Aprendizaje trigonometría GeoGebra

1
ESTRATEGIAS PARA FACILITAR EL APRENDIZAJE POR COMPETENCIAS
DEL TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO EN DÉCIMO GRADO
SANDRA MILENA DE LA CRUZ ORTEGA
PABLO ANDRÉS ESTRADA ARIAS
GEOVANNY PEÑA RUEDA
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA
2010

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AUTORES
TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARCIAL PARA
OPTAR AL TITULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN BÁSICA CON
ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
ASESORA
MG. Sonia Valbuena Duarte
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN
MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA
2010

3
Nota de aceptación:
___________________
___________________
___________________
___________________
___________________
_________________________________
Firma del presidente del jurado
_________________________________
Firma del jurado
_________________________________
Firma del jurado
Barranquilla, Agosto 12 de 2010

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R. A. E.
1. IDENTIFICACIÓN
1.1 TÍTULO DEL TRABAJO
AUTORES
1.2 NOMBRE DEL TUTOR INVESTIGADOR
MG. Sonia Valbuena Duarte
1.3 ÁREA DE ÉNFASIS
Matemáticas
1.4 LUGAR Y FECHA DE PRESENTACIÓN
Barranquilla, 12 de Agosto de 2010
1.5 NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN A LA CUAL SE PRESENTA
Universidad del Atlántico

5
2. ANÁLISIS
2.1 PALABRAS CLAVES: competencias, aprendizaje por competencias,
triángulos, trigonometría, teorema del seno y el coseno, estrategias
didácticas, herramientas tecnológicas.
2.2 DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO
La presente investigación realizada en la Institución Educativa Distrital Jesús
Maestro, Fe y Alegría de Barranquilla, se enfoca en la problemática que
presentan los estudiantes de décimo grado para el aprendizaje del teorema del
seno y el coseno. Esto se debe específicamente en el déficit que mostraron los
discentes para interpretar situaciones problemas, argumentar al momento de
resolverlas y proponer nuevas situaciones basadas en la vida cotidiana en la cual
es necesario utilizar estos teoremas.
Mediante este trabajo, se plantea y se resuelve problemas prácticos sobre
resolución de triángulos cualesquiera tomados de la vida cotidiana, mediante un
método que enlaza la enseñanza por competencias con las nuevas tecnologías.
Para ello, los estudiantes utilizan instrumentos de medición como la cinta métrica,
el transportador y la brújula. Además realizan una representación a escala en el
computador, con GeoGebra, y utilizan esta representación para deducir las
magnitudes buscadas.
En esta investigación se presenta el problema objeto de estudio, el proceso que se
lleva a cabo para la recolección de la investigación, el análisis de ésta y el diseño
de una propuesta con la finalidad de mejorar el aprendizaje del teorema del seno y
el coseno.

6
CONTENIDO
Este trabajo de investigación consta de cuatro capítulos que recogen toda la
información de la siguiente manera:
CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN: Esta primera parte del proyecto contiene la
introducción, el planteamiento del problema, la justificación, los objetivos de la
investigación y el marco legal.
CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO: En éste se presenta un informe de las teorías
relacionadas con el tema de investigación. Igualmente, se esbozan los
antecedentes y los conceptos básicos de la misma.
CAPÍTULO III: REFERENTES DE LA INVESTIGACIÓN: En éste capítulo se
exponen las metodologías que se utilizaron para desarrollar la investigación, por
ende se hace referencia al tipo y a las etapas de investigación, las técnicas e
instrumentos que se usaron para la recolección de datos de la población y muestra
escogida. De igual manera, se presenta el análisis e interpretación de los
resultados obtenidos de las encuestas a estudiantes y docentes, los pre-test y
post-test.
CAPÍTULO IV. PROPUESTA PEDAGÓGICA: En este capítulo se plasman todos
los aspectos asociados con la propuesta pedagógica, dirigida a dar solución al
problema de investigación. Se presenta el diseño, implementación y evaluación de
las estrategias de enseñanza basadas en actividades que permitan fomentar el
aprendizaje del teorema del seno y el coseno. Además, se expone la justificación
de la misma, los objetivos y el análisis de los datos arrojados de la puesta en
marcha de ésta con sus respectivas conclusiones y recomendaciones.

