Aplicaciones de la integral

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
79
3
3.1. ÁREAS DE REGIONES PLANAS
3.2. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
3.3. LONGITUD DE UNA CURVA PLANA
3.4. VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN
3.5. INTEGRALES IMPROPIAS.
Objetivo:
 Calcular áreas de regiones planas generales,
volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una
curva plana.
 Evaluar integrales de funciones no acotadas

80
3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
3.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA
Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se
particiona la región y luego se hace una suma infinita de las áreas de las
particiones, lo cual equivale a una integral definida.
Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una
partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier
partición de la región plana
El área del elemento diferencial será: dxxfhdxdA )(
Por tanto, el área de la región plana está dada por:

b
a
dxxfA )(
Ejemplo 1
Hallar el área bajo la curva
2
xy  en  3,1
SOLUCIÓN:
Primero, hacemos un dibujo de la región:
El área bajo la curva estará dada por:
3
3
3 3 3
2
1
1
3 1 27 1 26
3 3 3 3 3 3
x
A x dx
   
         
   
1 3
2
y x
x
y
Fig. 3.1
Fig. 3.2

81
Ejemplo 2
Calcular el área de la región limitada por








0
6
y
xy
xy
SOLUCIÓN:
Primero se dibuja en el mismo plano xy  y 6 xy
Luego, identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.
El área está dado por:
 
 
     
3
22
2483618
3
16
46
2
4
66
2
6
04
6
2
6
22
2
3
3
2
6
4
24
0
2
3
3
2
6
4
4
0





































A
x
x
x
dxxdxxA
Para regiones generales, la metodología sería debe ser algo análoga a la
anterior.
   
  
49
049
03613
3612
6
6
2
2
22






xx
xx
xx
xxx
xx
xx
Fig. 3.3

82
3.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:
La idea sería básicamente la misma, hacer particiones de la región (se
obtienen también rectángulos) y sumar las áreas de las particiones.
Siendo breve, el área del elemento diferencial será:
 ( ) ( )dA hdx f x g x dx  
Entonces el área de la región plana está dada por:  ( ) ( )
b
a
A f x g x dx 

CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región
plana, siga los siguientes pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los
límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento
representativo.
4. Defina la integral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.
Fig. 3.4

83
Ejemplo 1
Calcular el valor del área de la región limitada por






2
4
2
xy
xy
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano 4 xy y 22
 xy
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.
PASO 3: Definimos el elemento diferencial.
PASO 4: La integral definida para el área sería:
    


3
2
2
24 dxxxA
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
      
     
6
5
122
3
8
18
2
9
9
26
2
2
3
2
)3(6
2
3
3
3
6
23
624
2323
3
2
23
3
2
2
3
2
2





































A
x
xx
dxxxdxxxA
 
23
0)2(3
06
24
2
2




xx
xx
xx
xx
Fig. 3.5

84
Ejemplo 2






0
623
y
xxxy
SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos xxxy 623

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x.
    dxxxxdxxxxA
 

3
0
23
0
2
23
6()0()0(6
    
   
     
12
253
279
4
81
12
3
8
4
)0(
2
3
6
3
3
4
3
2
2
6
3
2
4
2
0
2
6
342
6
34
66
6()0()0(6
234234
3
0
234
0
2
234
3
0
23
0
2
23
3
0
23
0
2
23



































 






























A
xxxxxx
dxxxxdxxxx
dxxxxdxxxxA
 
 
230
0)2(3
06
06
2
23




xxx
xxx
xxx
xxx
Fig. 3.6

85
Ejemplo 3
2
2y x
y x
  


SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos las curvas dadas
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones
Como la región es simétrica al eje y , calculamos el área de 0 a 2 y la multiplicamos por 2.
 
