Tema i derivada y aplicaciones matematica i uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
TEMA I: DERIVADAS DE FUNCIONES
HISTORIA DE LAS DERIVADAS
Newton
(1642-1727)
Los grandes creadores del Cálculo Diferencial fueron
el inglés Isaac Newton y el alemán Gottfried Wilhelm
Leibniz. De manera diferente e independientemente
estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII
sistematizaron y generalizaron ideas y procedimientos
que habían sido abordados de diferentes maneras y con
éxito parcial desde la Antigüedad.
Leibniz
(1646-1716)
Antes de Newton y Leibniz fueron realizados diversos aportes de importancia
asociados al nombre de grandes personalidades, como por ejemplo: Gilles de Roberval
(1602-1675), Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat
(1601-1665), Galileo Galilei (1564-1642), Christian Huygens (1629--1695, amigo de
Leibniz), John Wallis (1616-1703, amigo de Newton), Bon aventura Cavalieri (1598-1647,
discípulo de Galileo), Evangelista Torricelli (1608-1647, discípulo de Galileo), Isaac
Barrow (1630-1677, maestro de Newton).
Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe decirse que una de las
contribuciones previas decisivas para el trabajo de Newton y Leibniz fue la Geometría
Analítica (la expresión de puntos geométricos en coordenadas y el uso de métodos
algebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat. Debemos destacar que
cada uno trabajo en otros campos diferentes a las Matemáticas. Newton es un
conocido científico que hizo grandes descubrimientos en los campos de Física y
Matemáticas. Por otra parte Leibniz destaco en las Matemáticas y la Filosofía.
Los dos son personajes destacados en la historia de las Matemáticas, ahora
nos centraremos en explicar los antecedentes que condujeron al conflicto que mantuvieron
por defender la autoría de la invención y desarrollo del Cálculo. Newton empezó a
desarrollar su Cálculo Diferencial hacia el 1665, dio un enfoque geométrico y analítico a
las derivadas. Su principal aplicación era para calcular tangentes, curvaturas y áreas.
Para Newton un fluente x era la cantidad de movimiento continuo de un punto que
traza una curva y una fluxión x su velocidad. El problema se basa en hallar la relación
entre las fluxiones (valores) dadas una relación de fluentes. Se trataba de un conjunto de
reglas para poder calcular máximos, mínimos y tangentes. El mismo Newton reconoció
que su interpretación era algo dificultosa y la perfecciono en trabajos posteriores.
Newton no solía publicar sus trabajos inmediatamente. De hecho su investigación
sobre las derivadas las escribió en un tratado informal, De Analysi en 1669, que compartió
con sus compañeros del Trinity College. Este manuscrito contenía una introducción al
Cálculo Diferencial e Integral que desarrollo más tarde. No se llegó a publicar, en una
obra propia hasta después de su muerte en De Methodis Serierumet Fluxionum escrito en
1671 y publicado en 1673. El propio Newton escribió dos cartas enunciando sus
descubrimientos para que fueran remitidas a Leibniz. Newton desarrollo y perfecciono la
serie del binomio hacia el año 1664. En particular se podía usar para exponentes que sean
fracciones o números negativos, por lo que una aplicación práctica era el cálculo
de raíces cuadradas.

TEMA I: DERIVADA DE FUNCIONES
Las cartas, que detallaban este método y citaban algunos ejemplos, las mando a la
Royal Society of London para que se encargaran de hacerlas llegar a Leibniz. Mientras
tanto Leibniz también había estado trabajando en esta materia pero de forma independiente
a Newton. Leibniz trabajaba con sumas de sucesiones para aproximar la cuadratura de una
curva, de forma que cuanto más pequeña fuera la distancia entre dos números de
la sucesión mejor apreciación seria a la curva. De esta manera también se aproxima la
tangente como la diferencia entre dos puntos. Por tanto Leibniz observa que la integración
y la derivación son operaciones inversas. Leibniz fue desarrollando su notación hasta
encontrar una que le permitiera trabajar más intuitivamente. Leibniz consideraba una
curva como infinitas porciones de recta donde dx es la diferencia infinitesimal de dos
puntos consecutivos del eje de abscisas. Por tanto R y dx es la suma de rectángulos
infinitesimales y ,dx el símbolo R es la alargación de una S que significa suma.
Esta notación es la que aun usamos en la actualidad como son
dx
dy
y además .
Si comparamos: Newton consideraba las variables en función del tiempo, en cambio
Leibniz tenía un enfoque diferente. Él pensaba que las variables tomaban secuencias de
valores infinitamente cercanos, de aquí las notaciones dx y dy (donde yx, son variables)
que representan las diferencias entre valores consecutivos de las secuencias. También
dedujo que el cociente
dx
dy
da la tangente. Sobre la integración, para Newton se basaba en
encontrar la relación entre lo que denomina fluxiones, es decir, las derivadas. De esta forma
implica que la integración es la operación inversa a la derivación.
Por otra parte, Leibniz usa la integral como una suma de infinitesimales, en cambio
Newton usaba velocidades finitas. Aunque ninguno de los dos usaba las funciones tal como
se usan actualmente, más bien pensaban en términos de gráficas. Sin embargo, a pesar de
que el conflicto se tenía como finalidad dar la autoría de la invención del Cálculo a uno de
los dos, y el reconocimiento que eso conlleva, la verdad es que ambos acabaron mal
parados. Ambos habían cometido errores: Newton, al no publicar formalmente sus
descubrimientos, y Leibniz, al no mencionar que había tenido contacto con el trabajo de
Newton y no compartir la autoría del descubrimiento. ¿Este conflicto se pudo haber
evitado? Según algunas hipótesis la guerra anglo-alemana que hubo nunca debería haber
comenzado, y mucho debería haberse desarrollado como se desarrolló. Aunque ambos
pusieron las bases del Cálculo de manera independiente, ni mucho menos fueron los
primeros en dar las nociones iniciales de esta rama matemática.
El precursor de estas ideas fue Pierre de Fermat. Leibniz reconocía en una carta a
Wallis, un matemático inglés, que le debía mucho a Fermat; y Newton escribió que
desarrollo su cálculo diferencial en base al método de trazar tangentes de Fermat, que
trataba exactamente los máximos y mínimos de curvas polinómicas. Actualmente, toda la
comunidad científica reconoce a ambos como los descubridores del cálculo, y se sigue
utilizando la notación de ambos, con diferencias entre matemáticas y física. En física, se
utiliza la notación de Newton para la diferenciación, la cual consiste en un punto sobre el
nombre de la función, y que Newton denomino fluxión. Es muy utilizada para la derivada
respecto del tiempo. En la notación de Leibniz se representa la operación de
diferenciar mediante el operador
dx
d
.

