Conjunto desereshumanos
Conjunto desereshumanos
A cada ser humano se              le asocia su padreConjunto de                          Conjunto de              biológic...
A cada ser humano se                  le asocia su padre Conjunto de      biológico                    Conjunto de seres  ...
a                bc        d            e
Dominio     a                 b c         d             e
CodominioDominio     a                 b c         d             e
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A la calabaza se le asocian doselementos en el contradominio
A     B    parcial        nabla     raiz     existe
¿ Cuál es Función ?A        B            A   BA         B           A   B
¿ Cuál es Función ?                      Menú
De manera intuitiva podemos decir queuna función es una relación entre dosmagnitudes, de tal manera que a cadavalor de la ...
Función• Conceptos Fundamentales:  – Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función    si a cada v...
Función• Conceptos Fundamentales:  – La variable x corresponde a la variable independiente y la variable    cuyo valor vie...
Toda función es relación, pero no toda relación esfunción.
Función– Rango o Recorrido de f:  Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos  son imagen de alguna ...
•   Luego para la función f denotada:                                        f                          A                 ...
FunciónLa Respuesta correcta es B
FunciónLa Respuesta correcta es D
Representación GraficaMétodo de Óvalos                    Plano Cartesiano                              B    IR           ...
FUNCIONESELEMENTALES
FUNCIÓN LINEAL
Tema:14               Funciones elementales               26    Euler - Matemáticas I                                     ...
FUNCIÓN LINEAL  •    Sea la FUNCIÓN IDENTIDAD y = x  •    Sea la FUNCIÓN DOBLE y = 2.x  •    Sea la FUNCIÓN TRIPLE y = 3.x...
GRÁFICAS FUNCIONES LINEALES   •    Sea f(x) = x                        y= -3x                                             ...
Otra notación de Función Lineal•   Es de la forma f(x) = mx + n    con m : Pendiente           n : Ordenada del punto de i...
I. Función Lineal•   Análisis de la Pendiente    Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar e...
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FUNCIÓNCUADRÁTICA
Tema:14      Funciones elementales                33      Euler - Matemáticas I                       Funciones cuadrática...
Tema:14      Funciones elementales                 34      Euler - Matemáticas I        Representación gráfica de funcione...
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Recordatorio• Función Cuadrática:
FUNCIONES CUADRÁTICAS                                                             y•   Todas las funciones que se pueden  ...
PROPIEDADES• DOMINIO• El dominio de f(x), como cualquier función polinómica será R.• Dom f(x) = R• RECORRIDO• La imagen de...
Ejemplo 1                              Ejemplo 2•   Sea f (x) = x2 - 3            • Sea f (x) = - x2 + x•   a=1>0  Cóncav...
• LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO  GRADO•   Si tenemos una ecuación de la forma•   y = a.x2 , y =...
La función f(x)= a.x2 , a > 0•   Sea y = x2                                    y                                          ...
La función f(x)= a.x2 , a < 0•   Sea y = - 2.x2              -3 -2   -1   0 1 2 3   x•   Tabla de valores                 ...
La función f(x)= a.x2 + c , a > 0 , c > 0•   Sea y = x2 - 2                                       y                       ...
La función f(x)= a.x2 + c , a < 0 , c > 0                                                           5• Sea y = -        3....
La función f(x)= a.x2 + b.x , a > 0 , b < 0                                                   y•   Sea y = x2 - 2.x       ...
La función f(x)= a.x2 + b.x ,   a<0, b>0• Sea y = - x2 + 5.x                    6                                        4...
La función f(x)= a.x2 + b.x + c , a > 0 , b < 0 y c > 0                                                   y•   Sea y = x2 ...
Ejemplos de dilatación                                                          f(x) = x2                                 ...
Ejemplos de dilatación•   Sea f(x) = x2        Si debemos representar:      f(x) = r.x2•   El efecto es que la parábola se...
