1. RELACION DE PRÁCTICAS
I Mediciones y análisis estadísticos de datos
II Mediciones indirectas y propagación de errores
III Análisis de datos, gráficas y ajuste de curvas
IV Movimiento Rectilíneo
V Cinemática en un plano
VI Leyes de Newton
VII Trabajo y energía
VIII Impulso e impetu
IX Colisiones
X Potencia.
XI Momentum: Dinámica rotacional
APENDICES:
I Banco neumático para experimentos de cinemática y
dinámica
II Mesa de colisiones sin fricción con puck autosustentado
BIBLIOGRAFIA
REGLAMENTO DE LABORATORIO
PARTES DEL REPORTE DE LA PRACTICA
X
1

2. 1
INTRODUCCION
El presente manual se escribió con el fin de apoyar el proceso de enseñanza aprendizaje de la asignatura de FÍSICA DEL
MOVIMIENTO, a través de la realización de experimentos en el laboratorio.
En general, el curso básico de LABORATORIO DE FÍSICA DEL MOVIMIENTO es especialmente adecuado para tratar los
principios básicos de la experimentación. Tal vez, ahora más que nunca, sea necesario hacer hincapié en estos principios,
teniendo en cuenta la posibilidad actual de que el experimentador se encuentre totalmente aislado del fenómeno que investiga,
por una barrera casi impenetrable, de equipos de procesamiento de datos y de nuevos procedimientos analíticos.
Tiene incluidas 14 prácticas relacionadas con las ramas siguientes de la Física: Cinemática, Dinámica y Colisiones que forman
parte del programa de FÍSICA DEL MOVIMIENTO de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología del Instituto
Politécnico Nacional, programa similar al de otras escuelas del Instituto y de otras Universidades; por lo cual puede ser un
material de consulta útil para los estudiantes de licenciatura que inician el trabajo de experimentación a nivel profesional. Es
más, independiente del área en que se realizan los experimentos, el de Física puede proporcionarles una introducción a los
principios fundamentales en que se basan los experimentos de cualquier tipo. Se espera que el alumno pueda experimentar con
fenómenos que suceden en la naturaleza y que los relacione con los conceptos y las leyes fundamentales en la Física, para ello
se le proporciona información fundamental sobre los procedimientos científicos, estadísticos y de medición en los que se basa
el diseño de experimentos.
Las tres primeras prácticas pretenden familiarizar al alumno con el concepto de medición, capacitarlo en el análisis de las
mediciones realizadas en el laboratorio, y darle las herramientas necesarias para que pueda realizar, con éxito, el análisis de un
conjunto de datos, pudiendo obtener a partir de ellos la relación teórica-experimental que describa los fenómenos que se
reproducen en el laboratorio.
En cada práctica se ha incluido un objetivo general seguido de varios objetivos específicos, la introducción teórica esperamos
que sea suficiente para la realización de las mismas, nuestra idea es que los alumnos deben revisar esa teoría auxiliados con la
bibliografía y presentarse en la sesión de laboratorio con conocimientos previos del tema.
En algunas prácticas, la introducción teórica es extremadamente larga, eso sucede sobre todo en las primeras, se hizo así,
porque los conceptos teóricos que se abordan en esta parte son fundamentales, no solo para el trabajo experimental en Física,
sino en cualquier trabajo experimental. En las demás prácticas, la extensión en la introducción teórica se explica porque va
dirigida a alumnos de los primeros semestres de la Licenciatura, para los cuales se considera adecuado que tengan casi todos
los elementos presentes; según se vaya avanzando sobre los temas y de acuerdo con la adquisición de experiencia por parte del
alumno, la introducción se hace cada vez más p equeña.
Se ha intercalado un desarrollo experimental en cada práctica, en la cual se dan las instrucciones necesarias para la realización
de la misma, tal desarrollo puede variarse dependiendo de las posibilidades del equipo, de la carencia de algunos materiales, o
bien, los alumnos pueden proponer nuevas experiencias a realizar. El tiempo es la limitante principal, por tal razón es
conveniente que también el desarrollo experimental se lea previamente.
La parte de análisis y resultados es la más importante de la práctica, es ahí, donde el alumno debe obtener conclusiones válidas,
utilizando para ello herramientas como: el graficado de resultados, el análisis estadístico, la teoría de errores, etc., este trabajo
debe realizarse principalmente en casa, pero es recomendable hacer un esbozo del mismo cuando se está realizando la práctica,
esto con el fin de obtener mejores mediciones o repetir aquellas en las que existe alguna equivocación al tomarlas.
En el caso de que el profesor de la materia evalúe con reporte, se recomienda pedir una discusión de resultados, la elaboración
de las conclusiones y sugerencias para mejorar el experimento.
El cuestionario (de aquellas prácticas que lo incluyan) se debe de contestar lo mejor posible y debe considerarse en la
evaluación.
La bibliografía para cada práctica se da al final del manual, recordando que su revisión permitirá una mejor realización de las
prácticas, debido a que el alumno tendrá los conceptos antecedentes necesarios.
Los apéndices tratan temas, que no se han incluido en el cuerpo principal del texto porque hubieran estropeado el desarrollo de
éste. Esto incluye información sobre laboratorio, algunas deducciones matemáticas, recomendaciones para hacer el reporte del
experimento e incluso el Reglamento del Laboratorio de Física.
Muchos de los procedimientos tradicionales de otros cursos de laboratorio no serán adecuados para este curso, por
ejemplo se evitará pensar en un experimento como en un proce dimiento para reproducir cierto resultado “correcto”;
en la vida real no tiene sentido buscar algún procedimiento correcto, rara vez habrá alguien dispuesto a decirnos que
hacer o cual debe ser nuestro resultado, nuestra utilidad dependerá de la capacidad para tomar nuestras decisiones
sobre como manejar la situación.
Es necesario que se aprenda a trabajar dentro del marco de los aparatos disponibles. Toda experimentación
profesional está sujeta a limitaciones sobre los recurso y, gran parte de la habilidad para la experimentación consiste en
1

3. 2
optimizar el rendimiento experimental a partir de esos recursos. Las restricciones en el tiempo simulan las
circunstancias reales en las cuales se trabaja, el aparato mismo nunca es ideal, lo cual no debe verse como un defecto,
sino como un reto; el experimentador debe aprender a identificar las fuentes de error por si mismo, y, de ser posible,
eliminarlas o hacer las correcciones experimentales que se requieran. La capacidad de cumplir tales requisitos solo se
puede adquirir en condiciones realistas, lo peor que se puede hacer con los estudiantes de primeros cursos de
laboratorio, es proporcionarles aparatos ajustados con demasiado cuidado, o darles la impresión de que los
experimentos son ideales, lo cual es lamentable, porque los fundamentos de la futura destreza están en la respuesta
constructiva a las limitaciones experimentales. El uso del tiempo de laboratorio resultará más fructífero cuando los
experimentos se acepten como problemas que deberán resolverse por el estudiante mimo, debe entenderse que lo que
aprendemos es más importante que lo que hacemos, esto no quiere decir que se debe mostrar complacencia con el
res ultado del experimento, es desarrollo de nuestras habilidades experimentales solo se logrará si tomamos en serio el
reto de obtener el mejor resultado posible de cada experimento.
La redacción de los informes de laboratorio debe enfrentarse con el mismo espíritu constructivo, en el trabajo
profesional de investigación no tienen caso dedicar tiempo y esfuerzo a un experimento a menos que podamos
comunicar en forma conveniente el resultado a los demás. La elaboración de un informe que degenera en una mera
indicación de que el experimento se realizó es poco menos que una pérdida de tiempo y de oportunidades para una
práctica necesaria.
Agosto del 2006
ALEJANDRO MUÑOZ DIOSDADO
GONZALO GALVEZ COYT
2