2
2
0
2 2A x x dx    

 
2
22 3
2
0
0
2 2 2 2
2 3
8 20
2 2 4
3 3
x x
A x x dx x
 
        
 
 
    
 

y xy x 
2
2y x Fig. 3.7

86
3.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y
Si la región plana tuviese la forma:
Aquí es conveniente hacer particiones en sentido horizontal, también se
obtienen rectángulos cuya altura en este caso está dada por la distancia
horizontal x, definida por la función. Para este tipo de región hay que tener la
ecuación de la curva en la forma  x f y .
El área del elemento diferencial será: dyyfxdyhdydA )(
El área de la región plana se la obtiene sumando una cantidad infinita de
particiones que se forman ahora entre c y d ; Es decir:

d
c
dyyfA )(
Y para el caso de regiones simple- y más generales, tenemos:
El área del elemento diferencial será:  dyygyfhdydA )()( 
Fig. 3.8
Fig. 3.9

87
Entonces el área de la región plana está dada por:  
 
d
c
dyygyfA )()(
Ejemplo 1








0
6
y
xy
xy
SOLUCIÓN:
PASO 1: Se dibuja en un mismo plano xy  y 6 xy
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.
PASO 3, 4y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas.
Anteriormente este problema fue resuelto con el elemento diferencial vertical. Ahora lo resolveremos de la
otra forma.
SEGUNDO MÉTODO.
Escogiendo el elemento diferencial horizontal:
El área está dada por:
  
   
3
22
3
8
212
0
3
2
2
2
26
32
6
6
32
2
0
32
2
0
2























A
yy
y
dyyyA
Fig. 3.10

88
Ejemplo 2






2
3
1
yx
xy
SOLUCIÓN:
PASO 1, PASO 2y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso
Paso 4 y 5: Elárea de la región sería:
    
 
       
2
9
42
3
8
2
2
1
3
1
22
2
2
3
2
12
2
1
3
1
2
23
2
13
2323
1
2
23
1
2
2
1
2
2








































A
y
yy
dyyy
dyyyA
Ejercicios propuestos 3.1
Hallar el área de la región limitada por las curvas:
1. ,,2 2
xyxy 
2. ,0,4 2
 yxxy entre 1x y 3x .
3. 8,0,4  xyxy .
4. 01,342
 yxxxy .
5. 0,42,2  xxyxy .
6. 0124,02 22
 xyxy .
7. 422
 xy,xy
  
12
012
02
31
2
2




yy
yy
yy
yy
Fig. 3.11

89
8. xxyxy 4, 22

9. ,,6 3
xyxy 
4
2x
y  .
10. 3,1 2
 xyxy
11. xyxxy 4,3 23

12. xxyxxxy 4,86 223

3.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES.
Ahora trataremos regiones simple-  , regiones que están limitadas por curvas
cuyas ecuaciones están dadas en forma polar.
En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector circular,
entonces su área está dada por:
 drdA 2
2
1
Por tanto el área de la región está dada por:
 




2
1
2
)(
2
1
dfA
Ejemplo 1
Hallar el área de la región encerrada por ar 
SOLUCIÓN:
Graficando la circunferencia ar  e identificando la región, tenemos:
Fig. 3.12

90
El área estaría dada por:
 
 
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
2
1
aA
a
da
da
dfA













Ejemplo 2
Hallar el área de la región encerrada por  cos1r
SOLUCIÓN:
Graficando la cardioide  cos1r e identificando la región, tenemos:
Fig. 3.13
Fig. 3.14

91
 
 
 








 



























A
A
ddd
ddd
d
d
dfA
0
2
1
000
0
2
00
0
2
0
2
2
4
2sen
sen2
2
2cos
2
1
cos2
coscos2
coscos21
cos1
2
1
2
)(
2
1
2
1
Ejemplo 3
Hallar el área de la región encerrada por  3sen4r
SOLUCIÓN:
Graficando la rosa  3sen4r e identificando la región, tenemos:
Fig. 3.15

92
 
 
 

















4
6
24
6
0
0
6
6
6
24
6
6
24
2
6cos1
48
3163
34
2
1
6
)(
2
1
6
6
0
6
0
6
0
2
6
0
2
2
2
1
















































 






















A
A
sensen
A
sen
d
dsen
dsen
dfA
Ejemplo 4
Hallar el área de la región encerrada por el rizo de  cos42r
SOLUCIÓN:
Graficando el caracol  cos42r e identificando la región, tenemos:
Fig. 3.16

93
 
 
 
     
 
 
374
2
3
2
2
3
164
0sen20sen16)0(12
3
2sen2
3
sen16
3
12
2
2sen
48sen164
2
2cos1
16cos164
cos16cos164
cos16cos164
cos42
2
1
2
)(
2
1
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
2
3
0
3
0
3
0
2
3
0
2
2
2
1