FUNCIÓN VALOR  ABSOLUTO
El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud” de unnúmero, independientemente de su signo.Si tenemos un número real ...
Si a es un número real distinto de cero, entoncesoao         a es positivo.Aquél de los dos que es positivo es llamadovalo...
mayor que<   menor que    mayor o igual que    menor o igual que
:R   R   y   x
IV. Función Valor Absoluto•   El valor absoluto de un número x € IR, denotado por |x|, es siempre un    número real no neg...
IV. Función Valor Absoluto– a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.
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IV. Función Valor Absoluto•   La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se    generaliza a vector...
IV. Función Valor Absoluto•   Ejercicios:     – Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación:          • a...
IV. Función Valor AbsolutoLa Respuesta correcta es B
IV. Función Valor AbsolutoLa Respuesta correcta es D
FUNCIÓNIDENTIDAD
Ejemplo:      f(x) = x       Función Identidad
FUNCIÓN IDENTIDAD                                                                   y=f(x)  •    Sea f(x) = x             ...
FUNCIÓNCOSNSTANTE
Ejemplo:             f(x) = c                           4                           3                           c         ...
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
IntroducciónUna         industria       estácaracterizada por la siguiente      f(x)función de producción: f (x) =x0.5, do...
ObjetivosIdentificar la función raíz cuadrada, su dominio y rango.Graficar la función raíz cuadrada en el plano.Aplicac...
Función Raíz CuadradaEcuación General:                  y k a x hExpresando y = f(x):                 f ( x) a x h k (h, ...
Función Raíz CuadradaPor ejemplo:        f x         x 1 1          y 1              x 1 f(x)                             ...
Función Raíz CuadradaPor ejemplo:         f x       x 3 2      y 2              x 3  f(x)                           Dom (f...
EjerciciosGrafique las siguientesfunciones, determinando su dominio y rango:     1) f x      1 x 2     2) f x       1 x 1 ...
Otra forma de graficar: Traslaciones y Reflexiones Conocemos la gráfica de f x      x Si queremos obtener la gráfica de ...
Otra forma de graficar: Traslaciones y Reflexiones Si queremos obtener la gráfica de f x         x 3 2             Despla...
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Ecuaciones con Radicales: EjerciciosResuelva las siguientes ecuaciones:1.   3x 2     42.   5x 3         2x 33. 3 x        ...
FUNCIÓN RADICAL•       Una función f se llama radical o irracional si la variable independiente aparece        bajo un sig...
FUNCIONES RADICALES  •              n  •    Sea g(x) = √f(x)  •    Asigna a cada imagen la raíz de índice n del valor de f...
•    EJEMPLO 1   •    Sea f(x) = √ (4 – x)   •    Dom f(x) = 4 – x ≥ 0 , 4 ≥ x                                         f(x...
•    EJEMPLO 2•    Sea f(x) = √ x2 - 4•    Dom f(x) = x2 - 4 ≥ 0 , x2 ≥ 4•    Dom f(x) = { Vx c (-oo, -2] U [2, +oo) }•   ...
•      EJEMPLO 3••                 3•      Sea f(x) = √ (x – 8)•      Dom f(x) = R , al ser n impar                       ...
•    EJEMPLO 4 •    Sea f(x) = √ x4 / (4 – x2) •    Dominio •    x4 ≥ 0 •    4 – x2 >0                   x =R ,, x2 < 4 ...
•    … EJEMPLO 4                                                                                           f(x)•    Sea f(...
