El documento resume varios conceptos y propiedades fundamentales del álgebra, incluyendo: 1) la multiplicación de binomios y trinomios, 2) el desarrollo de expresiones como (a+b)2, (a+b)3, y (a+b+c)3, 3) identidades como las de Legendre y Cauchy. El documento también presenta biografías breves de Euclides, Legendre y Cauchy y sus contribuciones al álgebra.

1. Productos notables
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Universidad de Ciencias y Humanidades
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2. Algo de historia: Una mirada desde la geometr´
ıa
El Libro II de los Elementos de Euclides es un ´lgebra geom´trica
a e
que serv´ m´s o menos para los mismos fines que el ´lgebra
ıa a a
simb´lica actual.
o
Proposici´n II.4 de Euclides: Si una l´
o ınea recta se corta de una
manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es
igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rect´ngulo
a
contenido por ambos segmentos.
Lo anterior es una forma de decir (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 , lo que
actualmente se conoce el cuadrado del binomio y tiene una
representaci´n geom´trica.
o e
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3. Multiplicaci´n algebraica
o
Dadas las expresiones algebraicas A(x) y B(x) . Si multiplicamos
A(x) con B(x) hallaremos otra expresi´n C(x) de modo que
o
A(x) .B(x) = C(x)
en la que A(x) y B(x) se denominan factores y C(x) producto.
Ejemplos:
(x + 1)(x − 1) = x 2 − 1
factores producto
(a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b 2
factores producto
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4. Propiedad distributiva
Dados los n´meros a, b, c y d; se cumple lo siguiente:
u
a.(b + c) = a.b + a.c = ab + bc
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Ejemplos:
1 x.(x + 3) = x.x + x.3 = x 2 + 3x
2 (x + 1)(x − 1) = x.x + x.(−1) + 1.x + 1.(−1)
= x2 − x + x − 1
= x2 − 1
3 (x +y )2 = (x +y )(x +y ) = x.x +x.y +y .x +y .y = x 2 +2xy +y 2
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5. Multiplicaci´n de binomios con un t´rmino en com´n
o e u
(x + a)(x + b) ≡ x 2 + (a + b)x + ab
Ejemplos:
1 (x + 2)(x + 5) = x 2 + (2 + 5)x + 2.5 = x 2 + 7x + 10
2 (x + 7)(x − 3) = x 2 + (7 − 3)x + 7.(−3) = x 2 + 4x − 21
3 (x − 4)(x − 5) = x 2 + ( − 4 − 5)x + (−4)(−5) = x 2 − 9x + 20
(x + a)(x + b)(x + c) ≡ x 3 + (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ca)x + abc
Ejemplo:
1 (x + 1)(x + 2)(x + 3) =
= x 3 + (1 + 2 + 3)x 2 + (1.2 + 2.3 + 3.1)x + 1.2.3
= x 3 + 6x 2 + 11x + 6
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6. Trinomio cuadrado perfecto
(a + b)2 ≡ a2 + 2ab + b 2
(a − b)2 ≡ a2 − 2ab + b 2
Ejemplos:
1 (x + 3)2 = x 2 + 2.x.3 + 32 = x 2 + 6x + 9
2 (5x − 1)2 = (5x)2 − 2.5x.1 + 12 = 25x 2 − 10x + 1
2 2
1 1 1 1
3 x+ = x 2 + 2.x. + = x2 + 2 +
x x x x2
2 2
1 1 1 1
4 x− = x2 − 2.x. + = x2 − 2 +
x x x x2
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7. Corolario: Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a − b)2 ≡ 2(a2 + b 2 )
(a + b)2 − (a − b)2 ≡ 4ab
Ejemplos:
√ √ 2 √ √ 2 √ 2 √ 2
1 3+ 2 + 3− 2 =2 3 + 2 = 2(3 + 2) =
10
2 (x + 3)2 − (x − 3)2 = 4.x.3 = 12x
3 (n + 1)2 + (n − 1)2 = 2(n 2 + 12 ) = 2(n 2 + 1)
√ 2 √ 2 √ √
4 2+1 − 2 − 1 = 4. 2.1 = 4 2
2 2
1 1 1
5 x+ − x− = 4.x. =4
x x x
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8. Adrien Marie Legendre
A. M. Legendre (1752 - 1833), Matem´tico franc´s. Hizo
a e
importantes contribuciones a la estad´
ıstica, la teor´ de n´meros, el
ıa u
´lgebra abstracta y el an´lisis matem´tico.
a a a
En 1830 dio una prueba del ultimo teorema de Fermat para el
´
exponente n = 5, casi simult´neamente con Dirichlet en 1828.
