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  1. 1. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 3 3.1. ÁREAS DE REGIONES PLANAS 3.2. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 3.3. LONGITUD DE UNA CURVA PLANA 3.4. VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN 3.5. INTEGRALES IMPROPIAS. Objetivo:  Calcular áreas de regiones planas generales, volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una curva plana.  Evaluar integrales de funciones no acotadas 79
  2. 2. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS 3.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, separticiona la región y luego se hace una suma infinita de las áreas de lasparticiones, lo cual equivale a una integral definida. Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo unapartición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquierpartición de la región plana Fig. 3.1 El área del elemento diferencial será: dA  hdx  f ( x)dx b Por tanto, el área de la región plana está dada por: A   f (x)dx a Ejemplo 1 Hallar el área bajo la curva y  x 2 en 1,3 SOLUCIÓN: Primero, hacemos un dibujo de la región: y y  x2 Fig. 3.2 x 1 3 El área bajo la curva estará dada por: 3  3  x3   33 13  27 1 26 A x 2 dx            3 1  3 3  3 3 3 180
  3. 3. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 2 y  x  Calcular el área de la región limitada por  y   x  6 y  0  SOLUCIÓN: Primero se dibuja en el mismo plano y  x y y  x  6 Luego, identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. x  x  6  x 2   x  6 2 x  x 2  12 x  36 x 2  13 x  36  0 Fig. 3.3 x  9x  4  0 x9  x4 El área está dado por: 4 6 A   0 x dx  4  x  6dx 6 4  x2  3 2 x 2 3     2  6x   0  4   6   42  2    2 4  2  0     66      64  3 3   2    2     16   18  36  8  24 3 22 A 3 Para regiones generales, la metodología sería debe ser algo análoga a laanterior. 81
  4. 4. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 3.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS Si la región plana tuviera la siguiente forma: Fig. 3.4 La idea sería básicamente la misma, hacer particiones de la región (seobtienen también rectángulos) y sumar las áreas de las particiones. Siendo breve, el área del elemento diferencial será: dA  hdx   f ( x)  g ( x) dx b Entonces el área de la región plana está dada por: A   a  f ( x)  g ( x) dx CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración. 3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4. Defina la integral o las integrales para él área. 5. Evalúe la integral definida.82
  5. 5. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 1 y  x  4  Calcular el valor del área de la región limitada por  y  x2  2  SOLUCIÓN: PASO 1: Graficamos en un mismo plano y  x  4 y y  x 2  2 PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. Fig. 3.5 x  4  x2  2 x2  x  6  0 x  3( x  2)  0 x  3  x  2 PASO 4: La integral definida para el área sería: 3 A  2 x  4  x 2   2 dx PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 3 3 A  2 x  4  x 2   2 dx   2  x 2   x  6 dx 3  x3 x2      6x   3 2    2  33 3 2    2 3  22      6(3)       6 2  3 2   3 2      9 8  9   18   2  12 2 3 5 A 6 83
  6. 6. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 2  y  x 3  x 2  6x  Calcular el valor del área de la región limitada por  y  0  SOLUCIÓN: PASO 1: Dibujamos y  x3  x2  6 x PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. Fig. 3.6 x3  x 2  6 x  0   x x2  x  6  0 xx  3( x  2)  0 x0  x3  x  2 PASO 4: La integral definida para el área sería: 0 3 A  2 x 3   x  6 x  (0) dx  2  0 (0)  ( x 3   x 2  6 x dx PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 0 3 A  2 x 3   x 2  6 x  (0) dx    0 (0)  ( x 3   x 2  6 x dx 0 3   2 x 3  x 2  6 x dx    0  x 3  x 2  6 x dx  0 3  x4 x3 x2   4 3 2    6    x  x  6 x   4 3 2   2    2  4 3 0    2 4  2 3  22   3 4 3 3 32    0    6      6   ( 0)    4 3 2   4 3 2         8 81  4   12   9  27 3 4 253 A 1284
