1. LA EVOLUCIÓN DEL CÁLCULO
En general el término cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia, indistintamente, a la
acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en
realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida,
o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
La evolución del el calculo
Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que
utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de
restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor
del álgebra.
La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los
ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos lógicos fue el primero
en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería
completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica.
Historia del cálculo
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una
larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a
los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad
algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para
su desarrollo posterior.
2. Isaac Newton (1643-1727). En 1687 fue publicada su obra magistral Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica en el cual se exponen, en diferentes pasajes, claras exposiciones del
concepto de límite, idea básica del cálculo.El trabajo más importante de cálculo de Newton estuvo
escrito de 1665 a 1676, pero ninguna de sus obras fue publicada durante ese tiempo. Se ha
sugerido que la demora en la publicación de sus tres principales trabajos fue ocasionada por el
hecho de que estaba insatisfecho con los fundamentos lógicos de la materia. En su monografía "De
Analysi per aequationes numero terminorum infinitas" no hace explícito el uso de la notación
fluxional ni de la idea. En su lugar usa lo infinitamente pequeño, tanto geométrico como analítico
de manera similar a la que encontramos en Barrow y Fermat, y extiende su aplicabilidad por el uso
del Teorema del Binomio.
punto de partida de newton y leibniz
3. ¿Cuál fue el punto de partida de newton para aproximarse a los conceptos de límite y derivada?
R= Lo que él hizo fue desarrollar un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas
aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Y el primero hizo un manuscrito llamado:
"Análisis per a ecuaciones número termino infinitos" que fue la introducción para poder deducir lo
que conseguiría después como su cálculo diferencial e integral. Por lo tanto su punto de partida
fue el análisis de ecuaciones con un número de términos infinitos.
¿Cómo conceptualizaba e ilustraba newton el problema de la tangente curva? R= El problema de
Newton sobre la tangente a la curva y su significado, se puede ilustrar utilizando un fenómeno fácil
de entender; por ejemplo: el crecimiento de una planta.
¿Cuál fue la notación utilizada por Newton para representar su concepto de la tangente curva? R=
Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor
del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
Leibniz
¿Cuál fue el punto de partida de Leibniz para aproximarse a los conceptos de límite y derivada?
Es distinto al de newton este parte da ideas físicas, mientras que aquel lo ase de maneras
filosóficas, tratando de buscar un lenguaje universal y quizá su mayor contribución al cálculo se a
precisa mente dicho lenguaje que aún es usado.
¿Cómo conceptualizaba e ilustraba Leibniz el problema de la tangente de la curva?
4. Leibniz no tardó en aplicar a la geometría sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus
diferencias consecutivas son procesos
inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión
de ordenadas equidistantes y1, y2, y3,?y n
Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma y1+y2+y3+ +yn es
una aproximación de la cuadratura de
la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas y i¢s da aproximadamente la pendiente de
su tangente. Además, cuanta más pequeña
sea la unidad 1 elegida, mejor será la aproximación. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente
pequeña, entonces las aproximaciones
serían exactas, la cuadratura sería igual a la suma de ordenadas y la pendiente de la tangente sería
igual a la diferencia de ordenadas. De
esta forma y por su analogía con las sucesiones numéricas, Leibniz el cálculo de tangentes
son operaciones inversas la una de la otra.
¿Cuál fue la notación utilizada por Leibniz para representar su concepto de la tangente de la
curva?
{Notación de Leibniz}
se lee «derivada de (o de) con respecto a ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada
de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a LaGrange. Para identificar
las derivadas de en el punto ha, se escribe:
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
5. para la tercera derivada,
para la enésima derivada (n > 3). (También se pueden usar números romanos).
Para la función derivada de en, se escribe. De modo parecido, para la segunda derivada de en, se
escribe, y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de, se
escribe:
Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:
Si, se puede escribir la derivada como
Las derivadas sucesivas se expresan como
o
para la enésima derivada de o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que,
por ejemplo, la tercera derivada es
la cual se puede escribir como
6. La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en
el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar
la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen cancelarse simbólicamente.
