El documento presenta los resultados del análisis de varios grafos. Describe las matrices de adyacencia y de incidencia de un grafo no dirigido y completo con 8 vértices. Luego, analiza si dicho grafo es conexo, simple, regular o completo. Además, encuentra una cadena y un ciclo en el grafo. Finalmente, determina las distancias entre un vértice y los demás en un digrafo usando el algoritmo de Dijkstra.

1. Universidad Fermín Toro<br />Departamento de matemáticas<br />Estructuras Discretas II<br />Cabudare, edo. Lara<br />Fecha: 22/05/2011<br />Roberto Zanetti<br />CI.19.350.616<br />Dado el primer grafo establecido en los ejercicios propuestos, encontrar:<br />La matriz de adyacencia<br />V1V2V3V4V5V6V7V8V101110011V210101101V311011110V410101010V501110111V601101001V710111001V811001110<br />V1V2V3V4V5V6V7V8.a111000000.a210100000.a301100000.a410010000.a510000010.a610000001.a700100100.a801001000.a901000001.a1001000100.a1100110000.a1200100010.a1300101000.a1400011000.a1500010010.a1600001100.a1700001010.a1800000011.a1900001001.a2000000101<br />La matriz de incidencia <br /> Grado vértices “gr” 5 5 6 4 6 4 5 5<br />¿Es conexo?<br />El grafo es conexo ya que todos sus vértices están conectados entre sí, existe una cadena para cada par de vértices.<br />¿Es simple?<br />Si es simple ya que no tiene lazos y entre cada par de vértices distintos no hay mas de una arista.<br />¿Es regular?<br />No es regular por que las vértices no tienen el mismo grado.<br />¿Es completo?<br />Si por que tiene exactamente una arista entre cada par de vértices distintos.<br />Una cadena simple no elemental de grado 6<br />C= [v1,a1,v2,a3,v3,a2,v1,a4,v4,a11,v3,a12,v2]<br />Es simple por que no repite arista y no elemental por que repite vértices, los vértices v1 y v3 se repiten.<br />Un ciclo no simple de grado 5<br />C= [v1,a2,v3,a11,v4,a4,v1,a1,v2,a3,v3,a2,v1]<br />Es no simple ya que repite la arista 2 y es grado 5 por que tiene 5 aristas.<br />Árbol generador aplicando el algoritmo constructor<br />Paso 1: selecciono v4, H1= [v4]<br />Paso 2: selecciono arista 11 y H2 = [v4, v3]<br />V3<br />.a11<br /> <br />V4<br /> <br />Paso3: selecciono v1, H3= [v4,v3,v1] y arista 2<br /> V1<br /> .a1<br />V3<br /> .a11<br />V4<br />Paso 4: selecciono v2, arista 1 H4=[v4,v3,v1,v2]<br />.a1V2<br />V1.a2<br />V3<br />V4<br />Paso 5: selecciono arista 7 y v6, H5= [v4, v3, v1, v5, v6]<br />.a1V2<br />V1<br />.a2V3 .a7V6<br />.a11<br />V4<br />Paso 6: selecciono arista 20 y v8, H6= [v4,v3,v1,v2,v6,v8]<br /> V2<br />V1.a1<br />.a2V3.a7V6<br />.a11<br />.a20<br />V4V8<br />Paso 7: selecciono arista 19 y v5, H7= [v4,v3,v1,v2,v6,v8,v5]<br />V2<br />.a1<br />V1.a2.a7<br />.a11V3 V6<br />V4v5.a20<br />.a14 V8<br />Paso 8: selecciono arista 12, v7, H8= [v4, v3, v1, v2, v6, v8, v5, v7}<br />.a1V2<br />V1 .a2<br /> V3 .a7V6<br />V4 .a11 .a12 v5 .a20<br />.a19 V8<br />V7<br />“Árbol generador”<br />Subgrafo parcial<br /> V1a1v2<br />.a4.a10<br />V4v3<br />.a13V6<br />.a15v5.a19<br />V7V8<br />Demostrar si es hamiltoniano<br />C= [v1,a1,v2,a10,v6,a20,v8,a18,v7,a15,v4,a14,v5,a13,v3,a2,v1]<br />.a1<br />v1 v2<br /> .a2 .a10<br /> V8V6<br /> .a13 v5<br /> .a14 .a20Ciclo hamiltoniano<br />V4<br /> .a15v7.a18 v8<br />Como contiene un ciclo hamiltoniano es un grafo hamiltoniano.<br />Dado el dígrafo establecido en los ejercicios propuestos, encontrar:<br />Matriz de conexión:<br />V1V2V3V4V5V6V1011010V2001101V3000110V4100001V5010101V6000010<br />¿Es simple?<br />Si es simple por que no hay lazos ni arcos paralelos<br />Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5<br />C= [v2,a4,v6,a14,v5,a13,v6,a14,v5,a11,v4,a5,v1]<br />No es simple porque se repite la arista a14<br />No es elemental porque repite el vértice v5<br />Es de grado 5 porque tiene 5 aristas.<br />Encontrar un ciclo simple<br />C= [v1, a1, v2, a3, v4, a9, v1]<br />Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.<br />M=<br />011010001101000110100001010101000010<br />M2=<br />011111100111110101011010010101<br />M3=<br />111111111111111111011111111111101111<br />M4=<br />111111111111111111111111111111111111<br />M5=<br />111111111111111111111111111111111111<br />In<br />100000010000001000000100000010000001<br />Acc= bin [in+m1+M1+M2+M3+M4+M5]<br />Acc=<br />111111111111111111111111111111111111<br />La matriz accesibilidad no tiene componentes nulas por lo tanto es fuertemente conexa. <br />Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra. <br />pasosvérticesDatos para el paso a desarrollarCalculo de di+ISelección v*i+I0V0= [v2]Vo*=v2Do [vo*]=oDo [v1]=ooDo [v2]=ooDo [v3]=ooDo [v4]=ooDo [v5]=ooD1(v1)=+ooD1(v3)=3D1(v4)=4D1(v5)=+ooD1(v6)=3VI*=V31V1= [v2,v1*]VI*=v3D1[vI*]=3D1[v4]=4D1[v5]=ooD1[v6]=3D2(v1]=ooD2[v4]=4D2[v5]=7D2[v6]=ooV2*=v42V4=[v2,v3,v2*]V2*=v4D2[v1]ooD2[v4]=ooD2[v6]=ooD2[v2*]=4D3 [v1]=7D3[v5]=ooD3[v6]=6V*3=v63V3=[v2,v3,v4,v3*]V3*=v6D3[v3*]=6D3[v1]=7D3[v5]=ooD3[v1]=ooD3[v5]=10V*5=v14V4=[v2,v3,v4,v6,vI]V*4=v5D3[V4*]=10D3[v1]=ooD4[v1]=13V*5=v15V5=[v2,v3,v4,v6,v5]<br />Las distancias son:<br />Dist (v2, v3)=3<br />Dist (v2, v4) =4<br />Dist (v2, v6) =6<br />Dist (v2, v5) =10<br />Dist (v2, v1) =13<br />