4. 3
PRACTICA I
MEDICIONES Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS
OBJETIVO GENERAL
Analizar el proceso de medición para expresar las medidas directas en forma correcta.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
♦ Conocer los conceptos de medición, patrón, error, incertidumbre, exactitud y precisión.
♦ Efectuar mediciones de longitud, masa y tiempo.
♦ Obtener la incertidumbre asociada a cada medición.
♦ Expresar los resultados de las mediciones empleando cifras significativas.
♦ Mostrar mediante la construcción de gráficas, la distribución estadística de las mediciones realizadas.
♦ Determinar la media aritmética, el error absoluto y el error relativo de las mediciones, así como la desviación estándar de
ellas.
♦ Analizar y discutir las posibles causas de error.
INTRODUCCIÓN TEÓRICA
La experimentación tiene una definición muy amplia, se entiende como el proceso completo de identificar una porción del
mundo que nos rodea, obtener importación de ella e interpretarla.
Los sistemas que se estudiarán son sencillos y comprensibles, la práctica con ellos preparará el terreno para el trabajo real con
sistemas importantes y complicados. Se debe ser cuidadoso con estos sistemas sencillos, porque se obtendría un beneficio muy
limitado, si el trabajo se limita a conjuntos de instrucciones que digan como hacer experimentos particulares. Se tratará de
identificar los principios generales de la experimentación.
La observación directa de los procesos naturales nos permite llegar a determinaciones puramente cualitativas que dependen de
cada persona y en consecuencia son subjetivas. Al aumentar la capacidad de nuestros sentidos por medio de instrumentos, la
observación se amplía y se profundiza, lo cual permite advertir mayor número de hechos y caracterizarlos con mayor precisión,
esto lleva al establecimiento de relaciones cuantitativas entre los procesos naturales.
Esta determinación cuantitativa implica la realización de mediciones que permiten evidenciar relaciones más profundas y
ordenaciones simples entre los hechos ocurridos.
Todo trabajo científico requiere de mediciones con el fin de darle validez y utilidad a los resultados obtenidos en el tratamiento
de cualquier fenómeno, es por eso que resulta conveniente estandarizar las técnicas de medición.
La definición clásica de medición es la de comparar aquello que se desea cuantificar con un patrón aceptado como unidad por
la comunidad científica, el patrón debe ser de carácter universal, reproducible y de fácil utilización. Pero medir no es solo
comparar sino que es un proceso más complejo, de hecho la aplicación del patrón no garantiza obtener el valor verdadero de lo
que se mide. En cualquier medición se emplea una escala que es una expresión del patrón escogido, por ejemplo en la
medición de la longitud de un objeto se utiliza una regla que es reproducción de un patrón de longitud:
3

5. 4
Escala graduada en cm.
1 2 3 4 5 6
| | | | | |
Objeto
Figura 1
Como puede observarse en la Figura 1, la longitud del objeto es un poco mayor de 4 cm, puede asegurarse además que es
menor que 4.5 cm, pero no es posible obtener el valor verdadero de la longitud con dicha escala. Lo que podemos asegurar es
que el valor verdadero se encuentra en un intervalo dado por [4 cm., 4.5 cm.]. Si utilizamos una escala más fina:
Escala gradu ada en mm.
10 20 30 40 50 60
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | | | | | | | || | | | | | | | | ||| | | | | | | | ||
Objeto
Figura 2
Amplificando la imagen
40 50
Objeto
Figura 3
Podemos asegurar ahora que la medida se encuentra en el intervalo [43mm,43.5mm], intervalo que se aproxima más al valor
verdadero. Pero el proceso podría continuar y sin embargo nunca se obtendrá el valor exacto o verdadero, siempre tendremos
que dar un valor aproximado dentro de un intervalo que depende del instrumento de medición, es decir siempre existe una
incertidumbre en la medida originada, esta será más pequeña mientras más fino sea el instrumento.
Para otra longitud podría suceder también lo ilustrado en la figura siguiente:
40 50
Figura 4
observe que en este caso el intervalo donde se encuentra el valor verdadero es [42.5mm,43.0mm ].
Lo cual nos permite el afirmar que las medidas no son simples números exactos, sino que consisten en intervalos, dentro de los
cuales tenemos confianza de que se encuentra el valor esperado. El tipo de medición, la figura de la escala, nuestra agudeza
visual, las condiciones de iluminación, todas tomarán parte en determinar la anchura del intervalo de medición. El ancho, por
lo tanto, debe determinarse explícitamente cada vez que se haga una medición.
4

6. 5
Sea x el valor aproximado, en el caso de la figura anterior x = 43.0 mm, el valor verdadero x se expresa como:
x =x ± ∆x
es decir el valor verdadero debe encontrarse en el intervalo:
[x - ∆x , x + ∆x] (*)
donde ∆x es igual la incertidumbre en la medición, que en este caso, y sólo en este caso, es la mitad de la mínima escala del
instrumento de medida:
x = 43.0 mm ± 0.5mm = (43.0 ± 0.5) mm
el intervalo (*) se llama intervalo de confianza.
Desde luego que al realizar la medición con una determinada escala, el resultado se puede expresar como un número el cual
puede contener tantas cifras como se pueda, dependiendo de la división mínima en la escala empleada.
Se llaman cifras significativas a las que se obtienen como seguras más una estimada.
Por ejemplo, al medir el objeto anterior en la escala de centímetros el resultado se puede expresar como:
4.3 cm ± 0.5 cm
el 4 es una cifra segura, el 3 es estimada y ambas son significativas, si con la misma escala una persona expresa el resultado
como:
4.36 cm ± 0.5 cm
el 6 no es cifra significativa, ya que con la escala utilizada no puede estimarse hasta esa cifra, por lo tanto no tiene sentido
e xpresar el resultado con cifras que no sean significativas.
Es un error común creer que, cuando se hace una medición usando una escala graduada, el “error de lectura” es
automáticamente la mitad de la división de la escala más pequeña, esta es una simplificación excesiva que sólo sucede
en las mediciones del tipo repr oducibles.
El proceso anterior ilustra una medición de tipo directo, pero existen mediciones indirectas que se obtienen a partir de medidas
directas. Tales mediciones serán objeto de la siguiente práctica. Entre las medidas directas se pueden distinguir las
reproducibles y las no reproducibles.
Las reproducibles son aquellas que al repetir la medición, bajo las mismas circunstancias, siempre la medida cae dentro del
intervalo de confianza, lo cual no sucede en las no reproducibles pues en estas últimas existen factores que no se pueden
controlar, por ejemplo la temperatura, presión, humedad, etc. en nuestro caso el tamaño de los objetos depende de la
temperatura y en general, este es solo uno de los factores que influyen.
Por lo tanto, son pocas las mediciones que se realizan en el laboratorio que se puedan considerar reproducibles, por lo que la
incertidumbre, rara vez es el resultado de dividir la escala mínima entre dos, y habrá que considerar algunos otros mecanismos
para encontrarla, de lo que sí estamos seguros es de que el resultado final deberá se un intervalo que representa, hasta donde
nuestra capacidad lo garantice, los límites dentro de los que se encuentra el valor deseado.
El que se reproduzca o no una medición, depende del tipo de error que resulta ser más significativo en cada caso, se entiende
por error la diferencia del valor verdadero y el aproximado, pero no es posible por lo anterior determinar el valor verdadero, así
que basándonos en la ec. (*) la diferencia está acotada por ± ∆x, este hecho se ilustra en la figura 5:
Se desprende de lo dicho que una medición nunca será exacta ya que siempre daremos solamente aproximaciones. En el
proceso de medición no tiene sentido el concepto de exactitud.
5

7. 6
| | x |
x − ∆x x x + ∆x
Figura 5
Mientras mejor sea la aproximación, la medida será más precisa, es decir en el proceso de medición el concepto clave es la
precisión, un instrumento será más preciso si con el se obtienen mejores aproximaciones a la medida. En el caso de medidas
no reproducibles, al repetir la medición en condiciones idénticas, resulta que se obtienen medidas que no están en el intervalo
de confianza, es decir el error aumenta, esto debido a que existen diferentes tipos de error y no solamente el debido a la
limitación en la escala del instrumento.
Los errores o incertidumbres se clasifican en sistemáticos y aleatorios.
Los sistemáticos son aquellos que dependen del sistema de medición, siempre dan desviaciones del valor verdadero hacia un
solo lado, desviaciones que permanecen constantes, son corregibles siempre cambiando el sistema de medición o las
condiciones experimentales, la manera más fácil de detectarlos es efectuar la medición con métodos diferentes, otras veces un
análisis gráfico los muestra; algunos de los más comunes son:
♦ Error de paralaje. Se comete debido a la posición del observador: esta debe ser exactamente perpendicular a la escala.
♦ Error de calibración. Se refiere a una mala calibración del instrumento, por ejemplo escalas que tienen unidades de
longitud más cortas o más largas por defectos de fábrica, como en reglas, escalas de balanzas, amperímetros, etc.; escalas cuyo
cero no coincide con el inicio de la numeración, como en las reglas o en las cintas métricas, en los aparatos de aguja como el
amperímetro, óhmetro o voltímetro es un error muy común; etc.
♦ Condiciones experimentales. Si el instrumento está bajo condiciones experimentales constantes, diferentes de aquellas en
las que fue calibrado y no se hace la corrección, entonces se tiene un error sistemático.
En ocasiones los resultados experimentales difieren mucho de la teoría, esto en ocasiones se debe a que la teoría aplicada no
corresponde a las condiciones experimentales, en este caso al realizar la medición en condiciones diferentes a las que
especifica la teoría se comete un error sistemático, por ejemplo: si la teoría es aplicada a un cuerpo sin fricción y en el
experimento no se logró evitar completamente la fricción entonces las mediciones estarán desviadas de las esperadas
teóricamente. En todo caso, se recomienda ver los instrumentos de medición con desconfianza y verificará su calibración,
siempre que esto sea posible.
Error aleatorio. Es aquel que varía en cada medición, con frecuencia, se debe a la persona que lo efectúa, a las condiciones en
que se realiza la medición o a ambos. Algunas veces se les llama errores experimentales o accidentales. Por ejemplo:
♦ Errores de juicio. Cuando se toma la cifra estimada, a veces el observador dará una pero otras veces dará otra.
♦ Condiciones experimentales fluctuantes. Como la temperatura presión, voltaje de línea, etc.
♦ Pequeñas distorsiones. Como vibraciones mecánicas o en el caso de instrumentos eléctricos señales espurias debidas a la
presencia de otros aparatos, magnetos o líneas de corriente.
♦ Definición. A veces aunque se tenga el debido cuidado, resulta que al repetir varias veces la medición no se obtienen los
mismos resultados, por ejemplo al medir el ancho de una mesa se mide entre sus lados más cercanos, pero debido a
imperfecciones en la superficie no se obtienen los mismos resultados al medir varia s veces.
Debe considerarse también que es raro el proceso que se termina con una sola medición, casi invariablemente, el resultado
deseado es una combinación de dos o más cantidades medidas, la presencia de incertidumbre en las medidas originales traerá
consigo una incertidumbre en el valor final calculado. Este tópico, que se llama propagación de errores, será el tema de la
siguiente práctica.
Debe de tenerse cuidado de no confundir error con equivocación o procedimiento equivocado. Al medir el experimentador
puede equivocarse por no saber medir en una escala, por no saber montar las condiciones experimentales adecuadas o por
6