 












 

































A
A
A
A
ddd
ddd
d
d
dfA
Ejemplo 5
Hallar el área de la región interior a ambas curvas





cos1
sen3
r
r
SOLUCIÓN:
Graficando las figuras e identificando la región, tenemos:
El ángulo de intersección se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego resolviendo
la ecuación trigonométrica que se forma, es decir:
Fig. 3.17

94
   
 
  
3
2
1cos1cos
01cos21cos
01coscos2
02cos2cos4
coscos21cos13
coscos21sen3
cos1sen3
cos1sen3
2
2
22
22
22









   
3
4
3
4
3
3
16
9
44
33
16
3
4
8
3
3
22
3
2
1
8
3
62
3
4
2sen
2
1
sen2
2
1
4
2sen
2
1
2
3
cos1
2
1
sen3
2
1
3
3
0
3
2
3
0
2



















































 





 









A
A
A
A
ddA
1. Hallar el área limitada por la curva 3cosar  .
2. Determinar el área de la región exterior a  sen2r , e interior a  sen5r
3. Determine el área de la región interior de la cardioide cos33r y exterior a la cardioide
senr 33 en el primercuadrante
4. Determine el área de la región dentro de la circunferencia senr 3 y fuera de senr  2 .
5. Determinar el área interior a 2cos82
r y exterior a 2r .
6. Calcular el área de la región que es externa a la cardioide senr 22 e interna a la cardioide
cos22r
7. Determine el área interior al limaron senr 63 pero exterior al rizo.
8. Hallar el área de la región interna común entre 2cosr y 2senr 
9. Determine el área de la región    2cos633/,  rrR

95
3.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar
0
360 con
respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que se
llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN.
En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.
CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se
muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará un
sólido de revolución:
El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la siguiente
manera:
Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girar
el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado.
Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se rebana el sólido
y se determina el volumen de una partición. En este caso el sólido diferencial
tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen está dado por:
  dxxfdxrdV
22
)(
Fig. 3.18
Fig. 3.19

96
Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los volúmenes
de las particiones, es decir:
  dxxfV
b
a
2
)(

CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que se sombrea
en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera un sólido de
revolución de la siguiente forma:
Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial
alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO
El volumen del sólido diferencial estaría dado por:
 dxrrdV
2
1
2
2 
Observe que: )(2 xfr  y )(1 xgr  entonces:
    dxxgxfdV
22
)()(  .
Fig. 3.20
Fig. 3.21

97
Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región plana
alrededor del eje "x", estaría dado por:
     
b
a
dxxgxfV
22
)()(
CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar la región
anterior en torno al eje "y":
El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA:
Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo
abrimos, se obtiene un prisma rectangular:
r2
h
dx
Fig. 3.22
Fig. 3.23
Fig. 3.24

98
Su volumen sería:
rhdxdV  2
Observe que: )()( xgxfh
xr


Por tanto el volumen total del sólido sería:
 dxxgxfxV
b
a
)()(2 
 .
Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos.
Ejemplo 1
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana






xy
xy
R
8
:
2
alrededor
del eje x.
SOLUCIÓN:
PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas.
PASO 2: Identificamos la región.
PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical
Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está dado por:
 dxrrdV 2
1
2
2  y en este caso xr 82  y
2
1 xr 
PASO 4: Por tanto:
 
20
08
8
8
3
4
2




xx
xx
xx
xx
Fig. 3.22

99
   
 
3
2
0
52
2
0
4
2
0
222
5
48
5
32
16
52
8
8
8
uV
xx
dxxx
dxxxV





















 


NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal.
Ejemplo 2






xy
xy
R
8
:
2
alrededor
del eje y.
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejercicio anterior
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza
Cuyovolumen está dado por rhdxdV  2 y en este caso xr  y
2
8 xxh 
PASO 4: Por tanto:
Fig. 3.25

100
  
3
4
2
5
2
0
4
2
5
2
0
32
3
2
0
2
5
24
4
5
32
2
)0(
4
2
2
5
82
2
45
82
2
82
82
uV
x
x
dxxx
dxxxxV





















































Ejemplo 3






xy
xy
R
8
:
2
alrededor
del eje 4y
SOLUCIÓN:
PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 4y " da lugar a una Anillo
El volumen de este diferencial está dado por  dxrrdV 2
1
2
2  y en este caso 2
2 4 xr  y
xr 841 
PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos:
Fig. 3.26