Esta notación permite recordar intuitivamente varios conceptos del cálculo como la
regla de la cadena, o el de separación de variables en la resolución de ecuaciones
diferenciales. La notación de Leibniz resulta muy útil cuando se trabaja con
derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados, ya que indica
que variable de la función es independiente en cada momento.
INCREMENTOS
Sea la función:
De donde:
 Incremento de la variable independiente:   - a = ha + hx Δ
 Incremento de la variable dependiente:    a-fa+hfy Δ
 Cociente incremental (o tasa, razón o media de variación), en el intervalo  haa , es:
   
h
afhaf
x
y 

Δ
Δ
Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de
agosto de 1601; Castres, Francia, 12 de enero de 1665) fue
un jurista y matemático francés apodado por el historiador
de matemáticas escocés, Eric Temple Bell, con el remoquete
de «príncipe de los aficionados».
Propuso que si una cantidad varia en xΔ obligatoriamente
cambiaría la misma cantidad en .Δy
:Δ Letra griega delta.

EJEMPLOS: Hallar el incremento y el cociente incremental de las siguientes
funciones:
1)   52 x=xf
El incremento de la variable dependiente en :ax 
       5252Δ  ahaa-fa+hfy
Operando:
hahay 252522Δ 
El cociente incremental es: 2
2
Δ
Δ

h
h
x
y
La cual es la pendiente de la recta y es una interpretación que daremos más adelante,
además al ser positivo el cociente incremental la función es creciente.
EJERCICIO: Hallar el incremento y el cociente incremental de   65  x=xf y
hacer conclusiones.
2)   432
 x=xxf
         4343Δ 22
 aahahaa-fa+hfy
Operando:
 hhahhahaahahahay 3232434332Δ 2222


El cociente incremental es:
  ha
h
hha
x
y


 32
32
Δ
Δ
3)   x
=exf 3
     
 1= 3333333333
  haahaahaaha
eeeeeeeeea-fa+hfy
Usando propiedades de potencia.
El cociente incremental es
 
h
ee
x
y ha
1
Δ
Δ 33


4)    x= senxf
       



































 






 





 

22
cos2
222
2
cos2
22
2
cos2=
22
cos2=
h
sen
h
a
h
sen
hah
sen
ha
y
aha
sen
aha
asenhasena-fa+hfy
Usando Identidades Trigonométricas.
h
h
sen
h
a
x
y














22
cos2
Δ
Δ

DERIVADA
Dada una función R,Df : y un punto de abscisa  ,DInta se considera el
límite del cociente incremental cuando el incremento ,h 0 si ese límite existe y es finito
diremos que las función es derivable en a y al resultado de ese límite le llamaremos
derivada de  xy = f en ese punto.
DEFINICIÓN 1: RDf : es derivable en  DInta 
    R
h
afhaf
h


0
lim
DEFINICIÓN 2: Si RDf : es derivable en  ,DInta se define derivada de f en a
al límite:
   
h
afhaf
(a)f
h


0
lim
EJEMPLOS: Consideremos las mismas funciones de los ejemplos de incrementos; ahora
calculemos sus derivadas:
1)   52 x=xf
Habíamos llegado a que el cociente incremental es:
2
2
Δ
Δ

h
h
x
y
Si ahora calculamos el límite cuando 0h tenemos lo siguiente:
        22limlim
00



 hh h
afhaf
af (El límite de una constante es la constante)
Entonces podemos afirmar que f es derivable en cualquier ,Ra y que la derivada
es   .2 af

2)   432
 x=xxf
Habíamos llegado a que el cociente incremental es:
  ha
h
hha
x
y


 32
32
Δ
Δ
       ha
h
afhaf
af
hh




32limlim
00
Aplicando el límite de las sumas que es la suma de límites y el límite de una
constante es la constante:
        32032lim3lim2lim
000


aahaaf
hhh
Entonces podemos afirmar que f es derivable en cualquier ,Ra y que la derivada
es   .32  aaf
3)   x
= exf 3
Teníamos que el cociente incremental es:
 
h
ee
x
y ha
1
Δ
Δ 33


       





 



 h
ee
h
afhaf
af
ha
hh
1
limlim
33
00

Como a
e3
es constante entonces:
h
e
e
h
h
a 1
lim
3
0
3 


Ahora, haciendo el cambio de variable ,3hu  tenemos que:
3
1
lim
0
3
u
e
e
u
u
a 


Pues:
3
u
h  y además  .00030  uuh Luego:
  aa
x
u
a
u
u
a
ee
u
e
e
u
e
e 33
0
3
0
3
313
1
lim3
1
lim3 






 


Ya que
x
ex
x
1
lim
0


y se concluye que f es derivable y su derivada es   .3 3a
eaf 
4)    x= senxf
h
h
sen
h
a
x
y














22
cos2
Δ
Δ
Entonces:
 
 
h
h
sen
a
h
h
·sena
h
h
sen
h
a
hhh




























2
limcos2
2
cos2
lim
22
cos2
lim
000

Ahora, haciendo el cambio de variable ,
2
h
u  tenemos que:
   
u
usen
a
u 2
limcos2
0

Pues: uh 2 y además  .00
2
0
0  uuh Luego:
         .cos1coslim
2
1
cos2
0
aa
u
usen
a
u


Entonces podemos afirmar que f es derivable y   .3 3a
eaf     .cos aaf 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente
imposible encontrar propiedades generales para todas. En las funciones continuas todavía
se plantean muchos problemas como puede ser la determinación de la recta tangente en un
punto de la gráfica. Con la definición intuitiva de que la tangente es la recta que toca a la
curva sólo en ese punto la recta de la primera figura no sería tangente, mientras que en las
otras figuras habría varias tangentes (alguna bastante extraña) en un mismo punto.
Lo cierto es que esa definición intuitiva sólo es válida para la circunferencia y curvas
similares: cerradas y convexas (“sin baches”). Para el caso general hace falta una nueva
definición que sea válida siempre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que
ésta pueda aplicarse. Y esa definición es la siguiente:
“La recta tangente a una curva en un punto   afaP , es la posición límite hacia la
que tienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto Q de la curva,
cuando el segundo punto Q se acerca a P ”.