8. 7
equivocarse en los cálculos matemáticos, estas son equivocaciones debidas a la persona y no entran en el concepto de error o
incertidumbre. También puede haber otro tipo de equivocaciones al seleccionar la maquinaria matemática para calcular los
resultados de un experimento, las reglas de cálculo, tablas de logaritmos y hasta calculadoras pueden tener errores, de hecho al
redondear siempre se tienen errores pero por lo regular son demasiados pequeños para tomarse en cuenta.
Otras veces los efectos de las distorsiones llegan a ser demasiado grandes comparados con los errores aleatorios, en tal caso el
experimento debe suspenderse hasta que la fuente de la distorsión sea eliminada.
Para obtener medidas lo más aproximadamente posible y con el objeto de reducir el error se utiliza la estadística.
Cálculo de errores
El error obtenido en una medición se puede expresar de diferentes formas:
ERROR ABSOLUTO. - Es la diferencia entre el valor obtenido en la medición y el aceptado como correcto.
E = Ve − V Ve = Valor experimental
V = Valor aceptado
ERROR RELATIVO.- Es el valor que se expresa de acuerdo con la magnitud de la medida; se expresa como el cociente de el
error absoluto entre el valor aceptado y resulta siempre una fracción.
E Ve − V
E= =
V V
PORCENTAJE DE ERROR.- Es el error relativo expresado con base en 100.
E Ve − V
e= *100 = *100
V V
Hay que observar que en la definición de error se emplea el término "valor aceptado" en lugar de "valor exacto". Como ya se
dijo esta última expresión no tiene significado ya que no se conoce.
Aún más, en grupos o conjuntos de elementos con características similares, se encuentra variación al medir la característica
que de ellos interesa.
Entonces:
¿Cuál valor se puede tomar como aceptado?
Es obvio que la decisión no puede ser tal que se tome un valor al azar, pues se volvería a caer en la incertidumbre y esto es
precisamente lo que se quiere evitar.
Supóngase que se ha hecho una sola medición, y que, para comprobar el trabajo, se efectúa esta medición por segunda vez y se
obtiene un resultado diferente, entonces sería natural intentarlo una tercera vez, aunque lo más probable es que se tenga un
resultado diferente. La salida es realizar una cantidad considerable de mediciones sucesivas, y surgen preguntas adicionales:
¿hay alguna regularidad en los resultados?, ¿alguno de ellos aparece con más frecuencia que los demás?, etc. Con la finalidad
de mostrar las características de las mediciones con más claridad se utilizan histograma. Dado que es una presentación gráfica
muy común no se darán reglas exhaustivas para su construcción.
Es importante entender que estos conceptos no únicamente se presentan en el laboratorio, sino también en otros campos, por
ejemplo, en la fabricación de objetos en serie se desea que una característica en particular permanezca constante, pero debido a
imprecisiones en las operaciones, siempre se obtienen desviaciones, las cuales se deben evaluar en función del " valor
esperado" y este ha sido previamente establecido o aceptado como el correcto o el que se necesita. En este sentido la estadística
brinda una ayuda formidable.
Una vez que los datos están distribuidos en el histograma, notamos que hay algunos puntos particulares que pueden servir para
caracterizar al grupo de observaciones en su totalidad, por eje mplo, la mayoría de las distribuciones tienen un punto máximo
cerca del centro, si ese pico está bien definido, el valor sobre la escala horizontal en que ocurre se llama moda de la
distribución. Por otro lado, si se colocan las medidas en orden numérico y los dividimos a la mitad en dos partes iguales, el
valor correspondiente a esta línea divisoria se llama mediana.
7

9. 8
Se afirmó que existe un valor más probable de una cantidad, en el caso de cantidades medidas directamente se asume
arbitrariamente que este valor más probable es la media aritmética de las mediciones individuales, lo cual viene siendo el valor
resultante de sumar todas las medidas realizadas y dividir la suma entre el número de mediciones hechas, si x1 , x2 ,...,x son los
n
valores med idos, la media se expresa como:
n
x1 + x2 + x3 + L + xn ∑x
i =1
i
x= =
n n
donde x = valor medio obtenido
n = número de objetos medidos o mediciones realizadas.
Nótes e que para una distribución simétrica, la media, la mediana y la moda coinciden, todas, en el centro de la distribución
Una vez obtenida la media, la desviación de cada medida se obtiene como la diferencia entre el valor medio y el valor obtenido
en cada m edición, δx i = x - x i , la suma algebraica de las desviaciones de todas las medidas debe ser cero. Como es deseable
obtener el error promedio en todo el proceso; se puede expresar como porcentaje, tomando los valores absolutos de las
desviaciones particulares, como se muestra en seguida:
n
x − x1 + x − x 2 + L + x − x n ∑ x−x
i =1
i
% ep = * 100 = * 100
n n
n
∑ δx
i =i
i
% ep = *100
n
Lo que da idea de la magnitud de la desviación en el proceso global pero no de la certidumbre de cada medición.
La aplicación de la estadística permite ir mas allá, pues el análisis se estandariza con el fin de aplicarlo a la predicción del
comportamiento de las mediciones y evaluaciones realizadas.
Para ello se definen y establecen parámetros estadísticos como la media, la varianza y la desviación estándar.
La varianza se obtiene al dividir la suma de los cuadrados de las diferencias entre el número de observaciones realizadas
menos uno, es decir:
 n 2  n 2
 ∑( x − xi )   ∑ (δx i ) 
s2 =  i =1  =  i =1 
 n −1   n−1 
   
Donde s2 es la nomenclatura que se utiliza para la varianza. La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la
varianza.
 
1
n 
 2  2
∑  δxi  

 

  
σ = s 2 = i =1
 
 
n −1 

 
 
 
 
haciendo un poco de álgebra se obtiene:
8

10. 9
1
 
∑ ( x − ix ) 
n 2
 2 2
  i
σ = s 2
=  i =1
n −1

 
 
 
La desviación estándar es una medida de la amplitud de la distribución. De hecho, en Física utilizamos únicamente la media y
la desviación estándar en el análisis de datos, en cambio, en las ciencias sociales, es común utilizar tanto la moda como la
mediana.
Supóngase que se realiza la medición de una longitud 47 veces, cuyos resultados se muestran en la Tabla I.
Al realizar las mediciones algunas se repiten, la frecuencia es el número de repeticiones de una medida.
Al obtener las sumatorias respectivas y utilizar las fórmulas (6), (8) y (9) se obtienen los siguientes resultados:
47 47
n = 47 ∑ δxi = 0.72 ∑ (δx ) = 187 * 10− 4 cm 2
2
i
i =1 i =1
x = 1.051 cm
1
 47 2 
2
 ∑ (δxi ) 
σ =  i =1  = 0.020 cm
 47 − 1 
 