101
   
    
3
2
3235
2
0
2
3235
2
0
2
1
24
2
0
42
2
0
222
15
206
3
128
16
3
64
5
32
)0(2
3
232
2
2
8
3
2
8
5
2
3
232
2
8
3
8
5
8888
88816816
844
uV
x
xxx
dxxxxx
dxxxxx
dxxxV






























































Ejemplo 4






xy
xy
R
8
:
2
alrededor
del eje 1y
SOLUCIÓN:
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 1y " da lugar a una Anillo
El volumen de este diferencial está dado por  dxrrdV 2
1
2
2  y en este caso
2
1 1 xr  y
xr 812 
PASO 4: Por tanto:
Fig. 3.27

102
   
    
 
 
3
53
22
3
2
0
5322
3
2
0
42
2
1
2
0
42
2
0
222
15
174
5
32
3
16
16
3
32
)0(
5
2
3
2
2242
3
28
53
2
2
8
2
3
82
2882
218821
181
uV
xxxx
dxxxxx
dxxxxx
dxxxV






























































Ejemplo 5






xy
xy
R
8
:
2
alrededor
del eje 2x
SOLUCIÓN:
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 2x " da lugar a una corteza
El volumen de este diferencial está dado por rhdxdV  2 y en este caso xr  2 y
2
8 xxh 
PASO 4: Por tanto:
Fig. 3.28

103
  
 
   
 
3
4
2
53
2
3
2
0
42
5
32
3
2
0
3
2
32
2
1
2
0
32
2
0
2
15
88
4
16
5
32
3
16
3
32
2
)0(
4
2
2
5
24
3
2
22
3
28
2
4
2
5
22
3
2
2
3
242
222242
82822
822
uV
xxxx
dxxxxx
dxxxxxx
dxxxxV
























































Ejemplo 6






xy
xy
R
8
:
2
alrededor
del eje 1x
SOLUCIÓN:
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 1x " da lugar a una corteza
El volumen de este diferencial está dado por rhdxdV  2 y en este caso xr 1 y
2
8 xxh 
PASO 4: Por tanto:
Fig. 3.29

104
  
 
   
 
3
4
2
53
2
3
2
0
42
5
32
3
2
0
3
2
32
2
1
2
0
32
2
0
2
15
152
4
16
5
32
3
8
3
16
2
)0(
4
2
2
5
24
3
2
2
3
24
2
4
2
5
22
3
2
3
222
22222
882
812
uV
xxxx
dxxxxx
dxxxxxx
dxxxxV
























































Ejercicios Propuestos 3.3
1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor del eje indicado; siendoR la
región limitada por lascurvas, cuyas ecuaciones se dan a continuación:
a. 1,0,0,2 2
 xxyxxy ; eje y
b. 4,tg,
2
,1 

 xxarcyyx ; eje y .
c. 1;
1
1
,3,1,3,0 

 xeje
x
yxxyy .
2. Sea R la región limitada por lascurvas:
x
yxy
1
,2
 y las rectas 2,0  xy ..
a) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje 2x .
b) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje 1y .
3. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar en torno al eje 9x la región limitada por
las curvas: xyxy  3,92
.
4. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta 4x , la región acotada por
las curvas: 3, 22
 yxyyx .
5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación en torno a la recta 2y de la región del primer
cuadrante limitada por las parábolas 048163 2
 yx , 080162
 yx y el eje de las y .
6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del ejey, dondeR es:

















0
05
4
0
2
03422
x
yx
y
y
x
yyx
7. Sea la región   2
241/, xyxyxR  . Calcule el volumen del sólido generado al girar R alrededor
del eje: a) 1x , b) 1y

105
3.3 LONGITUD DE ARCO
Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas de regiones
planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen infinitas particiones de la
curva y se establece una suma infinita.
Una partición diferencial tendrá la forma:
Y su longitud está dada por: 22
dydxds 
1. Si )(xfy  entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:
dx
dx
dy
dx
dx
dydx
ds
222
1 








Es decir:
 






b
a
dx
dx
dy
s
2
1
2. Si )(yfx  entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:
dy
dy
dx
dy
dy
dydx
ds
222
1 








