La derivada representa la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto y puede usarse para determinar si una función es creciente o decreciente, encontrar máximos y mínimos, y puntos de inflexión. La derivada tiene aplicaciones en diversas áreas como las finanzas, la aeronáutica, la química y la física, permitiendo calcular tasas de cambio y optimizar procesos.

1. Aplicación de la
Derivada

2. Breve descripción de la Derivada.
 La derivada de una función es la
pendiente de la recta tangente a la curva
de la misma, evaluada en un punto. Esto
es: Sea F(x) la función a estudiar
entonces F’(x0)=m, donde m es la
pendiente antes mencionada, y x0 el valor
donde se evalúa la F’(x).

3. Gráficamente seria:

4. Reglas de la Derivada
 Regla de la constante: f una función
constante, f(x)= c, entonces f’(x)= 0.
 Regla de la potencia:
 Sea →
 Derivada de la identidad:
f(x)= X → f’(x)= 1
 Derivada de la función exponencial:
→

5.  Regla de la suma y de la diferencia: sea f
y g funciones diferenciables:
 Regla del producto:
 Regla del cociente:

6.  La matemática es una ciencia, que está en
todos lados, y la derivada que forma parte
de esta, también lo está, es muy útil para
saber si una función es creciente o
decreciente, encontrar máximos y
mínimos, concavidad, puntos de inflexión,
etc. Un ejemplo de lo que estamos
hablando, se da en el ámbito financiero,
por ejemplo, si conocemos la función
ganancia y costo de una empresa por
mes, la derivada nos ayuda a encontrar
cuáles son esos puntos máximos de
ganancia y mínimos de los costos, para
que dicha empresa pueda ser rentable.

7. Continuando con la parte anterior de la
empresa, también nos permite saber a
partir de que punto (tiempo) la función,
tanto la de ganancia como la de costo,
pudiera crecer o decrecer y tomar las
medidas correctivas.
 En el ámbito de la aeronáutica, la derivada
se usa para calcular cuánto combustible
se consume en el tiempo, en la medida
que el cohete asciende, para calcular la
cantidad de combustible que debe usarse
para el despegue.

8. ¿ Por qué es tan importante la
aplicación de la derivada?
 La Derivada tiene un amplio uso en muchas
áreas de la ciencia, como por ejemplo la
Astronomía, La Medicina, La Química, la
Metalúrgica, La Mecánica, etc. Veamos
algunos casos.
 Nos permite calcular por ejemplo (de
maneras mas rápida, no necesariamente más
fácil) las velocidades de objetos en
movimientos respecto al tiempo. Si
conocemos la posición del objeto en el
tiempo, es decir X(t), con tan solo derivar
X(t) con respecto al tiempo encontraríamos la
velocidad, esto es V(t)= d[X(t)]/dt

9.  En la química la derivada se usa para
calcular la velocidad de una reacción
química. Para una reacción escrita
genéricamente de la forma siguiente:
aA + bB → pP + qQ,
La velocidad de reacción, V, se expresa
como:
Donde [A], [B], [P], [Q], son las
concentraciones de los reactivos y de los
productos, a,b,p y q son coeficiente
estequiométrico.

10.  En la cinemática de fluido se usa para
buscar la deformación de un fluido
durante un intervalo de tiempo. Sea la
deformación , por lo que la
derivada local a resolver es :
Y la derivada material con respecto al
tiempo es:
A partir de allí se puede buscar, velocidad,
aceleración del fluido.

11.  En la teoría de la relatividad de Einstein,
se usaron para probar que la gravedad no
es mas que la distorsión del espacio en el
tiempo, en presencia de una gran masa. Y
no como afirmaba Newton que la
gravedad era la atracción de los objetos.
 Si deseas cercar un terreno, con la
derivada se puede obtener la cantidad
mínima de cerca que debes usar para
minimizar los costos y así entre muchas
otras cosas innumerables, donde se aplica
la derivada.

12.  Podemos decir en resumen que la
aplicación de la derivada sirve para
resolver problemas de optimización de los
resultados, es decir donde la función
alcance sus máximos o mínimos,
monotonía, es decir el comportamiento de
crecimiento o no. Puntos de inflexión,
concavidad. Que los podemos interpretar
como los parámetros y variables,
necesario para resolver los problemas en
cualquier campo de estudio de los antes
mencionados.