 
TABLA I
x frecuencia i*x δx i|δxi | (δxi )2 i(δxi )2
(cm) i (cm) (cm) (cm) (cm)2 (cm)2
1.01 1 1.01 -0.04 0.04 16x10-4 16x10-4
1.02 3 3.06 -0.03 0.09 9 27
1.03 6 6.18 -0.02 0.12 4 24
1.04 8 8.32 -0.01 0.08 1 8
1.05 10 10.5 0.00 0.00 0 0
1.06 8 8.48 0.01 0.07 1 8
1.07 5 5.35 0.02 0.10 4 20
1.08 3 3.24 0.03 0.09 9 27
1.09 2 2.18 0.04 0.08 16 32
1.10 1 1.10 0.05 0.05 25 25
9

11. 10
Los datos de la tabla anterior pueden representarse gráficamente como se muestra en la Figura 6, en el eje de las ordenadas se
ha graficado la frecuencia y en el eje de las abscisas el resultado de la medición.
Figura 6
15
Frecuencia
10
5
0
1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10
x - σ x x + σ
x (cm)
δx
-0.05 -0.03 -0.01 0 0.01 0.03 0.05
El rango de valores de x se ha dividido en intervalos iguales ∆x, la frecuencia es el número de valores de x que están dentro de
cada intervalo ∆x, cada uno de estos intervalos están centrados en el valor promedio de los valores de x que caen en él. Por
ejemplo, las 6 mediciones que dieron 1.03 cm, se consideran que se encuentran en el intervalo entre 1.025 y 1.035 cm, por lo
tanto se grafica 6 en la escala vertical contra 1.03 en la escala horizontal. El número de puntos es solamente de 47, con un
número tan pequeño no puede obtenerse una curva continua por lo que se conviene en representar tal gráfica como un
histograma que consiste de una serie de líneas horizontales de longitud ∆x centradas en los puntos individuales y líneas
verticales cuya altura coincide con la frecuencia tal como se muestra en la Figura 6; al aumentar el número de mediciones,
digamos al doble, se obtiene una gráfica que no coincide exactamente con la anterior, hay ciertas diferencias llamadas
fluctuaciones estadísticas, según se aumenta el número de valores se obtienen fluctuaciones mucho más pequeñas. El número
de intervalos crece mostrando un comportamiento más sutil, lo que viene a ser representado por la curva continua. Esta es la
tan conocida curva de campana o de distribución normal o de Gauss. Es una curva simétrica, pues sigue el mismo
comportamiento a ambos lados del valor medio, el valor máximo de la curva corresponde al valor medio.
La distribución d Gauss se utiliza para interpretar muchos tipos de mediciones físicas, en parte, debido a que las
e
circunstancias mecánicas de muchas mediciones físicas guardan estrecha correspondencia con los fundamentos teóricos de la
distribución Gaussiana, y, en parte, porque la experiencia demuestra que la estadística Gaussiana si proporciona una
descripción razonablemente exacta de muchos sucesos reales.
En la gráfica de la Figura 6, los puntos marcados con x- σ y x +σ están separados una magnitud igual a dos veces la
desviación estándar, lo cual se maneja como una desviación aceptable y permite determinar el número de objetos que nos
puede servir; resulta también que cuando una medición se repite varias veces, los diferentes valores obtenidos están por lo
regular muy cercanos entre ellos, pero muy frecuentemente resulta que unas pocas mediciones se encuentran muy alejadas, la
pregunta que surge inmediatamente es ¿bajo qué condiciones rechazar una medición que aparentemente es anómala? La
cuestión no es fácil y su respuesta está en la Estadística; en las afirmaciones que siguen, solamente se darán resultados sin
hacer la justificación estadística-matemática. Matemáticamente la distribución normal o distribución de Gauss, está dada por
la ecuación:
1 ( x− x )2
1 − ⋅
Y= ⋅ e 2 σ2
2π
10

12. 11
El área total limitada por la gráfica de esta función y el eje x es 1, de ahí que el área bajo la curva entre dos puntos x=a y x=b
(a<b), representa la probabilidad de que x se encuentre entre a y b. Si se hace el cambio de variable z = ( x - x)/σ, la ecuación
es más manejable.
1
1 − ⋅z 2
Y= ⋅ e 2
2π
En la Figura 7 se muestra la gráfica de esta curva, en ella se indican las áreas incluidas en los intervalos entre z=-1 y +1, x=-2
y +2, z=-3 y +3; que son respectivamente: 68.27%, 95.45% y 99.73%; esto quiere decir que en los intervalos [-σ,σ], [-2σ,2σ]
y [-3σ,3σ] teóricamente se encuentran el 68.27%, 95.45% y 99.73% de las mediciones, respectivamente.
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3σ - 2σ −σ σ +2σ 3σ
Figura 7
En la tabla A, se dan las áreas bajo esta curva, limitadas por z = 0 y cualquier otro valor positivo de z, de esta tabla puede
obtenerse el área comprendida entre dos ordenadas cualesquiera, por la simetría de la curva respecto a z = 0.
11

13. 12
TABLA A 0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
LAS ANOTACIONES EN LA TABLA SON LAS PROBABILIDADES 0.25
0.2
REPRESENTADAS BAJO EL AREA SOMBREADA DE LA CURVA NORMAL 0.15
0.1
0.05
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Z 0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800 0.0900
0.0 0. 0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993
3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995
3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997
3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998
12

14. 13
Podemos afirmar que cuanto más estrecha sea la distribución, mayor confianza se tendrá en las mediciones obtenidas.
Por otro lado, en cualquier proceso de medición, cuanto más grande sea el número de mediciones, tanto más precisas serán
nuestras afirmaciones finales, o sea que las muestras más grandes tienen medias más precisas. Sin embargo, debe decirse que
la precisión de un valor medio aumenta sólo en proporción directa a la raíz cuadrada del número de observaciones de la
muestra, por ello se debe ser muy cuidadoso en la elección del tamaño de la muestra, por un lado, no vale la pena intentar
cualquier clase de análisis estadístico con muestras que tengan menos de 10 observaciones y por otro lado puede haber, no
obstante, restricciones de tiempo u oportunidad, y no siempre podemos obtener muestras del tamaño deseable, por ejemplo, si
se desea duplicar la precisión, el tamaño de la muestra debe cuadruplicarse, obvio es decir que no siempre hay tiempo para
hacer tal cantidad de mediciones. Una última propiedad práctica de las curvas de distribución tienen que ver con los valores
que quedan fuera. Siempre existe la probabilidad de cometer una equivocación, tal vez al leer erróneamente una escala o al
mover accidentalmente un instrumento entre el ajuste y la medición.
Se han formulado muchas “reglas” empíricas para el rechazo de mediciones, las cuales deben utilizarse con prudencia, a menos
que el argumento del rechazo sea plenamente convincente, la mejor opción es considerar todas las observaciones, nos gusten o
no.
Algunos criterios “seguros” son, por ejemplo:
♦ Los resultados incluidos más allá de ± 3 s son casi seguramente equivocados y pueden quedar descartados.
♦ En este criterio, se utiliza la tabla A. Primero se calculan x y s . Si alguna medida x se considera “sospechosa”, entonces
para esa medida se calcula: Z = ( x - x ) / s si Z es menor que 3.090 se acepta y en caso contrario, se rechazan.
Desde luego que estos criterios son empíricos, pero por otro lado, tienen una amplia aceptación por su eficacia y
fundamentación estadística.
Una vez que se han rechazado los datos fuera del rango establecido como adecuado, se procede a realizar nuevamente la
estadística.
EQUIPO Y MATERIAL
Es importante mencionar que los materiales descritos aquí pueden variar, dependiendo de la disponibilidad de los mismos, del
criterio del profesor y de la iniciativa de los alumnos.
1 Regla de 1m (división mínima de 1 dm)
1 vernier de plástico
100 canicas
1 balanza granataria (precisión 0.1 gramo)
2 dados
1 embudo con tapón
1 soporte universal con pinzas
1 probeta
Cronómetros manuales (los que más se puedan)
Papel milimétrico
DESARROLLO EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO I
Mida con la regla de 1m graduada en dm el largo de la mesa de trabajo 50 veces, no ponga marcas, aprecie la fracción en dm y
registre los datos en una tabla.
13

