Tema iv derivada de funciones matematica i uts

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
TEMA IV: DERIVADAS
HISTORIA DE LAS DERIVADAS
Los grandes creadores del Cálculo diferencial fueron el inglés Isaac Newton (1642-1727) y
el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). De manera diferente pero
independientemente estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y
generalizaron ideas y procedimientos que habían sido abordados (de diferentes maneras) y
con éxito parcial desde la Antigüedad. Antes de Newton y Leibniz fueron realizados
diversos aportes de importancia asociados al nombre de grandes personalidades, como por
ejemplo: Gilles de Roberval (1602-1675), Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes
(1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), Galileo Galilei (1564-1642), Christian
Huygens (1629--1695, amigo de Leibniz), John Wallis (1616-1703, amigo de
Newton), Bon aventura Cavalieri (1598-1647, discípulo de Galileo), Evangelista Torricelli
(1608-1647, discípulo de Galileo), Isaac Barrow (1630-1677, maestro de Newton).
Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe decirse que una de las
contribuciones previas decisivas para el trabajo de Newton y Leibniz fue la Geometría
Analítica (la expresión de puntos geométricos en coordenadas y el uso de métodos
algebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat. Debemos destacar que
cada uno trabajo en otros campos diferentes a las matemáticas. Newton es un
conocido científico que hizo grandes descubrimientos en los campos
de física y matemáticas. Por otra parte Leibniz destaco en las matemáticas y la filosofía.
Los dos son personajes destacados en la historia de las matemáticas, ahora nos centraremos
en explicar los antecedentes que condujeron al conflicto que mantuvieron por defender
la autoría de la invención y desarrollo del cálculo. Newton empezó a desarrollar su cálculo
diferencial hacia el 1665, dio un enfoque geométrico y analítico a las derivadas. Su
principal aplicación era para calcular tangentes, curvaturas y áreas.
Para Newton un fluente x era la cantidad de movimiento continuo de un punto que traza una
curva y una fluxión x_ su velocidad. El problema se basa en hallar la relación entre las
fluxiones (valores) dadas una relación de fluentes. Se trataba de un conjunto de reglas para
poder calcular máximos, mínimos y tangentes. El mismo Newton reconoció que
su interpretación era algo dificultosa y la perfecciono en trabajos posteriores.
Newton no solía publicar sus trabajos inmediatamente. De hecho su investigación sobre las
derivadas las escribió en un tratado informal, De Analysi en 1669, que compartió con sus
compañeros del Trinity College. Este manuscrito contenía una introducción al cálculo
diferencial e integral que desarrollo más tarde. No se llegó a publicar, en una obra propia
hasta después de su muerte en De Methodis Serierumet Fluxionum escrito en 1671 y
publicado en 1673. El propio Newton escribió dos cartas enunciando sus descubrimientos
para que fueran remitidas a Leibniz. Newton desarrollo y perfecciono la serie del binomio
hacia el año 1664. En particular se podía usar para exponentes que sean fracciones
o números negativos, por lo que una aplicación práctica era el cálculo de raíces cuadradas.

TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
Las cartas, que detallaban este método y citaban algunos ejemplos, las mando a la Royal
Society of London para que se encargaran de hacerlas llegar a Leibniz. Mientras tanto
Leibniz también había estado trabajando en esta materia pero de forma independiente a
Newton. Leibniz trabajaba con sumas de sucesiones para aproximar la cuadratura de una
curva, de forma que cuanto más pequeña fuera la distancia entre dos números de
la sucesión mejor apreciación seria a la curva. De esta manera también se aproxima la
tangente como la diferencia entre dos puntos. Por tanto Leibniz observa que la integración
y la derivación son operaciones inversas. Leibniz fue desarrollando su notación hasta
encontrar una que le permitiera trabajar más intuitivamente. Leibniz consideraba una
curva como infinitas porciones de recta donde dx es la diferencia infinitesimal de dos
puntos consecutivos del eje de abscisas. Por tanto R y dx es la suma
de rectángulos infinitesimales y dx, el símbolo R es la alargación de una S que significa
suma. Esta notación es la que aun usamos en la actualidad.
Si comparamos: Newton consideraba las variables en función del tiempo, en cambio
Leibniz tenía un enfoque diferente. Él pensaba que las variables tomaban secuencias de
valores infinitamente cercanos, de aquí las notaciones dx y dy (donde x, y son variables)
que representan las diferencias entre valores consecutivos de las secuencias. También
dedujo que el cociente dx/dy da la tangente. Sobre la integración, para Newton se basaba en
encontrar la relación entre lo que denomina fluxiones, es decir, las derivadas. De esta forma
implica que la integración es la operación inversa a la derivación.
Por otra parte, Leibniz usa la integral como una suma de infinitesimales, en cambio Newton
usaba velocidades finitas. Aunque ninguno de los dos usaba las funciones tal como se usan
actualmente, más bien pensaban en términos de gráficas. Sin embargo, a pesar de que el
conflicto se tenía como finalidad dar la autoría de la invención del Cálculo a uno de los dos,
y el reconocimiento que eso conlleva, la verdad es que ambos acabaron mal
parados. Ambos habían cometido errores: Newton, al no publicar formalmente sus
descubrimientos, y Leibniz, al no mencionar que había tenido contacto con el trabajo de
Newton y no compartir la autoría del descubrimiento. ¿Este conflicto se pudo haber
evitado? Según algunas hipótesis la guerra anglo-alemana que hubo nunca debería haber
comenzado, y mucho debería haberse desarrollado como se desarrolló. Aunque ambos
pusieron las bases del Cálculo de manera independiente, ni mucho menos fueron los
primeros en dar las nociones iniciales de esta rama matemática.
El precursor de estas ideas fue Pierre de Fermat. Leibniz reconocía en una carta a Wallis,
un matemático inglés, que le debía mucho a Fermat; y Newton escribió que desarrollo su
cálculo diferencial en base al método de trazar tangentes de Fermat, que
trataba exactamente los máximos y mínimos de curvas polinómicas. Actualmente, toda la
comunidad científica reconoce a ambos como los descubridores del cálculo, y se sigue
utilizando la notación de ambos, con diferencias entre matemáticas y física.
En física, se utiliza la notación de Newton para la diferenciación, la cual consiste en un
punto sobre el nombre de la función, y que Newton denomino fluxión. Es muy utilizada
para la derivada respecto del tiempo. En la notación de Leibniz se representa la operación
de diferenciar mediante el operador d/dx.

Esta notación permite recordar intuitivamente varios conceptos del cálculo como la regla de
la cadena, o el de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales.
La notación de Leibniz resulta muy útil cuando se trabaja con derivadas parciales de
funciones multivariables y sus operadores derivados, ya que indica que variable de la
función es independiente en cada momento.
INCREMENTOS
f(a+h)
f(a)
a a+h
Incremento de la variable independiente: x = (a + h ) – a = h
Incremento de la variable dependiente: y = f(a+h) – f(a)
Cociente incremental (o tasa o razón) media de variación, en el intervalo [a, a+h] es:
h
f(a)h)f(a
Δx
Δy 

Ejemplos: Hallar el incremento y el cociente incremental de las siguientes funciones:
1º) f(x) = 432
 xx
El incremento en a es y = f(a+h) – f(a) = )4343 22
 a(ah)(ah)(a
Operando y = (2a + 3 +h) h
El cociente incremental es ha
h
h)ha(
Δx
Δy