  7. 7. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 3  y  x2  2 Calcular el valor del área de la región limitada por   y  x  SOLUCIÓN: PASO 1: Dibujamos las curvas dadas PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones PASO 3: Definimos el elemento diferencial. y  x yx Fig. 3.7 y  x2  2 PASO 4: La integral definida para el área sería: Como la región es simétrica al eje y , calculamos el área de 0 a 2 y la multiplicamos por 2. 2 A2  0  x   x 2  2  dx   PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 2  2  x 2 x3  A2  x   x 2  2  dx  2    2 x     2 3 0 0  8  20  2 2   4   3  3 85
  8. 8. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 3.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y Si la región plana tuviese la forma: Fig. 3.8 Aquí es conveniente hacer particiones en sentido horizontal, también seobtienen rectángulos cuya altura en este caso está dada por la distanciahorizontal x , definida por la función. Para este tipo de región hay que tener laecuación de la curva en la forma x  f  y. El área del elemento diferencial será: dA  hdy  xdy  f ( y)dy El área de la región plana se la obtiene sumando una cantidad infinita de dparticiones que se forman ahora entre c y d ; Es decir: A  f ( y)dy c Y para el caso de regiones simple- y más generales, tenemos: Fig. 3.9 El área del elemento diferencial será: dA  hdy   f ( y)  g ( y)dy86
  9. 9. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral d Entonces el área de la región plana está dada por: A   f ( y)  g( y)dy c Ejemplo 1 y  x  Calcular el área de la región limitada por  y   x  6 y  0  SOLUCIÓN: PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y  x y y  x  6 PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. Anteriormente este problema fue resuelto con el elemento diferencial vertical. Ahora lo resolveremos de la otra forma. SEGUNDO MÉTODO. Escogiendo el elemento diferencial horizontal: Fig. 3.10 El área está dada por: 2 A  0  6  y   y 2 dy 2  y 2 y3   6y     2 3   0  2 2 23    62      0   2 3    8  12  2  3 22 A 3 87
  10. 10. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 2  y  x 1  Calcular el área de la región limitada por  x  3  y 2  SOLUCIÓN: PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso Fig. 3.11 y  1  3  y2 y2  y  2  0  y  2 y  1  0 y  2  y  1 Paso 4 y 5: El área de la región sería: 1 A   2  3  y 2   y  1 dy  1   2   y 2  y  2 dy 1  y3 y 2      2y  3 2    2  13 12    2 3  2 2      21      2 2   3 2   3 2      1 1 8   2 24 3 2 3 9 A 2 Ejercicios propuestos 3.1 Hallar el área de la región lim itada por las curvas: 1. y  2  x2 , y  x, 2. y  4 x  x 2 , y  0, entre x  1 y x  3 . 3. y  x  4, y  0, x  8 . 4. y  x  4 x  3, x  y  1  0 . 2 5. y  2 x, y  2 x  4, x  0 . 6. y  2 x  0, 2 y 2  4 x  12  0 . 7. y 2  x  2, y  x  488
  11. 11. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 8. y  x2 , y  x 2  4x 2x 9. y  x  6, y  x3 , y   . 4 10. y  x  1, y  x2  3 11. y  x3  3 x 2 , y  4x 12. y  x  6 x  8x, 3 2 y  x 2  4x 3.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES. Ahora trataremos regiones simple-  , regiones que están limitadas por curvascuyas ecuaciones están dadas en forma polar. Fig. 3.12 En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector circular,entonces su área está dada por: 1 dA  r 2 d 2 Por tanto el área de la región está dada por: 2   f ()2 d 1 A 2 1 Ejemplo 1 Hallar el área de la región encerrada por r  a SOLUCIÓN: Graficando la circunferencia r  a e identificando la región, tenemos: 89
  12. 12. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Fig. 3.13 2   f ()2 d 1 A 2 1 2  a 2 d 1  2 0 2 El área estar ía dada por:  1  a2 d 2 0 1 2  a2 0 2 A  a 2 Ejemplo 2 Hallar el área de la región encerrada por r  1  cos  SOLUCIÓN: Graficando la cardioide r  1  cos  e identificando la región, tenemos: Fig. 3.1490
  13. 13. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 2  f ()2 d 1 A 2 1     1  2 1  cos  d  2 2   0     0 1  2 cos   cos 2  d        El área estar ía dada por:  d  2 cos d  cos 2 d 0 0 0        1 cos 2   d  2 cos d     d 2 2  0 0 0  sen 2 A    2 sen   1 2  4 0 A Ejemplo 3 Hallar el área de la región encerrada por r  4 sen 3 SOLUCIÓN: Graficando la rosa r  4 sen 3 e identificando la región, tenemos: Fig. 3.15 El área estar ía dada por: 91