7
AGRADECIMIENTOS
Los autores de este trabajo de investigación manifestamos nuestros
agradecimientos:
A Dios, eje motor de nuestras vidas, acompañante fiel en este duro camino y
principal ayuda para cumplir uno de nuestros sueños más queridos.
A Sonia Valbuena Duarte, motivadora invaluable de nuestros afanes intelectuales,
guía a lo largo de todo el proceso de investigación y maravillosa consejera.
A nuestros profesores, quienes compartieron con nosotros todos sus
conocimientos, inculcándonos el espíritu investigativo y moldeándonos como
verdaderos educadores.
A nuestra Alma Mater, que nos recibió con los brazos abiertos y nos brindó el
espacio para ser mejores personas y excelentes profesionales.

8
CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCIÓN………………………………………………………… 14
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………….... 16
2. JUSTIFICACIÓN……………………………………………………….... 18
3. OBJETIVOS…………………………………………………………….... 21
3.1. OBJETIVO GENERAL………………………………………………….. 21
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS………………………………………….... 21
4. MARCO LEGAL…………………………………………………………. 23
5. MARCO REFERENCIAL……………………………………………….. 24
5.1. ANTECEDENTES BIBLIOGRÁFICOS………………………………... 24
5.2. ANTECEDENTES HISTÓRICOS…………………………………….... 26
5.2.1. La resolución de problemas en la antigüedad………………………... 26
5.2.2. La resolución de problemas en la Edad Media……………………..... 28
5.2.3. La resolución de problemas en la época moderna…………………... 30
5.2.4. La resolución de problemas en la época contemporánea…………... 31
5.3. MARCO TEÓRICO……………………………………………………… 35
5.3.1. Resolución de problemas………………………………………………. 35
5.3.2. La resolución de problemas en la educación matemática………….. 37
5.3.3. Los diversos significados de resolución de problemas……………… 37
5.3.4. Estrategias de resolución de problemas……………………………… 38
5.3.5. Teoría del aprendizaje significativo……………………………………. 39
5.3.6. Aprendizaje por descubrimiento……………………………………….. 43
5.3.7. Etapas del desarrollo cognoscitivo…………………………………….. 44
5.3.8. Ingeniería Didáctica……………………………………………………... 46
5.3.9. Constructivismo social…………………………………………………... 47

9
5.3.10. Educación por Competencias………………………………………….. 49
5.3.11. Importancia de las TIC en la educación..…………………………….. 53
5.3.12. GeoGebra……………………...…………………………………………. 55
5.3.13. Orientación por brújula………………………………………………….. 60
5.3.14. Teorema del seno y el coseno…………………………………………. 64
5.4. MARCO CONCEPTUAL………………………………………………... 69
5.4.1. Qué es un problema.……………………………………………………. 69
5.4.2. Qué es un problema matemático.……………………………………… 69
5.4.3. Trigonometría…………………….………………………………………. 69
5.4.4. Aprendizaje………………………………………………………………. 70
5.4.5. Competencia……………………………………………………………... 70
5.4.6. Aprendizaje por competencias…………………………………………. 70
5.4.7. Lúdica……………………………………………………………………... 70
5.4.8. Las TIC en educación…………………………………………………… 71
6. PROCEDIMIENTOS Y METODOLOGÍA……………………………… 72
6.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN…………………………………….. 73
6.2. TIPOS DE INVESTIGACIÓN…………………………………………… 73
6.2.1. Etapas de la investigación……………………………………………… 73
6.3. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS………………………………………. 74
6.4. DELIMITACIÓN DEL TEMA…………………………………………… 76
6.4.1. POBLACIÓN Y MUESTRA…………………………………………….. 76
7. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS………… 80
7.1. ENCUESTA A ESTUDIANTES Y DOCENTE………………………… 80
7.1.1. Análisis de encuesta a estudiantes del grupo experimental………... 80
7.1.2. Encuesta a docente……………………………………………………... 85
7.2. ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE OBSERVACIÓN……………………... 89
7.3. ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LA PRE- PRUEBA………………. 91
7.4. ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LA POST- PRUEBA…………….. 95
8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………… 99
8.1. CONCLUSIONES………………………………………………………. 99