 32
32

2º) f(x) = x
e3
y = f(a+h) – f(a) = )(eee·eeee haahaah)(a
13333333

El cociente incremental es
h
)(ee
Δx
Δy ha
133


3º) f(x) = sen(x)
y = f(a+h) – f(a) = sen(a+h) – sen(a) = 2cos 




 
2
aha
sen 




 
2
aha
y = 2cos 






2
h
a sen 





2
h
El cociente incremental es
h
h
sen
h
a
Δx
Δy














22
cos2
DERIVADA
Dada una función f : D  R, y un punto de abscisa a  Int(D), se considera el límite del
cociente incremental cuando el incremento h  0, si ese límite existe y es finito diremos
que las función es derivable en a y al resultado de ese límite le llamaremos derivada de y =
f(x) en ese punto.
DEFINICIÓN 1: f : D  R es derivable en a  Int(D)  R
h
f(a)h)f(a
h


0
lim
f(a+h)
f(a)
a a+h

DEFINICIÓN 2: Si f : D  R es derivable en a  Int(D), se define derivada de f en a al límite:
h
f(a)h)f(a
(a)f
oh



lim
EJEMPLOS: Consideremos las mismas funciones de los ejemplos de incrementos; ahora
calculemos sus derivadas:
1º)   432
 xxxf
Habíamos llegado a que: ha
h
hha
x
y





32
)32(
Si ahora calculamos el límite cuando 0h tenemos lo siguiente:
  3232limlim
00



aha
h
f(a)h)f(a
hh
Entonces podemos afirmar que f es derivable en cualquier a  R, y que la derivada es
.32  a(a)f
2º)   x
= exf 3
Teníamos que:
h
)(ee
Δx
Δy ha
133


De donde: a
a
h
ha
hh
·e
h
h·e
h
)(ee
h
f(a)h)f(a 3
3
0
33
00
3
3
lim
1
limlim 




Se concluye que f es derivable y su derivada es a
·e(a)f 3
3
3º)    x= senxf
El cociente incremental es:
h
h
sen
h
a
Δx
Δy














22
cos2

Entonces: (a)
h
a
h
h
·
h
a
h
h
sen
h
a
hhh
cos
2
coslim
22
cos2
lim
22
cos2
lim
000





























Luego: f es derivable y (a)(a)f cos
CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVABLE (PUNTOS SINGULARES)
a) CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVABLE.
TEOREMA: Toda función derivable en un punto es continua en ese punto.
Hipótesis) f : D  R es derivable en a
Tésis) f : D  R es continua en a
DEMOSTRACIÓN:
              
 
 afaf·h
h
afhaf
afafhafhaf
hhh
1
000
limlimlim 



En el paso (1) se utilizó que f es derivable en a: El límite del cociente incremental es finito,
y está multiplicado por h que tiende a 0, entonces el producto tiene límite 0. a es interior de
D porque f es derivable en a y    afxf
ax


lim y entonces f es continua en a. #
EJEMPLO: Dada la función  







1
11
2
1
1
xsiba·xx
xsi·exf(x)
x
Determinar a y b para que f sea derivable en x = 1.
Por el teorema previo, ser derivable implica ser continua:
  f(x)+ a + b=f
x 
1
lim=11
 01 =a + b +
  01lim 1
1
1
 
 
x
x
·ex
Y por definición, tenemos:

          a
h
hah
h
babhah
h
fhf
hhh








2
2
lim
111
lim
11
lim
2
0
2
00
Y demás:
0lim
0
lim
11
lim
1
0
1
00






h
h
h
hh
e
h
h·e
h
)f(h)f(
Para que exista la derivada: 202  a =+a= y de .1101 b=ab ==a +b+ 
b) DERIVADAS LATERALES
I. f : D  R, es derivable a la izquierda de a
   > 0 / ( a - , a ]  D y R)(af
h
f(a)h)f(a
h

 
 
0
lim
A ese límite le llamaremos derivada lateral a la izquierda de a.
II. f : D  R, es derivable a la derecha de a
  > 0 / [ a, a +  )  D y R)(af
h
f(a)h)f(a
h

 
 
0
lim
A ese límite le llamaremos derivada lateral a la derecha de a.
EJEMPLO:  








