Aplicaciones de integral

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral

3
3.1. ÁREAS DE REGIONES PLANAS
3.2. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
3.3. LONGITUD DE UNA CURVA PLANA
3.4. VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN
3.5. INTEGRALES IMPROPIAS.

Objetivo:
 Calcular áreas de regiones planas generales,
volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una
curva plana.
 Evaluar integrales de funciones no acotadas

79


3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
3.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA

Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se
particiona la región y luego se hace una suma infinita de las áreas de las
particiones, lo cual equivale a una integral definida.

Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una
partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier
partición de la región plana

Fig. 3.1

El área del elemento diferencial será: dA  hdx  f ( x)dx
b

Por tanto, el área de la región plana está dada por: A 
 f (x)dx
a

Ejemplo 1
Hallar el área bajo la curva y  x 2 en 1,3
SOLUCIÓN:
Primero, hacemos un dibujo de la región:
y

y  x2
Fig. 3.2

x
1 3

El área bajo la curva estará dada por:
3


3
 x3   33 13  27 1 26
A x 2 dx          
 3 1  3 3  3 3 3
1

80


Ejemplo 2
y  x

Calcular el área de la región limitada por  y   x  6
y  0

SOLUCIÓN:
Primero se dibuja en el mismo plano y  x y y  x  6

Luego, identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.

x  x  6

 x 2
  x  6 2
x  x 2  12 x  36
x 2  13 x  36  0
Fig. 3.3
x  9x  4  0
x9  x4

El área está dado por:

4 6

A
 
0
x dx 

4
 x  6dx

6
4  x2 
3
2 x 2
3
  
 2
 6x 

0  4

  6   42 
2

  2 4  2  0     66      64 
3
3   2

  2
 


16
  18  36  8  24
3
22
A
3

Para regiones generales, la metodología sería debe ser algo análoga a la
anterior.

81


3.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS

Si la región plana tuviera la siguiente forma:

Fig. 3.4

La idea sería básicamente la misma, hacer particiones de la región (se
obtienen también rectángulos) y sumar las áreas de las particiones.
Siendo breve, el área del elemento diferencial será:

dA  hdx   f ( x)  g ( x) dx
b

Entonces el área de la región plana está dada por: A 

a
 f ( x)  g ( x) dx

CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región
plana, siga los siguientes pasos:

1. Dibuje las curvas dadas.

2. Identifique la región plana. Aquí se definen los
límites de integración.

3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento
representativo.

4. Defina la integral o las integrales para él área.

5. Evalúe la integral definida.

82


Ejemplo 1
y  x  4

Calcular el valor del área de la región limitada por 
y  x2  2

SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano y  x  4 y y  x 2  2

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.

PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

Fig. 3.5
x  4  x2  2
x2  x  6  0
x  3( x  2)  0
x  3  x  2

PASO 4: La integral definida para el área sería:
3

A

2
x  4  x 2

 2 dx

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

3 3

A

2
x  4  x 2

 2 dx 

2
 x 2

 x  6 dx

3
 x3 x2 
    6x 
 3 2 
  2
 33 3 2    2 3  22 
    6(3)       6 2
 3 2   3 2 
   
9 8
 9   18   2  12
2 3
5
A
6

83


Ejemplo 2
 y  x 3  x 2  6x

Calcular el valor del área de la región limitada por 
y  0

SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos y  x3  x2  6 x
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x.


Fig. 3.6

x3  x 2  6 x  0
 
x x2  x  6  0
xx  3( x  2)  0
x0  x3  x  2

0 3

A

2
x 3

 x  6 x  (0) dx 
2

0
(0)  ( x 3

 x 2  6 x dx

0 3

A

2
x 3

 x 2  6 x  (0) dx  
 0
(0)  ( x 3

 x 2  6 x dx

0 3



2
x 3
 x 2  6 x dx  

0
 x 3
 x 2  6 x dx 
0 3
 x4 x3 x2   4 3 2 
  6    x  x  6 x 
 4 3 2   2 
  2  4 3 0
   2 4  2 3  22   3 4 3 3 32  
 0    6      6   ( 0) 
  4 3 2   4 3 2  
     