10
8.2. RECOMENDACIONES…………………………………………………. 100
9. PROPUESTA…………………………………………………………….. 101
9.1. PRESENTACIÓN………………………………………………………... 102
9.2. JUSTIFICACIÓN………………………………………………………… 103
9.3. OBJETIVOS……………………………………………………………… 104
9.3.1 Objetivo general…………………………………………………………. 104
9.3.2. Objetivos específicos……………………………………………………. 104
9.4. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA……………………………………….. 105
9.5. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS………………………………….. 107
9.5.1. Plan de clase N°1……………………………………………………….. 107
9.5.2. Plan de clase N°2……………………………………………………….. 115
9.5.3. Plan de clase N°3……………………………………………………….. 122
9.5.4. Plan de clase N°4……………………………………………………….. 126
9.5.5. Plan de clase N°5……………………………………………………….. 131
9.6. POST- PRUEBA…………………………………………………………. 138
10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………… 148
10.1 CONCLUSIONES……………………………………………………….. 148
10.2 RECOMENDACIONES…………………………………………………. 149
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………….. 151
ANEXOS………………………………………………………………….. 153

11
LISTA DE GRÁFICAS
Gráfica 1: Estrato socioeconómico estudiantes del grupo experimental
Gráfica 2: Estrato socioeconómico estudiantes del grupo control
Gráfica 3: Género de la muestra
Gráfica 4: Edad de la muestra
Gráfica 5: Estudiantes del grupo experimental con computador en su casa
Gráfica 6: Estudiantes del grupo control con computador en su casa
Gráfica 7: Destrezas en el uso del computador por parte de los estudiantes
Gráfica 8: Destrezas en el uso de Microsoft Office en el grupo experimental
Gráfica 9: Destrezas en el uso de Microsoft Office en el grupo control
Gráfica 10: Frecuencia de uso del computador por la muestra
Gráfica 11: Conocimiento sobre programas adicionales (grupo experimental)
Gráfica 12: Conocimiento sobre programas adicionales (grupo control)
Gráfica 13: Tiempo de estudio personal (grupo experimental)
Gráfica 14: Tiempo de estudio personal (grupo control)
Gráfica 15: Frecuencia de la muestra al participar en la clase de matemáticas
Gráfica 16: Asimilación del teorema del seno y el coseno
Gráfica 17: Nivel de interpretación de problemas de aplicación del teorema del
seno y el coseno
Gráfica 18: Nivel de argumentación al utilizar el teorema del seno y el coseno
Gráfica 19: Utilidad del teorema del seno y el coseno en la vida cotidiana
Gráfica 20: Respuesta a un ejercicio de trigonometría (grupo experimental)
Gráfica 21: Respuesta a un ejercicio de trigonometría (grupo control)
Gráfica 22: Preparación de las clases por parte de los docentes
Gráfica 23: Frecuencia en que los estudiantes pasan al tablero
Gráfica 24: Frecuencia en que el docente expone la aplicación del teorema del
seno y el coseno en la vida diaria
Gráfica 25: Motivación del docente en la aplicación del teorema del seno y el
coseno en la resolución de problemas

12
Gráfica 26: Tipo de evaluación utilizada por el docente
Gráfica 27: Capacitación del docente en la enseñanza de la trigonometría
Gráfica 28: Observación de la clase 1
Gráfica 32: Pregunta 1 (pre-prueba)
Gráfica 33: Pregunta 2 - a (pre-prueba)
Gráfica 34: Pregunta 2 - b (pre-prueba)
Gráfica 37: Pregunta 1 (post-prueba)

13
LISTA DE ANEXOS
Anexo 1: Encuesta a estudiantes sobre información primaria
Anexo 2: Encuesta a estudiantes sobre perfil del docente
Anexo 3: Cuestionario para estudiantes
Anexo 4: Encuesta a estudiantes para medir actitudes hacia el docente
Anexo 5: Encuesta para profesores
Anexo 6: Encuesta para el docente para medir actitudes sobre los estudiantes
Anexo 7: Ficha de observación del estudiante en la clase de matemáticas
Anexo 8: Taller diagnóstico 1
Anexo 9: Taller diagnóstico 2