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  1. 1. Conjunto desereshumanos
  2. 2. Conjunto desereshumanos
  3. 3. A cada ser humano se le asocia su padreConjunto de Conjunto de biológicoseres sereshumanos humanos
  4. 4. A cada ser humano se le asocia su padre Conjunto de biológico Conjunto de seres seres humanos humanos•Todo elemento del dominio tiene asociado un únicoelemento del contradominio. Todo ser humano tiene un únicopadre biológico•No todo elemento del contradominio tiene asociado unelemento del dominio. No todo ser humano es un padrebiológico
  5. 5. a bc d e
  6. 6. Dominio a b c d e
  7. 7. CodominioDominio a b c d e
  8. 8. a b CodominioDominio c d e Rango
  9. 9. A la calabaza se le asocian doselementos en el contradominio
  10. 10. A B parcial nabla raiz existe
  11. 11. ¿ Cuál es Función ?A B A BA B A B
  12. 12. ¿ Cuál es Función ? Menú
  13. 13. De manera intuitiva podemos decir queuna función es una relación entre dosmagnitudes, de tal manera que a cadavalor de la primera le corresponde unúnico valor de la segunda.
  14. 14. Función• Conceptos Fundamentales: – Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B. f A B a b = f(a) x f(x) f(x)
  15. 15. Función• Conceptos Fundamentales: – La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) *se lee “f de x”+. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”. f A B a b = f(a) x f(x)
  16. 16. Toda función es relación, pero no toda relación esfunción.
  17. 17. Función– Rango o Recorrido de f: Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f. f A B 1 a 2 b 3 c 4 d 5 e 6 7 Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.
  18. 18. • Luego para la función f denotada: f A B 1 a 2 b 3 c 4 d 5 e 6 7 – Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e} – Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7} Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .
  19. 19. FunciónLa Respuesta correcta es B
  20. 20. FunciónLa Respuesta correcta es D
  21. 21. Representación GraficaMétodo de Óvalos Plano Cartesiano B IR P x; f x y f x x A IR Menú
  22. 22. FUNCIONESELEMENTALES
  23. 23. FUNCIÓN LINEAL
  24. 24. Tema:14 Funciones elementales 26 Euler - Matemáticas I Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. Y Y Recorrido: R Recorrido: R • (0, b): ordenada • (0, b): ordenada en el origen en el origen X X Dominio: R Dominio: R f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente
  25. 25. FUNCIÓN LINEAL • Sea la FUNCIÓN IDENTIDAD y = x • Sea la FUNCIÓN DOBLE y = 2.x • Sea la FUNCIÓN TRIPLE y = 3.x • Sea la FUNCIÓN MITAD y = x / 2 , etc... • Englobando todas las funciones anteriores: y = m.x • donde m es un número real y se llama pendiente. • Todas las funciones que se pueden expresar de la forma • f(x) = m.x • Reciben el nombre de FUNCIONES LINEALES. • Su gráfica es una línea recta. • Si la pendiente, m, es positiva la función es creciente. • Si la pendiente, m, es negativa la función es decreciente.@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 27
  26. 26. GRÁFICAS FUNCIONES LINEALES • Sea f(x) = x y= -3x y=2x • Sea f(x) = 2x y=x • Sea f(x) = x/2 y= -x • Sea f(x) = - x • Sea f(x) = - x/2 y= -x/2 • Sea f(x) = - 3x y=x/2 • Todas ellas son funciones lineales. • Importante: Todas ellas pasan por el origen de coordenadas (0, 0)@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 28
  27. 27. Otra notación de Función Lineal• Es de la forma f(x) = mx + n con m : Pendiente n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición). Ejemplo: La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.
  28. 28. I. Función Lineal• Análisis de la Pendiente Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente. • Si m < 0, entonces la función es decreciente. • Si m = 0, entonces la función es constante. • Si m > 0, entonces la función es creciente.