8 81
 4   12   9  27
3 4
253
A
12

84


Ejemplo 3
 y  x2  2
Calcular el valor del área de la región limitada por 

y  x

SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos las curvas dadas
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones

y  x yx

Fig. 3.7 y  x2  2

Como la región es simétrica al eje y , calculamos el área de 0 a 2 y la multiplicamos por 2.
2

A2

0
 x   x 2  2  dx
 

2


2
 x 2 x3 
A2  x   x 2  2  dx  2    2 x 
 
 2 3 0
0

 8  20
 2 2   4 
 3  3

85


3.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y

Si la región plana tuviese la forma:

Fig. 3.8

Aquí es conveniente hacer particiones en sentido horizontal, también se
obtienen rectángulos cuya altura en este caso está dada por la distancia
horizontal x , definida por la función. Para este tipo de región hay que tener la
ecuación de la curva en la forma x  f  y.
El área del elemento diferencial será: dA  hdy  xdy  f ( y)dy

El área de la región plana se la obtiene sumando una cantidad infinita de
d

particiones que se forman ahora entre c y d ; Es decir: A
 f ( y)dy
c

Y para el caso de regiones simple- y más generales, tenemos:

Fig. 3.9

El área del elemento diferencial será: dA  hdy   f ( y)  g ( y)dy

86


d

Entonces el área de la región plana está dada por: A
  f ( y)  g( y)dy
c

Ejemplo 1
y  x

Calcular el área de la región limitada por  y   x  6
y  0

SOLUCIÓN:
PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y  x y y  x  6

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.

PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas.

Anteriormente este problema fue resuelto con el elemento diferencial vertical. Ahora lo resolveremos de la
otra forma.

SEGUNDO MÉTODO.
Escogiendo el elemento diferencial horizontal:

Fig. 3.10

El área está dada por:
2

A

0

6  y   y 2 dy

2
 y 2 y3 
 6y   
 2 3 
 0
 2 2 23 
  62      0 
 2 3 
 
8
 12  2 
3
22
A
3

87


Ejemplo 2
 y  x 1

Calcular el área de la región limitada por 
x  3  y 2

SOLUCIÓN:
PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso

Fig. 3.11

y  1  3  y2
y2  y  2  0
 y  2 y  1  0
y  2  y  1

Paso 4 y 5: El área de la región sería:
1

A
 
2

3  y 2   y  1 dy 
1



2

 y 2  y  2 dy

1
 y3 y 2 
    2y
 3 2 
  2
 13 12    2 3  2 2 
    21      2 2 
 3 2   3 2 
   
1 1 8
  2 24
3 2 3
9
A
2

Ejercicios propuestos 3.1
Hallar el área de la región lim itada por las curvas:

1. y  2  x2 , y  x,
2. y  4 x  x 2 , y  0, entre x  1 y x  3 .
3. y  x  4, y  0, x  8 .
4. y  x  4 x  3, x  y  1  0 .
2

5. y  2 x, y  2 x  4, x  0 .
6. y  2 x  0,
2
y 2  4 x  12  0 .
7. y 2  x  2, y  x  4

88


8. y  x2 , y  x 2  4x
2x
9. y  x  6, y  x3 , y   .
4
10. y  x  1, y  x2  3
11. y  x3  3 x 2 , y  4x
12. y  x  6 x  8x,
3 2
y  x 2  4x

3.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES.
Ahora trataremos regiones simple-  , regiones que están limitadas por curvas
cuyas ecuaciones están dadas en forma polar.