14
INTRODUCCIÓN
Desde que Tales, en el siglo VI a. C., midió la altura de las grandes pirámides de
Egipto comparando la longitud de la sombra arrojada por ellas con la de otro
objeto, la realización de mediciones indirectas ha constituido un tema de gran
interés. Paralelamente, todos los currículos de enseñanza media han incluido
estos problemas. La cuestión es que la resolución analítica de triángulos exige
conocimientos de trigonometría que no resultan asequibles para muchos
estudiantes. Así, el actual currículo de matemáticas, basado en el aprendizaje por
competencias, contempla la resolución de triángulos cualesquiera en estudiantes
de décimo grado mediante la enseñanza del teorema del seno y el coseno.
La experiencia de este trabajo plantea y resuelve problemas prácticos sobre
resolución de triángulos cualesquiera tomados de la vida cotidiana (altura de
edificios, anchura de un río...) mediante un método que enlaza la enseñanza por
competencias con las nuevas tecnologías. Para ello, los discentes toman medidas
de ángulos con el transportador (como suele hacerse tradicionalmente) y con la
brújula al momento de estar en un espacio al aire libre; medidas de lados con una
cinta métrica o con sus propios pasos. Además realizan una representación a
escala en el ordenador, con GeoGebra, y utilizan esta representación para
deducir las magnitudes buscadas. El resultado es un método atractivo, asequible a
la mayoría de los estudiantes, que fortalece los cálculos trigonométricos por
construcciones gráficas en el ordenador.
El interés de la experiencia se potencia por el hecho de que durante su desarrollo
ha dado lugar a la utilización de herramientas que fomentan el interés y el
aprendizaje significativo del teorema del seno y el coseno en décimo grado.

15
La monografía que se presenta a continuación ha sido desarrollada durante los
años 2009-2010 en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría de
la ciudad de Barranquilla, con estudiantes de décimo grado.

16
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En observaciones realizadas en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe
y Alegría, entidad de educación básica y media formal, de carácter público y nivel
socioeconómico medio-bajo, situado en la ciudad de Barranquilla, Departamento
del Atlántico, Colombia, se han detectado dificultades en el aprendizaje por
competencias (interpretativa, argumentativa y propositiva) en décimo grado al
momento de abordar el teorema del seno y el coseno.
Los educandos presentan deficiencias en la comprensión de un problema de la
vida cotidiana sobre resolución de triángulos. Esto se afirma por el hecho de que
algunos estudiantes, al plantearles un problema de manera escrita, al momento de
su lectura, ellos confunden conceptos inmersos en el texto, como los de ángulo de
elevación, de depresión, catetos, entre otros. Por otra parte, hay estudiantes que
logran entender el sentido de los problemas pero se les hace complicado
representar matemáticamente expresiones como: “el ángulo es el suplemento
de…”, “el lado opuesto al ángulo α es…”, entre otras.
De igual manera se encuentra que a los estudiantes se les dificulta interiorizar
conceptos fundamentales para la trigonometría, como el teorema de Pitágoras, la
congruencia de triángulos, etc., tanto así que, los que tienen a la mano estos
conceptos, no argumentan de manera clara las razones por las cuales se plantean
fórmulas para la solución de problemas de trigonometría. Además, para el
estudiante es lenta la manera de encontrar la forma de aplicarlas en la resolución
de un taller en clase o en una situación de la vida cotidiana.
Por lo tanto, el proceso de enseñanza y aprendizaje del teorema del seno y el
coseno no está arrojando resultados satisfactorios en los estudiantes de décimo