00
0
1
1
xsi
xsi
e
x
xf x
y = f(x) es continua en 0 ya que:  .00
1
lim 10
f
e
x
xx


,
Pero no es derivable en 0, ya que no existen las derivadas laterales en 
0
   
0
1
1
lim1lim
0
lim0 1
0
1
00




 


hh
h
hh
eh
e
h
h
fhf
f
Análogamente   1
1
1
lim0 1
0


 


hh
e
f

Geométricamente esto significa que por la derecha de 0 la tangente al gráfico de f es el
eje OX y por la izquierda de 0 la tangente es la recta y = x.
EJEMPLOS:
1º) Sea f : R  R definida por   .|x| xf Cuya gráfica es:
A simple vista se observa que presenta un punto anguloso es x = 0, lo que se confirma
formalmente calculando las derivadas laterales:
     
      1lim
0
lim0
1lim
0
lim0
00
00












h
|h|
h
fhf
f
h
|h|
h
fhf
f
hh
hh
2º) Más general que el ejemplo precedente, si f(x) es una función derivable, en los
puntos donde cambie de signo, la función g(x) = | f(x) | presentará puntos angulosos. Por
ejemplo: se considera la parábola 42
 xf(x) con valor absoluto ||xg(x) 42


- 2 2
-2 2
y = f(x) es una función derivable en R y cambia de signo en 2x  , además:
  xxf 2    42 f de donde se deduce que     .4242  
gg
3º) Hallar los puntos angulosos de la función f : R  R /  











2
4
1
201
0
2
xsix
xsi
xsie
xf
x
1
0 2
En x = 0:         001
1
lim
0
lim0
00




 



f
h
e
h
fhf
f
h
hh
En x = 2:          
1
12
4
1
lim
22
lim202
2
00




 


h
h
h
fhf
ff
hh

FUNCIÓN DERIVADA
Desde otro enfoque, ahora veremos la derivada como una función.
Si f : D  R es una función derivable en un conjunto de puntos D’  D, definimos la
función:
f  : D’  R /      
h
xfhxf
xf
h


0
lim
Que llamaremos función derivada de y = f(x). Además, se puede definir así:
f  : D’  R /      
12
12
12
lim
xx
xfxf
xf
xx 



EJERCICIO: Realice el cambio para llegar a esta nueva definición equivalente.
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:
1°) f(x) = K (función constante)
      0limlim
00





 h
KK
h
xfhxf
xf
hh
2°) f(x) = x (función identidad)
      11limlimlimlim
0000





 hhhh h
h
h
xhx
h
xfhxf
xf
2°) f(x) = x2
(función cuadrática)
       
xxhx
h
h
h
xh
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhhh
hhhh
202lim2limlim
2
lim
2
lim
2
limlimlim
00
2
00
2
0
222
0
22
00












TABLA DE DERIVADAS
FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA
1
y = k y ´ = 0
19 y =
v
u
y ´ = 2
v
'v·uv'·u 
2
y = x y ´ = 1
20
y = u y ´ =
u·2
'u
3
y = n
x y ´ = 1n
x·n  21
y = 3 u y ´ =
3 2
u·3
'u
4
y = x
e y ´ = x
e
22
y = n u y ´ =
n 1n
u·n
'u

5
y = x
a y ´ = )a(L·ax 23
y = v
u y ´ = 'u·u·v'v)·u(L·u 1vv 

6
y = L(x) y ´ =
x
1 24 y = 





v
u
L y ´ =
v·u
'v·uv'·u 
7 y = )x(logb y ´ =
)b(L·x
1 25
y = v
e·u y ´ =   v
e·'v·u'u 
8
y = sen(x) y ´ = cos(x)
26
y = )x(f 1 y ´ =
)x('f
1
9
y = cos(x) y ´ = - sen(x)
27
y = Arc sen(x) y ´ =
2
x1
1