Fig. 3.12

En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector circular,
entonces su área está dada por:
1
dA  r 2 d
2

Por tanto el área de la región está dada por:
2

  f ()2 d
1
A
2
1

Ejemplo 1
Hallar el área de la región encerrada por r  a
SOLUCIÓN:

Graficando la circunferencia r  a e identificando la región, tenemos:

89


Fig. 3.13

2

  f ()2 d
1
A
2
1
2

 a 2 d
1

2
0
2

El área estar ía dada por:

1
 a2 d
2
0
1 2
 a2 0
2
A  a 2

Ejemplo 2
Hallar el área de la región encerrada por r  1  cos 
SOLUCIÓN:
Graficando la cardioide r  1  cos  e identificando la región, tenemos:

Fig. 3.14

90


2

 f ()2 d
1
A
2
1

  


1
 2 1  cos  d

2

2 
 0 




0
1  2 cos   cos 2  d 
  

  
 d  2 cos d  cos 2 d
0 0 0
  

  
 1 cos 2 
 d  2 cos d     d
2 2 
0 0 0

sen 2
A    2 sen   1
2

4 0
A

Ejemplo 3
Hallar el área de la región encerrada por r  4 sen 3
SOLUCIÓN:

Graficando la rosa r  4 sen 3 e identificando la región, tenemos:

Fig. 3.15


91


2

 f ( )2 d
1
A
2
1
  
 6 


4sen3 2 d 
1
 6 
2
 
 0
 


6

3

0
16 sen2 3 d 

6


 1  cos 6 
 48   d
 2 
0

 sen6  6
 24   
 6 0
 sen6    
 6    0  sen0  
A  24    
 6 6   6 

  

 
A  24 
6
A  4

Ejemplo 4
Hallar el área de la región encerrada por el rizo de r  2  4 cos 
SOLUCIÓN:

Graficando el caracol r  2  4 cos  e identificando la región, tenemos:

Fig. 3.16


92


2

  f ()2 d
1
A
2
1
  
 3 


1 
 2 2  4 cos  d
2
2 
 


0 


3



0
4  16 cos   16 cos2  d 
  
3 3 3


 
0
4d 
0
16 cos d 

0
16 cos d
2

  
3 3 3

  
 1  cos 2 
4 d  16 cos d  16   d
 2 
0 0 0

sen 2 3
A  4  16 sen   8  4
2 0
   
A  12  16 sen  2 sen 2   12(0)  16 sen 0  2 sen 0 
 3 3 3
3 3
A  4  16 2
2 2
A  4  7 3

Ejemplo 5
r  3 sen 
Hallar el área de la región interior a ambas curvas 
r  1  cos 
SOLUCIÓN:

Graficando las figuras e identificando la región, tenemos:

Fig. 3.17

El ángulo de intersección se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego resolviendo
la ecuación tr igonométrica que se for ma, es decir:

93


3 sen   1  cos 

 3 sen  2  1  cos 2
3 sen 2   1  2 cos   cos2 
 
3 1  cos2   1  2 cos   cos2 
4 cos2   2 cos   2  0
2 cos2   cos   1  0
cos   12 cos   1  0
cos   1  cos   1
2
  
3

3 

  
 1  cos 2 d
1 12
A 3 sen  d 
2 2
0 
3
 
31 sen 2  3 1 1 sen 2 
A       2 sen    
22 4 0 2
 2 4  
3

3 3  1  3    
       3  3 
A  
26
 8  2  2   2
  8 


 3   9
A  3 3   3
4 16 4 4 16
 3
A3  3
4 4

Ejercicios propuestos 3.2
1. Hallar el área limitada por la curva r  a cos 3 .
2. Determinar el área de la región ex terior a r  2  sen  , e interior a r  5 sen 
3. Determine el área de la región interior de la cardioide r  3 3 cos  y ex terior a la cardioide
r  3 3sen en el prim er cuadrante

4. Determine el área de la región dentro de la circunferencia r  3sen y fuera de r  2  sen .

5. Determinar el área interior a r 2  8 cos 2 y ex terior a r  2 .

6. Calcular el área de la región que es ex terna a la cardioide r  2  2sen e interna a la cardioide
r  2  2 cos 

7. Determine el área interior al limaron r  3 6sen pero ex terior al riz o.

8. Hallar el área de la región interna común entre r  cos 2 y r  sen2

9. 
Determine el área de la región R  r,  / 3 3  r  6 cos 2 

94


3.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
0
Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar 360 con
respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que se
llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN.
En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.

CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se
muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará un
sólido de revolución:

Fig. 3.18

El volumen de este sólido de revolución se lo puede calc ular de la siguiente
manera:
Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girar
el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado.

Fig. 3.19

Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se rebana el sólido
y se determina el volumen de una partición. En este caso el sólido diferencial
tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen está dado por:

dV  r 2 dx   f ( x) dx
2

95


Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los volúmenes
de las particiones, es decir:
b

V 
  f ( x) 2
dx
a

CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que se sombrea
en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera un sólido de
revolución de la siguiente forma:

Fig. 3.20

Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial
alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO

Fig. 3.21

El volumen del sólido diferencial estaría dado por:


dV   r2 r 1 dx
2 2

Observe que: r2  f ( x) y r1  g ( x) entonces:


dV    f ( x)   g ( x)  dx .
2 2

96


Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región plana
alrededor del eje "x", estaría dado por:
b

V 
  f ( x) 
  g ( x)  dx
2 2

a

CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar la región
anterior en torno al eje "y":
Fig. 3.22

El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA:

Fig. 3.23

Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo
abrimos, se obtiene un prisma rectangular:

Fig. 3.24
2r
h

dx
97


Su volumen sería:

dV  2rhdx
rx
Observe que: h  f ( x)  g ( x)

Por tanto el volumen total del sólido sería:
b


V  2 x f ( x)  g ( x)dx .
a

Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos.

Ejemplo 1
y  x2

Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :  alrededor
 y  8x

del eje x.
SOLUCIÓN:

PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas.
PASO 2: Identificamos la región.
PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical

Fig. 3.22

x 2  8x
x 4  8x
 
x x3  8  0
x0  x2

Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está dado por:
 
dV   r2 2 r 1 2 dx y en este caso r2  8 x y r1  x 2
PASO 4: Por tanto:

98


2

    x   dx
 8x 2 2
2
V 

 

0
2



0

8 x  x 4 dx

2
 x2 x5 
  8  
 2 5 
 0
 32 
 16  
 5 
48
V  u3
5
NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal.

Ejemplo 2
y  x2

 y  8x

del eje y.

SOLUCIÓN:

PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejercicio anterior
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza

Fig. 3.25

Cuyo volumen está dado por dV  2rhdx y en este caso r  x y h 8x  x 2
PASO 4: Por tanto:

99


2

V  2
 
0

x 8 x  x 2 dx

2


 3 
 2  8 x 2  x3 dx
 
 
0
2
2 8 5 x4 
 2  x 2 
 5

4 
0
 2 8 5 4 
 2 
2 
2 2  ( 0) 
 5 4  
  
 32 
 2   4
5 
24 3
V  u
5

Ejemplo 3
y  x2

 y  8x

del eje y  4
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y  4 " da lugar a una Anillo

Fig. 3.26

 
El volumen de este diferencial está dado por dV   r2 r 1 dx y en este caso r2  4  x 2 y
2 2

r  4  8x
1

PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos:

100


2

V 


 
22 2
 4  x  4  8 x  dx
 

0
2


 
0

16  8 x 2  x 4  16  8 8 x  8 x dx 
2


 4 1 
  x  8 x 2  8 x  8 8 x 2 dx
 
 
0
2
 x5 x3 x 2 32 2 3 2 
  8 8  x 
 5 3 2 3 
 0
 25 23 22 32 2 3 2  
   8 8  2   ( 0) 
 5 3 2 3  
  
 32 64 128 
    16  
 5 3 3 
206
V   u3
15

Ejemplo 4
y  x2

 y  8x

del eje y  1
SOLUCIÓN:
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y  1 " da lugar a una Anillo

Fig. 3.27

 2 2

El volumen de este diferencial está dado por dV   r2 r 1 dx y en este caso r1  1  x
2
y
r2  1  8x

PASO 4: Por tanto:

101


2

V 


 
2

2 2
 1  8 x  1  x  dx
 
0
2


 
0
 
1  2 8 x  8 x  1  2 x 2  x 4 dx

2


 4
 2 8 x  2  8 x  2 x  x dx
1
 2
 
0
2
 3 
 x 2 x2 x3 x5 
 2 8 8 2  
 3 2 3 5 
 2 0
 8 2 3
  
 3
 
2 2  4 22  2
23 25 
3

5 

  ( 0) 