  29. 29. I. Función Lineal Y Y I) II) m>0 n m<0 n n>0 n>0 X X Y YIII) m>0 IV) m<0 n<0 n<0 X X n n
  30. 30. FUNCIÓNCUADRÁTICA
  31. 31. Tema:14 Funciones elementales 33 Euler - Matemáticas I Funciones cuadráticas Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a 0, b, c R Funciones y = ax2 para diferentes valores de a • Son parábolas • Dominio: R • Si a > 0: Recorrido = [0, ) • Si a < 0: Recorrido = (– , 0] a =2 a =1 a = 0,5 a=–2 a=–1 a = – 0,5
  32. 32. Tema:14 Funciones elementales 34 Euler - Matemáticas I Representación gráfica de funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c, a 0 es una parábola b b2 Si a > 0 abierta hacia arriba El vértice está en V = – , c – . Además 2a 4a Si a < 0 abierta hacia abajo Y V • a>0 a<0 X • V
  33. 33. Recordatorio• Función Cuadrática: Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: Propiedades •El gráfico de una función cuadrática es una parábola. •La gráfica de intercepta al eje Y en (0,c) •El vértice está definido por el punto •Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo
  34. 34. Recordatorio• Función Cuadrática:
  35. 35. FUNCIONES CUADRÁTICAS y• Todas las funciones que se pueden 5 expresar de la forma• f(x) = a.x2 + b.x + c f(x) = x2 – 2x – 3• Reciben el nombre de FUNCIONES CUADRÁTICAS. Su gráfica es una parábola.• Para dibujar una parábola necesitamos conocer: -3 -2 -1 0 1 2 3 x• 1.- Coordenadas del vértice.• 2.- Corte con el eje de abscisas y el eje de ordenadas.• 3.- El eje de simetría. -3• 4.- Una tabla de valores. -5
  36. 36. PROPIEDADES• DOMINIO• El dominio de f(x), como cualquier función polinómica será R.• Dom f(x) = R• RECORRIDO• La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del – oo al vértice, según sea cóncava o convexa.• Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS.• Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS.• SIMETRÍA• Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR:• f(x) = f(-x) cuando el eje de la parábola sea el eje de ordenadas.
  37. 37. Ejemplo 1 Ejemplo 2• Sea f (x) = x2 - 3 • Sea f (x) = - x2 + x• a=1>0  Cóncava • a=-1<0  Convexa• Dom f(x) = R • Dom f(x) = R• Vértice: • Vértice:• xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0 • xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2• yv= 02 - 3 = - 3 • yv= - (1/2)2 + 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25• V(0, - 3)• Img f(x) = [ - 3, +oo) • V(0’5 , 0´25) • Img f(x) = (- oo, 0,25] V 0,25 -3 V
  38. 38. • LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO• Si tenemos una ecuación de la forma• y = a.x2 , y = a.x2 + b , y = a.x2 + b.x , y = a.x2 + b.x + c• Podemos decir que es una función cuadrática.• En ella x es la variable independiente e y es la variable dependiente.• Las letras a, b y c son los llamados parámetros.• La señalaremos así:• f(x) = a.x2 ,• f(x) = a.x2 + c ,• f(x) = a.x2 + b.x ,• f(x) = a.x2 + b.x + c• Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA.