  14. 14. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 2  f ( )2 d 1 A 2 1     6    4sen3 2 d  1  6  2    0     6 3  0 16 sen2 3 d   6   1  cos 6   48   d  2  0   sen6  6  24     6 0  sen6      6    0  sen0   A  24      6 6   6         A  24  6 A  4 Ejemplo 4 Hallar el área de la región encerrada por el rizo de r  2  4 cos  SOLUCIÓN: Graficando el caracol r  2  4 cos  e identificando la región, tenemos: Fig. 3.16 El área estar ía dada por:92
  15. 15. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 2   f ()2 d 1 A 2 1     3   1   2 2  4 cos  d 2 2      0    3   0 4  16 cos   16 cos2  d     3 3 3    0 4d  0 16 cos d   0 16 cos d 2    3 3 3     1  cos 2  4 d  16 cos d  16   d  2  0 0 0  sen 2 3 A  4  16 sen   8  4 2 0     A  12  16 sen  2 sen 2   12(0)  16 sen 0  2 sen 0   3 3 3 3 3 A  4  16 2 2 2 A  4  7 3 Ejemplo 5 r  3 sen  Hallar el área de la región interior a ambas curvas  r  1  cos  SOLUCIÓN: Graficando las figuras e identificando la región, tenemos: Fig. 3.17 El ángulo de intersección se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego resolviendo la ecuación tr igonométrica que se for ma, es decir: 93
  16. 16. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 3 sen   1  cos   3 sen  2  1  cos 2 3 sen 2   1  2 cos   cos2    3 1  cos2   1  2 cos   cos2  4 cos2   2 cos   2  0 2 cos2   cos   1  0 cos   12 cos   1  0 cos   1  cos   1 2    3 El área estar ía dada por:  3      1  cos 2 d 1 12 A 3 sen  d  2 2 0  3   31 sen 2  3 1 1 sen 2  A       2 sen     22 4 0 2  2 4   3 3 3  1  3            3  3  A   26  8  2  2   2   8     3   9 A  3 3   3 4 16 4 4 16  3 A3  3 4 4 Ejercicios propuestos 3.2 1. Hallar el área limitada por la curva r  a cos 3 . 2. Determinar el área de la región ex terior a r  2  sen  , e interior a r  5 sen  3. Determine el área de la región interior de la cardioide r  3 3 cos  y ex terior a la cardioide r  3 3sen en el prim er cuadrante 4. Determine el área de la región dentro de la circunferencia r  3sen y fuera de r  2  sen . 5. Determinar el área interior a r 2  8 cos 2 y ex terior a r  2 . 6. Calcular el área de la región que es ex terna a la cardioide r  2  2sen e interna a la cardioide r  2  2 cos  7. Determine el área interior al limaron r  3 6sen pero ex terior al riz o. 8. Hallar el área de la región interna común entre r  cos 2 y r  sen2 9.  Determine el área de la región R  r,  / 3 3  r  6 cos 2 94
  17. 17. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral3.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 0 Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar 360 conrespecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que sellama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN. En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan. CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que semuestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará unsólido de revolución: Fig. 3.18 El volumen de este sólido de revolución se lo puede calc ular de la siguientemanera: Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girarel elemento diferencial representativo en torno al eje indicado. Fig. 3.19 Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se rebana el sólidoy se determina el volumen de una partición. En este caso el sólido diferencialtiene la forma un DISCO, por tanto su volumen está dado por: dV  r 2 dx   f ( x) dx 2 95
  18. 18. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los volúmenesde las particiones, es decir: b V    f ( x) 2 dx a CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que se sombreaen la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera un sólido derevolución de la siguiente forma: Fig. 3.20 Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencialalrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO Fig. 3.21 El volumen del sólido diferencial estaría dado por:  dV   r2 r 1 dx 2 2  Observe que: r2  f ( x) y r1  g ( x) entonces:  dV    f ( x)   g ( x)  dx . 2 2 96
  19. 19. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región planaalrededor del eje "x", estaría dado por: b V    f ( x)    g ( x)  dx 2 2 a CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar la regiónanterior en torno al eje "y": Fig. 3.22 El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA: Fig. 3.23 Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y loabrimos, se obtiene un prisma rectangular: Fig. 3.24 2r h dx 97