10
y = tg(x)
y ´ = )x(tg1 2
 =
)x(cos
1
2
=
)x(sec2
28
y = Arc cos(x) y ´ =
2
x1
1


11
y = cotg(x) y ´ = ))x(gcot1( 2
 =
)x(sen
1
2
 29
y = Arc tg(x) y ´ = 2
x1
1

12
y = f(g(x)) y ´ = f ´ (g(x))·g ´ (x)
30
y = Arc cotg(x) y ´ = 2
x1
1


13
y = n
))x(g( y ´ = )('·))(·( 1
xgxgn n 31
y = sh(x) y ´ = ch(x)
14
y = )x(g
e y ´ = g ‘(x)· )x(g
e
32
y = ch(x) y ´ = sh(x)
15
y = L(g(x)) y ´ = )x('g·
)x(g
1
)x(g
)x('g
 33
y = th(x) y ´ =
)x(ch
1
)x(th1 2
2

16
y = k·u y ´ = k·u ´
34
y = Arg sh(x) y ´ =
1x
1
2


17
y = u + v y ´= u´.v + u.v ´
35
y = Arg ch(x) y ´=
1x
1
2

18
y = u·v y ‘ = u‘· v + u · v ‘
36
y = Arg th(x) y ´ = 2
x1
1

ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS
a) PROPIEDAD HOMOGÉNEA:    xuaxf      xuaxf 
DEMOSTRACIÓN:
                xua
h
xuhxu
a
h
xuhxua
h
xuahxua
xf
hhh







 000
limlimlim
b) PROPIEDAD ADITIVA (O TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA SUMA):
f(x) =u(x)+v(x)       xvxuxf 
DEMOSTRACIÓN:
                   




 h
xvhxvxuhxu
h
xvxuhxvhxu
(x)f
hh 00
limlim
           xvxu
h
xvhxv
h
xuhxu
h





 



0
lim #
c) LINEALIDAD (O PROPIEDAD LINEAL):
     xvbxuaxf        xvbxuaxf 
DEMOSTRACIÓN:
                xvbxuaxvbxuaxvbxuaxf
)()(







21
En el paso (1) se utilizó la propiedad aditiva y en el (2) la propiedad homogénea.
d) DERIVADA DEL PRODUCTO:
)()()( xvxuxf            xvxuxvxuxf 

DEMOSTRACIÓN:
         
                  






h
xvxuhxvxuhxvxuhxvhxu
xf
h
xvxuhxvhxu
xf
h
h
0
0
lim
lim
               
             
h
xvhxv
xuhxv
h
xuhxu
xf
h
xvhxvxuhxvxuhxu
xf
hh
h








00
0
limlim
lim
         xvxuxvxuxf  #
e) DERIVADA DEL COCIENTE:    
 xv
xu
xf            
 2
xv
xvxuxvxu
xf


DEMOSTRACIÓN: Ejercicio.
EJERCICIOS:
1. Hallar las derivadas de las funciones:
a)      xsenxxxf 3cos23

b)   4232 23
 xxxxf
c)     0,62263 32
 
xxexsenxxf x
d)    xsenxxf 3

e)      xxsenxf cos2
f)      xsenxxxxf 23
cos 
g)      xx
x
xxf cos
1
ln 2

h)       Zn
n
xxtgxf 

 ,
2
12
,

i)  
365
13
23
2



xx
xx
xf

j)    
 xx
xsenx
xf
cos


k)     Znnxxctgxf  ,, 
l)    xxf 2cos
2. Hallar la derivada por definición de:
a)   3
xxf  b)   xxf  c)   xxxf 23

3. Consideremos la función
 
1)(
8,8:


xxfx
Rf

calculemos los limites laterales
en .1x ¿Es derivable la función?
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
g g(a) f
a f(g(a))
f o g
Si suponemos que g es derivable en a y f es derivable en g(a), entonces f o g es derivable en
a y se verifica:   )())(()( agagfagf 


