Ley de Gauss

1. Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855)
Es muy útil para calcular campos eléctricos de distribuciones de
carga altamente simétricas.
Flujo:
A
A

2. A
dx
Densidad de partículas = ρ
Pasaron
Aρdx
partículas
en un
tiempo dt
Por unidad de tiempo pasaron Aρv partículas, donde v es la velocidad de las
partículas. Esto es lo que se llama el flujo: Φ = ρvA.

3. dx dx
Densidad de partículas = ρ
Α cos θΑ’=
θ
θ
Α
v
Φ A’ = ρv A’ = ρ v A cos θ = ρ v A.
Flujo de materia.
Α es un vector perpendicular al área y su módulo es
igual al área.
Campo de velocidades v.

4. Flujo para un campo vectorial arbitrario.
Si F es un vector en un punto del campo y da es un vector
representando un elemento de área en ese punto se define el elemento
de flujo por:
dΦ = F da. da
F
A
F
da
da
F

5. E
da
q
E
da
Flujo, a través de una superficie esférica, del campo eléctrico debido
a una carga eléctrica q colocada en el centro:
Φ =
∫ E da. =
∫
q
r2
r^ r^
da.
r
ke = 4keπ q

6. r
R
Angulo sólido
dAR
dAr
dΩ =
dAR
R2
=
dAr
r2
dΦr =
q
keq
r2
dAr
dΦR =
keq
R2
dAR =
q
R2
R2
r2
dAr = dΦrke

7. q
dAR = dA’cos θ
θ
dA’
dAR

8. dΦA’=
ke q
R2
r^
dA’. =
ke q
R2
dA’ cos θ
k eq
R2
= dAR = dΦR
El flujo a través de cualquier superficie que contenga a la
carga q0 es el mismo.
E da.Φ =
∫ =
q1
q2
; E = E0 + E1 + E2
q0
4keπq0 +4keπq1 + 4keπq2

9. Φ = 4π
∫ρ( r ) dV distribución continua de cargas
Φ = 4π ∑
i=1
N
qi distribución discreta de N cargas.
∫ρ( r ) dVE da.
∫ =
E da.
∫ ∑
i=1
N
qi=
Ley de Gauss
ke
ke
4π ke
4π ke

10. x
y
z
dx
θ
dEy
E
Ey= ∫
-
∞
∞
λcos θ
R2
R
θ
dθ
π/2 − θ
dx
Rdθ
Rdθ = dx cos θ
= ∫
λdθ
r
R
r = R cos θ
=
-π/2
π/2
∫
λ
r
cos θ dθ
=
2ke λ
r
ke
ke ke

11. r
r
E da.
∫ L
= 4ke π λ L
=> Er L 2π r == 4keπ λ L
=>
2ke λ
Er =
r

12. Plano de carga no conductor
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
EE
A
Φ = 2EA =
σΑ
εo
+
+
+
σE =
2εo

13. Dos placas infinitas no conductoras cargadas uniformemente:
σ −σ
E1= 0
y
E = ^
E2 = 0
σ
εο
j

14. Conductor
A
E+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+ ++
Cargas en la superficie.
Campo es nulo en el interior.
Campo perpendicular a la superficie.
Campo es mayor donde la curvatura es mayor.
Φ = EA =
σA
εo
E =
εo
σ
Justo fuera del conductor:
δ
muy pequeño

15. Aplicación de la ley de Gauss a aislantes cargados:
P29 Considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio R
con densidad de carga uniforme ρ. Encuentre el campo eléctrico a
a una distancia r < R del eje.
r
R
E =
ρ r
2εo
r^
L

16. ∫E da =
∫ E r da r = E 2π r L^^ =
εo
ley de Gauss
π r2
L ρ
Nota: Hemos elegido una superficie donde E es constante y donde
el campo es paralelo al elemento de área. Hemos hecho uso
de la simetría del problema.

17. Carga eléctrica distribuida homogéneamente en una esfera
de radio R.
R
3
4
3
R
Q
π
ρ =

18. i)
Rr <
r
3
3
3
3
3
3
4
4
3
3
4
R
r
Qr
R
Q
rQ Rr ===< π
π
πρ
Aplicando ley de Gauss:
r
R
Q
E
R
Qr
rE
3
0
3
0
3
2
4
4
πε
ε
π
=∴
=⋅