Para poder hallar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas
  ,, afaP si la escribimos en forma punto-pendiente:
   axmafy 
Necesitamos saber el valor de la pendiente m . Para ello, si tenemos en cuenta que la
recta tangente es la posición límite de las secantes, entonces su pendiente será el límite de
las pendientes de las secantes, con lo que:
Cuando esa situación la llevemos al límite, es decir, cuando acerquemos Q hacia Q
tendremos:
     af
h
afhaf
αtgm
h



 0
lim
Por tanto, la derivada de una función  xf en un punto “a ” puede interpretarse
geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el
punto   ., afa

CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVABLE
TEOREMA: Toda función derivable en un punto es continua en ese punto.
DEMOSTRACIÓN:
Hipótesis: RDf : es derivable en .a
Tesis: RDf : es continua en .a
Luego:
              
 
 afaf·h
h
afhaf
afafhafhaf
hhh
1
000
limlimlim 



En el paso (1) se utilizó que f es derivable en :a El límite del cociente incremental
es finito, y está multiplicado por h que tiende a 0, entonces el producto tiene límite 0. a es
interior de D porque f es derivable en a y    afxf
ax


lim y entonces f es continua en
.a #
EJEMPLO: Dada la función:
   







1si
1si1.
2
1
1
xba·xx
x·exxf
x
Determinar a y b para que f sea derivable en .1x
SOLUCIÓN: Por el teorema previo, ser derivable implica ser continua:
   
 
01
01lim
11lim
1
1
1
1
=a + b +
·ex
f+ a + bxf
x
x
x















Y por definición, tenemos:

       
       aah
h
hah
h
hah
h
ahhh
h
babahahh
h
babhah
h
fhf
hhh
hh
hh

















22lim
2
lim
2
lim
2
lim
121
lim
111
lim
11
lim
00
2
0
2
0
2
0
2
00
Y demás:
    0lim
0
lim
11
lim
1
0
1
00






h
h
h
hh
e
h
h·e
h
fhf
Para que exista la derivada:
202  a =+a=
Y de
  .11212101 b=b =b =ab ==a +b+ 
DERIVADAS LATERALES
I. RDf : es derivable a la izquierda de   Daaa  ,/0 y
      Raf
h
afhaf
h

 
 
0
lim
A ese límite le llamaremos derivada lateral a la izquierda de .a
II. RDf : es derivable a la derecha de   Daaa  ,/0 y
      Raf
h
afhaf
h

 
 
0
lim
A ese límite le llamaremos derivada lateral a la derecha de .a

EJEMPLO: La función  








00
0
1
1
xsi
xsi
e
x
xf x es continua en 0 ya que:
 .00
1
lim 10
f
e
x
xx


Pero no es derivable en 0, ya que no existen las derivadas laterales
en 
0 , la derivada por la derecha es:
      0
1
1
lim1lim
0
lim0 1
0
1
00




 


hh
h
hh
eh
e
h
h
fhf
f
Análogamente la derivada por la izquierda es   1
1
1
lim0 1
0


 


hh
e
f
Geométricamente esto significa que por la derecha de 0 la tangente al gráfico de f es
el eje OX y por la izquierda de 0 la tangente es la recta y=x.
EJEMPLOS:
1) Sea RRf : definida por   .xxf  Cuya gráfica es:
A simple vista se observa que presenta un punto anguloso es ,x = 0 lo que se
confirma formalmente calculando las derivadas laterales:

     
      1lim
0
lim0
1lim
0
lim0
00
00












h
|h|
h
fhf
f
h
|h|
h
fhf
f
hh
hh
2) Más general que el ejemplo precedente, si  xf es una función derivable, en los
puntos donde cambie de signo, la función    xf=xg presentará puntos angulosos. Por
ejemplo: Se considera la parábola   42
 xxf con valor absoluto   :42
 xxg
 xfy  es una función derivable en R y cambia de signo en 2,x además:
  xxf 2    42 f de donde se deduce que     .4242  
gg
3) Hallar los puntos angulosos de la función RRf : tal que:
 











2si,
4
20si,1
0si,
2
x
x
x
xe
xf
x
Gráficamente tenemos que:

Luego:
En x = 0:         001
1
lim
0
lim0
00




 



f
h
e
h
fhf
f
h
hh
En x = 2:
 
       
 
 
  1101lim
4
1
lim1
4
1
lim
1
4
1
lim2
4
1
4
1
lim
11
4
1
lim
144
4
1
lim2
12
4
1
lim
22
lim2
12
0000
22
0
2
0
2
0
2
00






































hhhh
hhh
hh
hh
h
hh
f
h
hh
h
hh
h
hh
h
hh
f
h
h
h
fhf
f
f
FUNCIÓN DERIVADA
Desde otro enfoque, ahora veremos la derivada como una función.
Si RDf : es una función derivable en un conjunto de puntos ,DD 
definimos la función:
RDf  : /      
h
xfhxf
xf
h


0
lim
Que llamaremos función derivada de  .xfy  Además, se puede definir así:
RDf  : /      
12
12
12
lim
xx
xfxf
xf
xx 



EJERCICIO: Realice el cambio para llegar a esta nueva definición equivalente.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
1)   Kxf  (FUNCIÓN CONSTANTE)
      0limlim
00





 h
KK
h
xfhxf
xf
hh
2)   xxf  (FUNCIÓN IDENTIDAD)
      11limlimlimlim
0000





 hhhh h
h
h
xhx
h
xfhxf
xf
2°)   2
xxf  (FUNCIÓN CUADRÁTICA)
       
      xxhxhx
h
hhx
xf
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhhh
hhhh
202lim2lim2lim
2
lim
2
lim
2
limlimlim
0000
2
0
222
0
22
00













TABLA DE DERIVADAS
1. 0
dx
dK
2. 1
dx
dx
3.   dx
dv
nvv
dx
d nn
 1
en particular: 1
 nn
nxx
dx
d
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma: x
axf )( donde la
base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x .
Por ser la función exponencial una función definida por:  *
: RRf tal que
  aaaxf x
0,1  la cual siendo Biyectiva, tiene inversa; la cual se define
como: RRf : *1-
 dada por    xlogx a
1-
f tal que: xya log y recibe el nombre de
función logarítmica.

Si la base es el número 71828,2e la exponencial se llama natural y la inversa se
llama logaritmo natural o neperiano y se denota .ln
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
EXPONENCIAL DE BASE e Y
LOGARITMO NEPERIANO
EXPONENCIAL DE BASE a=2 Y
LOGARITMO DE BASE 2
TABLA DE DERIVADAS
4.   dx
dv
aaa
dx
d
e
vv
 log en particular:   dx
dv
ee
dx
d vv

5.  
dx
dv
v
e
v
dx
d a
a 
log
log en particular:  
dx
dv
v
v
dx
d
e 
1
log
6.   dx
dv
uu
dx
du
vuu
dx
d v
e
vv
 
log1
EJERCICIO
La propiedad 4. en el caso particular tenemos que de la definición de derivada:
      .1
1
lim
1
limlimlim
0000
xx
h
h
x
hx
h
xhx
h
xhx
h
x
ee
h
e
e
h
ee
h
eee
h
ee
e
dx
d












Del cambio de base:  ahh
ea ln
 y haciendo un cambio de variable  ahz ln y
además con
 a
z
h
ln
 tenemos que:

     
 
 
 
         aaaa
z
e
aa
z
e
aa
a
z
e
aa
dx
d
h
e
a
h
aa
h
aaa
h
aa
a
dx
d
xx
z
h
x
z
h
x
z
h
xx
ah
h
x
hx
h
xhx
h
xhx
h
x
ln1ln
1
limln
1
lnlim
ln
1
lim
1
lim
1
limlimlim
000
ln
0000




















Ahora, de cambio de base:
 
