Jose medina

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Jose medina

  1. 1. Universidad Fermín ToroFacultad de ingenieríaEscuela de ComputaciónEjercicios PropuestosJosé MedinaV-19614505Estructura de Datos IISAIADado el siguiente grafo, encontrar:
  2. 2. A) Matriz de adyacencia: En el eje horizontal de derecha a izquierda se encuentran ordenadoslos vértices desde v1 hasta v8. En el eje vertical, se encuentran ordenados de arriba haciaabajo los vértices desde v1 hasta v8.Ma(G)=0111111010100110110100111010110110010101110110111110010100111110
  3. 3. B) Matriz de incidencia: En el eje horizontal de derecha a izquierda se encuentran ordenadoslos vértices desde v1 hasta v8. En el eje vertical, se encuentran ordenadas de arriba haciaabajo las aristas desde a1 hasta a20Mi(G)=C) ¿Es conexo? Justifique su respuestaSí, es conexo debido a que cumple con la definición de grafo conexo que dice:“Un grafo G se dice conexo si, para cualquier par de vértices a y b en G, existe al menos unatrayectoria (sucesión de vértices adyacentes que no repita vértices) desde a hasta b”Algunas cadenas que confirma esto son:C1= [V1,a1,V2,a3,V3,a6,V4,a15,V5,a18,V6]C2= [V1,a4,V4,a11,V3,a13,V8]C3= [V1,a5,V5,a17,V8]0110000010100000001100001001000011000000000110001000100010000100000101000000110001000010001000101000001001000100001000010001000100001001000001100000010100000011
  4. 4. D) ¿Es simple? Justifique su respuestaSí, es simple, ya que no tiene lazos y entre cada par de vértices distintos no hay más de unaarista.Algunos ejemplos de cadenas simples en este grafo son:C1= [V1,a1,V2,a3,V3]C2= [V8,a19,V6,a20,V7]C3= [V4,a15,V5,a18,V6,a20,V7]E) ¿Es regular? Justifique su respuestaNo, ya que la definición de grafo regular dice: “Un grafo es regular cuando si el número dearistas que concurren en cada vértice es K” y en este caso, todos los vértices no tienen un númerode aristas K iguales.A continuación se muestran los valores K de cada vértice para demostrar por qué el grafo no esregular.Vértice Valor de KV1 5V2 5V3 6V4 4V5 5V6 5V7 4V8 6F) ¿Es completo? Justifique su respuestaNo, este grafo no es completo ya que no existe una arista entre cada par de vértices. Porejemplo, entre los vértices v4 y v7 no existe una arista de unión, entre los vértices v5 y v2 tampoco yasí sucesivamente con otros vértices.G) Una cadena simple no elemental de grado 6C1= [V1,a2,V3,a13,V8,a17,V5,a5,V1,a4,V4,a15,V5]Esta cadena no es elementa ya que repite los vértices V1 y V5
  5. 5. H) Un ciclo no simple de grado 5C1= [V3,a3,V2,a9,V6,a9,V2,a8,V8,a13,V3]Este no es un ciclo simple porque repite la arista a9I) Árbol generador aplicando el algoritmo constructorPaso 1: Seleccionar un vértice S1, hacer H1= {S1}S1=V1; H1={V1}Paso 2: Seleccionar una arista que tenga un extremo en H1 y el otro extremo en un Vértice S2.Hacer H2= H1 U {S2}H2= {V1,V2}; Arista a1Paso 3: Seleccionar una arista que tenga un extremo en H2 y el otro extremo en un Vértice S3.H3= {V1,V2,V3}; Arista a3Paso 4: Repetir el paso anterior hasta unir todos los vérticesH4= {V1,V2,V3,V4}; Arista a11
  6. 6. Paso 5:H5= {V1,V2,V3,V4,V5}; Arista a15Paso 6:H6= {V1,V2,V3,V4,V5,V6}; Arista a18Paso 7:H7= {V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7}; Arista a20