  
 32 16 32 
   16   
 3 3 5 
174
V   u3
15

Ejemplo 5
y  x2

 y  8x

del eje x  2
SOLUCIÓN:
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x  2 " da lugar a una corteza

Fig. 3.28

El volumen de este diferencial está dado por dV  2rhdx y en este caso r  2  x y h  8x  x
2

PASO 4: Por tanto:

102


2

V  2
  
2  x  8 x  x 2 dx

0
2

 2
 
2 8 x  2 x 2  x 8 x  x3 dx

0
2


 3
 4 2 x  2  2 x  2 2 x  2  x dx
1 3
 2 2
 
0
2
 3 5 
 x 2 x3 x 2 x4 
 2  4 2 2 2 2  
 3 3 5 4 
 2 2 0
 8 2 3 3 5 4 
 2  2 2  2 2  4 2 2 2  2   (0)
 3 3 5 4  
  
 32 16 32 16 
 2     
 3 3 5 4 
88
V   u3
15

Ejemplo 6

y  x
2
 y  8x

del eje x  1
SOLUCIÓN:
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x  1 " da lugar a una corteza

Fig. 3.29

El volumen de este diferencial está dado por dV  2rhdx y en este caso r  1  x y h  8x  x
2

PASO 4: Por tanto:

103


2

V  2
 
1  x  8 x  x 2 dx 
0
2

 2
 8 x  x 2  x 8 x  x3 dx 
0
2


 3
 2 2 x  2  x  2 2 x  2  x dx
1 3
 2 2
 
0
2
 3 5 
 x 2 x3 x 2 x4 
 2  2 2  2 2  
 3 3 5 4 
 2 2 0
 4 2 3 3 5 4 
 2  2 2  2  4 2 2 2  2   (0)
 3 3 5 4  
  
 16 8 32 16 
 2     
 3 3 5 4 
152
V   u3
15

Ejercicios Propuestos 3.3
1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor del eje indic ado; siendo R la
región lim itada por las curvas, cuyas ecuaciones se dan a continuación:

a. y  2x  x 2 , y  0, x  0, x  1 ; eje y

b. x  1, y , y  arc tg x, x  4 ; eje y .
2
1
c. y  0, y  3, x  1, x  3, y ; eje x  1 .
x 1

1
2. Sea R la región lim itada por las curvas: y  x 2 , y las rectas y  0, x  2 ..
y
x
a) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje x  2 .
b) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje y  1 .

3. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar en torno al eje x  9 la región limitada por
las curvas: y 2  9  x, y  3 x .

4. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta x  4 , la región acotada por
las curvas: x  y  y 2 , x  y 2  3 .

5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación en torno a la recta y  2 de la región del prim er
cuadrante limitada por las parábolas 3x 2  16 y  48  0 , x2  16 y  80  0 y el eje de las y .
6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y, donde R es:
x 2  y 2  4 y  3  0

x  2

y  0

y  4
x  y  5  0

x  0


7.  
Sea la región R  x, y  / x  1  y  4  2 x 2 . Calc ule el volumen del sólido generado al girar R alrededor
del eje: a) x  1 , b) y  1

104


3.3 LONGITUD DE ARCO
Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas de regiones
planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen infinitas particiones de la
curva y se establece una suma infinita.