 
,
ln
ln
log
a
x
xa  tenemos que si ea  y ,ax  entonces
 
 
   a
a
e
a
ae ln
1
ln
ln
ln
log  por tanto también tenemos que   .log aaa
dx
d
e
xx

ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS
a) PROPIEDAD HOMOGÉNEA:    xuaxf      xuaxf 
DEMOSTRACIÓN:
                xua
h
xuhxu
a
h
xuhxua
h
xuahxua
xf
hhh







 000
limlimlim
b) PROPIEDAD ADITIVA (O TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA SUMA):
     xvxuxf        xvxuxf 
DEMOSTRACIÓN:
                   




 h
xvhxvxuhxu
h
xvxuhxvhxu
(x)f
hh 00
limlim
           xvxu
h
xvhxv
h
xuhxu
h





 



0
lim #
c) PROPIEDAD LINEAL:      xvbxuaxf        xvbxuaxf 
DEMOSTRACIÓN:
                xvbxuaxvbxuaxvbxuaxf
)()(







21
En el paso (1) se utilizó la propiedad aditiva y en el (2) la propiedad homogénea.

d) DERIVADA DEL PRODUCTO: )()()( xvxuxf            xvxuxvxuxf 
DEMOSTRACIÓN:
         
                 
h
xvxuhxvxuhxvxuhxvhxu
xf
h
xvxuhxvhxu
xf
h
h






0
0
lim
lim
               
             
h
xvhxv
xuhxv
h
xuhxu
xf
h
xvhxvxuhxvxuhxu
xf
hh
h








00
0
limlim
lim
         xvxuxvxuxf  #
e) DERIVADA DEL COCIENTE:    
 xv
xu
xf            
 2
xv
xvxuxvxu
xf


DEMOSTRACIÓN: EJERCICIO.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Es posible definir la razón trigonométrica de un número real, por ejemplo, el seno del
real x es  ,xsen en esta última expresión el ángulo está medido en radianes:
5,0
6





 
sen
De esa forma se define la función seno (Sen):
    xsenyyxsen  :,
Análogamente se definen función coseno (Cos) y función tangente (Tg).
A continuación se da una tabla de funciones trigonométricas y sus inversas. Las
restricciones al dominio que se imponen, tienen como propósito lograr que las funciones
sean biyectivas. De esa forma sus inversas también son funciones.
Veamos la siguiente tabla:

FUNCION DOMINIO CODOMINIO IMAGEN DE x
SENO 


 
2
;
2
–  1;1–    xsenxf 
COSENO  ;0  1;1–    xxf cos
TANGENTE 




 
2
;
2
– R    xtgxf 
INVERSA DEL
SENO
 1;1– 


 
2
;
2
–    xsenxf 1

INVERSA DEL
COSENO
 1;1–  ;0    xxf 1
cos

INVERSA DE LA
TANGENTE
R 




 
2
;
2
–    xtgxf 1

GRÁFICAS DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIÓN SENO:    xsenxf  FUNCIÓN INVERSA:    xsenxf 1

x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Función coseno:    xxf cos FUNCIÓN INVERSA:    xxf 1
cos

x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5

FUNCIÓN TANGENTE:    xtgxf  FUNCIÓN INVERSA:    xtgxf 1

x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
Ahora bien, de la definición de derivadas tenemos que:
                
            
           
           
              xxxxsenxSen
dx
d
h
hsen
x
h
h
xsenxSen
dx
d
h
hsenx
h
hxsen
xSen
dx
d
h
hsenx
h
xsenhxsen
xSen
dx
d
h
xsenhsenxhxsen
h
xsenhxsen
xSen
dx
d
hh
hh
hh
hh
coscos01cos0
cos
1cos
cos1cos
coscos
coscos
limlim
limlim
limlim
limlim
00
00
00
00




















Demuestra las siguientes:
TABLA DE DERIVADAS
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
7.  
dx
dv
SenvCosv
dx
d

8.  
dx
dv
vSecTanv
dx
d
 2
9.  
dx
dv
vCscCotgv
dx
d
 2
10.  
dx
dv
TanvSecvSecv
dx
d
 11.  
dx
dv
CotvCscvCscv
dx
d


DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
12.  
dx
dv
v
arcSenv
dx
d



2
1
1
13.  
dx
dv
v
arcCosv
dx
d



2
1
1
14.  
dx
dv
v
arcTanv
dx
d


 2
1
1
15.  
dx
dv
v
arcCotv
dx
d


 2
1
1
16.  
dx
dv
vv
arcSecv
dx
d



1
1
2
17.  
dx
dv
vv
arcCscv
dx
d



1
1
2
Ten en cuenta las funciones inversas trigonométricas (numéricas) son:
    
 
 
 
,
cos1
xsen
x
xtg
xCotgxf  ya que    
 x
xsen
xtg
cos

    
 xCos
xSecxf
1

    
 xSen
xCoxf
1
sec 
Usando la derivada de un cociente se pueden demostrar estas derivadas.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS
Un círculo unitario con centro en el origen sigue la fórmula 1yx 22
 ; un punto
dado por el par ordenado  y,x se puede representar como función de un ángulo t de la
siguiente manera    sent,tcosy,x  . De igual manera, una hipérbola unitaria con centro
en el origen sigue la fórmula 1yx 22
 ; un punto dado por el par ordenado  y,x se
puede representar como función del ángulo t de la siguiente manera    senht,tcoshy,x  .
Estas funciones se denominan funciones trigonométricas hiperbólicas, en particular,
coseno hiperbólico y seno hiperbólico. Las funciones trigonométricas hiperbólicas
presentan propiedades análogas a las de las funciones trigonométricas o circulares.
La función    xsenhxf  se define como  
2
ee
xsenh
xx 

 , mientras que la
función    xcoshxf  es  
2
ee
xcosh
xx 

 .

Al igual que las funciones trigonométricas circulares, en las funciones
trigonométricas hiperbólicas se cumplen las siguientes identidades fundamentales.
   
 
   
 
 
 
 
  xxxx
xx
xx
xx
xx
eexsenh
xh
eex
xh
ee
ee
xsenh
x
x
ee
ee
x
xsenh
x















21
csc
2
cosh
1
sec
cosh
coth
cosh
tanh
Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de
Pitágoras. Así, para las funciones hiperbólicas se sabe que 1cosh 22
 xsenhx .
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS
SENO HIPERBÓLICO COSENO HIPERBÓLICO
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS
Usando la definición de derivada:
 
 
 
  




 



















h
eee
h
eee
h
eeeeee
xsenh
dx
d
h
eeeeee
h
eeee
xsenh
dx
d
xhxxhx
h
xxhxhx
h
xxhxhx
h
xxhxhx
h
limlim
limlim
00
00
2
1
2
222

       
       