  20. 20. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Su volumen sería: dV  2rhdx rx Observe que: h  f ( x)  g ( x) Por tanto el volumen total del sólido sería: b  V  2 x f ( x)  g ( x)dx . a Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos. Ejemplo 1 y  x2  Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :  alrededor  y  8x  del eje x. SOLUCIÓN: PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas. PASO 2: Identificamos la región. PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical Fig. 3.22 x 2  8x x 4  8x   x x3  8  0 x0  x2 Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está dado por:   dV   r2 2 r 1 2 dx y en este caso r2  8 x y r1  x 2 PASO 4: Por tanto:98
  21. 21. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 2     x   dx  8x 2 2 2 V      0 2   0  8 x  x 4 dx 2  x2 x5    8    2 5   0  32   16    5  48 V  u3 5 NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal. Ejemplo 2 y  x2  Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :  alrededor  y  8x  del eje y. SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejercicio anterior PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza Fig. 3.25 Cuyo volumen está dado por dV  2rhdx y en este caso r  x y h 8x  x 2 PASO 4: Por tanto: 99
  22. 22. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 2 V  2   0  x 8 x  x 2 dx 2   3   2  8 x 2  x3 dx     0 2 2 8 5 x4   2  x 2   5  4  0  2 8 5 4   2  2  2 2  ( 0)   5 4       32   2   4 5  24 3 V  u 5 Ejemplo 3 y  x2  Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :  alrededor  y  8x  del eje y  4 SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y  4 " da lugar a una Anillo Fig. 3.26   El volumen de este diferencial está dado por dV   r2 r 1 dx y en este caso r2  4  x 2 y 2 2 r  4  8x 1 PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos:100
  23. 23. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 2 V      22 2  4  x  4  8 x  dx    0 2    0  16  8 x 2  x 4  16  8 8 x  8 x dx  2   4 1    x  8 x 2  8 x  8 8 x 2 dx     0 2  x5 x3 x 2 32 2 3 2    8 8  x   5 3 2 3   0  25 23 22 32 2 3 2      8 8  2   ( 0)   5 3 2 3       32 64 128      16    5 3 3  206 V   u3 15 Ejemplo 4 y  x2  Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :  alrededor  y  8x  del eje y  1 SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y  1 " da lugar a una Anillo Fig. 3.27  2 2  El volumen de este diferencial está dado por dV   r2 r 1 dx y en este caso r1  1  x 2 y r2  1  8x PASO 4: Por tanto: 101
  24. 24. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 2 V      2  2 2  1  8 x  1  x  dx   0 2    0   1  2 8 x  8 x  1  2 x 2  x 4 dx 2   4  2 8 x  2  8 x  2 x  x dx 1  2   0 2  3   x 2 x2 x3 x5   2 8 8 2    3 2 3 5   2 0  8 2 3     3   2 2  4 22  2 23 25  3  5     ( 0)       32 16 32     16     3 3 5  174 V   u3 15 Ejemplo 5 y  x2  Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :  alrededor  y  8x  del eje x  2 SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x  2 " da lugar a una corteza Fig. 3.28 El volumen de este diferencial está dado por dV  2rhdx y en este caso r  2  x y h  8x  x 2 PASO 4: Por tanto:102
  25. 25. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 2 V  2    2  x  8 x  x 2 dx 0 2  2   2 8 x  2 x 2  x 8 x  x3 dx 0 2   3  4 2 x  2  2 x  2 2 x  2  x dx 1 3  2 2   0 2  3 5   x 2 x3 x 2 x4   2  4 2 2 2 2    3 3 5 4   2 2 0  8 2 3 3 5 4   2  2 2  2 2  4 2 2 2  2   (0)  3 3 5 4       32 16 32 16   2       3 3 5 4  88 V   u3 15 Ejemplo 6  y  x 2 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R :  alrededor  y  8x  del eje x  1 SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x  1 " da lugar a una corteza Fig. 3.29 El volumen de este diferencial está dado por dV  2rhdx y en este caso r  1  x y h  8x  x 2 PASO 4: Por tanto: 103
