variedad de funciones en una variable

1. Funciones Reales en una
Variable

2. Contenidos
 Concepto función
 Grafica de una función
 Dominio y Recorrido de una función
 Clasificación de la funciones
 Función Inversa
 Paridad de las Funciones
 Operaciones con funciones
 Ejemplos

3. Concepto de función
La palabra “función” es utilizada en nuestro
lenguaje común para expresar que algunos
hechos dependen de otros. Así, la idea
matemática de función no es un concepto
nuevo, sino una formalización de nuestra idea
intuitiva

4. Definición de Función
Una función de un conjunto A no vacío en un conjunto B
no vacío, es una relación que se establece entre ambos
conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le
corresponde un único de B . En símbolos matemáticos
( ∀ x ∈ A ⊆ IR )( ∃ ! y ∈ B ⊆ IR )( y = f ( x) )
En forma de esquema
f : A ⊆ IR → B ⊆ IR
x → y = f ( x)
Donde
x : Variable Independiente f ( x ) es la imagen de x
y = f ( x ) : Variable Dependiente x : es la preimagen de f ( x )

5. ¿ Cuál es Función ?
A B A B
A B A B

6. ¿ Cuál es Función ?
Menú

7. Representación Grafica
Método de Óvalos Plano Cartesiano
B ⊆ IR
P ( x; f ( x ) )
y = f ( x)
x
A ⊆ IR
Menú

8. Dominio y Recorrido
Dominio Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A
en B, a un sub conjunto del conjunto A se llama Dominio
de la función a
   
 ∀ x ∈ A  ∃ y ∈ B  f ( x) = y 
   
Y lo denotaremos por Dom ( f )

9. Dominio y Recorrido
Recorrido Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B,
a un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la
función a
   
 ∀ y ∈ B  ∃ x ∈ A  f ( x) = y 
   
Y lo denotaremos por Re c ( f )

10. Dominio y Recorrido en el plano cartesiano

11. Dominio y Recorrido usando Método de Óvalos

12. ¿Cual es el Dominio y Recorrido de la
siguiente función?
f ( x) = 4 + x + 2
Recorrido
Dominio
y = 4+ x+2
x+2≥0 ⇔ y−4 = x+2
⇔ x ≥ −2 ⇔ ( y − 4) 2 = x + 2
Dom ( f ) = [ −2; ∞ +[ ⇔ ( y − 4) 2 − 2 = x
Re c ( f ) = [ 4; ∞ +[
Buscar condiciones para la variable x Buscar condiciones para la variable y

13. Tabla de Evaluación
Y su grafica es
Menú

14. Clasificación de las funciones
Función Lineal f ( x ) = mx + b
Función Cuadráticas f ( x ) = ax 2 + bx + c
Función Cúbica f ( x ) = ax 3
Función Potencia f ( x ) = xc
Función Raíz f ( x) = x donde x≥0
1 x≠0
Función Reciproca f ( x) = donde
x

15. Función Valor Absoluto f ( x) = x
 x si x>0
donde

x =  0 si x=0
− x si x<0

p ( x ) an x n + an −1 x n −1 K + a1 x + a0
f ( x) = =
Funciones Racionales
q ( x ) bm x m + bm −1 x m −1 K + b1 x + b0
Funciones Irracionales f ( x ) = mx + b

16. Función Exponenciales f ( x) = bx
Función Logarítmicas f ( x ) = l o gb ( x )
Funciones Trigonométricas
f ( x ) = Sen ( x )
f ( x ) = Cos ( x )
f ( x ) = Tang ( x )

17. Funciones Hiperbólicas
e x − e− x
f ( x ) = Senh ( x ) =
2
e x + e− x
f ( x ) = Cosh ( x ) =
2
e x − e− x
f ( x ) = Tangh ( x ) = x − x
e +e
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18. Propiedades de las funciones
Función Inyectiva (1-1) Se dice que f : A ⊆ IR → B ⊆ IR
es una Función Inyectiva si
f ( a ) = f ( b) ⇒ a = b ∀a, b ∈ Dom( f )
Función Epiyectiva (sobre)
Se dice que f : A ⊆ IR → B ⊆ IR
es una Función Sobre si Re c( f ) = B
Función Biyectiva
Se dice que f : A ⊆ IR → B ⊆ IR es una Función Biyectiva si
es inyectiva y sobre a la vez

19. Función Inversa
Sea f : A → B una función biyectiva, entonces la función inversa
f −1 de f es una función biyectiva tal que
f −1 : B → A y f −1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x )
Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera
siguiente:

20. Función inversa
f −1
Menú

21. Ejemplo
Hallar la inversa y grafica de la siguiente función f ( x ) = 2x −1
Solución
Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable x
y = 2x −1
y +1 = 2x
y +1
=x
2
Por lo tanto
x +1
f −1
( x) =
2

22. Y ambas grafica en el mismo plano cartesiano son
x +1
f ( x) =
2
f ( x) = 2x −1
Menú

23. Paridad de una función
Funciones pares
Decimos que una función es par siempre que
para todo valor de la variable independiente
perteneciente al dominio se cumpla que:
f ( − x) = f ( x)

24. Ejemplo
Dada la función f ( x ) = 3x − 4 x
2 4
a) ¿es par o impar?.
b) Utilizando Winplot grafique
Solución
Analizaremos si la función es par, para ello debe cumplir que f ( − x) = f ( x)
Para este caso
f ( − x ) = 3( − x) − 4 ( − x )
2 4
= 3x 2 − 4 x 4
= f ( x)
Por lo tanto esta función es par

25. Función Impar
Decimos que una función es impar siempre que
para todo valor de la variable independiente
perteneciente al dominio se cumpla que:
f ( −x) = − f ( x)
Función sin paridad
El carácter par o impar de una función es lo que
conocemos como su paridad. Las funciones que
no son ni pares, ni impares, carecen de paridad.