         
         
     x
ee
eeeexsenh
dx
d
e
ee
h
e
e
e
h
e
exsenh
dx
d
he
e
e
h
e
e
he
ee
h
ee
xsenh
dx
d
h
e
e
e
h
ee
h
e
e
e
h
ee
xsenh
dx
d
h
e
e
h
ee
h
ee
h
ee
xsenh
dx
d
xx
xxxx
xx
h
h
h
h
x
h
h
x
h
h
h
x
h
h
x
h
hx
h
hx
h
h
h
x
hx
h
h
h
x
hx
h
h
x
hx
h
xhxhx
h
cosh
22
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1111
2
1
11
2
111
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
111
2
1
0
000
0000
00
00
limlimlim
limlimlimlim
limlim
limlim
































 








 







 






































 






























 






















Ahora bien usando la tabla de derivadas:
       
        x
ee
eeeexsenh
dx
d
x
dx
d
eee
dx
d
e
dx
dee
dx
d
xsenh
dx
d
xx
xxxx
xxxx
xx
cosh
22
1
1
2
1
2
1
2
1
2
















 





Demuestra las siguientes:
TABLA DE DERIVADAS
18.
 
dx
dv
SenhvCoshv
dx
d

19.  
dx
dv
vSechTanhv
dx
d
 2
20.
 
dx
dv
vCschCothv
dx
d
 2
21.  
dx
dv
TanhvSechvSechv
dx
d

22.
 
dx
dv
CothvCschvCschv
dx
d


DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
23.  
dx
dv
v
arcSenhv
dx
d



1
1
2
24.  
dx
dv
v
arcCoshv
dx
d



1
1
2
25.  
dx
dv
v
arcTanhv
dx
d


 2
1
1
26.  
dx
dv
v
arcCothv
dx
d


 2
1
1
27.  
dx
dv
vv
arcSechv
dx
d



2
1
1
28.  
dx
dv
vv
arcCschv
dx
d



2
1
1
EJERCICIOS:
1. Hallar las derivadas de las funciones:
a)      xsenxxxf 3cos23

b)   4232 23
 xxxxf
c)     0,62263 32
 
xxexsenxxf x
d)    xsenxxf 3

e)      xxsenxf cos2
f)      xsenxxxxf 23
cos 
g)      xx
x
xxf cos
1
ln 2

h)       Zn
n
xxtgxf 

 ,
2
12
,

i)  
365
13
23
2



xx
xx
xf
j)    
 xx
xsenx
xf
cos


k)     Znnxxctgxf  ,, 
l)    xxf 2cos
m)    3x4tanhxf 2

n)      2x3cosh2x3tanhlnxf 22

2. Hallar la derivada por definición de:
a)   3
xxf  b)   xxf  c)   xxxf 23

3. Consideremos la función
 
1)(
8,8:


xxfx
Rf

calculemos los limites laterales
en .1x ¿Es derivable la función?

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
TEOREMA (REGLA DE LA CADENA): Si g es derivable en a y f es derivable
en  ,ag entonces gf  es derivable en a y se verifica:         .agagfagf 


DEMOSTRACIÓN:
                





 h
agfhagf
h
agfhagf
agf
hh 00
limlim


     
   
              
h
aghag
·
k
agfkagf
h
aghag
·
aghag
agfhagf
hkh






 00
1
0
limlimlim
    agagf 
En el paso (1) se definió      + ka= ga+hga- ga+hk = g  además como g
es derivable en ,a también es continua en a  .0k También es necesario suponer
que g es inyectiva en un entorno de a y así se cumple que     .00  ha- ga+hk = g
EJEMPLO: Hallar la derivada de la función     xxf cosln .
SOLUCIÓN: Notemos que es una composición de dos funciones     xhgxf  con
la función interna    xxh cos y la función g dada por    .ln xxg 
Como la función h es derivable (Con    xsenxh  ), entonces podemos aplicar la
regla de la cadena y se cumple que:       .xhxhgxf  Así,
        
 
    
 
 xtg
x
xsen
xsen
x
xxxf 


coscos
1
coscosln

EJERCICIO: Hallar la derivada de la función    2
xsen
exf  .
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f  es la primera derivada de
;f puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada
de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva .f
Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de
,f y así sucesivamente hasta la enésima derivada. En general, si ,Nn entonces  n
f
denota la enésima derivada de la función .f  n
f se calcula derivando a ,f
sucesivamente n veces.
NOTACIONES:
       
   
 
   niv
n
n
x
n
xxxx
niv
yyyyy
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
dy
yDyDyDyDyD
xfxfxfxfxf
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
4
4
3
3
2
2
432






EJEMPLOS: Obtenga la primera y la segunda derivada de la
función   .2 35
xxxxf 
SOLUCIÓN: Justifica lo siguiente:
          165132522 24243535








 xxxxxxxxxxxf
          xxxxxxxxxf 1222002645165165 3132424










EJERCICIOS: Obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.
1.   xxxxf 52

2.    2
cos4 xxf 
3.    xxf 2
cos4
4.      xtgxxf 22sec 
5. Obtenga 





12
3
4
4
xdx
d
DERIVADA IMPLICITA
Sea una función 243 3
 xxy donde y es función de x . Esta ecuación se puede
escribir como yxx  432 3
e incluso como 4286 3
 yxx . En este caso se puede
decir que y es una función implícita de x ya que está definida mediante una ecuación en
donde ,y la variable dependiente, no es dada de manera directa.
EJEMPLO 1: La función   043 2
 xxf está escrita de manera implícita para x ,
variable independiente, y  ,xf variable dependiente. Escribir la ecuación de manera no
implícita.
 
3
4 2
x
xf 
Muchas veces, al tener una ecuación escrita de manera implícita, ésta puede
representar una o más funciones.
EJEMPLO 2: Sea 6
3

y
xy
, escribir la ecuación de manera no implícita y
determinar la o las funciones que describe.
0318
183
6
3
3
2
2
2




xyy
yxy
y
xy
Para poder despejar y como función de x , habría que resolver la fórmula general.

      
 













2
1232418
2
1232418
2
1232418
12
3141818
2
x
x
x
y
x
y
Este resultado implica que tenemos dos funciones de x descritas por la misma
ecuación. En muchos casos, no es sencillo o práctico el despejar y para encontrar la o las
funciones dadas, por lo tanto, y dado que las funciones existan y sean derivables, se puede
resolver la derivada sin necesidad de tener la función expresada en su forma clásica.
EJEMPLO 3: Sea la función 13723
 xxyy , hallar la derivada
dx
dy
.
En éste ejemplo, se utilizará la notación
dx
dy
y ´ para simplificar el manejo de la
ecuación, así como acostumbrar al lector a diferentes formas de escritura.
Se busca la derivada de la expresión 13723
 xxyy .
De la regla de la cadena, se sabe que   
dx
du
dx
df
xuf
dx
d
 , lo cual puede expresarse
para potencias como  
dx
du
uxu
dx
d nn 1
 . Por lo tanto,   ´.3´ 233
yyyy
dx
d
 En cuanto al
segundo término, éste cuenta con un producto de dos funciones, por tanto:
    ´22´2´2´2 xyyxyxyxy  .
Así, nos queda que:
  xy
y
yyxyyyxyyyxyyyy
23
23
´2323´23´2´33´22´3 2
222



