑚2
+4𝑛2
Finalmente sumando las ecuaciones:
(𝐴𝐵2
+𝐴𝐶2
) = 20𝑚2
+ 20𝑛2
(𝐴𝐵2
+𝐴𝐶2
) = 20(𝑚2
+ 𝑛2
)
(𝐴𝐵2
+𝐴𝐶2
) = 10(2)(𝑚2
+ 𝑛2
(𝐴𝐵2
+𝐴𝐶2
) = 10(1)=10
Problema 88
En las siguientes proposiciones, escribir
(V) si es verdadera o (F) si es falsa.
I.El circuncentro en un triángulo
obtusángulo está ubicado en el interior
del triángulo.
II.En todo triángulo el incentro equidista
de los lados del triángulo.
III.El baricentro en un triángulo
rectángulo está ubicado en el punto
medio de la hipotenusa.
La secuencia correcta es:
a)VVF b)FFF c) VFF
d)FVF e)VFV
Solución:
(Falso)El circuncentro en un triángulo
obtusángulo se encuentra en el exterior
del triángulo.
(Verdadero)En todo triangulo el
incentro equidista de los lados del
triángulo.

(Falso)La intersección de las tres
medianas siempre es un punto interior al
triangulo llamado baricentro.
FVF
Problema 89
En un triángulo isósceles ABC, m⊀120°.
Si: 𝐴𝐶 = 4√3𝑚. Hallar la distancia del
circuncentro al excentro relativo a BC.
a) 4√2 b) 6√2 c) √2
d) 5√2 e) 2√3
Solución
M es punto medio del lado AC:
AC =4√3 ⇒ AM = MC = 2√3
Del △Recto ABM es notable (30°-60°):
AM = 2√3 ⇒ AB = 4
Se determina el triángulo rectángulo
BLE, donde 𝐵𝐿 = 𝐵𝐸 = 4
LE = 4√2
Problema 90
En el siguiente gráfico “L” es circuncentro
y “O” es ortocentro del triángulo ABC, Si
𝐵𝐿 = 𝑂𝐵 = 6 y 𝐴𝐵 = 6√2. Hallar el
valor de “x”.
a)75° b)68° c)57° d)60° e)49°
Solución:
En el 𝛥 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ABL:𝐵𝐿 = 𝐴𝐿 = 6
De donde m⊀LAB = 45°
Por propiedad de la recta de Euler:
𝐵𝑂 = 2𝐿𝑀 ⇒ 6=2LM ⇒ LM=3
El △Recto ALM es notable (30°–60°)
Finalmente:
x = 45° + 30° = 75°
x = 75°
Problema 91
Por el incentro I de un triángulo ABC se
traza una recta paralela a AC la cual
corta en P a AB y a BC en Q; calcular PQ,
si: AP + QC = 15.
a) 10 b) 15 c) 12 d) 9 e) 21
Solución:
Dato del problema:
AP + QC = 15
El incentro “I” es la intersección de sus
bisectrices interiores:
AP = PI , IQ = QC
Además, se tiene:
PQ = PI + IQ
PQ = AP + QC
PQ = 15
A
B
CM
30º 30º
2
4
30º
60º
4
2 3
45º
75º
L
E
2
B
I
P Q


 


CA
A C
LO
B
x
A Q M C
L
3
O
66
6 2
30º
45º
B

Problema 92
La suma de las distancias del baricentro
de un triángulo, a sus vértices, es 18.
Calcular la suma de las medianas del
triángulo dado.
a) 20 b) 15 c) 27 d) 22 e) 50
Solución:
Según dato:
2m + 2k +2a = 18
m + k +a = 9
Suma de medianas:
E = 3k + 3m + 3a
E = 3(m +k + a)
E = 3(9) = 27
Suma de medianas = 27
Problema 93
I.El circuncentro en un triángulo
obtusángulo está ubicado en el interior
del triángulo.
II.El circuncentro siempre es un punto
interior.
III.El circuncentro en un triángulo
rectángulo es un punto exterior al
triangulo.
a)VFF b)VVF c) FFF
d)FVF e)VFV
Solución:
obtusángulo se encuentra en el exterior
del triángulo.
(Falso)El punto circuncentro varía de
acuerdo con el tipo de triangulo.
rectángulo es el punto medio de la
hipotenusa.
FFF
Problema 94
I.Todo triángulo tiene un solo punto
llamado baricentro.
II.El ortocentro siempre es un punto
interior al triangulo.
III.El circuncentro en un triángulo
equidista de los lados del triángulo.
a)VVF b)FFF c) VFF
d)FVF e)VFV
Solución:
(Verdadero)Todo triángulo tiene un
solo punto llamado baricentro.
(Falso)En punto Ortocentro puede ser un
punto interior o exterior al triangulo.
equidista de los vértices del triángulo.
VFF
Problema 95
I.El incentro equidista de los lados del
triángulo.
II.El incentro siempre es un punto interior
al triangulo.
III.El excentro siempre es un punto
exterior al triangulo.
a)VVF b)VFF c) VVV
d)FVF e)VFV
A
B
C
G
k
2k
m
2m
a
2a