  39. 39. La función f(x)= a.x2 , a > 0• Sea y = x2 y 9• Tabla de valores• x y• -3 9• -2 4• -1 1 4• 0 0• 1 1• 2 4• 3 9 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
  40. 40. La función f(x)= a.x2 , a < 0• Sea y = - 2.x2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x• Tabla de valores -2• x y• -3 - 18 -8• -2 -8• -1 -2• 0 0• 1 -2• 2 -8• 3 - 18 - 18 y
  41. 41. La función f(x)= a.x2 + c , a > 0 , c > 0• Sea y = x2 - 2 y 7• Tabla de valores• x y• -3 7• -2 2• -1 -1 2• 0 -2• 1 -1• 2 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x• 3 7 -1 -2
  42. 42. La función f(x)= a.x2 + c , a < 0 , c > 0 5• Sea y = - 3.x2 + 5 2• Tabla de valores• x y -3 -2 -1 0 1 2 3 x -7• -3 - 22• -2 -7• -1 2• 0 5• 1 2• 2 -7• 3 - 22 - 22 y
  43. 43. La función f(x)= a.x2 + b.x , a > 0 , b < 0 y• Sea y = x2 - 2.x 15• Tabla de valores• x y• -3 15• -2 8 8• -1 3• 0 0• 1 -1• 2 0• 3 3 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1
  44. 44. La función f(x)= a.x2 + b.x , a<0, b>0• Sea y = - x2 + 5.x 6 4• Tabla de valores• x y -2 -1 0 1 2 3 x• -3 - 24• -2 - 14 -6• -1 -6• 0 0• 1 4• 2 6• 3 6 - 14 y
  45. 45. La función f(x)= a.x2 + b.x + c , a > 0 , b < 0 y c > 0 y• Sea y = x2 - 2.x + 3• Tabla de valores 18• x y• -3 18• -2 11 11• -1 6• 0 3• 1 2 6• 2 3• 3 6 3 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
  46. 46. Ejemplos de dilatación f(x) = x2 y -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) = - 0’5.x2 f(x) = - 2.x2
  47. 47. Ejemplos de dilatación• Sea f(x) = x2 Si debemos representar: f(x) = r.x2• El efecto es que la parábola se deforma.• Si r > 0  Conserva la concavidad Si r < 0  Se invierte.• Si |r| > 1  Se estrecha. Si |r| < 1  Se ensancha. y f(x) = 2.x2 f(x) = x2 f(x) = 0’5.x2 -3 -2 -1 0 1 2 3
  48. 48. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
  49. 49. El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud” de unnúmero, independientemente de su signo.Si tenemos un número real x su valor absoluto se escribe│x│. •El valor absoluto de 7 es 7 •El valor absoluto de –π es π •El valor absoluto de -3 es 3El numero real -20 y el 20, tienen el mismo valorabsoluto, 20
  50. 50. Si a es un número real distinto de cero, entoncesoao a es positivo.Aquél de los dos que es positivo es llamadovalor absoluto de a.El valor absoluto de un número real a,denotado por a , se define por la reglaa a si a 0ya a si a 0
  51. 51. mayor que< menor que mayor o igual que menor o igual que
  52. 52. :R R y x
  53. 53. IV. Función Valor Absoluto• El valor absoluto de un número x € IR, denotado por |x|, es siempre un número real no negativo que se define: x si x ≥ 0 f(x) = |x| = -x si x < 0 Ejemplo: |-3| = 3 |12| = 12 |-18| = 18 |-5,3| = 5,3 Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número |x| se llama distancia de x al origen.
  54. 54. IV. Función Valor Absoluto– a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.
  55. 55. IV. Función Valor Absoluto– b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.
  56. 56. IV. Función Valor Absoluto• Propiedades: – a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ x a; con a ≥ 0 – b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a – c. |xy| = |x| · |y| – d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)
  57. 57. IV. Función Valor Absoluto• La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.
  58. 58. IV. Función Valor Absoluto• Ejercicios: – Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación: • a. |x – 3| ≤ 2 Aplicando la primera propiedad: -2 ≤ x – 3 ≤ 2 -2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3 1≤x≤5 x € [1, 5]
  59. 59. IV. Función Valor AbsolutoLa Respuesta correcta es B
  60. 60. IV. Función Valor AbsolutoLa Respuesta correcta es D
  61. 61. FUNCIÓNIDENTIDAD
  62. 62. Ejemplo: f(x) = x Función Identidad
  63. 63. FUNCIÓN IDENTIDAD y=f(x) • Sea f(x) = x 2 • La ordenada (y) toma los mismos valores que la abscisa (x). 1 • Tabla de valores: • x y • -2 -2 -2 -1 0 1 2 x • -1 -1 • 0 0 -1 • 1 1 • 2 2 -2@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 65
  64. 64. FUNCIÓNCOSNSTANTE
  65. 65. Ejemplo: f(x) = c 4 3 c 2 1 -2 -1 0 1 2 Función Constante
  66. 66. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
  67. 67. IntroducciónUna industria estácaracterizada por la siguiente f(x)función de producción: f (x) =x0.5, donde x es el único factorque utiliza en la producción decierto artículo. xEn tal sentido, f(x) es el númerode unidades producidas cuandose utiliza x factores. f x x
  68. 68. ObjetivosIdentificar la función raíz cuadrada, su dominio y rango.Graficar la función raíz cuadrada en el plano.Aplicaciones.Resolver ecuaciones con radicales.