26. Ejemplo
1
Dada la función g ( x) = x + x
3
2
a) ¿es par o impar?.
b) Utilizando Winplot grafique
Solución
Analizaremos si la función es impar, para ello debe cumplir que f ( −x) = − f ( x)
Para este caso
1
g ( −x) = ( −x) + ( −x)
3
2
1
= − x3 − x
2
 3 1 
= − x + x
 2 
= −g ( x)
Por lo tanto esta función es impar Menú

27. Operaciones con funciones
Sean f : A → C y g : B → D dos funciones tal que
Dom ( f ) ∩ Dom ( g ) ≠ ∅
Suma de f y g ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
Resta de f y g ( f − g ) ( x) = f ( x) − g ( x)
Producto de f y g ( f ⋅ g ) ( x) = f ( x) ⋅ g ( x)
f  f ( x)
Cociente de f y g  ( x) = g ( x) ≠ 0
g g ( x)

28. Función Compuesta
Sean f : A → C y g : B → D funciones tales que f ( A ) ∩ B ≠ ∅,
Entonces se llama función compuesta de g y f y lo denotamos por
A la función definida por ( gο f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) para cada valor de A,
tal que su imagen este en el conjunto B
Gráficamente podemos expresar la función compuesta de g y f de
la siguiente manera

29. Composición de de f y g ( gο f ) ( x ) = g ( f ( x ) )

30. Composición de una Función con su Inversa
De la representación anterior se puede notar que:
( fοf )( x ) = x
−1
o ( f −1ο f ) ( x ) = x

31. Ejemplo
Considere las siguientes funciones reales definidas por
f ( x ) = 5 − 3x g ( x ) = x2 + 1
Determine ( gο f ) ( x )
−1
Solución
Por hallar la inversa de f ( x ) = 5 − 3x
Para este caso la función es biyectiva por lo tanto existe su inversa, la cual es
y = 5 − 3x
5− y
x=
3

32. 5− x
f −1
( x) =
3
En donde su Dominio es los números reales
g ( x) También son los números reales
Además el dominio d la función
Por lo tanto Dom ( gο f −1 ) = IR
Por lo tanto ( gο f −1 ) ( x ) = g ( f −1 ( x ) )
2
5− x  5− x 
= g  =   +1
 3   3 
2
Por lo tanto 5− x 
( gο f −1 ) ( x ) = 
 3 
 +1

33. Ejemplos
1.- Para cada una de las siguientes relaciones,
determine Dominio, Recorrido para que sea
función
a) f ( x) = x2 − 1
b) f ( x) = 2 + x +1
x +1
c) f ( x) =
x −1

34. 2.- Para cada una de las siguientes relaciones,
determine Dominio para que sea función
x −1
a) f ( x) =
( x + 1)( x − 2)
x+2
b) f ( x) =
x −1
3.- Trace la grafica de la siguiente función
− x − 3 si −5 < x ≤ −1

a) f ( x) =  −2 si −1 < x ≤ 1
 x − 3 si 1 ≤ x ≤ 3

 x + 5 si −6 < x < 0



b) f ( x) =  2 si 0≤ x<2

 2
 x − 8 si
 x≥2

35. 4.- Considere las siguientes funciones reales
definidas por
1 x −1
f ( x) = g ( x) =
x −1 x +1
Determine ( gο f ) ( x ) , ( f ο g ) ( x ) , ( f ο f ) ( x ) , y ( gο g ) ( x )
Además explicite sus dominio

36. 5.- Usando alguna aplicación grafica determine
Dominio, Recorrido
1
a)
f ( x ) = 3x − 2 d) f ( x) = + x −1
3 − 2x
4
b) h ( x) = 2 e) f ( x ) = log ( x − 1)
x −4
x
h ( x) = 2
c)
1 f)
f ( x ) = Sen   x −4
x

37. 6.- Sean la funciones definidas por
f ( x) = x + 1 g ( x) = x + 2
Hallar dominio de cada una de las siguientes funciones.
( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( f − g ) ( x) = f ( x) − g ( x)
f  f ( x)
( f ⋅ g ) ( x) = f ( x) ⋅ g ( x)  ( x) =
g g ( x)
g ( x) ≠ 0
Además presente su grafica en caso que sea posible

38. 7.- Para cada uno de los pares de funciones determine
( gο f ) ( x )
a) f ( x) = x2 − 2 g ( x) = x − 2
b) f ( x ) = 2x2 + 6 g ( x) = 7x + 2
c) f ( x ) = x2 − x −1 g ( x) = x −1
2
d) f ( x) = g ( x) = 2x − 3
x −1
x −1 x +1
e) f ( x) = g ( x) = Menú
x +1 x −1
Terminar

39. Función Lineal Función Cuadráticas Función Cúbica
Función Potencia Función Raíz Función Reciproca

40. Función Valor Absoluto Función Exponenciales Función Logarítmicas
Funciones Trigonométricas
f ( x ) = Sen ( x ) f ( x ) = Cos ( x ) f ( x ) = Tang ( x )

41. Funciones Hiperbólicas
f ( x ) = Senh ( x ) f ( x ) = Cosh ( x ) f ( x ) = Tangh ( x )
Menú