Aportaciones de Isaac Newton
NEWTON:
En 1664, descubrió los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Años más tarde,
cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibniz
era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi
simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento.
Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para
calcular el área encerrada bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran
operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló
en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a
las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega.
En 1711, publicó diversos libros relacionados al Cálculo como analysi per aequationes numero
terminorum infinitas. También, esta relación entre series y cálculo se manifiesta en Methodus
fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671), y publicado en inglés en 1736 y en latín en
1742.
El único libro en que Newton mostró su cálculo y publicó rápidamente fue Philosophiae naturalis
principia matemática (1687).
Cálculo: Máximo y Mínimo
7. La determinación de los valores máximos y mínimos de una función, es uno de los logros de la gran
potencia que tiene el Cálculo. Tomemos f(x) como una función de x. El valor de x para el cual
la derivada de f(x) con respecto a x es igual a cero, corresponden a los puntos de inflexión de la
función f(x) donde sus valores son máximo y mínimo.
Por ejemplo, la altura de un proyectil que se dispara en línea recta, está dada por las ecuaciones
del movimiento:
Abajo se muestra la gráfica de la altura y(t), tomando y0 = 0.
La derivada de una función puede ser interpretada geométricamente como la pendiente de la
curva de la función matemática y(t), representada la derivada en función de t. La derivada es
positiva cuando una función es creciente hacia un máximo, cero (horizontal) en el máximo, y
negativa justo después del máximo. La segunda derivada es la tasa de cambio de la primera
derivada y es negativa en el proceso que se acaba de describir, puesto que la primera derivada (la
pendiente), siempre es cada vez mas pequeña. La segunda derivada es siempre negativa en la
"joroba" de una función, que corresponde a un máximo de la función.
En la función simple que se ha mostrado en el ejemplo solo hay un máximo. Las funciones mas
complejas pueden tener múltiples máximos y mínimos y la segunda derivada, nos proporciona la
manera de distinguirlos.
Biografía de Isaac Newton
8. Científico inglés (Woolsthorpe, Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727). Hijo póstumo y prematuro, su
madre preparó para él un destino de granjero; pero finalmente se convenció del talento del
muchacho y le envió a la Universidad de Cambridge,en donde hubo de trabajar para pagarse los
estudios. Allí Newton no destacó especialmente, pero asimiló los conocimientos y principios
científicos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas
por Galileo, Bacon, Descartes, Kepler y otros.
Tras su graduación en 1665, Isaac Newton se orientó hacia la investigación en Física y
Matemáticas, con tal acierto que a los 29 años ya había formulado teorías que señalarían el
camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX; por entonces ya había obtenido una cátedra en su
universidad (1669).
Isaac Newton
Suele considerarse a Isaac Newton uno de los protagonistas principales de la llamada «Revolución
científica» del siglo XVII y, en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna. No obstante,
siempre fue remiso a dar publicidad a sus descubrimientos, razón por la que muchos de ellos se
conocieron con años de retraso.
Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral, que contribuiría a una
profunda renovación de las Matemáticas; también formuló el teorema del binomio (binomio de
Newton). Pero sus aportaciones esenciales se produjeron en el terreno de la Física.
9. Sus primeras investigaciones giraron en torno a la óptica: explicando la composición de la luz
blanca como mezcla de los colores del arco iris, Isaac Newton formuló una teoría sobre la
naturaleza corpuscular de la luz y diseñó en 1668 el primer telescopio de reflector, del tipo de los
que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios astronómicos; más tarde recogió su
visión de esta materia en la obra Óptica (1703).
También trabajó en otras áreas, como la termodinámica y la acústica; pero su lugar en la historia
de la ciencia se lo debe sobre todo a su refundación de la mecánica. En su obra más
importante, Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), formuló rigurosamente las tres
leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual
todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no actúa sobre él
ninguna fuerza; la segunda o principio fundamental de la dinámica, según el cual la aceleración
que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera,
que explica que por cada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de
sentido.