Es decir:
 






d
c
dy
dy
dx
s
2
1
ids
dx
dy
Fig. 3.30

106
3. Finalmente si





)(
)(
:
tyy
txx
C entonces se utiliza el diferencial de arco de la
forma: dt
dt
dy
dt
dx
dt
dt
dydx
ds
2222















Es decir:
 












2
1
22
t
t
dt
dt
dy
dt
dx
s
Ejemplo 1
Encuentre la longitud de arco de la curva 2
3
xy  desde el punto )1,1( al punto )8,4(
SOLUCIÓN:
En este caso usamos el diferencial de arco de la forma
 






b
a
dx
dx
dy
s
2
1 ¿por qué?
Ahora 2
1
2
3
x
dx
dy

Por tanto:
  
































2
3
4
132
3
4
1
2
3
4
1
4
1
2
2
1
4
1
2
10
27
8
4
9
4
9
1
3
2
4
9
1
2
3
1
1
s
x
dxx
dxx
dx
dx
dy
s
Fig. 3.31

107
Ejemplo 2
Encuentre la longitud de la curva 21;1
1
3

 xduuy
x
SOLUCIÓN:
La longitud de arco esta dada por:
 






2
1
2
1 dx
dx
dy
s
Para lo cual la derivada sería: 11 3
1
3

 xduuD
dx
dy
x
x
Reemplazando resulta:
 124
5
2
12
5
2
2
5
11
11
1
2
5
2
5
2
1
2
5
2
1
3
2
1
3
2
1
2
3
2
1
2















 











s
x
dxx
dxx
dxx
dx
dx
dy
s
Ejemplo 3
Calcular la longitud de la circunferencia
222
ayx 
SOLUCIÓN:
Fig. 3.32

108
Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramétrica
 












2
1
22
t
t
dt
dt
dy
dt
dx
s
La ecuación de la circunferencia en forma paramétrica es: 





20;
sen
cos
: t
tay
tax
C
Por tanto ta
dt
dx
sen y ta
dt
dy
cos . Reemplazando resulta:
   
 
as
at
dta
dta
dttta
dttata
dttata
dt
dt
dy
dt
dx
s

































2
cossen
cossen
cossen
2
0
2
0
2
0
2
0
222
2
0
2222
2
0
22
2
0
22
Ejercicios Propuestos 3.4
1. Determine la longitud de arco de la curva   4
;cosln1  xxy
2. Determine la longitud de arco de la curva:





ty
ttx
cos1
sen
en el intervalo  40 t
3. Determine la longitud de arco de la curva:





tatasenty
atsenttax
cos
cos
en el intervalo 11  t
4. Encuentre la longitud de lacurva
36
,1cos64
6
42 


 xduuuseny
x

109
3.3.1 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES.
La longitud de arco esta dada por:


















d
d
dy
d
dx
s
2
1
22
Reemplazando, tenemos:
     
   
   
        










dsenfsenfs
d
fsenffsenf
senfsenfff
s
dfsenfsenffs








2
1
2
1
2
1
222222
2222
2222
22
cos)(cos)´(
cos)(cos)()´(2)´(
)(cos)()´(2cos)´(
cos)(´)(cos´
Resultando finamente:
    



dffs
2
1
22
)´()(
Ejemplo 1
Hallar la longitud de la circunferencia ar 
SOLUCIÓN:
Aplicando la formula y resolviendo, resulta:
   
as
as
das
doas
dffs













2
)´()(
2
0
2
0
2
0
22
22
2
1
Ejemplo 2
Hallar la longitud de la cardioide  cos1r
SOLUCIÓN:
Aplicando la formula y resolviendo, resulta:

110
   
   
8sen4
cos222
cos222
cos122
cos222
sencoscos212
sencos12
)´()(
02
0
2
0
2
2
0
0
0
1
22
0
22
22
2
1



























s
ds
ds
ds
ds
ds
ds
dffs
  
Ejemplo 3
Hallar perímetro de región interior a las curvas





cos1
sen3
r
r
SOLUCIÓN:
En este caso el perímetro estaría dado por
Fig. 3.33

111
       
2
3
3
44
3
3
sen43
cos2cos3sen3
sencos1cos3sen3
2
1
3
2
3
0
3
2
3
0
22
3
22
3
0
22


