TEOREMA (REGLA DE LA CADENA): Si g es derivable en a y f es derivable en g(a),
entonces f  g es derivable en a y         aga·gfagf 


DEMOSTRACIÓN:
                





 h
agfhagf
h
agfhagf
agf
hh 00
limlim


     
   
              
h
aghag
·
k
agfkagf
h
aghag
·
aghag
agfhagf
hkh






 00
1
0
limlimlim
    agagf 

En el paso (1) se definió k = g(a+h) – g(a)  g(a+h) = g(a) + k además como g es
derivable en a, también es continua en a  k  0. También es necesario suponer que g es
inyectiva en un entorno de a y así se cumple que k = g(a+h) – g(a)  0 0h 
EJEMPLO: Hallar la derivada de la función     xxf cosln .
Solución: Notemos que es una composición de dos funciones     xhgxf  con la función
interna    xxh cos y la función g dada por    .ln xxg 
Como la función h es derivable (Con    xsenxh  ), entonces podemos aplicar la regla
de la cadena y se cumple que:       .xhxhgxf 
Así,
        
 
    
 
 xtg
x
xsen
xsen
x
xxxf 


coscos
1
coscosln
EJERCICIO: Hallar la derivada de la función    2
xsen
exf  .
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede
suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la
primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo
modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así
sucesivamente hasta la enésima derivada. En general, si ,Nn entonces  n
f denota la
enésima derivada de la función f .  n
f se calcula derivando a f, sucesivamente n veces.
NOTACIONES:
       
   
 
   niv
n
n
x
n
xxxx
niv
yyyyy
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
dy
yDyDyDyDyD
xfxfxfxfxf
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
4
4
3
3
2
2
432







EJEMPLOS: Obtenga la primera y la segunda derivada de la función   .2 35
xxxxf 
SOLUCIÓN: Justifica lo siguiente:
          165132522 24243535








 xxxxxxxxxxxf
          xxxxxxxxxf 1222002645165165 3132424









EJERCICIOS: Obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.
1.   xxxxf 52

2.    2
cos4 xxf 
3.    xxf 2
cos4
4.      xtgxxf 22sec 
5. Obtenga 





12
3
4
4
xdx
d
DERIVADA IMPLICITA
Sea una función 2x4x3y 3
 donde y es función de x. Esta ecuación se puede escribir
como yx4x32 3
 e incluso como 4y2x8x6 3
 . En este caso se puede decir
que y es una función implícita de x ya que está definida mediante una ecuación en donde y,
la variable dependiente, no es dada de manera directa.
EJEMPLO 1: La función   0x4xf3 2
 está escrita de manera implícita para x, variable
independiente, y f(x), variable dependiente. Escribir la ecuación de manera no implícita.
 
3
x4
xf
2

Muchas veces, al tener una ecuación escrita de manera implícita, ésta puede representar una
o más funciones.
EJEMPLO 2: Sea 6
3

y
xy
, escribir la ecuación de manera no implícita y determinar la
o las funciones que describe.

0x3y18y
y18x3y
6
y3
x3y
2
2
2




Para poder despejar y como función de x, habría que resolver la fórmula general.
      
 













2
x1232418
2
x1232418
2
x1232418
y
12
x3141818
y
2
Este resultado implica que tenemos dos funciones de x descritas por la misma ecuación.
En muchos casos, no es sencillo o práctico el despejar y para encontrar la o las funciones
dadas, por lo tanto, y dado que las funciones existan y sean derivables, se puede resolver la
derivada sin necesidad de tener la función expresada en su forma clásica.
EJEMPLO 3: Sea la función 1x37xy2y3
 , hallar la derivada
dx
dy
.
En éste ejemplo, se utilizará la notación
dx
dy
y ´ para simplificar el manejo de la ecuación,
así como acostumbrar al lector a diferentes formas de escritura.
Se busca la derivada de la expresión 1x37xy2y3
 .
De la regla de la cadena, se sabe que   
dx
du
dx
df
xuf
dx
d
 , lo cual puede expresarse para
potencias como  
dx
du
uxu
dx
d nn 1
 .
Por lo tanto,   ´3´ 233
yyyy
dx
d
 .
En cuanto al segundo término, éste cuenta con un producto de dos funciones, por tanto:
    ´22´2´2´2 xyyxyxyxy  .
Así, nos queda que:

 
x2y3
y23
ý
y23x2y3ý
y23´xy2ýy3
3´xy2y2ýy3
2
2
2
2






EJEMPLO 4: Encontrar la derivada de y suponiendo que la ecuación
  x3x53y2 332
 describe una función derivable y que y=f(x).
 
   
 
 22
2
222
222
332
3y2y12
3x15
ý
3x153y2ýy12
3x15ýy43y23
x3x53y2






OBSERVACIÓN:
 Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en
lugar de la habitual.
 Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la
variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable
dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable
independiente: Dada una función  yxF , , implícita, si queremos calcular la derivada de
y respecto de x:  .xf
dx
dy

EJERCICIOS:
1. Obtener la derivada de: .12356 22232
yxxyyx 
2. Dada ,122
 yx demuestre que .
1
32
2
ydx
yd

SERIES DE TAYLOR Y DE MCLAURIN
Sea la fórmula de McLaurin:
           xR+x
n!
0f
+...+
2!
x0f
+x0f+0f=xf 1+n
n
(n)2



Siendo  
  x
!1+n
(z)f
=xR
1+n
1)+(n
1+n con 0 < z < x.
Es decir
   xR+x
n!
0f
=xf 1+n
n
(n)n
0
 .
Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión:
        ...+x
n!
0f
....++x
2!
0f
+x0f+0f=x
n!
(0)f n
(n)
2n
(n)
0



Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de
McLaurin y para ello deberá cumplirse que:
1) Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y
2) 0=(x)Rn
lím 1+n

.
EJEMPLO: Sea   ,x
exf  hallar la serie de MacLaurin.
SOLUCIÓN: Tenemos que:
   
   
   
 
   
  ,10,
,10,
,10,
,10,
0
0
0
0




efexf
efexf
efexf
efexf
nxn
x
x
x

Así.
x
2 3 n z n+1
e = 1+x+
x
2!
+
x
3!
+...+
x
n!
+
e x
(n+1)!
Veremos si 0=(x)Rn
lím 1+n

.
En efecto:
0=.0e=
1)!+(n
x
n
líme=
1)!+(n
xe
n
lím z
1+n
z
1+nz


Y así
0=
1)!+(n
x
n
lím
1+n

.
Veamos las aproximaciones gráficamente:
EJERCICIO: Desarrollar en serie de potencias:
a)    xsenxf 
b)    xxf cos
OBSERVACIÓN: Si f es par, entonces f(−x)=f(x) para todo x∈I. Derivando y usando la
regla de la cadena, f′(−x)(−1)=f′(x). Es decir, f′(−x)=−f′(x) para todo x∈I lo cual implica
que f′ es impar. Si f es impar, entonces f(−x)=−f(x) para todo x∈I. Derivando y usando la
regla de la cadena, f′(−x)(−1)=−f′(x). Es decir, f′(−x)=f′(x) para todo x∈I lo cual implica
que f′ es par. Lo anterior implica que si f es par, son impares las funciones
derivadas f(2n+1)
con lo cual f(2n+1)
(0)=0 y la serie de Maclaurin de f no hace intervenir más
que términos pares. Si f es impar, son impares las funciones derivadas f(2n)
con lo
cual f(2n)(
0)=0 y la serie de Maclaurin de f no hace intervenir más que términos impares.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.
 Orellana, M. y Marqués, L. (1998). Funciones y representaciones gráficas.
Matemática I (175-176-177). Estudios generales. Módulo II. UNA Caracas,
Venezuela.
 Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
 Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
"Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes"
Sir. Isaac Newton

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