15. 14
EXPERIMENTO II
1.- Mida el diámetro de 50 canicas con un vernier de plástico
2.- Exprese los resultados en la forma x ± ∆x.
En caso de duda, solicitar instrucciones para usar el medidor.
EXPERIMENTO III
1.- Sujete un embudo con pinzas a un soporte universal, tape el extremo inferior y coloque cualquier cantidad de agua dentro
de él, ponga un recipiente bajo el embudo.
2.- Destape el embudo y justo en ese instante accione un cronómetro y mida 50 veces el tiempo que tarda el agua en desalojar
completamente el recipiente. Si es posible mida al mismo tiempo con varios cronómetros.
3.- Estime y anote el error de apreciación que se escribe como la suma de la incertidumbre en la medición más el tiempo de
reacción al accionar el cronómetro.
EXPERIMENTO IV
Mida la masa de las 50 canicas una por una en la balanza granataria, luego mida la masa total.
EXPERIMENTO V
Lance un par de dados y sume el valor de las caras superiores. Repita la operación 50 veces y haga una tabla de datos.
ANÁLISIS DE RESULTADOS
EXPERIMENTO I
1.- Organice una tabla de datos de las mediciones realizadas indicando la frecuencia de cada una de las medidas.
2.- Obtenga en papel milimétrico el histograma de frecuencias.
3.- Según el diagrama anterior, agrupe los datos en intervalos adecuados con el fin de obtener aproximadamente la gráfica
continua en forma de campana.
4.- Calcule el promedio y la desviación estándar, escriba el intervalo [ - σ, x + σ] con el número correcto de cifras
x
significativas. Grafique este intervalo en la gráfica realizada.
5.- Cuente el número de mediciones que caen dentro del intervalo del inciso anterior y obtenga el porcentaje que representa ese
número del total. Compare con el porcentaje predicho por la teoría. Haga lo mismo para el intervalo [x - 2σ, x +2 σ].
6.- En todos los experimentos de esta práctica, en caso de que existan mediciones “sospechosas”, aplique los criterios de
rechazo de datos.
EXPERIMENTO II
1.- Repita los tres pasos del análisis para el Experimento I.
2.- Obtenga el valor promedio de las mediciones.
3.- Calcule el error absoluto y el error relativo en cada caso y construya una tabla como se indica.
14

16. 15
Número de Error absoluto Error relativo Error porcentual
mediciones
M ? ? ?
% Error promedio ____________________
4.- Calcule la desviación estándar con el número correcto de cifras significativas y obtenga el i tervalo [x - σ, x + σ],
n
grafíquelo.
5.- Repita el punto 5 del análisis del experimento anterior.
EXPERIMENTO III
Realice el mismo análisis del experimento anterior.
EXPERIMENTO IV
1.- Obtenga la masa promedio de las canicas sumando la masa de cada una de ellas y dividiendo entre el número de canicas.
2.- Obtenga la desviación estándar y escriba:
m = m ± ∆m
3.- Ahora vuelva a obtener la masa promedio utilizando el dato de la masa total de las canicas. Obtenga el error porcentual de
este valor con respecto a m.
EXPERIMENTO V
1.- Construya una tabla de frecuencias para cada uno de los valores de la variable (2, 3, 4, ... , 12).
2.- Dibuje el histograma correspondiente.
3.- Calcule la media y la desviación estándar.
4.- Obtenga el promedio de los promedios de todos los equipos.
5.- Calcule la probabilidad de cada valor posible de la variable, por ejemplo:
P(2) = 1/36, P(5) = 1/9
6.- Determine las desviaciones porcentuales entre las frecuencias relativas y las probabilidades para cada valor de la variable.
7.- ¿Cuál es el valor más probable? En cuanto a sus resultados, ¿Qué espera del valor x cuando el número de eventos no sea
200 sino que tienda a ∞?
CUESTIONARIO
1.- ¿Depende s del número de mediciones? ¿Depende del proceso de medición? Explique.
2.- Si se desea saber cuál es la probabilidad de que al arrojar una moneda se obtenga "águila" puede tomarse una moneda y
hacer una serie de 100, 200 ó 1000 tiradas, ¿Será esto equivalente a tomar 100, 200 ó 1000 monedas y lanzarlas en una sola
tirada?
3.- Si solamente cuenta con una regla graduada en milímetros, ¿Cómo puede obtener el espesor de una hoja de su cuaderno?
4.- Utilizando los datos del Experimento IV y el criterio que se dio en la introducción teórica, ¿rechazaría alguna de las
mediciones?, o bien ¿hay alguna canica muy defectuosa?
15

17. 16
5.- Al leer un voltímetro y un amperímetro de aguja y escala, y evaluar visualmente el margen de incertidumbre, se está seguro
de que la lectura del amperímetro está entre 1.24 y 1.25 A y la del voltímetro entre 3.2 y 3.4V. exprese cada medida como un
valor central ? incertidumbre y evalúe el error relativo de la medición.
6.- Si se puede leer un metro de madera con una incertidumbre absoluta de ? 1 mm, ¿Cuál es la distancia más corta que puedo
medir para que el error porcentual no exceda el a) 1%, b) 5%?
7.- Las siguientes observaciones referentes a ángulos (dadas en minutos d arco), se efectuaron al medir el espesor de una
e
película de helio líquido. Suponga que las observaciones reflejan incertidumbre al azar, y que son una muestra de un universo
de Gauss.
34 35 45 40 46
38 47 36 28 34
33 36 43 43 37
38 32 38 40 33
38 40 48 39 32
36 40 40 36 34
a) Dibuje el histograma de las observaciones.
b) Identifique la moda y la mediana.
c) Calcule la media.
d) Calcule la desviación estándar de la muestra.
e) ¿Dentro de qué limites hay una probabilidad del 68% de que esté incluida una observación particular?, ¿Qué límites dan una
probabilidad del 95%?
f) calcule el valor de la constante h en la ecuación de la distribución Gaussiana.
g) Si hubiéramos obtenido una medición de 55, ¿se aceptaría o se rechazaría?
16

18. 17
PRACTICA II
M EDICIONES INDIRECTAS Y PROPAGACION DE ERRORES
OBJETIVO GENERAL
Analizar el concepto de medición indirecta y calcular el error propagado en este tipo de mediciones.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
♦ Conocer el concepto de medición indirecta y conceptos relacionados.
♦ Calcular las incertidumbres de cantidades que se obtienen de modo indirecto a partir de las incertidumbres de cantidades
físicas que se miden en forma directa aplicando la teoría de propagación de errores.
♦ Aplicar el cálculo diferencial al análisis del método de propagación de errores.
♦ Realizar mediciones indirectas de longitudes, volúmenes, masas y tiempos.
INTRODUCCION TEORICA
Medición indirecta es aquella que se obtiene como resultado de operaciones realizadas con dos o más mediciones directas. En
la práctica anterior todas las mediciones fueron directas, en el sentido de comparar la magnitud desconocida con la unidad de
medida. Sin embargo, al meditar un poco resulta que las mediciones directas son un conjunto muy pequeño de las mediciones,
es decir la mayoría de las mediciones son indirectas, además estas son más importantes. Esto se comprende si se piensa en la
respuesta a las siguientes preguntas:
♦ ¿Cuál es la masa de la Tierra?
♦ ¿Cuál es el número de árboles en un bosque?
♦ ¿Cuál es la temperatura en el interior del Sol?
♦ ¿Cuál es la carga de las partículas subatómicas?
♦ Etc.
No se puede dar respuesta a las anteriores preguntas de forma directa.
Suponga que se obtiene una cantidad A a partir de dos cantidades medidas x y y por medio de una fórmula teórica, en
términos matemáticos: A = A (x,y), entonces A debe de tener un error o incertidumbre ∆ A como resultado de los errores ∆x y
∆y de las cantidades medidas directa mente.
La relación existente entre ∆A, ∆x y ∆y se determinará utilizando algunos métodos entre los cuales se encuentra el cálculo
diferencial. Existen dos situaciones: usualmente el error ∆x no tiene ninguna relación con ∆y, en este caso se dice que son
independientes. Por ejemplo si se mide la velocidad de un objeto midiendo el tiempo que le toma recorrer una cierta distancia,
no existe razón para pensar que si el tiempo es muy grande la medición de la distancia también deba de ser grande. Sin
embargo existen situaciones donde los errores están relacionados, en este caso se lla man dependientes. No se tratará a este
nivel con este tipo de errores.
Además de estos dos tipos existe una tercer clase llamada de errores correlacionados en los cuales las desviaciones de x están
sistemáticamente relacionadas
En esta parte de la práctica se analizan y se obtienen resultados generales del error propagado para la suma, resta,
multiplicación, división y potenciación de mediciones directas.
17