  69. 69. Función Raíz CuadradaEcuación General: y k a x hExpresando y = f(x): f ( x) a x h k (h, k) es el vértice o inicio de la gráfica. “a” indicará la extensión y dirección de la gráfica.
  70. 70. Función Raíz CuadradaPor ejemplo: f x x 1 1 y 1 x 1 f(x) Dom (f) = [-1, ∞) 3 Ran (f) = [1, ∞) 2 1 -1 3 x x 1 0 x 1 y 1 0 y 1
  71. 71. Función Raíz CuadradaPor ejemplo: f x x 3 2 y 2 x 3 f(x) Dom (f) = [3, ∞) Ran (f) = (-∞, 2] 2 3 x x 3 0 x 3 y 2 0 y 2
  72. 72. EjerciciosGrafique las siguientesfunciones, determinando su dominio y rango: 1) f x 1 x 2 2) f x 1 x 1 3) f r r 5
  73. 73. Otra forma de graficar: Traslaciones y Reflexiones Conocemos la gráfica de f x x Si queremos obtener la gráfica de f x x 2 Desplazamos (trasladamos) 2 unidades hacia arriba (por el eje de f(x)) f(x) 2 x
  74. 74. Otra forma de graficar: Traslaciones y Reflexiones Si queremos obtener la gráfica de f x x 3 2 Desplazamos (trasladamos) 3 unidades hacia la derecha (por el eje de x) f(x) 2 3 x
  75. 75. Otra forma de graficar: Traslaciones y Reflexiones Si queremos obtener la gráfica de f x x 3 2 Obtenemos el reflejo con relación al eje x. f(x) 2 3 x
  76. 76. Ecuaciones con RadicalesUna ecuación radical es una ecuación en la cual lavariable aparece dentro del signo radical.Por ejemplo: . 2 x 9 . x 5 6Para resolver estas ecuaciones, utilizaremos lasiguiente propiedad: Si a = b → a2 = b2La solución final debe verificarse en la ecuaciónInicial.
  77. 77. Ecuaciones con Radicales: EjerciciosResuelva las siguientes ecuaciones:1. 3x 2 42. 5x 3 2x 33. 3 x 4x 34. x 3 x 2x 15. x 4 x 1 x 4
  78. 78. FUNCIÓN RADICAL• Una función f se llama radical o irracional si la variable independiente aparece bajo un signo radical.• Sea f(x) = √x• Asigna a cada imagen la raíz cuadrada del valor del origen.• Dom f(x) = R+• Img f(x) = R+• Simetría: No hay S. PAR ni S. IMPAR• Mínimo y Máximos: No hay.• Monotonía: Extrictamente creciente en R 3• si x2>x1  f(x2)>f(x1 ) 2•• Tabla de valores: 1 x -2 -1 0 1 4 9 16 25 0 1 4 9 y --- --- 0 1 2 3 4 5@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 80
  79. 79. FUNCIONES RADICALES • n • Sea g(x) = √f(x) • Asigna a cada imagen la raíz de índice n del valor de f(x) • Se puede decir que es función de función o función compuesta. • Dom g(x) = R si n es impar. • Dom g(x) = {V x / f(x) ≥ 0 } si n es par. • Img f(x) = R si n es impar • Img f(x) = R+ si n es par • Simetría: Puede haber simetría PAR si n es par. • Puede haber simetría IMPAR si n es impar. • Creciente en un entorno de xi, si para x2 > x1  f(x2) > f(x1) • Decreciente en un entorno de xi, si para x2 > x1  f(x2) < f(x1) • • Tabla de valores: Es imprescindible.@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 81