a
En matem´ticas al resolver la f´rmula de Rodrigues, las Funciones
a o
de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de
Legendre:
d 2 d
dx (1 − x ) dx P(x) + n(n + 1)P(x) = 0
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9. Diferencia de cuadrados
(a + b)(a − b) ≡ a2 − b 2
Ejemplos:
1 (x + 3)(x − 3) = x 2 − 32 = x 2 − 9
√ √ √ √ √ 2 √ 2
2 5+ 3 5− 3 = 5 − 3 =5−3=2
3 (x + y + z)(x + y − z) = (x + y )2 − z 2
√ √ √ √ √ 2 √ √ √
4 6
x + 4 y 6 x − 4 y = 6 x − 4 y2 = 3 x − 2 y
2 2
5 m3 + n2 m3 − n2 = m3 − n2 = m6 − n4
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10. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 ≡ a2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca)
Ejemplos:
2
1 x2 + x + 1 = (x 2 )2 + x 2 + 12 + 2(x 2 .x + x.1 + 1.x 2 )
= x 4 + x 2 + 1 + 2(x 3 + x + x 2 )
2 (x + 2y − 3)2 =
= x 2 + (2y )2 + (−3)2 + 2(x.(2y ) + (2y ).(−3) + (−3).x)
= x 2 + 4y 2 + 9 + 2(2xy − 6y − 3x)
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11. Desarrollo de un binomio al cubo
(a + b)3 ≡ a3 + 3a2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b)3 ≡ a3 − 3a2 b + 3ab 2 − b 3
Ejemplos:
1 (x + 2)3 = x 3 + 3.x 2 .2 + 3.x.22 + 23 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8
2 (3x − 2y )3 = (3x)3 − 3.(3x)2 .2y + 3.3x.(2y )2 − (2y )3
= 27x 3 − 54x 2 y + 36xy 2 − 8y 3
3 (x + 1)3 = x 3 + 3.x 2 .1 + 3.x.12 + 13 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
4 (x − 1)3 = x 3 − 3.x 2 .1 + 3.x.12 − 13 = x 3 − 3x 2 + 3x − 1
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12. Desarrollo de un binomio al cubo
Veamos ahora las formas semidesarrolladas tambien conocidas
como las identidades de Cauchy.
(a + b)3 ≡ a3 + b 3 + 3ab(a + b)
(a − b)3 ≡ a3 − b 3 − 3ab(a − b)
Ejemplos:
1 (x + 2)3 = x 3 + 23 + 3.x.2.(x + 2) = x 3 + 8 + 6x(x + 2)
2 (x − 5)3 = x 3 − 53 − 3.x.5.(x − 5) = x 3 − 125 − 15x(x − 5)
√3
√ 3 √ 3 √ 3 √ √ √ √
3 4 + 3 2 = 3 4 + 3 2 + 3. 3 4. 3 2. 3 4 + 3 2
√ √ √
= 4 + 2 + 3. 3 4.2. 3 4 + 3 2
√ √
= 6 + 6. 3 4 + 3 2
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13. Augustin Louis Cauchy
A. L. Cauchy (1789 - 1857) matem´tico franc´s.
a e
Cauchy fue pionero en el an´lisis matem´tico y la teor´ de grupos
a a ıa
de permutaciones, sin duda uno de los matem´ticos m´s
a a
importantes de la historia.
Tambi´n investig´ la convergencia y la divergencia de las series
e o
infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y
f´
ısica matem´tica.
a
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14. Suma y diferencia de cubos
(a + b) a2 − ab + b 2 ≡ a3 + b 3
(a − b) a2 + ab + b 2 ≡ a3 − b 3
Ejemplos:
1 (x + 2) x 2 − 2x + 4 = x 3 + 23 = x 3 + 8
2 (x − 5) x 2 + 5x + 25 = x 3 − 53 = x 3 − 125
3 (x + 1) x 2 − x + 1 = x 3 + 13 = x 3 + 1
4 (x − 1) x 2 + x + 1 = x 3 − 13 = x 3 − 1
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15. Desarrollo de un trinomio al cubo
(a + b + c)3 = a3 + b 3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
(a + b + c)3 = a3 + b 3 + c 3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) − 3abc
Ejemplos:
1 (x + 2y + 3z)3 =
= x 3 + (2y )3 + (3z)3 + 3(x + 2y )(2y + 3z)(3z + x)
= x 3 + 8y 3 + 27z 3 + 3(x + 2y )(2y + 3z)(3z + x)
2 (x +y +2)3 = x 3 +y 3 +23 +3(x +y +2)(xy +y .2+2.x)−3x.y .2
= x 3 + y 3 + 8 + 3(x + y + 2)(xy + 2y + 2x) − 6xy
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16. Igualdades condicionales y teoremas
Si a + b + c = 0, entonces se cumplen las siguientes igualdades.
1. a2 + b 2 + c 2 = − 2(ab + bc + ca)
2. a3 + b 3 + c 3 = 3abc
Teoremas:
1. x 2 + y 2 = 0 ↔ x = 0 ∧ y = 0
2. x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx ↔ x = y = z
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17. Aplicaciones
1 Simplifique la expresi´n: (x + 5)(2x − 3) − (2x + 1)(x − 4)
o
2 Si se sabe que x 2 + x = 1, calcule el valor de L.
L = (x + 2)(x + 1)x(x − 1) + 2
a2 b2 a b
3 Determine el valor de 2
+ 2 si se sabe que + = 3.
b a b a
4 Determine el valor de xy + yz + zx si se sabe que
x + y + z = 3 y x2 + y2 + z2 = 5
5 Calcule el valor de ab si se sabe que a + b = 1 y a3 + b 3 = 3.
4
6 Si x 3 = 8 y x = 2; calcule el valor de x + .
x
7 Calcule el valor de (x − y )2 si se sabe que x e y son dos
n´meros reales que satisfacen la ecuaci´n
u o
x 2 + y 2 + 2y + 10 = 6x.
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