19. 18
SUMA
Si una magnitud es el resultado de la adición de otras dos:
z = x + y
en donde:
x = x + ∆x; y = y + ∆y
entonces:
z = (x + ∆x) + ( y + ∆y)
z = (x + y) + (∆x + ∆y)
Si se tiene que:
z = z + ∆z (1)
entonces:
z = x + y ; ∆ z = ∆x + ∆y
Por ejemplo, suponga que al medir una mesa con una regla de 30 cm graduada en mm, se obtuvo 78 cm. La incertidumbre no
es 0.05 cm ya que para medir 78 cm la regla debió de utilizarse 3 veces, el resultado de la incertidumbre total debe calcularse
así:
x 1 = (30.0 ± 0.05) cm
x 2 = (30.0 ± 0.05) cm
x 3 = (18.0 ± 0.05) cm
De tal forma que:
z = (30.0 + 30.0 + 18.0) cm = 78.0 cm
∆z =( 0.05 +0.05 + 0.05) cm = 0.15 cm
Por lo que la forma correcta de dar el resultado es:
z = (78.0 ± 0.15) cm
Desde luego que lo más conveniente es utilizar una cinta métrica.
RESTA
Si z = x - y, z puede tener dos valores posibles:
zmax = z + ∆z = (x + ∆x) - (y - ∆y) = ( x - y) + (∆x + ∆y)
zmin = z - ∆z = (x - ∆x) - (y + ∆y) = (x - y) - (∆x + ∆y)
Entonces:
z = z ± ∆z = ( x - y ) ± (∆x + ∆y) (2)
con z = x - y y ∆z = ∆x + ∆y
Note que ∆z se ha tomado como la suma de las incertidumbres en lugar de la resta, esto es acertado, ya que si ∆x = ∆y entonces
si se tomara la resta, ∆z sería cero, lo cual no tiene sentido.
Por ejemplo, si:
18

20. 19
x = (28.0 ± 0.05) cm
y = (27.0 ± 0.05) cm
z = x - y = (28.0 - 27.0) cm = 1.0 cm
∆z = 0.05 cm + 0.05 cm = 0.1 cm, por lo tanto z = (1.0 ± 0.1) cm
MULTIPLICACION
Si z = xy donde x y y son cantidades medidas directamente:
x = x ± ∆x y y = y ± ∆y
entonces:
z = (x ± ∆x)(y ± ∆y)
y desarrollando paso a paso el producto de binomios se tiene:
z = x y + x∆y + y∆x + ∆x ∆y
el último término es el producto de dos incertidumbres, si estas son pequeñas entonces el producto es despreciable en relación
a los demás sumandos del producto. Por ello:
z = x + y + (x ∆y + y ∆x)
y como: z = z ± ∆z y z = x y
entonces:
∆z = x∆y + y∆x (3)
∆z es la incertidumbre absoluta de z, la incertidumbre relativa es:
∆z x ⋅ ∆y + y ⋅ ∆x ∆y ∆x
∆z = = = +
z x⋅y y x
de donde se concluye que la incertidumbre relativa en un producto es la suma de las incertidu mbres relativas de cada uno de
los factores.
También debe tenerse en cuenta que no existe error propagado al multiplicar una cantidad fís ica por una constante.
DIVISION
x ± ∆x
Si z = x/y = z ± ∆z, donde x =x ± ∆x y y = y ± ∆y, entonces: z=
y ± ∆y
Existen 4 diferentes combinaciones de signos para z expresado como el cociente mostrado.
El máximo valor del cociente es el valor máximo de x entre el valor mínimo de y , esto es:
x + ∆x
z + ∆z = (4)
y − ∆y
y el valor mínimo de z será el cociente del valor mínimo de x entre el valor máximo de y, o sea:
x − ∆x
z − ∆z = (5)
y + ∆y
y restando miembro a miembro la expresión (5) de la (4) se tiene que, en el miembro izquierdo:
19

21. 20
(z + ∆z) - (z - ∆ z) = 2∆z
y en el miembro derecho:
x + ∆x x − ∆x ( y + ∆y ) ⋅ ( x + ∆x ) − ( y − ∆y ) ⋅ ( x − ∆x )
− =
y − ∆y y + ∆y ( y − ∆y ) ⋅ ( y + ∆y )
por lo tanto:
yx + y∆x + x∆y + ∆x∆y − ( yx − y∆x − x ∆y + ∆y∆x )
2 ∆z = 2 2
( y ) − ( ∆y )
Sumando términos semejantes y suprimiendo (∆y )2 por ser despreciable frente a y2 :
2 ( x ∆y + y ∆x )
2 ∆z = 2
y
( x ∆y + y ∆x )
∆z = 2 (6)
y
la fórmula anterior es la incertidumbre absoluta de z.
La incertidumbre relativa de z es:
x∆y + y∆x
2
∆z y
∆z r = =
z x
y
y ⋅ ( x ∆y + y ∆x ) ∆y ∆x
∆ zr = = +
x ⋅ y2 y x
de donde se concluye que tanto en el caso de un producto como en el del cociente, la incertidu mbre relativa asociada al
resultado es la suma de las incertidumbres relativas asociadas a cada medición directa. Por tanto, las incertidumbres
porcentuales en el producto y en el cociente también resultan de la suma de las incertidumbres porcentuales de los factores.
De lo visto anteriormente resulta que si se tratara en términos matemáticos el cálculo de la i certidumbre y los errores se
n
escribieran como diferenciales en x y en y, entonces pueden utilizarse las fórmulas del cálculo diferencial:
d(x+y) = dx + dy
y conviniendo en que los errores siempre se suman:
d(x-y) = dx + dy
d(xy) = x dy + y dx
d(x/y) = (xdy + ydx)/ y2
es decir las fórmulas para calcular diferenciales son útiles para obtener el error propagado. Por ejemplo:
POTENCIACION
Si z = xn , entonces:
d(xn) = n xn-1 dx
y esto es válido para diferentes valores de n: positivos, negativos o fraccionarios, en nuestra notación se escribirá:
n −1
∆z = n ⋅ x ∆x (7)
No importa lo complicado de la fórmula para obtener z, el error propagado puede obtenerse fácilmente. Por ejemplo:
20

22. 21
a) Para conocer el volumen de una esfera metálica se mide el diámetro con un vernier cuya escala mínima es de 0.1 mm y se
obtiene el resultado:
D = (31.2 + 0.05) mm
Para obtener el volumen se utilizará la fórmula:
V= ( π/6)D3
se tiene que:
V = (π/6)(31.2mm)3 = 15902.4 mm3
y ∆V = 0.05 mm
Para obtener ∆V se utiliza:
∆V = ( π/6)(3D2)(∆D) = 76.4 mm3
El resultado se expresa en la forma:
V = (15902.4 ± 76.4) mm
b) Ahora suponga que se desea obtener la velocidad de una partícula midiendo la distancia recorrida en cierto tiempo, las
mediciones fueron:
t = (5.3 ± 0.05) s
d = (26.45 ± 0.005) m
Se utilizará la fórmula v = d/t, de donde:
v = 4.99 m/s, también ∆t = 0.05 seg. y ∆d = 0.005 m, por lo tanto:
t ∆d + d ∆t m
∆v = 2
= 0.05
t s
Por lo tanto el resultado se expresa en la forma:
v = (4.99 ± 0.05) m/seg.
Si suponemos que la cantidad física que deseamos calcular es función de varias variables e
ntonces se procederá como en el
siguiente ejemplo:
La fuerza de repulsión entre d os cargas iguales en signo y magnitud se calcula según la fórmula:
F= k q 2/r2
donde k = 9 x 109 Nm2 /C2 es una constante, suponga que los valores medidos para las cargas y para las distancias de
separación son:
q = (2.6 ± 0.05) x 10-6 C y r = (0.12 ± 0.005) m
es decir:
q = 2.6 x 10-6 C y ∆q = 0.05 x 10-6 C
r = 0.12 m y ∆r = 0.005 m
F es función de dos variables, el error propagado se calcula utilizando nuevamente el cálculo dife rencial de la siguiente forma:
 ∂F ∂F 
∆F = 
 ∂q ∆q + ∆r 

