Ejercicios propuestos estructuras discretas 2

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DECANATO DE INGENIERIA
ESCUELA DE COMPUTACIÓN
EJERCICIOS TEMA 1 GRAFOS
ALUMNO:
JUAN ALBERTO OJEDA S.
C.I. V-16.544.211
PROFESOR: ING. EDECIO FREITEZ

2. EJERCICIOS PROPUESTOS:
Dado el siguiente grafo, encontrar:
a) Matriz de adyacencia.
b) Matriz de incidencia
c) ¿Es conexo? Justifique su respuesta.
d) ¿Es simple? Justifique su respuesta.
e) ¿Es regular? Justifique su respuesta.
f) ¿Es completo? Justifique su respuesta.
g) Una cadena simple no elemental de grado 6.
h) Un ciclo no simple de grado 5.
i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor.
j) Sugrafo parcial.
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.
l) Demostrar si es hamiltoniano.

3. Respuestas:
A) Matriz de adyacencia.
Ma(G)=
B) Matriz de incidencia.
Mi(G)=
c) ¿Es conexo?
Si es conexo ya que, según la definición, nos dice que para cualquier par de vértices (a y b) en (G)
existe al menos una de las trayectorias de (a)  (b) donde tienen un camino que los conecta.
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 0 6 1 1
V2 1 0 1 0 1 1 0 1
V3 1 1 0 1 1 1 1 0
V4 1 0 1 0 1 0 1 0
V5 0 1 1 1 0 1 1 1
V6 0 1 1 0 1 0 0 1
V7 1 0 1 1 1 0 0 1
V8 1 1 0 0 1 1 1 0
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
A1 1 1 0 0 0 0 0 0
A2 1 0 1 0 0 0 0 0
A3 0 1 1 0 0 0 0 0
A4 1 0 0 1 0 0 0 0
A5 1 0 0 0 1 0 0 0
A6 1 0 0 0 0 0 1 0
A7 0 0 1 0 0 0 0 1
A8 0 1 0 0 0 1 0 0
A9 0 1 0 0 0 0 1 0
A10 0 1 0 0 0 0 0 1
A11 0 0 1 1 0 0 0 0
A12 0 0 1 0 1 0 0 0
A13 0 0 1 0 0 1 0 0
A14 0 0 0 1 0 1 0 0
A15 0 0 0 1 1 0 0 0
A16 0 0 0 0 0 1 0 1
A17 0 0 0 0 1 0 1 0
A18 0 0 0 0 1 0 1 0
A19 0 0 0 0 0 1 1 0
A20 0 0 0 0 0 0 1 1

4. d) ¿Es simple?
Si es simple ya que no posee lazos en ninguno de los vértices.
e) ¿Es regular?
Para que sea regular la figura debe poseer los mismos grados y en este caso, No es regular, ya que
no todos los vértices tienen los mismos grados.
V1 = 5, V2 = 5, V3 = 6, V4=4, V5 = 6, V6 = 4, V7 = 5, V8 = 5
f) ¿Es completo?
No es completo, ya que no cumple con la definición de una arista, no existen vértices, ejemplo (V1
y V6) no poseen ninguna arista que los conecten-
g) Una cadena simple no elemental grado 6
C= [V1 a1 V2 a10 V6 a16 V5 a14 V4 a11 V3 A3 V2] indica que no es elemental, ya se repite en el
vértice [v2]
h) Un ciclo de grado 5
C= [v5 a19 v8 a18 v7 a17 c5 a19 v7 a9 v2] Indica que no es simple porque se repita la arista [a19].
i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor
 Se elige S1= V1 Haciendo H1=[V1]
 Se elige la arista A4 que se conecta a V1 con V4 haciendo H2= [V1, V4]
V1
A4
V4

5.  Elegimos la arista A15 que se conecta con V4 con V7 haciendo H3 = [V1, V4, V7].
V1
A4
V4
A15
V7
 Elegimos la arista a17 que se conecta con V7 y con V5 haciendo H4 = [V1, V4, V5].
V1
A4
V4 V5
A15 A17
V7

6.  Elegimos la arista A19 que se conecta a V5 con V8 haciendo H=5[V1, V4, V8].
V1
A4
V4 V5
A17 A19
A15 V7 V8
 Elegimos la arista A20 que se conecta con V8 con V6 Haciendo H6 = [V1, V4, V7, V5, V8, V6].
V1
A4
V4 V5 V6
A15 A17 A20
V7 V8
 Elegiremos la arista A10 que se conecte con V6 y con V2 Haciendo H7= [V1, V4, V7, V5, V8,
V6, V2].
V1 V2
A4 A10
V4 V5 V6
A15 A17 A20
V7 V8

7.  Elegiremos la arista A3 que conecta a V2 con V3 haciendo H8= [V1, V4, V7, V5, V6, V2, V3].
V3
A3
V1 V2
A4 A10
V4 V5 V6
A19
A15 A17 A20
V7 V8
 Árbol Generador.
J) Subgrafo parcial.
V1
V2
A2 V3
A3

8. V4
A15 V6 V8
V5 A17 A20
V7
K) Demostrar que si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.
- Primero se selecciona A1
Seleccionamos A3

9. Seleccionamos A2
Seleccionamos A4

10. Seleccionamos A11
Seleccionamos A12

11. Seleccionamos A5
Seleccionamos A6

12. Seleccionamos A9
Seleccionamos A10

13. Seleccionamos A7
Seleccionamos A13

14. Seleccionamos A14
Seleccionamos A15

15. Seleccionamos A18
Seleccionamos A20

16. Seleccionamos A16
 El grafo no es euleriano, ya que los vértices no tienen grados pares, lo cual no es posible
construir un ciclo euleriano.
L -) Demostrar que si es hamiltoniano.
Es hamiltoniano ya que el número de vértices de G en 8, Gr (v1) >8/2=4 (i=1,2,8).

17. 2) Dado del siguiente dígrafo.
a) Encontrar la matriz de conexión.
b) ¿Es simple? Justifique su respuesta
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de 5 grado.
d) Encontrar un ciclo simple.
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.
f) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo Dijkstra.
a) Encontrar la matriz de conexión.
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
b) ¿Es simple? Justifique su respuesta.
Si es simple porque no tiene ningún lazo y tampoco existen arcos paralelos que puedan
partir de un mismo vértice a otro.

18. c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5.
C= [V1 A6 V5 A11 V4 A12 V6 A14 V5 A13 V6]
d) Encontrar un ciclo simple.
C=[V5 A11 V4 A12 V6 A14 V5]
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.
MC = MC2=
0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1

19. MC3 = MC4 =
MC5 =
f) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra.
Dv2 a V1: 2
Dv2 a V3:3
Dv2 a V5:3
Dv2 a V4:4
Dv2 a V6:3
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1