Per
Per
Per
ddPer
dPer
1. Determine el áreay el perímetro de la región interior a las curvas  cos3r y  cos1r .
2. Determinar:
a) El valor de a para el cual el área de la región limitada por la cardioide  cos1 ar sea igual a
9 unidades cuadradas.
b) La longitud de la cardioide definida en el literal a).
3.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
Sea f una función continua en el intervalo  ba, . El
VALOR MEDIO O VALOR PROMEDIO de f ,
denotado como f , está dado por:


b
a
dxxf
ab
f )(
1
Ejemplo
Las estadísticas indican que " t " meses después del principio de año, el precio de la carne de res era
6.12.009.0)( 2
 tttp dólares por libra. ¿Cuál fue el precio medio de la carne durante los 3
primeros meses?.
SOLUCIÓN:
El promedio del precio durante los 3 primeros meses es:

112
 
 
57.1$
8.49.081.0
3
1
6.1
2
2.0
3
09.0
3
1
6.12.009.0
03
1
)(
1
3
0
23
3
0
2


















p
t
tt
dttt
dttp
ab
p
b
a
3.5 INTEGRALES IMPROPIAS
Se trata ahora de trabajar con regiones que estén limitadas por curvas no
acotadas, que tengan asíntotas horizontales y verticales.
3.5.1 LÍMITES INFINITOS.
Se presentan cuando se plantean integrales de la forma


a
dxxf )( , o de la
forma

a
dxxf )( , o de la forma



dxxf )( .
En este caso, es una integral impropia porque uno de los límites de
integración o ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, deberá tratárselas
con propiedad. Es decir:











 
 N
a
N
a
dxxfdxxf )(lím)(











 

a
N
N
a
dxxfdxxf )(lím)(
Y finalmente la última integral por la propiedad de aditividad se la trataría así:






a
a
dxxfdxxfdxxf )()()(

113
Ejemplo 1
Hallar el área de la región







 
0
0:
x
y
ey
R
x
, en el primer cuadrante.
SOLUCIÓN:
Dibujando las curvas dadas e identificando la región tenemos:
El área de la región estaría dada por




0
dxeA x
, la cual es una integral impropia, que escribiéndola con
propiedad tenemos:











 



N
x
N
x
dxedxeA
00
lím
Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:
    111límlímlím 0
0
















  eeedxe N
N
Nx
N
N
x
N
En este caso se dice que el área converge a 1 ( 2
1uA  )
Ejemplo 2










0
1
1
:
y
x
x
y
R
SOLUCIÓN:
Fig. 3.34
Fig. 3.35

114
El área de la región estaría dada por



1
1
dx
x
A , la cual es una integral impropia, que escribiéndola con
propiedad tenemos:











 
 N
N
dx
x
dx
x
A
11
1
lím
1
Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:
    










  1lnln1lnlnlímlnlím
1
lím 1
1
Nxdx
x N
N
N
N
N
En este caso se dice que la integral DIVERGE ( A ) es decir que haciendo la integral entre 1 y un
número muy grande, el resultado es una cantidad muy grande.
Ejemplo 3
Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar la región










0
1
1
:
y
x
x
y
R , alrededor del eje x.
SOLUCIÓN:
El volumen del sólido estaría dado por









1
2
1
dx
x
V , esto es una integral impropia, que escribiéndola
con propiedad tenemos:





















 
 N
N
dx
x
dx
x
V
1
2
1
2
1
lím
1
Al calcular la integral definida y luego tomar límite resulta:






















  Nx
dx
x N
N
N
N
N
1
1lím
1
lím
1
lím
1
1
2
Note que mientras el área era divergente el volumen es CONVERGETE. La convergencia o divergencia de la
integral depende de su forma algebraica.
Ejemplo 3
Determina el valor de "k" para que el área bajo la curva de 2
1 x
k
y

 sea iguala a 1.
SOLUCIÓN:
Dibujando la curva para un k positivo sería:
Fig. 3.36

115
El área estaría dado por




 dx
x
k
A 2
1
.
Como es una función par, aplicando simetría, tendremos




0
2
1
2 dx
x
k
A .
Escribiéndola con propiedad y resolviendo:
 