 ∂r 
donde las derivadas parciales se calculan así:
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23. 22
D−d ∂F q
x = t⋅ = 2k ⋅ 2
d ∂q r
Realizando los cálculos respectivos (no se indican unidades) resulta que ∆F es:
−6
∂F 9 2 .6 ⋅ 10 6
= 2 (9 ⋅ 10 ) ⋅ 3 = 3.25 ⋅ 10
∂q 0.12
∂F 9
( 2.6 ⋅ 10 ) −6 2
= −2 (9 ⋅ 10 ) ⋅ 3 = −70.38
∂r 0.12
F = (9 x 109 ) (2.6 x 10-6 )2 / (0.12)2 = 4.225
por lo tanto:
∆F = |(3.25 x 106 )(0.05 x 10-6 )| + |(-70.38)(0.005)| = 0.514
F = 4.225 ± 0.514
En general si f es una función de n variables:
f = f (x1 , x2 ,..., x n)
donde x1 = x1 ± ∆ x1 , x2 = x2 + ∆ x2, ..., xn = xn + ∆ xn , entonces :
 ∂f ∂f ∂f 
∆f = 
 ∂ x ⋅ ∆x1 + ∂ x ⋅ ∆x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ∂x ⋅ ∆xn 
 (8)
 1 2 n 
Debe observarse que los cálculos tienen tendencia a producir resultados consistentes en largas filas de números, debemos de
tener cuidado de citar con sensatez el resultados final. Si, por eje mplo, se nos da el voltaje a través de un resistor como 15.4 ±
0.1 V y la corriente como 1.7 ± 0.1 A, podemos calcular el valor de la resistencia. La razón V/I es 9.0588235 ohms, y claro
que esto no es la respuesta correcta. Un breve cálculo puede mostrar que la incertidumbre absoluta en la resistencia es de 0.59
ohms. Así que, si las primeras dos cifras decimales del valor calculado son i ciertas, es claro que el resto carece de
n
significado. Poner R = 9.0588235 ± 0.59 es absurdo. Una forma consistente de dar el resultado es R = 9.06 ± 0.59 ohms, pero
aún así no es válido porque las incertidumbres originales tenían un valor de 0.1, por lo que el resultado válido y consistente es:
9.1 ± 0.6 Ω
Se deben evitar las afirmaciones del tipo:
z = 1.314606 ± 0.1 ó z = 1.2 ± 0.00001
EQUIPO Y MATERIAL EMPLEADO
1 catetómetro
1 flexómetro
1 estroboscopio
1 motor con flecha
2 discos de cartón
1 rifle didáctico para municiones
1 cronómetro
1 balanza granataria
1 resorte
1 soporte universal con vástago para colocar el resorte
1 dinamómetro
alfileres
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24. 23
DESARROLLO EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO I
MEDICIONES INDIRECTAS DE LONGITUDES
1.- Suponga que se coloca el catetómetro en las dos posiciones que se indican en la figura (1).
Para determinar la distancia AB basta desplazar el catetómetro sobre una perpendicular a la recta AB una distancia conocida
OO'. De la figura resulta que:
∆ ABC ∼ ∆ O'A'C' y, por lo tanto, AB = AO (OO’-A’C’)/(A’C’) o sea:
D−d
x=l⋅
d
donde x puede calcularse a través de las cantidades l, D y d que se miden de forma directa.
2.- Clave alfileres en los puntos A y O del catetómetro y alinee con ellos el punto B cuya distancia se desea conocer.
3.- Desplace el catetómetro sobre una línea perpendicular a OB o sea sobre AA' tal como se muestra en la figura, coloque un
alfiler en el punto C' sobre la recta O'B.
4.- Mida l, D y d y estime los errores ∆l, ∆D y ∆d.
o'
A'
d C'
C
D
l
B A
o
x
Figura 1
5.- Mida cuidadosamente la distancia AB con un flexómetro.
6.- Determine la altura del edificio de laboratorios de la escuela con el catetómetro. (Vea la pregunta 1 del cuestionario).
EXPERIMENTO II
MEDICION INDIRECTA DE UN VOLUMEN
1.- Tome varias monedas del mismo valor y mida con un vernier o con un tornillo micrométrico el espesor y el diámetro de
ellas.
2.- No olvide anotar la escala mínima del aparato de medición.
EXPERIMENTO III
MEDICION INDIRECTA DE TIEMPOS
1.- Si se quiere determinar la velocidad de un proyectil entonces se procede a montar el arreglo experimental mostrado en la
Figura 2.
2.- Monte los dos discos sobre la flecha del motor cuidando que los discos queden paralelos y fijos. Mida la distancia de
separación entre los discos.
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25. 24
3.- Accione el motor para que los discos giren simultáneamente y efectúe un disparo. El proyectil atraviesa el primer disco y
luego al recorrer la distancia que separa los discos impacta sobre el segundo pero este ya efectuó un desplazamiento angular.
Mida este ángulo.
4.- Anote la velocidad del motor que da el fabricante.
ω
L
Figura 2
EXPERIMENTO IV
MEDICION INDIRECTA DE MASAS
1.- En el vástago colocado en el soporte universal sujete un resorte.
2.- Mida la longitud inicial del resorte.
3.- Cuelgue una masa conocida del extremo del resorte, mida con mucho cuidado la longitud final del resorte. La diferencia de
longitudes se llama elongación. Anote sus resultados.
4.- Coloque una masa desconocida (cualquier objeto) y cuélguelo en el extremo del resorte. Jale un poco la masa y luego
suéltela, mida el período de oscilación.
5.- Mida directamente en una balanza la masa desconocida.
NOTA: Si el período es muy pequeño, mida el tiempo de varios períodos.
ANALIS IS DE RESULTADOS
EXPERIMENTO I
1.- Calcule x como se indica en el desarrollo experimental y ∆x de la siguiente forma:
∂f ∂f ∂f 
∆ x = ± ⋅ ∆l + ⋅ ∆D + ⋅ ∆d 
 ∂l ∂D ∂d 
 D−d l lD 
∆x = ± ⋅ ∆l + ⋅ ∆D + − 2 ⋅ ∆d 
 d d d 
2.- Escriba x en la forma:
x = x ± ∆x
3.- Calcule el error relativo y porcentual.
4.- Llame x * a la distancia AB medida con el flexómetro. Calcule el error porcentual de x* con respecto a la distancia x
calculada en el inciso 2.
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26. 25
EXPERIMENTO II
1.- Calcule el volumen de las monedas considerándolas como cilindros de altura h y radio r.
2.- Utilizando la fórmula (8) calcule el error propagado al calcular el volumen.
EXPERIMENTO III
1.- Considere que la velocidad angular del motor w tiene un error porcentual de 5%, escriba w = w + ∆w :
2.- Aplique la teoría de mediciones indirectas para calcular la velocidad de la bala y su incertidumbre propagada en términos
de la distancia L entre los discos, el desplazamiento angular θ y la velocidad angular w.
EXPERIMENTO IV
1.- Calcule la constante del resorte de la siguiente forma:
k = W /x
donde k es la constante del resorte y x es la elongación.
2.- Obtenga ∆k.
3.- De la ecuación:
m
T = 2π ⋅
k
obtenga el valor de la masa desconocida m y calcule ∆ m. Escriba m =m + ∆m.
4.- Compare las medidas directa e indirecta de la masa. Obtenga el error porcentual en la determinación de m.
CUESTIONARIO
1.- Para determinar la altura de cualquier objeto puede utilizarse el catetómetro de la siguiente forma:
J
D
F G
l
E
C
A A' d'
d G'
K
B B'
Figura 3
JK es la altura del objeto. De la figura demuestre que:
Ddd '
JK =
( d '−d ) ⋅ l
(Sugerencia: Partiendo de la figura demuestre que: ∆ ABC ∼ ∆ AA'F; ∆ A'FJ ∼ ∆ A'GJ; ∆ A'JK ∼ ∆ A'BE).
2.- Conociendo la distancia a un barco que se pierde en el horizonte y la altura del barco, ¿Cómo se puede determinar el radio
de la Tierra?
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27. 26
3.- Demuestre las fórmulas (9) y (10) de la práctica.
4.- ¿Cómo mediría el volumen de un sólido irregular? ¿Cómo determinaría el error propagado con ese método?
5.- ¿Qué condiciones deben cumplirse para que se vean uno, dos o más radios detenidos al iluminar el disco con la lámpara de
destellos?
6.- Nombre dos cantidades de masa que se midan indirectamente e investigue algún método usado para medirlas.
7.- Si supone que el electrón en la órbita del átomo de hidrógeno gira en una órbita circular alrededor del núcleo. ¿Qué otros
datos se necesitarían para determinar la masa del electrón de manera indirecta y cómo la obtendría?
8.- Al usar un metro de madera para medir la longitud de una mesa, se está seguro que no es menor de 143.5 cm, ni mayor de
143.8 cm; el ancho es está entre 88.2 y 88.4 cm. Exprese estas mediciones como un valor central ± incertidumbre. ¿Cuál es el
error absoluto en el área calculada de la mesa?
9.- Al medir la resistencia de un resistor, la lectura del voltímetro era de 17.3 ± 0.2 V y la lectura del amperímetro era de 2.1 ±
0.1 A ¿Cuál es el error absoluto de la resistencia calculada usando la ecuación R = V/I.
10.- Un experimento para medir la densidad ρ de un objeto cilíndrico utiliza la ecuación ρ = m/ πr2 l, donde:
m = masa = 0.031 ± 0.005 Kg.
r = radio = 9.4 ± 0.1 mm
l = longitud = 12.6 ± 0.1 mm
¿Cuál es el error absoluto del valor calculado de la densidad?
11.- La distancia focal, f1 de un lente delgado se va a medir usando la ecuación:
1/θ + 1/i = 1/f, en donde:
θ = distancia al objeto = 0.145 ± 0.002 m
i = distancia a la imagen = 0.472 ± 0.002 m
¿Cuál es el valor calculado de la distancia focal y su incertidumbre relativa?
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28. 27
PRACTICA III
ANALISIS DE DATOS, GRAFICAS Y AJUSTE DE CURVAS
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Encontrar las relaciones matemáticas más adecuadas entre cantidades físicas medidas en el laboratorio.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
♦ Encontrar la función que ilustre lo mejor posible la correlación entre dos variables físicas dependientes obtenidas
experimentalmente.
♦ Graficar los valores obtenidos en el laboratorio y seleccionar el papel adecuado para mostrar la relación entre variables de