Solución:
(Verdadero)El incentro equidista de los
lados del triángulo.
(Verdadero) El incentro siempre es un
punto interior al triangulo.
(Verdadero) El excentro siempre es un
punto exterior al triangulo.
VVV
Problema 96
I.El incentro equidista de los vértices del
triángulo.
II.Todo triangulo tiene un solo excentro.
III.El incentro es el punto de intersección
de bisectrices exteriores.
a)VVF b)FFF c) VVV
d)FVF e)VFV
Solución:
(Falso)El incentro equidista de los lados
del triángulo.
(Falso)Todos los triángulos tienen 3
excentros (Relativos a cada lado).
(Falso) El incentro es el punto de
intersección de bisectrices interiores.
FFF
Problema 97
En un triángulo ABC, los ángulos
interiores en A y B miden 65° y 70°
respectivamente; O y L son el ortocentro
y circuncentro respectivamente.
Determinar la medida del ángulo OBL.
a) 20° b) 30° c) 10° d) 15° e) 37°
Solución:
O:Ortocentro
L:Circuncentro
Piden: α
En el △ABC se cumple:
m⊀A + m⊀B + m⊀C = 180°
65° +70° + m⊀C = 180°
m⊀C = 45°
El punto L es circuncentro entonces se
cumple:
AL = LC = LB
Finalmente, el △ALC es isósceles:
α + 25° = 45°
α = 20°
Problema 98
ubican los puntos “O” ortocentro y “M”
circuncentro, tales que se cumple lo
siguiente 𝑚 ⊀ 𝐴𝑂𝐵 = 𝑚 ⊀ 𝐴𝑀𝐵, si la
altura 𝐴𝐻 (𝐻 ∈ 𝐵𝐶) mide 3√3, el valor
de AC es:
a)4 b)6 c)5 d)9 e)8
Solución:
O:Ortocentro
M:Circuncentro
Dato del problema
𝑚 ⊀ 𝐴𝑂𝐵 = 𝑚 ⊀ 𝐴𝑀𝐵 = α
En el cuadrilátero no convexo AOMB se
debe cumplir que m⊀AOB > m⊀AMB,
entonces diremos que el problema se
trata de un triángulo equilátero ya que
el punto, ORTOCENTO, BARICENTRO y
CIRCUNCENTRO es el mismo punto. En
conclusión, el punto O y M deben ser el
mismo punto.

El △Recto HAC Notable (30° - 60°):
AH =3√3 ⇒ AC = 6
AC = 6
Problema 99
En un triángulo isósceles ABC, AB = BC, P
es un punto interior de dicho
triángulo,tal que m⊀ACP = m⊀PBC = 30°
y m⊀PCB = 40°. Hallar la medida del
ángulo APB.
a)120° b)100° c)130°
d)150° e)160°
Solución:
Piden: α
Datos del problema:
m⊀ACP = m⊀PBC = 30°
m⊀PCB = 40°
Trazamos la Altura 𝐵𝐻̅̅̅̅ :
m⊀HBC = m⊀ABH = 20°
Por ángulo exterior se tiene:
m⊀BLP = 60° , m⊀PLA = 60°
Finalmente se observa que el punto P
Es incentro del △ABL:
α + 20° + 10° = 180°
α = 150°
Problema 100
En un triángulo acutángulo ABC de
Ortocentro “O”, la recta de Euler corta al
lado AC en el punto F. Calcular m⊀AFO, Si
AF = 2FC = 2BO.
a) 18° b) 20° c) 30° d)36° e)45°
Solución:
O:Ortocentro
L:Circuncentro
Piden: x
Dato del problema:
AF =2FC = 2BO
Si BO = 2m ⇒ AF =2FC = 4m
FC = BO = 2m
Por propiedad de la recta de Euler se
cumple:
OB = 2LP
2m = 2LP ⇒ LP = m
El △LPF es Notable (45° - 45°):
α = 45°
Problema 101
interiores en A y C miden 80° y 70°
Determinar la medida del ángulo OBL.
a) 10° b) 20° c) 15° d) 18° e) 17°

Solución:
por propiedad se tiene:
α = m⊀BAC - m⊀ACB
α = 80° -70°
α = 10°
Problema 102
Determinar la distancia de L a la altura
relativa al lado 𝐴𝐶̅̅̅̅.Si BL=5.
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
Solución:
por propiedad se tiene:
α = 77° - 40° = 37°
De la gráfica se puede observar:
△Rect.MOL notable (37° - 53°)
x = 3
Problema 103
Determinar la suma de las medidas de los
ángulos ABO y LBC.
a) 40° b) 60° c) 55° d) 68° e) 57°
Solución:
Si “O” es el ortocentro y “L” es el
Circuncentro se cumple
Graficando el problema dado
α = 70° - 30° = 40°
Por la propiedad de la Recta de Euler se
cumple:
m⊀ABO = m⊀LBC = m
De la gráfica se puede observar:
α + m + m = 80°
2m = 40°
m⊀ABO + m⊀LBC = 2m = 40°
ϴ ϴ
A C
LO
B

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