19. ii)
Rr >
r
0
2
4
ε
π
Q
Er =
2
0
1
4 r
Q
E
πε
=

20. R
E
r

21. Cascarón esférico delgado de radio R
2
0
1
4 r
Q
E
πε
=
afuera0=E
adentro
R

22. P53, P55

23. 3Q
a
b
c
-Q

24. i) cr >
0
2 2
4
ε
π
Q
rE =⋅
2
0
1
2 r
Q
E
πε
=∴
ii) brc >>
0=E Interior del conductor

25. iii)
arb >>
r
r
Qk
r
r
Q
E
Q
rE e
ˆ
3
ˆ
1
4
33
4 22
00
2
==⇒=⋅
πεε
π

iv) ar <
r
a
Qk
r
a
Q
E
a
Qr
rE
e 
33
0
3
0
3
2
3
4
3
3
4
==∴
=⋅
πε
ε
π

26. a b c
r
E

27. ρa
b
c
conductor
descargado
no conductor
cargado
homogéneamente

28. i) Campo en r < a
ρπ
εε
π 32
3
41
4 r
q
rEadE
oo
r
===⋅∫

luego:
r
r
E
o
ˆ
3ε
ρ
=

ii) Campo en a < r < b
ρπ
επ
3
2
3
4
conˆ
4
aQr
r
Q
E
o
==

iii) Campo en b < r < c
0=E

interior del conductor

29. iv) Campo en r > c
ρπ
επ
3
2
3
4
conˆ
4
aQr
r
Q
E
o
==

v) Densidad de carga superficial en el interior del conductor
conductor;delinteriorsuperficielaencargalaesdonde
00
s
o
s
q
qQ
adadE
ε
+
==⋅=⋅∫ ∫

luego:
2
4
:entoncesy
b
Q
Qqs
π
σ
−
=−=

30. vi) Densidad de carga en la superficie exterior del conductor.
Puesto que el conductor está descargado la carga total
sobre esta superficie es
Qqq sc =−=
luego:
2
4 c
Q
c
π
σ =

31. P60
a
2a
r
r1
Ex = 0
ρa
Ey =
3εo
a
Campo en la
cavidad esférica
x
y
No hay campo
gravitacional.
ρ
Esfera no conductora
con una cavidad y
cargada uniformemente.

32. rr
R
R
kr
R
Q
krE ee

0
3
3
3
33
4
)(
ε
ρρπ
===
La cavidad es representada por dos esferas de cargas opuestas
y de densidad ρ. Queda entonces una esfera completa de radio
R= 2a con densidad de carga ρ y una esfera de radio a con
densidad de carga –ρ.
el campo de la esfera de radio R es:
y el de la esfera de radio a es:
1
0
13
3
13
33
4
)( rr
a
a
kr
a
Q
krE e
a
ea

ε
ρρπ
−=−==
En el punto ;r


33. Aplicando el principio de superposición tenemos, para el campo
dentro de la cavidad:
( )1
03
rrET

−=
ε
ρ
pero ,1 arr

−=
luego,
( ) aarrET

00 33 ε
ρ
ε
ρ
=+−=

34. Soltar desde el origen una masa con una carga positiva q.

35. Problema 3
Considere una esfera no conductora de radio 2a, con dos cavidades
de radio a en su interior y cargada uniformemente con una densidad
de carga ρ, como se muestra en la figura.
y
xa2aa−
Encuentre el campo eléctrico sobre el eje y.

36. Problema 7
Un hilo no conductor de radio 2R y longitud infinita tiene una cavidad
paralela a su eje y desplazada una distancia R de su centro. Además
se encuentra cargado uniformemente con densidad de carga ρ.
x
y
R2 R
Encuentre el campo en la cavidad y
en el punto xRr ˆ−=


37. Solución.
Se trata de dos cilindros paralelos: uno de radio 2R centrado en 0 y
otro de radio R centrado en +R. El primero tiene densidad de carga
uniforme ρ y el segundo una densidad de carga uniforme –ρ.
R
R
o
R
R r
r
E ˆ
2ε
ρ
−=

En la cavidad:
r
r
E
o
R
ˆ
2
2
ε
ρ
=

r

Rr

xRrrR
ˆ−=

x
R
EEE
o
RR
ˆ
2
2
ε
ρ
=+=

En xRr

−= x
R
E
o
R
ˆ
4ε
ρ
=

x
R
E
o
R
ˆ
2
2
ε
ρ
−=

x
R
EEE
o
RR
ˆ
2
2
ε
ρ
−=+=


38. P67 Una placa infinita de material aislante tiene una densidad de
carga positiva uniforme ρ.
x
y
Campo en este punto está en
la dirección x.
vista de canto
Aplicamos Gauss al
cilindro A
x
EA =
ρ Α x
εo
E =
ρ x
εo
i^
x