Ejercicios resueltos Estructura Discreta II

1. Ministerio de educación superior
Republica bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Escuela de ingeniería
Grafos y Dígrafos
Fernando Anzola
26007750
Prof.:
Adriana Barreto
SAIA

2. EJERCICIOS
Dado el siguiente grafo encontrar:
A) Matriz de adyacencia.
B) Matriz de incidencia.
C) ¿Es conexo? Justifique la respuesta.
D) ¿Es simple? Justifique la respuesta.
E) ¿Es regular? Justifique la respuesta.
F) ¿Es completo? Justifique la respuesta.
G) Una cadena simple no elemental de grado 6.
H) Un ciclo no simple de grado 5.
I) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor.
J) Subgrafo parcial.
K) Demostrar si es Euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.
L) Demostrar si es Hamiltoniano.
v5 v6
v8
v7
v4

3. A) La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada A, en la que sus entradas AIJ
pertenecen al número de aristas que van desde VI hasta su vértice VJ.
0 1 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 1 1 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1 0
B) La matriz de incidencia es una matriz M, en la que sus entradas MIJ son el número de
veces que la arista J coincide en el vértice I.
C) El grafo dado es conexo debido a que existe una cadena entre cualquier par de vértices.
1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 7 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
A=
M=

4. a4
a4
D) El grafo es simple ya que no tiene lazos y entre cada par de vértices no hay mas de una
arista
E) El grafo no es regular debido a que no todos los vértices tienen el mismo grado
F) El grafo no es completo porque no todos los vértices están conectados por una arista
G) Una simple no elemental de grado 6 es: {v1,a4,v4,a14,v5,a13,v3,a2,v1,a1,v2,a8,v5}
H) Un ciclo no simple de grado 5 es: V3 a11 V5 a15 V7 a17 V4 a13 V3 a11 V5.
I) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor:
Paso 1: Elegir S1=V1, y se coloca H1= {V1}
Paso 2: Se elige a a4 que conecta a V1 con V4 y se coloca H2= {V1,V4}
V1
V4
Paso 3: Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7 y se coloca H3= {V1, V4, V7}.
V1

5. a15
a4
a15
a17
a4
V4
V7
Paso 4: Se elige la arista a17 que conecta V7 con V5 y se coloca H4= {V1, V4, V7, V5}.
V1
V4 V5
V7
Paso 5: Se elige la arista a19 que conecta V5 con V8 y se coloca H5= {V1, V4, V7, V5,
V8}.
V1

6. a15
a17
a19
a15
a17
a19
a4
a19
V4 V5
V7 V8
Paso 6: Se elige la arista a20 que conecta V8 con V6 y se coloca H6= {V1, V4, V7, V5,
V8, V6}.
V1
V4 V5 V6
V7 V8
Paso 7: Se elige la arista a10 que conecta V6 con V2 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5,
V8, V6, V2}.

7. a15
a17
a19
a19
a4 a10
a15
a17
a19
a20
a4 a10
a3
a4
a1
V1 V2
V4 V5 V6
V7 V8
Paso 8: Se elige la arista a3 que conecta V2 con V3 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8,
V6, V2, V3}. Obteniendo de esta manera el siguiente árbol generador.
V1 V3 V2
V4 V5 V6
V7 V8
1.J) Con V= {V1, V4, V3, V2} y A= {a4, a2, a11, a3, a1}
V1

8. a11
a3
a2
a15
a17
a19
a20
a4 a10
a3a2
V4 V2
V3
K) El grafo no es euleriano debido a que no es posible la construcción de un ciclo
euleriano, ya que no todos los vértices tienen grado par.
L) El numero de vértices que posee el grafo es8, el grado de V1 es Gr(V1) ≥ 4, el de V2 es
Gr(V2) ≥ 4, el de V8 es Gr(V8) ≥ 4, además de ser un grafo simple, por lo tanto de es grafo
es Hamiltoniano. En la siguiente figura podremos ver un ciclo Hamiltoniano.
V1 V3 V2
V4 V5 V6
V7 V8
Dado el siguiente dígrafo encontrar:

9. A) Matriz de conexión.
B) ¿Es simple? Justifique la respuesta.
C) Una cadena no simple no elemental de grado 5.
D) Un ciclo simple.
E) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.
F) La distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra.

10. A) Matriz de Conexión
B) El dígrafo es simple ya que no hay ni arcos ni lazos paralelos.
C) Una cadena no simple elemental de grado 5 es: V4 a3 V2 a2 V3 a7 V5 a11 V4 a12 V6.
D) Un ciclo simple es: V1 a6 V5 a11 V4 a9 V1
E) Utilizando la matriz de accesibilidad demostrar si es fuertemente conexo.
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
MC=
MC=

11. 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
MC2=
MC3=

12. F) Sea la distancia DI la distancia mas corta del vértice VI al vértice V2.
Paso1: D0 (V2) = 0; U0= V2
Paso2:D1 (V1) = min (Inf, Inf) = Inf
D1 (V3) = min (Inf, 3) = 3
D1 (V4) = min (Inf, 4) = 4
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
MC4=
MC5=

13. D1 (V5) = min (Inf, Inf) = Inf
D1 (V6) = min (Inf, 3) = 3
U1= V3; D1 (U1) = 3
Paso 3: D2 (V1) = min (Inf, 3 + Inf) = Inf
D2 (V4) = min (4, 3 + 1) = 4
D2 (V5) = min (Inf, 3 + 4) = 7
D2 (V6) = min (Inf, 3) =3
U2= V6; D2 (U2) = 3
Paso 4: D3 (V1) = min (Inf, 3 + Inf) =Inf
D3 (V4) = min (4, 3 + Inf) =Inf
D3 (V5) = min (7, 3 + 3) =6
U3= V4; D3 (U3) = 4
Paso 5: D4 (V1) = min (Inf, 4 + 4) =8
D4 (V5) = min (6, 4 + Inf) =6
U4= V5; D4 (U4) = 6
Paso 6: D5 (V1) = min (8, 6 + Inf) =8
U5= V1; D5 (V1) = 8

14. Entonces D(V2, V1)= 8, D(V2, V2)= 0, D(V2, V3)= 3, D(V2, V4)= 4, D(V2,V5)= 6 y
D(V2,V6)=3.