Alexander Gallardo Solución a los Ejercicios Estructura Discretas II Prof. Edecio Freitez

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Facultad de Ingeniería
Cabudare Estado Lara
Integrante:
Alexander Gallardo C.I:19.436.443
Prof. Edecio Freitez
Asig. Estructura Discreta II
Sección. SAIA
Cabudare, 2012

5. Dado el grafo anterior encontrar:
a) Matriz de adyacencia
Es la matriz de orden n×n, A (G) = (aij) donde aij es el número de
aristas que unen los vértices vi y vj.
A=
b) Matriz de incidencia
Llamamos matriz de incidencia de G a la matriz de orden n × m
M = [mij] / mij
 0 si vi no es incidente con aj
 1 si vi es incidente con aj
 2 si aj es un bucle en vi
De igual manera La matriz de incidencia es una matriz M cuyas
entradas mij es el número de veces que la arista j incide en el vértice i.

6. c) Es conexo? Justifique su Respuesta
El grafo dado es conexo ya que existe una cadena o camino entre cualquier
par de vértices.
d) Es simple? Justifique su Repuesta
El grafo es simple porque no tiene ciclos y no existe más de una arista
uniendo par de vértices, es decir para cada par de vértices que están unidos,
esta unión se realiza a través de una sola arista.
Ya que Un grafo es simple si a lo más existe una arista uniendo dos vértices
cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única
que une dos vértices específicos. Cuando un grafo que no es simple se
denomina multígrafo.
e) Es Regular? Justifique su Respuesta
El grafo no es regular ya que el grado de incidencia del vértice v1 es 5 y el
grado de incidencia del vértice v3 es de 6 y para que un grafo sea regular
todos los vértices deben tener el mismo grado de incidencia.
f) Es Completo? Justifique su Respuesta
Para que un grafo sea completo cada vértice debe estar conectado a
cualquier otro vértice distinto, el vértice v1 no está conectado al vértice v5,
por lo tanto de dice que el grafo no es completo.
Para complementar Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los
pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener
una arista e que los une.

7. g) Una cadena simple no elemental de grado 6
Una cadena simple no elemental esta hace se (repite el vértice v3) de grado
6 y es : v1 a1 v2 a3 v3 a7 v6 a20 v8 a18 v7 a12 v3.
h) Un ciclo no simple de grado 5
Un ciclo no simple de grado 5 hace que se repita la arista a19 la cual son: v5
a19 v8 a18 v7 a17 v5 a19 v8 a9 v2.
i) Árbol Generador aplicando el algoritmo constructor
Aplicando el algoritmo constructor:
 Paso 1: escogemos s1=v1, y colocamos h1= {v1}.
 Paso 2: escogemos la arista a4 que conecta a v1 con v4 colocamos
h2={v1,v4}.

8.  Paso 3: escogemos la arista a15 que conecta v4 con v7 y colocamos
h3 = {v1,v4,v7}.
 Paso 4: escogemos la arista a17 que conecta v7 con v5 y colocamos
h4={v1,v4,v7,v5}

9.  Paso 5: escogemos la arista a19 que conecta v5 con v8 y colocamos
h5={v1,v4,v7,v5, v8}
 Paso 6: Escogemos la arista a20 que conecta v8 con v6 y colocamos
h6= {v1,v4,v7,v5, v8,v6}.

10. Paso 7: Elegir la arista a10 que conecta v6 con v2 y colocamos h7=
{v1,v4,v7,v5, v8,v6,v2}
Paso 8: Elegir la arista a3 que conecta v2 con v3 y colocamos
h8={v1,v4,v7,v5, v8,v6,v2, v3}
Y así logramos obtener el árbol generador.

11. j) Sub grafo parcial
Con V={v1 v4 v3 v2}
A={a4 a2 a11 a3 a1}
Obteniendo este sub grafo parcial
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
El grafo no es euleriano porque no es posible construir un ciclo euleriano, ya
que, no todos los vértices tienen grado par.

12. L) Demostrar si es Hamiltoniano:
Para demostrar si es Hamiltoniano hay que tener en cuenta que El número de
vértices del grafo es 8, el grado de v1 es Gr(v1)≥4, el de v2 e s Gr(v2)≥4,
Gr(V8)≥4, y el grafo es simple, por lo tanto se dice que el grafo es
Hamiltoniano. Demostrando que el ciclo Hamiltoniano es así :

13. Dado el Dígrafo Anterior encontrar:
a) Matriz de Conexión
b) Es Simple? Justifique su respuesta
Como el dígrafo no tiene lazos ni arcos paralelos, el dígrafo es simple. Lo
cual es evidente visualizarlo en el dígrafo.
c) Encontrar una cadena no simple elemental de grado 5
C= [v5 a13 v6 a14 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5].
d) Encontrar un Ciclo Simple
C= [v1 a1 v2 a3 v4 a9 v1]

14. e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de
accesibilidad

15. f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el
algoritmo de Dijkstra.
Sea la distancia di la distancia más corta del vértice vi al vértice v2
 Paso 1: D0 (v2)=0.
U0=v2
 Paso 2: D1(v1)=min(Inf,Inf)=Inf.
D1(v3)=min(Inf,3)=3.
D1(v4)=min(Inf,4)=4.
D1(v5)=min(Inf,Inf)=Inf.
D1(v6)=min(Inf,3)=3.
U1=v3. D1(U1)=3.
 Paso 3: D2(v1)=min(Inf,3+Inf)=Inf.
D2(v4)=min(4,3+1)=4.
D2(v5)=min(Inf,3+4)=7.
D2(v6)=min(Inf,3)=3.
U2=v6; D2(U2)=3.
 Paso 4: D3(v1)=min(Inf,3+Inf)=Inf.
D3(v4)=min(4,3+Inf)=Inf.
D3(v5)=min(7,3+3)=6.
U3=v4; D3(U3)=4.

16.  Paso 5: D4(v1)=min(Inf, 4+4)=8
D2(v5)=min(6,4+Inf)=6.
U4=v5; D4(U4)=6;
 Paso 6: D5(v1)=min(8,6+Inf)=8.
U5=v1; D5(v1)=8.
Por lo tanto D(v2,v1)=8, D(v2,v2)=0, D(v2,v3)=3, D(v2,v4)=4,
D(v2,v5)=6 y D(v2,v6)=3.