EJEMPLO 4: Encontrar la derivada de y suponiendo que la ecuación
  xxy 3532 332
 describe una función derivable y que  .xfy 
       
 22
2
222222332
3212
315
´
31532´12315´43233532




yy
x
y
xyyyxyyyxxy

OBSERVACIÓN:
 Una función  xy se llama implícita cuando está definida de la forma   0. yxF en
lugar de la habitual.
 Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la
variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable
dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable
independiente: Dada una función  ,.yxF implícita, si queremos calcular la derivada de
y respecto de x :  .xf
dx
dy

EJERCICIOS:
1. Obtener la derivada de: .12356 22232
yxxyyx 
2. Dada ,122
 yx demuestre que .
1
32
2
ydx
yd

RECTA TANGENTE Y NORMAL
EJEMPLO: Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función xxf )( en
el punto  .2,4
En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:
)(
)(
lim
)(
))((
limlim
000 xhxh
xhx
xhxh
xhxxhx
h
xhx
m
hhh 









4
1
42
1
2
1
)(
1
lim
)(
lim
00





 xxhxxhxh
h
m
hh
Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión: 00 )( yxxmy 
1
4
1
21
4
1
2)4(
4
1
 xxxy
La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en
dicho punto. Si la pendiente de la tangente es ),(' afmt  la pendiente de la normal será
)('
1
af
mN  y la ecuación de la normal nos viene dada por:
)(
)('
1
)( ax
af
afy 
Así, en el ejercicio anterior la pendiente de la normal será .4
4
1
1
Nm Y la
ecuación de la normal nos viene dada por:
104284)2(42  xyxyxy
Grafique esta recta como ejercicio.
EJERCICIO:
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por 3
)( xxf  en
el punto de abscisa x = 2.
Ecuación de la recta tangente: 162  xy
Ecuación de la recta normal:
6
49
12
1
 xy

INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA
PUNTO CRÍTICO
DEFINICIÓN: Un número c para el cual una función f está definida y para el cual
  0cf o  cf no existe, se llama un NÚMERO CRÍTICO para f .
EJEMPLO: La función f está definida por la ecuación   .
2
2x-
xexf  ¿Cuáles son
los puntos críticos de f ?
Para empezar, debemos determinar el dominio de   .
2
2x-
xexf 
.RDomf 
Tenemos que encontrar la derivada de  
2
2x-
xexf  para determinar los puntos
críticos. Por la regla del producto y la regla de la cadena,
        222222
2222222
441 x-x-x-x-x-x-
exexexeexexxf 




Igualamos esta expresión a 0 y resolvemos la ecuación resultante.
  04104 22222 222
 xeexe x-x-x-
Como 0
2
2
x-
e para toda x , se sigue que
    
2
1
02121041 2
 x=x+xx
Así,
2
1
x son los ceros de f ′. Esto significa que los puntos críticos
son
2
1
y
2
1
 .

Ahora bien, observa la gráfica siguiente y ten en cuenta la relación entre derivada en
un punto y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA
 f derivable y creciente en 0x  0)( 0  xf .
 f derivable y decreciente en 0x  0)( 0  xf .
EJEMPLO:   3
xxf  es derivable en todo R y su derivada es   2
3xxf  . La
gráfica es:
Se observa que la función es creciente en todo su dominio que es R , veamos que la
derivada es positiva en todo punto del dominio..
Efectivamente 03)( 2
 xxf Rx todopara .

CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CRECIENTES O
DECRECIENTES
 fxf  0)( es creciente.
 fxf  0)( es decreciente.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
 La función f presenta un máximo relativo en ,0x cuando existe un entorno  0xE
tal que:    0xfxf    ., 00 xxxEx 
 La función f presenta un mínimo relativo en ,0x cuando existe un entorno  0xE
tal que:    0xfxf    ., 00 xxxEx 
CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO
Si f es derivable en 0x , entonces f tiene un máximo o un mínimo en
0x 0)( 0  xf .
Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir que la derivada en
un punto valga 0 y que no haya máximo ni mínimo, como en 00 x en el ejemplo 3
xy  .
REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO
RELATIVO
Para saber si un punto singular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimo
relativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función.

EJEMPLO: Sea   xxxf 273
 cuya grafica es:
SOLUCIÓN:
Si calculamos su derivada y estudiamos el signo se tiene,
       .33393273 22
 xxxxxf Luego podríamos decir que la función de
acuerdo con este estudio:
 Crece en     ,33,
 Decrece en  3,3
Así como crece en  3, y decrece en  3,3 entonces hay un máximo relativo en
 )3(,3  f que en este caso será un MÁXIMO ABSOLUTO y como decrece en  3,3 y
crece en  ,3 entonces hay un mínimo relativo en  )3(,3 f que en este caso será un
MÍNIMO ABSOLUTO cómo se observaba en la gráfica.
(  , -3) (-3,3) (3,)
3 + + +
 3x - + +
 3x - - +
Signo f  + - +

INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA SEGUNDA DERIVADA
Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese
intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las
rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.
La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se
adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba"
o "desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones
cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.
Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman PUNTOS DE
INFLEXIÓN.
RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA
Si observamos la gráfica siguiente veremos que cuando la función es cóncava las
pendientes de las rectas tangentes (las derivadas) tienen un valor cada vez más grande, y
cuando es convexa cada vez menor.
CRITERIOS DE CONCAVIDAD O CONVEXIDAD
 Por la derivada primera:
a. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes aumentan ( f  es
creciente).

b. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes disminuyen ( f  es
decreciente).
 Por la derivada segunda:
Si f es cóncava hacia arriba  entonces f  creciente, por lo tanto .0f
Si f es cóncava hacia abajo  entonces f  decreciente, por lo tanto .0f
Si f es derivable en 0x y tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en 0x    00  xf
CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS
Si una función es derivable dos veces, se tiene
 fxf  0)( es cóncava.
 fxf  0)( es convexa.
EJEMPLO: Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de
la función indicada:
  xx= xxf 156 23

SOLUCIÓN: Tenemos que que su dominio es: .Domf=R Además:
   015123 2
xx=xf PUNTOS CRÍTICOS: 5y1 21 .=x=x 
   0126x=xf    0181=f En 11 = -x se tiene un MÁXIMO de f .
   0185 =f En 52 =x se tiene in MÍNIMO de f .