  26. 26. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 2 V  2   1  x  8 x  x 2 dx  0 2  2  8 x  x 2  x 8 x  x3 dx  0 2   3  2 2 x  2  x  2 2 x  2  x dx 1 3  2 2   0 2  3 5   x 2 x3 x 2 x4   2  2 2  2 2    3 3 5 4   2 2 0  4 2 3 3 5 4   2  2 2  2  4 2 2 2  2   (0)  3 3 5 4       16 8 32 16   2       3 3 5 4  152 V   u3 15 Ejercicios Propuestos 3.3 1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor del eje indic ado; siendo R la región lim itada por las curvas, cuyas ecuaciones se dan a continuación: a. y  2x  x 2 , y  0, x  0, x  1 ; eje y  b. x  1, y , y  arc tg x, x  4 ; eje y . 2 1 c. y  0, y  3, x  1, x  3, y ; eje x  1 . x 1 1 2. Sea R la región lim itada por las curvas: y  x 2 , y las rectas y  0, x  2 .. y x a) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje x  2 . b) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje y  1 . 3. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar en torno al eje x  9 la región limitada por las curvas: y 2  9  x, y  3 x . 4. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta x  4 , la región acotada por las curvas: x  y  y 2 , x  y 2  3 . 5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación en torno a la recta y  2 de la región del prim er cuadrante limitada por las parábolas 3x 2  16 y  48  0 , x2  16 y  80  0 y el eje de las y . 6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y, donde R es: x 2  y 2  4 y  3  0  x  2  y  0  y  4 x  y  5  0  x  0  7.   Sea la región R  x, y  / x  1  y  4  2 x 2 . Calc ule el volumen del sólido generado al girar R alrededor del eje: a) x  1 , b) y  1104
  27. 27. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral3.3 LONGITUD DE ARCO Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas de regionesplanas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen infinitas particiones de lacurva y se establece una suma infinita. Fig. 3.30Una partición diferencial tendrá la forma: ds i dy dx Y su longitud está dada por: ds  dx 2  dy 21. Si y  f (x) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma : dx 2  dy 2  dy  2 ds  dx  1    dx dx  dx  b  2  dy  Es decir: s 1    dx  dx  a2. Si x  f ( y) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma : 2 dx 2  dy 2  dx  ds  dy  1    dy  dy  dy   d  2  dx  Es decir: s  1    dy  dy    c 105
  28. 28. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral  x  x(t )3. Finalmente si C :  entonces se utiliza el diferencial de arco de la  y  y (t ) dx 2  dy 2  dx   dy  2 2 forma: ds  dt       dt dt  dt   dt  t2  2 2  dx   dy  Es decir: s       dt  dt   dt  t1 Ejemplo 1 3 Encuentre la longitud de arco de la curva y  x 2 desde el punto (1,1) al punto (4,8) SOLUCIÓN: Fig. 3.31 b  2  dy  En este caso usamos el diferencial de arco de la forma s  1    dx ¿por qué?  dx  a dy 3 1 Ahora  x 2 dx 2 Por tanto: 4  2  dy  s 1    dx  dx  1 4  2 3 1   1   x 2  dx 2    1 4  9  1 x dx 4 1 4 3  9  2 1  x  2 4   3 9 4 1 s 8  32 10  27  13 32  4    106
  29. 29. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 2 x Encuentre la longitud de la curva y   1 u 3  1du ; 1  x  2 SOLUCIÓN: 2  2  dy  La longitud de arco esta dada por: s  1    dx  dx  1 x  dy Para lo cual la derivada sería:  Dx u 3  1du  x 3  1 dx 1 Reemplazando resulta: 2  2  dy  s 1    dx  dx  1 2  2  1   x 3  1  dx     1 2   1 1  x 3  1dx 2   1 x 3 dx 2 5 x 2  5 2 1 2  52 5    2 1 2  5  2 s  4 2 1 5   Ejemplo 3 Calcular la longitud de la circunferencia x2  y2  a2 SOLUCIÓN: Fig. 3.32 107
  30. 30. MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramétrica t2  2 2  dx   dy  s      dt  dt   dt  t1  x  a cos t La ecuación de la circunferencia en forma paramétrica es: C: ;0  t  2  y  a sen t dx dy Por tanto  a sen t y  a cos t . Reemplazando resulta: dt dt 2 2 2  dx   dy  s 0      dt  dt   dt  2  0  a sen t 2  a cos t 2 dt 2  0 a 2 sen 2 t  a 2 cos 2 t dt 2   a sen 0 2 2 t  cos 2 t dt  2   a dt 0 2  a dt 0  2  at 0 s  2a Ejercicios Propuestos 3.4 1. Determine la longitud de arco de la curv a y  1  ln cos x ; x  4  x  t  sen t 2. Determine la longitud de arco de la curv a:  en el intervalo 0  t  4  y  1  cos t  x  a cost  atsent 3. Determine la longitud de arco de la curv a:  en el interv alo 1  t  1  y  asent  at cost x    4. Encuentre la longitud de la curva y  64sen2u cos4 u  1 du , x 6 3  6108

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