17
grado de esta institución, haciendo que éstos requieran orientación adicional para
resolver situaciones problemas basados en estos teoremas.
De esta manera se hace necesario encontrar las razones que originan la lenta
asimilación en el aprendizaje del teorema del seno y el coseno como concepto
nuevo, para luego implementar estrategias que dinamicen los procesos de
enseñanza y aprendizaje en las aulas educativas, tomando como base situaciones
problemas encaminados a la realidad y aplicables a la vida cotidiana, teniendo en
cuenta el entorno en que se mueven, facilitando así el aprendizaje y afianzando
los conocimientos adquiridos.
En conclusión, hay deficiencias en el aprendizaje por competencias del teorema
del seno y el coseno. Por lo tanto se ha planteado para su estudio el siguiente
interrogante:
¿Cómo incide en los estudiantes de décimo grado de la Institución Educativa
Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, la falta de fundamentación relacionada
con los teoremas del seno y del coseno, cuando se enfrentan a situaciones
que requieren su uso para solucionarlas?

18
2. JUSTIFICACIÓN
La trigonometría es una rama muy importante y de mucha utilidad en las
matemáticas, del cual el teorema del seno y el coseno es parte esencial para
resolver problemas de la vida cotidiana de medición de triángulos. Éstos requieren
de un dominio profundo y así poder abordar sin muchas dificultades conocimientos
de mayor rigor como son la geometría analítica y el cálculo. Por lo tanto, el
problema de aprendizaje de este tema debe solucionarse para evitar tropiezos de
los estudiantes en el futuro académico.
Es muy común observar en nuestro medio escolar estudiantes de décimo grado
que presenten este tipo de dificultades. La falta de interiorización del teorema del
seno y el coseno provoca que haya un vacío en el conocimiento integral del
estudiante, debido a que no sólo se impide el avance en las matemáticas sino
también en la física.
De acuerdo con los estándares en matemáticas, mediante un problema de
aplicación de los conceptos de trigonometría se puede fomentar el desarrollo del
pensamiento variacional del estudiante. Por lo tanto, al no superar esta temática
(el teorema del seno y el coseno), éstos no cumplirán las características de una
persona formada integralmente en el área de matemáticas.
Para el docente también es muy importante darle solución a este problema debido
a que, al hallarlo, podrá implementar estrategias precisas que servirán para que el
estudiante pueda tener un aprendizaje adecuado de las matemáticas, en este
caso, el estudio del teorema del seno y el coseno.
Además hace parte de la formación en conocimientos fundamentales que el
estudiante pueda ser capaz de resolver problemas de la vida cotidiana en el cual

19
sea necesario usar el teorema del seno y el coseno, por lo cual la solución de este
problema le facilitará su inmersión en el mundo de formación profesional, en su
carrera universitaria.
En consecuencia, acercarnos a la solución de este problema, reviste particular
relevancia e importancia en el seno de la Institución Educativa Distrital Jesús
Maestro Fe y Alegría, para los docentes de matemáticas y muy especialmente a
los promotores de este trabajo. De ahí, los hallazgos de la investigación dan lugar
a relacionar estos conocimientos con el justo valor o uso social de las
matemáticas, por cuanto será fuente motivadora para abrir espacios de
aprendizaje a partir de los estudiantes.
PREGUNTAS SUBYACENTES
¿Cuál es el entorno en que se desenvuelven los estudiantes de décimo
grado de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría con
respecto a la clase de matemáticas?
¿Cuáles son las características de los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría?
¿Qué mediaciones se están implementando para la enseñanza del teorema
del seno y el coseno en décimo grado de la Institución Educativa Distrital
Jesús Maestro Fe y Alegría?
¿Cómo relacionan los estudiantes de décimo grado de la Institución
Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría el teorema del seno y el
coseno con la vida diaria?

20
¿Cuáles son los métodos, procedimientos que emplean los estudiantes de
la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría al comprender y
resolver problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?
¿Cuáles son los aciertos y errores más frecuentes que cometen los
estudiantes de décimo grado cuando intentan comprender y resolver
problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?
¿Qué conceptos previos se requieren por parte de los estudiantes de
décimo grado para el dominio de las competencias en el teorema del seno
y el coseno en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y
Alegría?