EJEMPLO: Sea la función   .x
=xexf Hallar el punto de inflexión y donde la
función es cóncava y convexa.
SOLUCIÓN: Notemos que su dominio es: .Domf=R
Ahora bien hallando la primera derivada:
        .11 xxxxxxx
exxeeexeexex=xf 


 
Y la segunda derivada es:
            xxxxxxxxxxx
exxeexeeeexexexee=xf 







 22
El punto de inflexión es:
    020  x
ex=xf
Y como 0x
e para todo ,x entonces .202  xx Y el PUNTO DE
INFLEXIÓN es .
2
,2 2 




 

e
El signo de f  es     0323 33
 
eef y     .0121 11
 
eef
Así la función es convexa en  2, y cóncava en  .,2  Veamos:

APLICACIONES A RAZONES DE CAMBIO
Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está presente en la vida
diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las
acciones realizadas. Ya que vivimos en un mundo físico, social, político, económico,
biológico, resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos
matemáticos. Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede
detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer
estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación
depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes.
Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos
permitirán extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por ejemplo, en el caso de
consumo de energía eléctrica como función del tiempo, cuándo se produce un aumento
repentino, lo que indica la necesidad de aumentar la capacidad eléctrica; si estamos
analizando la evolución de una enfermedad a través del tiempo podremos saber cuándo se
está propagando con mayor rapidez y así reforzar las medidas sanitarias necesarias.
Analizaremos a través de ejemplos, cómo medir los cambios.
EJEMPLO 1: Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una
parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. ¿Dónde
se deberá hacer el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea un
mínimo?
SOLUCIÓN:
Con el primer segmento se construye el cuadrado cuyo lado medirá que su dominio
es: ,
4
x
con el resto se construye la circunferencia en que el radio medirá: Que su dominio
es: .
2
2



xL
rxLr Las áreas, por lo tanto, medirán:
2
cuadrado
16
1
=A x
y
 


4
=A
2
círculo
xL

El área total será:
 



416
1
=A
2
2
Total
xL
x
La primera derivada del área total respecto de x , resulta:  xLx
dx
dA



2
1
8
1
Igualando a 0 y despejando el valor de x , queda:
 822
16


L
x
La segunda derivada del área total respecto de x queda: 0
2
1
8
1
2
2



dx
Ad
lo
que nos indica que es positiva ,x en consecuencia, el valor del área es un mínimo.
Reemplazando en x el valor de la longitud del alambre: 20 cm tenemos que x = 11,2 cm.
EJEMPLO 2: A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de
4 m de radio y 16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3
/s. ¿A qué velocidad está
subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 m. de altura? ¿A qué velocidad está
cambiando el radio en ese mismo instante?
SOLUCIÓN
En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en
cualquier instante t .

Desígnese por:
 :V volumen (en cm3
) de agua en el tanque en el instante t (s).
 :x Radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t .
 :y Altura del agua (en cm) en el instante t .
Datos: 






seg
cm
dt
dV 3
50
El volumen del agua en el instante t viene dado por:
 1
3
1 2
yxV 
De la semejanza de los triángulos ODE y OBC, se deduce que:
 
 






3
4
24
4
16
y
x
xy
x
y
Puede formularse la pregunta así:
?
dt
dy
cuando y = 4 m = 400 cm.
Una manera simple de calcular
dt
dy
consiste en expresar V en  1 en términos
únicamente de la variable y (usando  3 ) y derivando en ambos lados con respecto a .t
Así,
3
2
2
4843
1
3
1
yy
y
yxV








dt
dyy
dt
dy
y
dt
dV





16
3
48
2
2
De donde
2
16
y
dt
dV
dt
dy




De acuerdo a las condiciones del problema:
 
 5
200
1
400
5016
2
3











s
cm
cm
s
cm
dt
dy
Indicando con esto que la altura crece a esa velocidad.
b. Puede formularse la pregunta así:
?
dt
dx
cuando y = 4 m. = 400 cm.  x = 100 cm.
Una manera sencilla de encontrar la solución, consiste en derivar ambos miembros de
 3 con respecto a .t .
Así,
 6
800
1
200
1
4
1
4
1





















s
cm
s
cm
dt
dy
dt
dx
Indicando con esto que el radio crece a esta velocidad.
Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar V en  1 en términos
únicamente de la variable x (usando  2 ) y derivar en ambos lados con respecto a
t .(¡VERIFIQUE!)
EJEMPLO 3: Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una
caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe
ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea
máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?
SOLUCIÓN:
Sea
:x Longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas según la
figura de abajo en la parte (a)), donde .
2
0
a
x 

(a) (b)
Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la
figura de arriba en la parte (b).
Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,
     1
2
0;442 2232 a
xxaaxxxxaxV 
Puesto que  xV (FUNCIÓN A MAXIMIZAR) es una función continua en el
intervalo ,
2
,0 


 a
entonces  xV alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho
intervalo.
Al derivar  xV en  1 e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:
     062812 22
 x-ax-aaaxxxV
De acá:









6
06
2
02
a
xax
ó
a
xax
Son los puntos críticos
Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda
derivada. Así,
  axxV 824 

Luego:
04
2
8
2
1624
8
2
24
8
2
24
2













 a
aaa
a
a
a
aa
V
Lo cual indica que
2
a
x  corresponde a un mínimo relativo. (Interprete
geométricamente el resultado).
04
6
24
6
4824
8
6
24
8
6
24
6















 a
aaa
a
a
a
aa
V
Lo cual indica que
6
a
x  corresponde a un máximo relativo.
En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la
cartulina cuadrados de lado
6
a
y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene
dado por:
27
2
69
4
63
2
63
3
6366
2
6
322222
aaaaaaaaaa
a
aa
a
a
V 


































 






























EJERCICIOS:
1. Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de las
funciones indicadas:
a)   732 2
x+x=xf  b)    3
1x=xf c)  
x
=xxf
1

SOLUCIÓN: a)
8
47
4
3






f MÍNIMO. b) No existen extremos. c)   21 f
MÍNIMO;   21 f MÁXIMO.
2. ¿Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de área dada que requiere la
menor cantidad de cercado?
SOLUCIÓN: Un cuadrado

3. Encuentre el volumen de la mayor caja que se puede construir de un cuadrado de
cartón de 20 cm de lado cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando los
lados hacia arriba.
SOLUCIÓN: V =
27
16
592 cm2
APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA
VELOCIDAD Y ACELERACION:
dt
ds
v(t)  ,
2
2
dt
sd
dt
dv
(t) a
EJEMPLO: Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal
manera que su posición en el instante t está especificado por: ,30366 23
t-tts  s se mide
en pies y t en segundos.
a) ¿Cuándo la velocidad es cero?
b) ¿Cuándo la velocidad es positiva?
c) Cuándo el punto se está moviendo hacia la izquierda (es decir, en la dirección
negativa).
d) ¿Cuando la aceleración es positiva?
SOLUCIÓN:
a)   .62336123 2
 tttt
dt
ds
v Así 0v en 2t y .6t
b) ,0v cuando    .062  tt La soluciones 2t o ,t 6 en notación de
intervalo    .62  ,,
c) El punto está moviéndose hacia la izquierda cuando ,0v esto es cuando
   .062  tt Esta desigualdad tiene como solución el intervalo  .62,
d)  .tt
dt
dv
a 46246  Por tanto 0a cuando .t 4

EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA
1. Un objeto que se lanza directamente hacia arriba está a una altura 2564816 2
 tts
pies después de t segundos:
a. ¿Cuál es su velocidad inicial?
b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima?
c. ¿Cuál es su altura máxima?
d. ¿Cuándo llega al suelo?
e. ¿Con qué rapidez llega al suelo?
2. Un objeto lanzado directamente hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad
de 48 pies por segundos, está aproximadamente a tts 4816 2
 pies de altura al final
de t segundos.
a. ¿Cuál es la altura máxima?
b. Al final de un segundo, ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto, y en qué
dirección?
c. ¿Cuánto tarda en regresar a su posición original?
3. Un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad
inicial de v0 pies por segundos. Su altura a los t segundos está dada por 2
0 16ttvs 
pies. ¿Cuál debe ser su velocidad inicial para que el proyectil alcance una altura
máxima de 1 milla?
4. Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad inicial v0=30 metros
por segundo. si la ecuación del movimiento es  
2
2
0
gt
tvts  con ;10 2
s
m
g  hallar.
a. La velocidad de la pelota en un tiempo t .
b. La velocidad en t = 1 s, t =3s.
c. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
d. La altura máxima de la pelota.
e. La velocidad que lleva la pelota al llegar de nuevo al suelo.
ANEXO I. APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL CÁLCULO DE LÍMITES
Los límites de formas indeterminadas que no pueden resolverse mediante la
factorización, generalmente se resuelven por la conocida en la matemática como Regla de
L´Hôpital, que contiene en su estructura el concepto de derivada.
TEOREMA DE L´HÔPITAL
Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto
entorno de a . Si 

)(lim xf
ax
0)(lim 

xg
ax
, y 0)( xg en cierto entorno de a , entonces, si
existe
)(
)(
lim
xg
xf
ax 


(finito o infinito), existe también
)(
)(
lim
xg
xf
ax
, y se cumple que:

)(
)(
lim
xg
xf
ax
=
)(
)(
lim
xg
xf
ax 


.
La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están
definidas en a , pero 

)(lim xf
ax
0 y 0)(lim 

xg
ax
.
Si 0)()(  agaf , y )(xf  y )(xg satisfacen las condiciones puestas sobre las
funciones f y g , podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a
)(
)(
cg
cf


, y obtenemos:
)(
)(
lim
xg
xf
ax 


=
)(
)(
lim
xg
xf
ax 


; aplicar sucesivamente.
EJEMPLO 1: Calcular:
ee
xx
xx 


ln1
lim
2
1
SOLUCIÓN:
En este caso estamos ante la indeterminación
0
0
, pues
0011)ln1(lim 22
1


xx
x
, y 0)(lim 1
1


eeeex
x
Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:



 ee
xx
xx
ln1
lim
2
1



 )(
)ln1(
lim
2
1 ee
xx
xx ee
x
x
xx
3
1
2
lim
1



CÁLCULO DE LÍMITES DE LA FORMA


El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de 

)(lim xf
ax
)(lim xg
ax
=0
por 

)(lim xf
ax
)(lim xg
ax
= , y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital.

EJEMPLO 2: Hallar:
x
x
x 1
ln
lim
0

SOLUCIÓN:
En este caso estamos ante la indeterminación


, pues, 

x
x
lnlim
0
, y

 xx
1
lim
0
.
Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:
 










x
x
x
1
ln
lim
0
= 0lim
1
1
lim
2
0
2
0



 x
x
x
x
xx
Existen otras formas indeterminadas, 0.  e  , que pueden transformarse en las
formas
0
0
ó


, y aplicar la Regla de L´Hôpital.
Si queremos calcular )().(lim xgxf
ax
y, 0)(lim 

xf
ax
y 

)(lim xg
ax
, entonces,
)().( xgxf =
)(
1
)(
xg
xf
, y por tanto, )().(lim xgxf
ax
=
)(
1
)(
lim
xg
xf
ax
, y ahora es de la forma
0
0
.
Además, )().( xgxf =
)(
1
)(
xf
xg
, y es un límite de la forma


.
En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las
transformaciones anteriores, siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´Hôpital
simplifique el proceso de determinación del límite.
EJEMPLO 3: Calcular: 22
0
lnlim xx
x

SOLUCIÓN:
Observemos que 0lim 2
0


x
x
, y 

2
0
lnlim x
x
Luego, estamos ante una
indeterminación del tipo 0.. Transformando,
22
0
lnlim xx
x
= 

2
2
0 1
ln
lim
x
x
x
  









2
2
0
1
ln
lim
x
x
x



4
2
0 2
2
lim
x
x
x
x
x
0lim 2
0


x
x
Observe que 22
0
lnlim xx
x
=
2
2
0
ln
1
lim
x
x
x
, pero esta transformación es menos
recomendable en este caso en particular, pues la derivada de 2
ln
1
x
es mucho más compleja
que, simplemente, la derivada de 2
ln x .
EJERCICIOS:
CALCULAR SOLUCIÓN (JUSTIFICA LOS PASOS)
1. 30
lim
x
xsenx
x




 20 3
cos1
lim
x
x
x 6
1
lim
6
1
6
)(
lim
00


 x
xsen
x
xsen
xx
2.
34
23
lim 23
23
1 

 xx
xx
x 5
3
83
63
83
63
lim 2
2
1






 xx
xx
x
3.
x
x
sen
x 1
4
lim

4 41.4)
4
(coslim 
 xx
4. xx e
x2
lim


 xx e
x2
lim 0
2
lim 
 xx e
5. 






 xxx ln
1
1
1
lim
1









 xx
xx
x ln)1(
1ln
lim
1
=















x
xx
x
x 1
).1(ln.1
1
1
lim
1
=

















2
2
1 )1(1
1
lim
x
xx
x
x
x















2
2
1 1
1
lim
x
x
x
x 2
1
1
1
lim
1








 xx
.

TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO
TEOREMA DE ROLLE: Sea f una función de variable real que satisface las
siguientes propiedades:
i. f es continua en el intervalo cerrado  .,ba
ii. f es derivable en el intervalo abierto  .,ba
iii.     .0 bfaf
Entonces, existe por lo menos un punto  bac , tal que:   .0 cf
El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una
generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio
para derivadas.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Sea f una función de variable real que satisface las
siguientes propiedades:
i. f es continua en el intervalo cerrado  .,ba
ii. f es derivable en el intervalo abierto  .,ba
Entonces, existe por lo menos un punto  bac , tal que:      .
ab
afbf
cf



REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Larson, Hostetler, Edwards: Cálculo. Volumen 1 y 2. Editorial McGraw-Hill. 6ta. Ed.
Leithold. L: El Cálculo. Oxford University Press. 7ma. Ed.
Purcell, E: Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice-Hall-Hispanoamericana.
8va. Ed.
Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,
con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial
Reverté.
"Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes"
Sir. Isaac Newton

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