  7. 7. Paso 8:H8= {V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7,V8}; Arista a16Este es el árbol generador del grafoJ) Subgrafo parcialSea V1= {V1,V3,V4,V5} y A1={a2,a4,a5,a12,a15} entonces g1=[V1,a,g1=g/a1] es un subgrafoparcial de G.
  8. 8. K) Demostrar si es HamiltonianoPara que un grafo sea Hamiltoniano debe contener un ciclo hamiltoniano y un ciclohamiltoniano es aquel en donde se recorren todos los vértices todos los vértices del grado sinrepertilos y se termina en el punto de inicio. A continuación demostraré cómo este grafo sí eshamiltonianoDado el siguiente dígrafo, encontrar:
  9. 9. A) Encontrar la matriz de conexiónEn el eje horizontal de derecha a izquierda se encuentran ordenados los vértices desde v1hasta v6. En el eje vertical, se encuentran ordenados de arriba hacia abajo los vértices desde v1hasta v8McD=010000101010100001011000101100010110B) ¿Es simple? Justifique su respuestaSí, este dígrafo es simple porque no tiene lazos ni aristas paralelas.C) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5C1=[V5,a11,V4,a12,V6,a14,V5,a11,V4,a9,V1]Esta es una cadena no simple porque repite la arista a11 y no elemental porque repite losvértices V5 y V4.D) Encontrar un ciclo simpleC1=[V1,a5,V3,a8,V4,a9,V1]Este es un ciclo simple ya que empieza y termina en el mismo vértice y no repite aristas.E) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidadEn el eje horizontal de derecha a izquierda se encuentran ordenados los vértices desde v1hasta v6. En el eje vertical, se encuentran ordenados de arriba hacia abajo los vértices desde v1hasta v8Mc(0)=010000101010100001011000101100010110
  10. 10. Mc(2)=101010101101010110101111011001111110Mc(3)=111101111111111110111111111111111111Mc(4)=111111111111111111111111111111111111Mc(5)=111111111111111111111111111111111111Luego de tener todas las matrices decimos:Acc(0)= [IG+Mc(0)+ Mc(2)+ Mc(3)+ Mc(4)+ Mc(5)]
  11. 11. Donde IG es la matriz identidad:IG=100000010000001000000100000010000001Acc(D)bin=544343545444444443445534445444454554Acc(D)=111111111111111111111111111111111111Como se puede observar, este es un dígrafo fuertemente conexo ya que cada vértice esaccesible desde cada uno de los demás vértices.F) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de DijkstraPaso 1:D0(V2)= 0U0=V2Paso 2:D1(V1)= min(∞,∞) = ∞D1(V3)= min(∞,3) = 3D1(V4)= min(∞,4) = 4D1(V5)= min(∞,∞) = ∞D1(V6)= min(∞,3) = 3
  12. 12. La distancia mínima es 3, por lo tanto:U1=V3; D1(U1)= 3Paso 3:D2(V1)= min(∞,3+∞) = ∞D2(V4)= min(4, 3+1) = 4D2(V5)= min(∞, 3+4) = 7D2(V6)= min(3, 3) = 3La distancia mínima es 3, por lo tanto:U2=V6; D2(U2)= 3Paso 4:D3(V1)= min(∞,3+∞) = ∞D3(V4)= min(4, 3+∞) = ∞D3(V5)= min(7, 3+3) = 6La distancia mínima es 4, por lo tanto:U3=V4; D3(U3)= 4Paso 5:D4(V1)= min(∞,4+4) = 8D4(V5)= min(6, 4+∞) = 6La distancia mínima es 6, por lo tanto:U4=V5; D4(U4)= 6Paso 6:D5(V1)= min(8, 6+∞) = 8La distancia mínima es 8, por lo tanto:U5=V1; D5(U5)= 8Ahora bien, la distancia desde V2 hasta el resto de los vértices es:D(V2,V1)= (U0+U1+U2+U3+U4+U5)=24D(V2,V3)= (U0+U1)= 3D(V2,V4)= (U0+U1+U2+U3)=10D(V2,V5)= (U0+U1+U2+U3+U4)=16D(V2,V6)= (U0+U1+U2)= 6

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