manera simple.
♦ Interpretar los resultados experimentales a partir de las gráficas y el ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados.
INTRODUCCION TEÓRICA
En esta práctica se pretende mediante la realización de experimentos sencillos, que el alumno se familiarice con el manejo de
datos experimentales y que sea capaz de encontrar las relaciones matemáticas entre las variables físicas que va a medir en el
laboratorio.
Lo que deseamos evitar sobretodo es que en el trabajo de laboratorio se trate de forzar los datos de las mediciones para obtener
algún resultado preestablecido. Debe de tenerse en cuenta que en la Ciencia las ideas siempre nacieron y evolucionaron como
consecuencia de la necesidad de explicar los resultados obtenidos. En esta práctica se busca encontrar relaciones entre
variables que el alumno no conoce de antemano, no debe extrañar por ello que los experimentos propuestos se adelanten al
Programa teórico e inclusive se salgan de él.
Además de investigar las relaciones entre pares de variables físicas, se muestran las ventajas de algunas técnicas para graficar y
para determinar la curva que mejor describa la relación mencionada, para esto último se aplica el método de mínimos
cuadrados.
Relaciones entre variables físicas
Si se desea comprender la naturaleza de un fenómeno o bien para comprobar o demostrar lo que teóricamente se deduce se
recurre a la realización de experimentos. Para hacer el experimento primero es necesario identificar las variables que
intervienen en él, sin embargo, la mayoría de las veces son muchas las variables, de tal forma que estudiar al sistema se vuelve
muy difícil, confuso y a veces casi imposible. Por ello siempre se debe tratar de restringir el número de variables y analizar los
sistemas por partes, la selección de las variables depende del tipo de información que se busca.
Debe hacerse la distinción entre el mundo real y las construcciones hipotéticas, creadas a partir de definiciones para explicarlo,
estas construcciones se llama n modelos y proporcionan un marco de referencia para el pensamiento y la comunicación, una
descripción esquemática de los sistemas, una base para los cálculos, una guía para el estudio futuro, además de otras ventajas.
Los modelos se pueden modificar en el momento en que sea necesario, en términos generales, se puede hablar de cuatro
componentes en nuestro esquema de investigación:
♦ La observación
♦ Un modelo o idea construida con nuestra imaginación y habilidad
♦ Comparación de esta idea con el mundo real
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29. 28
♦ Modificación progresiva del modelo para mejorar la concordancia entre el modelo y el sistema
Un modelo empírico es el que está basado solamente en las observaciones, un modelo teórico, emplea los conceptos de la
teoría, definiciones, hipótesis, principios, etc.
Una de las metas principales del diseño de experimentos es, por tanto, probar los modelos que utilizamos y verificar su
adecuación para nuestro propósito. Si se planea adecuadamente, el experimento mismo nos dirá si nuestro modelo o teoría es lo
bastante bueno.
Cuando un fenómeno se pueda describir con dos variables, a una se le llama dependiente y a la otra independiente, la variable
independiente en el laboratorio es la variable controlada, o sea aquella a la cual el experimentador le asigna valores
determinados y la dependiente es la variable que resulta afectada por los valores asignados a la variable independiente. Luego
deben definirse los límites en los cuales se modificará la variable independiente, así como cuantos y cuales valores asignarle,
esto es: debe planificarse el método a seguir en el estudio de tal fenómeno. En el laboratorio además deben de tenerse en
cuenta las restricciones en cuanto al material disponible y al tiempo de realización del experimento. Resumiendo; habría que
seguir los pasos:
♦ Selección de variables a controlar.
♦ Intervalo de variación de las variables independientes.
♦ Método e instrumentos para medirlas.
♦ Número de puntos experimentales a medir.
♦ Número de repeticiones de la medición para cada punto.
Por ejemplo:
Se desea estudiar el movimiento horizontal de un objeto, para ello se cuenta con un riel sobre el cual se desliza un balín al que
se le proporciona cierta energía cinética dejando caer el balín por un plano inclinado desde cierta altura tratando de caracterizar
un movimiento horizontal en la parte horizontal del riel. Las principales variables que caracterizan al sistema son:
♦ Distancia que recorre el balín sobre el plano horizontal.
♦ Tiempo que tarda en recorrer dicha distancia.
♦ La fricción que se opone al movimiento.
♦ La velocidad que adquiere el balín al llegar a la parte horizontal.
♦ El diámetro del balín.
♦ La calidad de fabricación del balín.
Sobre este experimento se hacen las siguientes consideraciones:
1. - Al utilizar el mismo balín en todo el proceso, los últimos dos puntos pasan a ser constantes.
2. - La velocidad del balín al llegar a la parte horizontal puede ser la misma siempre y cuando se suelte el balín todas las veces
desde la misma altura.
3. - La fricción no puede evitarse pero si disminuirse al procurar que el balín y el riel tengan el menor número de
imperfecciones. De esta forma queda un sistema caracterizado por dos variables, distancia y tiempo.
4. - La variable independiente puede escogerse arbitrariamente, pero algunas veces desde el punto de vista experimental
conviene una mejor que la otra.
5. - Si se escoge la distancia, entonces se debe conocer la longitud del riel y determinar divisiones en él para determinar el
número de mediciones a realizar. Por ejemplo si el riel mide 1.5 m entonces pueden hacerse divisiones de 0.15 m cada una y
medir el tiempo que el balín tarda en recorrer 15, 30, 45, etc. cm. Sería conveniente además medir para cada distancia varias
veces, sobre todo si las mediciones no son reproducibles.
6. - Si se escoge el tiempo como variable independiente debe de medirse el tiempo total para que el balín recorra todo el riel,
por ejemplo si tarda 4 s en recorrerlo entonces pueden medirse las distancias recorridas en intervalos de tiempo de 0.4 para
tener 10 mediciones y luego repetir varias veces en el caso de que no sean reproducibles.
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30. 29
7. - Luego procede tratar de encontrar la relación entre las dos variables.
Una forma de buscar la relación que puede haber entre las dos variables es graficar en un sistema de ejes cartesianos los
valores correspondientes a la variable independiente en el eje de las abscisas y los correspondientes a la dependiente en el eje
de las ordenadas, se obtiene así una curva que muestra la relación buscada.
Toda curva obtenida a partir de datos experimentales es una relación empírica y muchas veces representa el primer paso en el
establecimiento de una ley, las leyes físicas se originan cuando el experimentador descubre que los cambios en una variable
producen cambios en otra. Realmente en este paso no se tiene todavía una hipótesis bie n definida, pero las gráficas muestran
relaciones funcionales que muestran los cambios mencionados y aunque no se tenga una teoría que sirva de guía pueden
obtenerse algunas conclusiones de la gráfica.
Es importante entonces tener una buena curva característica, para ello es conveniente organizar las medidas en una tabla que
debe ser lo más ordenada y explícita posible, deben colocarse ahí las magnitudes medidas con incertidumbres y unidades. Por
ejemplo en el laboratorio se midieron los tiempos correspondientes a ciertos valores de la corriente de un condensador que se
descarga a través de una resistencia, los resultados se dan en la siguiente tabla:
I ±(µA) t ± 0.5 (s)
25 3.5
20 8.0
15 11.0
10 20.0
5 31.5
En la Figura 1 se muestran los puntos experimentales con sus respectivas incertidumbres. El siguiente paso es trazar una curva
continua a través de los puntos obtenidos, si el número de puntos fuera grande y no hubiera incertidumbre el trazado sería
inmediato, sin embargo en este caso tal como se muestra en la figura existe un número muy grande de curvas que se pueden
trazar. Haciendo un análisis debe de encontrarse la curva "más probable" o sea la que mejor se adapte a los puntos
experimentales, la incertidumbre de estos conducirá a que los parámetros de la curva también tengan cierta incertidumbre.
La relación entre variables puede ser de diferentes tipos, analizaremos los más comunes.
Figura 1
0 5 10 15 20 25 30 35
Ι ± 0.5 µΑ
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
t ± 0.5 s
Relaciones lineales
Es la más sencilla de las relaciones empíricas, una relación lineal indica que existe una relación de proporcionalidad entre las
variables en cuestión, es decir existe una constante de proporcionalidad que en este caso coincide con la pendiente de la recta.
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