1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
Ejercicios Propuestos:
Grafos y Dígrafos.
Alonso David Marturet Carmona
20.892.799
Cabudare, Noviembre de 2013

2. Ejercicio 1
Dado el siguiente grafo, encontrar:
a) Matriz de adyancencia.
b) Matriz de incidencia.
c) Es conexo?. Justifique su respuesta.
d) Es simple?. Justifique su respuesta.
e) Es regular?. Justifique su respuesta.
f) Es completo? Justifique su respuesta.
g) Una cadena simple no elemental de grado 6.
h) Un ciclo no simple de grado 5.
i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor.
j) Subgrafo parcial.
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.
l) Demostrar si es hamiltoniano.
v4
v6
v5
v7
v8

3. Solución 1
a) Matriz de adyacencia:
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
Ma=G
0
1
1
1
0
1
0
b) Matriz de incidencia:
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
a14
a15
a16
a17
a18
a19
a20
V1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V2
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V3
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
V4
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
V5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
V6
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
V7
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
V8
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0

4. c) Es conexo?. Justifique su respuesta.
Si, ya que todos sus vértices están conectados entre si.
d) Es simple?. Justifique su respuesta.
Es simple ya que el grafo no tiene lazos en ninguno de sus vértices y para cada par de de
vértices distintos solo existe una arista.
e) Es regular?. Justifique su respuesta.
No lo es ya que todos sus vértices no tienen el mismo grado.
gr(v1)= 5
gr(v2)= 5
gr(v3)= 6
gr(v4)= 4
gr(v5)= 6
gr(v6)= 4
gr(v7)= 5
gr(v8)= 5
f) Es completo? Justifique su respuesta.
No es completo ya que no cumple con la definición de una arista por cada par de vértices.
(entre v1 y v5 no hay ninguna arista que los conecte).
g) Una cadena simple no elemental de grado 6.
C1 = [V1,a1,V2,a10,V6,a20,V7,a19,V5,a13,V3,a3,V2]
h) Un ciclo no simple de grado 5.
C2 = [V1,a2,V3,a12,V8,a15,V4,a4,V1,a2,V3]

5. i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor.
Seleccionar Vértice V1, H1 = {V1}
arista 1 y H2= {V1,V2}
arista 10 y H3= {V1,V2,V6}
arista 20 y H4= {V1,V2,V6,V7}
arista 19 y H5= {V1,V2,V6,V7,V5}

6. arista 13 y H6= {V1,V2,V6,V7,V5,V3}
arista 12 y H7= {V1,V2,V6,V7,V5,V3,V8}
arista 15 y H8= {V1,V2,V6,V7,V5,V3,V8,V4}

7. j) Subgrafo parcial.
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.
Seleccionamos a1
Seleccionamos a3

8. Seleccionamos a2
Seleccionamos a4
Seleccionamos a11
Seleccionamos a12

9. Seleccionamos a5
Seleccionamos a6
Seleccionamos a9
Seleccionamos a10

10. Seleccionamos a7
Seleccionamos a13
Seleccionamos a14
Seleccionamos a15

11. Seleccionamos a18
Seleccionamos a20
Seleccionamos a16
El grafo no es euleriano según el algoritmo de Fleury.
Se debe tomar en cuenta que un grafo es euleriano sólo si no tiene vértices de grado impar y
este no lo es ya que varios de sus vértices son de grado impar.

12. l) Demostrar si es hamiltoniano.
Existe un camino hamiltoniano ya que se puede pasar por cada vértice una vez sin repetir
ninguno.
Cadena hamiltoniano V1, V3, V2, V6, V7, V5, V8, V4
Existe también un ciclo hamiltoniano.
Ciclo hamiltoniano V1, V3, V2, V5, V6, V7, V8, V4, V1
Por lo tanto el grafo dado si es hamiltoniano.

13. Ejercicio 2
Dado el siguiente dígrafo
a) Encontrar matriz de conexión
b) Es simple?. Justifique su respuesta
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
d) Encontrar un ciclo simple
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra

14. Solucion 2
a) Encontrar matriz de conexión
b)
V1
V3
V4
V5
V6
V1
0
1
1
0
1
0
V2
0
0
1
1
0
1
V3
0
0
0
1
1
0
V4
1
0
0
0
0
1
V5
0
1
0
1
0
1
V6
McD=
V2
0
0
0
0
1
0
c) Es simple?. Justifique su respuesta
Si, es simple ya que no tiene lazos ni arcos paralelos.
d) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
T1=[V4,a12,V6,a14,V5,a10,V2,a4,V6,a14,V5]
e) Encontrar un ciclo simple
C1=[V1,a6,V5,a13,V6,a14,V5,a11,V4,a9,V1]

15. f) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
V1
V3
V4
V5
V6
V1
0
1
1
0
1
0
V2
0
0
1
1
0
1
V3
0
0
0
1
1
0
V4
1
0
0
0
0
1
V5
0
1
0
1
0
1
V6
McD=
V2
0
0
0
0
1
0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
M2=
1 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
M3=
1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
M4=
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1

16. 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
M5=
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
M6=
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
Mi=
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Finalmente Acc(D)= bin=[I7 + M+M2+M3+M4+M5+M6]
31 40 33 65 62 79
1 1 1 1 1 1
22 33 24 47 47 58
1 1 1 1 1 1
20 26 22 39 43 49
=
1 1 1 1 1 1
16 29 21 42 38 48
1 1 1 1 1 1
23 34 25 49 53 60
1 1 1 1 1 1
11 14 12 23 23 30
1 1 1 1 1 1
Como la matriz de accesibilidad no tiene componentes nulos se puede afirmar que el dígrafo es
fuertemente conexo.

17. g) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de
Dijkstra
=[8,4](3)
=[0,-](0)
=[4,2](1)
=[3,2](1)
=[4,3](2)
=[7,3](2)
=[6,6](4)
=[3,2](1)
=[4,2](1)
=[4,3](2)
D v2 a v1 = 8
D v2 a v3 = 3
D v2 a v4 = 4
D v2 a v5 = 6
D v2 a v6 = 3
=[3,2](1)