 














kA
k
k
xk
dx
x
k
dx
x
k
A
N
N
N
N
N
N
2
0
0
2
0
2
2
0arctgarctg2
arctglím2
1
1
lím2
1
lím2
Si la condición es que 2
1uA  entonces 1k por tanto


1
k
Ejemplo 4
Determine para qué valores de "p" la integral impropia


1
1
dx
x p
converge y para que
valores diverge.
SOLUCIÓN:
Escribiendo con propiedad la integral impropia tenemos:

N
pN
dx
x
1
1
lím
Se observa que hay que considerar 2 casos: si 1p y si 1p
Primero si 1p tenemos:
    
  1lnlímlnlím
1
lím 1
1
LnNxdx
x N
N
N
N
N
(Diverge)
Segundo si 1p tenemos:



























  pp
N
p
x
dxx
pp
N
N
p
N
N
p
N 1
1
1
lím
1
límlím
11
1
1
1
de lo último hay que considerar dos casos:
Si 1p entonces 














 ppp
N pp
N 1
1
1
1
1
lím
11
(diverge)

116
Si 1p entonces
pppp
N pp
N 

















 1
1
0
1
11
1
1
1
lím
11
(converge)
Por lo tanto:











1;
1
1
1;
1
1
p
p
p
dx
x p
3.5.2 INTEGRANDOS INFINITOS
Ahora trataremos regiones que están limitadas por curvas no acotadas, las
graficas de las curvas tienen asíntotas verticales
Ejemplo 1










0
0
1
:
y
x
x
y
R .
SOLUCIÓN:
La región referida sería:
La integral para el área es:

1
0
1
dx
x
A note que la función
x
xf
1
)(  no está definida en 0x por
tanto es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad y resolviendo resulta:
     
 
 0ln0ln1lnlímlnlím
1
lím
1
0
1
0
1
0
1
0
txdx
x
dx
x
A
t
t
t
t
t
(diverge)
Fig. 3.37

117
Ejemplo 2
Calcular

2
1
2
1
dx
x
SOLUCIÓN:
La función no está definida 0x , por tanto es una integral impropia que debemos tratarla de la siguiente
manera:
)(
1
2
11
lím
1
1lím
1
lím
1
lím
1
lím
1
lím
1
2
1
2
00
2
010
2
20
1
20
2
1
2
divergedx
x
tt
xx
dx
x
dx
x
dx
x
tt
tt
t
t
t
t
t
t









































1. Evalúe la integral impropia dada o demuestre que es divergente.
a.


1
dxex
b.



 522
xx
dx
c.



0
sen dxxe x
d.
 



dx
x
x
22
4
e.



3
2
9 x
xdx
f.
 
3
0
2
2xx
dx
Fig. 3.38

118
2. Dada la curva x
ey 
 , determine el área bajo lacurva para 2lnx .
3. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y .
  1
030/, 
 xyxyxR
4. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por 0,
1
,  y
x
yxy ;
alrededor del eje x (en el primer cuadrante).
5. Sea R la región del primercuadrante bajo la curva 3
2
 xy y a la izquierda de 1x .
a) Determine el área de la regiónR.
b) Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje 1y .
6. Encuentre los valores de "p" para los cuales la integral

1
0
1
dx
x p
converge y los valores para los cuales
diverge.
Misceláneos
1. Sea R la región definida por :   2
, /ln 1 1R x y x y x e       . Calcule:
a) El área de la región R.
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje "y"
2. Sea la región
    2 2
, / 2 4 0 2 4 0R x y x y x x x y x x                
Calcule:
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 4y
c) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1x
3. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región
  2 2
, / 14R x y x y x    
Alrededor de la recta 4x .
4. Calcular el área de la región interior a la rosa 2cos2r y exterior a la circunferencia 1r .
5. Sea la región R limitada por la recta 0x y la curva xy  42
. Determine el valor de " a " de tal modo
que la recta ax  divida a la región R en dos regiones de igual área.
6. Sea la región   2
40/, xyyxR  . Determine el valor de " a " de tal modo que la recta ay 
divida a la región R en dos regiones de igual área.
7. Calcule el área de la región   xyxxyxyyxR 21222/, 2

8. Calcular el área de la región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño de cos2r .
9. Sea   1012/, 2
 xxyxyxR . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la
región R alrededor de la recta 1x
10. Calcular el área de la región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño de cos42r .
11. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas  2,0,
22
2coscos2






t
tsensenty
ttx
12. Sea R la región limitada por









xxy
xy
y
4
0
2
2
Calcule:
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1x
13. Calcular el área de la región interior a cos21r y exterior a la 1r .