  80. 80. • EJEMPLO 1 • Sea f(x) = √ (4 – x) • Dom f(x) = 4 – x ≥ 0 , 4 ≥ x f(x) • Dom f(x) = (-oo, 4] 3 • Img f(x) = R+ 2 • Simetría: No hay • Es decreciente en (-oo,4) 1 • pues si x2 > x1  • f(x2) < f(x1 ) • Corte con el eje Y: x = 0  • y = 2  Pc(0,2) -5 0 1 2 3 4 5 x • Corte con el eje X: y = 0  • x = 4  Pc(4,0) x - 12 - 5 0 3 4 5 6 • • Tabla de valores: y 4 3 2 1 0 --- ---@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 82
  81. 81. • EJEMPLO 2• Sea f(x) = √ x2 - 4• Dom f(x) = x2 - 4 ≥ 0 , x2 ≥ 4• Dom f(x) = { Vx c (-oo, -2] U [2, +oo) }• Img f(x) = R+ f(x)• Simetría: f(x) = f(-x)  Hay S. PAR• Es decreciente en (-oo,-2) pues si 3• x2 > x1  f(x2) < f(x1 ) 2• Es creciente en (2, +oo) pues si• x2 > x1  f(x2) > f(x1 ) 1 x• Corte con el eje Y: x = 0  y = NO -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4• Corte con el eje X: y = 0 • x = -2 , x = 2  Pc(-2,0) , Pc(2,0)• x -4 -3 -2 2 3 4• Tabla de valores: y 2√3 √ 5 0 0 √5 2√3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 83
  82. 82. • EJEMPLO 3•• 3• Sea f(x) = √ (x – 8)• Dom f(x) = R , al ser n impar f(x)• Img f(x) = R+ 2• Simetría: f(x) = f(-x)  No hay S. PAR 1• Simetría: f(x) = -f(-x)  No hay S. IMPAR• Es creciente en R, pues si• x2 > x1  f(x2) > f(x1 ) -19 -16 -8 0 8 9 16 x• Corte con el eje Y: x = 0  y = - 2 • Pc(0, - 2) -2• Corte con el eje X: y = 0 • x = 8  Pc(8, 0)• x - 19 0 7 8 9 16• Tabla de valores: y -3 -2 -1 0 1 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 84
  83. 83. • EJEMPLO 4 • Sea f(x) = √ x4 / (4 – x2) • Dominio • x4 ≥ 0 • 4 – x2 >0  x =R ,, x2 < 4  x =R ,, -2 < x < 2 • Solución 1: - 2 < x < 2 • x4 ≤ 0 • 4 – x2 <0  x = 0 ,, x2 > 4  x = 0 ,, (-oo,-2]U[2,+oo) • Solución 2: No hay • Dom f(x) = { x c R: (- 2, 2) } • Img f(x) = R+ • Es creciente en (0, 2) pues si x2 > x1  f(x2) > f(x1 ) • 1 > 0  f(1) > f(0 ) , pues √(1/3) > 0@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 85
  84. 84. • … EJEMPLO 4 f(x)• Sea f(x) = √ x4 / (4 – x2)• Asíntotas Verticales:• x=-2 y x=2• Horizontales:• y = lim f(x)= √ oo = oo No hay• xoo• Oblicuas:• m = lim f(x) / x = lim √ x4 / (4 – x2) : x 0,17• xoo xoo• m = lim √ x4 / (4x2 – x4) = √ – 1 No hay• xoo 0,13 x• Img f(x) = R+ -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2• Simetría: f(x)=f(-x)  Presenta simetría Par. x -2 -1 0 1 2• Tabla de valores: y -- √1/3 0 √1/3 ---@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 86

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