Fig. 3.30

Una partición diferencial tendrá la forma:

ds i

dy

dx

Y su longitud está dada por: ds  dx 2  dy 2

1. Si y  f (x) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma :

dx 2  dy 2  dy 
2
ds  dx  1    dx
dx  dx 

b


2
 dy 
Es decir: s 1    dx
 dx 
a

2. Si x  f ( y) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma :

2
dx 2  dy 2  dx 
ds  dy  1    dy
 dy 
dy  

d


2
 dx 
Es decir: s  1    dy
 dy 
 
c

105


 x  x(t )
3. Finalmente si C :  entonces se utiliza el diferencial de arco de la
 y  y (t )
dx 2  dy 2  dx   dy 
2 2
forma: ds  dt       dt
dt  dt   dt 

t2


2 2
 dx   dy 
Es decir: s       dt
 dt   dt 
t1

Ejemplo 1
3
Encuentre la longitud de arco de la curva y  x 2 desde el punto (1,1) al punto (4,8)
SOLUCIÓN:

Fig. 3.31

b


2
 dy 
En este caso usamos el diferencial de arco de la forma s  1    dx ¿por qué?
 dx 
a
dy 3 1
Ahora  x 2
dx 2
Por tanto:
4


2
 dy 
s 1    dx
 dx 
1
4


2
3 1 
 1   x 2  dx
2 
 
1
4


9
 1 x dx
4
1
4
3
 9  2
1  x 
2 4 

3 9
4
1

s
8  32
10 
27 
13 32 
4


 

106


Ejemplo 2
x

Encuentre la longitud de la curva y 
 1
u 3  1du ; 1  x  2

SOLUCIÓN:
2


2
 dy 
La longitud de arco esta dada por: s  1    dx
 dx 
1
x


dy
Para lo cual la derivada sería:  Dx u 3  1du  x 3  1
dx
1
Reemplazando resulta:
2


2
 dy 
s 1    dx
 dx 
1
2


2
 1   x 3  1  dx
 
 
1
2



1
1  x 3  1dx

2



1
x 3 dx

2
5
x 2

5
2 1
2  52 5 
  2 1 2 
5 
2
s  4 2 1
5
 

Ejemplo 3
Calcular la longitud de la circunferencia x2  y2  a2
SOLUCIÓN:

Fig. 3.32

107


Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramétrica
t2


2 2
 dx   dy 
s      dt
 dt   dt 
t1

 x  a cos t
La ecuación de la circunferencia en forma paramétrica es: C: ;0  t  2
 y  a sen t
dx dy
Por tanto  a sen t y  a cos t . Reemplazando resulta:
dt dt

2 2 2
 dx   dy 
s
0
     dt
 dt   dt 
2


0
 a sen t 2  a cos t 2 dt
2


0
a 2 sen 2 t  a 2 cos 2 t dt

2


 a sen
0
2 2
t  cos 2 t dt 
2


 a dt
0
2

 a dt
0

2
 at 0
s  2a

Ejercicios Propuestos 3.4
1. Determine la longitud de arco de la curv a y  1  ln cos x ; x 
4
 x  t  sen t
2. Determine la longitud de arco de la curv a:  en el intervalo 0  t  4
 y  1  cos t
 x  a cost  atsent
3. Determine la longitud de arco de la curv a:  en el interv alo 1  t  1
 y  asent  at cost
x


 
4. Encuentre la longitud de la curva y  64sen2u cos4 u  1 du , x
6 3

6

108


3.3.1 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES.
La longitud de arco esta dada por:
2


2 2
 dx   dy 
s      d
 d   d 
1

Reemplazando, tenemos:
2

s

1
 f ´  cos   f ( ) sen  2   f ´ sen  f ( ) cos   2 d

2
 f ´( )2 cos 2   2 f ´( ) f ( ) cos sen   f ( )2 sen 2 
s

1
  f ´( )2 sen 2  2 f ´( ) f ( ) cos sen   f ( )2 cos 2 
 
d

2

 f ´( )2 cos 2   sen 2   f ( )2 sen 2  cos 2  d
s

1

Resultando finamente:
2

s

1
 f () 2   f ´() 2 d

Ejemplo 1
Hallar la longitud de la circunferencia ra
SOLUCIÓN:
Aplicando la for mula y resolviendo, resulta:
2

s

1
 f () 2   f ´() 2 d

2

s

0
a 2  o 2 d

2

s

0
ad

2
s  a 0
s  2a

Ejemplo 2
Hallar la longitud de la cardioide r  1  cos 
SOLUCIÓN:
Aplicando la for mula y resolviendo, resulta:

109

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