119
14. Sea     22
230/, yxyxyyxR  . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la
región R alrededor del eje 1y .
15. Calcule el perímetro de la región ubicada en el primer cuadrante y limitada por 1
3
2 3
 xy ,
 3
1
3
2
 xy ,
3
8
 xy , 0x , 0y .
16. Determinar el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por
4
2
x
y  ,  2
1 yx ,
yx  3 , 0x alrededor de 2y .
17. Sea   22
42/, xyxIRyxR  . Determine:
a) El área de dicha región R
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje "y"
c) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 2y .
18. Determine el área de la región dentro de 222
senr  y fuera de senr 2
19. Encuentre el área de la región limitada por lascurvas 3
x
xey  , 0y , 9x .
20. Determinar el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por 13
 xy , 0y , , 1x
alrededor de 1x .
21. Calcule el área de la región que es externa a la cardioide senr 22 e interna a la cardioide
cos22r .
22. Sea R la región limitada por 3
xy  ,  1
2
1  xy , 10 xy . Calcule el volumen del sólido que se
genera cuando la región R rota alrededor de la recta 8x .
23. Calcular elvolumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada por xy  , 2y , 0x
alrededor de la recta 2y .
24. Hallar el área de la región limitada por 022
 xy , 01242
 xy
25. Hallar el área de la región limitada por 3cos4r que está fuera del circulo 2r
26. Calcular el área de la región interior a la circunferencia ar  y exterior a la rosa 3asenr  , 0a .
27. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas
3
xy  ,
xxy 22
 alrededor de la recta 2x
28. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas 0;4 2
 xxy ,
0y , 0x alrededor de la recta 2x
29. Hallar el área interior a cos6r y exterior a cos22r .
30. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por xy 2ln , 0y , ex 
alrededor del eje:
a) ex 
b)  ey 2ln
31. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas 






t
tey
sentex
t
t
0,
cos
32. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región     xyxyxR  14/, 2
alrededor
de la recta 4x
33. Calcule el área de la regióncomprendida entre  2
3 xy y la recta  12  xy
34. Calcular el volumen del sólido que se genera al rotar la región comprendida entre 2
xxy  , 0y
alrededor de la recta 1y
35. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región     2
0/, xxyyxR  alrededor de
la recta 2x .
36. Sea la regiónR definida por   2
, / 0 1
1
x
R x y x y
x
 
      
 
. Calcule si es posible:
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1y
37. Calcular si es posible la longitud de la espiral 0;2
 
er .
38. Encuentre el volumen del sólido generado mediante la rotación de la región limitada por
x
ey  , 0y ,
3lnx ; alrededor del eje x .

120
39. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por 0;
1
 x
x
y y
los ejescoodenados; alrededor del eje y .
40. Si   2
2
1
, /0 0
1
R x y y x
x
 
      
 
. Determine si es posible el área de la región R.
41. Si   2
3
1
, / 0 1R x y y x y
x
 
       
 
. Si es posible calcule el volumen del sólido que se
genera al rotar la región R alrededor del eje 1x .
42. Determine elvalor del área de la región, en el primer cuadrante, limitada por
 
0
1
1
2


 y
x
y .
43. Encuentre el área de la región limitada por las
x
y 






2
1
, y los ejes coordenados en el primer cuadrante.
44. Calcular si es posible el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje x, donde
  2
, / 0 1 x
R x y y y x y e
        .
45. Determine elvolumen del sólido no acotado que se obtiene al girar en torno del eje "y" la región bajo la curva
0;
2
 
xey x
.
46. Determine los valores de c, 0c , tal que elvolumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje
x, de la región limitada por el ejex, 1x y la función
C
x
xf
1
)(  exista.
47. Sea R la región definida por   2
, /ln 1 0R x y x y x e       . Calcule si es posible:
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje y .
48. Determine el perímetro de la región ubicada en el plano polar, que está limitada por:
a) Una parte de la recta 2ln
b) El tramo de la cardioide  cos1r para  2 , y
c) La espiral 2ln0,2  
er

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