21
3. OBJETIVOS
3.1 OBJETIVO GENERAL
Determinar la incidencia de la falta de fundamentación relacionadas con el
teorema del seno y del coseno en los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, cuando se enfrentan a
situaciones que requieren su uso para solucionarlas.
3.2 OBJETIVOS ESPEFÍFICOS
Describir el entorno en el cual se desenvuelven los estudiantes de décimo
grado de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría con
relación al ambiente de la clase de matemáticas.
Describir las características de los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría.
Describir mediante observaciones directas y entrevistas, la metodología
utilizada por el docente en el desarrollo de los procesos de enseñanza del
teorema del seno y el coseno con los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría.
Analizar la relación que los estudiantes tienen entre el teorema del seno y el
coseno y la vida diaria.
Caracterizar los métodos, procedimientos que emplean los estudiantes al
comprender y resolver problemas de aplicación del teorema del seno y el
coseno.

22
Clasificar los aciertos y errores de los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría al momento de
resolver problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno.
Identificar los conceptos previos que requieren los estudiantes de décimo
grado para el aprendizaje por competencias del teorema del seno y el
coseno en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría.

23
4. MARCO LEGAL
Esta investigación está enmarcada de acuerdo a la Ley General de Educación,
Ley 115, Febrero 8 de 1994, artículo 5, sobre los fines de la educación,
especialmente el séptimo (7) que menciona “El acceso al conocimiento, la ciencia,
la técnica y demás bienes de la cultura, el fomento por la investigación y el
estímulo a la creación artística en sus diferentes manifestaciones” y el noveno (9)
fin que establece “El desarrollo de la capacidad crítica, reflexiva y analítica que
fortalezca el avance científico y tecnológico nacional, orientado con prioridad al
mejoramiento cultural y de la calidad de la vida de la población, a la participación
en la búsqueda de alternativas de solución a los problemas y al progreso social y
económico del país”.
Se señalan estos dos fines de la educación porque el papel del docente en el área
de las Matemáticas con el uso de la tecnología e informática al mismo de la gran
responsabilidad de formar estos valores mencionados arriba en sus estudiantes
para el progreso social y económico del país. Estos valores como el fomento de la
investigación, la participación y la búsqueda de soluciones a los problemas de mi
contexto social, el docente debe vincularlos en proyectos pedagógicos donde el
educando participe y cree una conciencia social y productiva que ayuden a
solucionar problemas del entono social.

24
5. MARCO REFERENCIAL
5.1 ANTECEDENTES BIBLIOGRÁFICOS
Al consultar en forma específica trabajos relacionados con estrategias para facilitar
el aprendizaje del teorema del seno y el coseno y elaborados por competencia no
se encontró material bibliográfico que vincule a estos dos aspectos en el contexto
de la facultad de ciencias de la educación de la Universidad del Atlántico, sin
embargo se pudo encontrar dos investigaciones relacionadas con temas de
trigonometría. Estas son:
1) “Propuesta para el aprendizaje de la solución de problemas de triángulos
rectángulos a partir de las funciones trigonométricas en décimo grado del Instituto
Pestalozzi Nocturno”, por Luís Armando Becerra Vásquez, Augusto César
Jiménez Polo y Rodolfo Rafael Pérez Flórez, año 2000. Este trabajo pretende ser
un aporte pedagógico para superar las dificultades encontradas en el aprendizaje
de la solución de problemas de triángulos rectángulos a partir de las funciones
trigonométricas en décimo grado. Para tal fin se diseñó una propuesta
metodológica basada en el taller y el trabajo grupal, el cual consta de
coordinadores de grupo y un coordinador general como herramienta para el
mejoramiento del aprendizaje del tema en cuestión que permitirá integrar en un
solo proceso tres instancias como son la docencia, la investigación y la práctica.
Además se hizo una encuesta a 24 estudiantes de décimo grado del Instituto
Pestalozzi Nocturno que consistía en 17 preguntas con tres ítems de respuestas
exactas, aplicada antes de realizar la propuesta metodológica con el grupo.

25
2) “Incidencia de la evaluación cualitativa en el aprendizaje de las razones
trigonométricas” por José Brito Pinto, Oscar Cortes Martínez y Ricardo Gutiérrez
Becerra. Este trabajo contiene la fundamentación teórica, metodológica y los
logros del proceso de investigación relacionados con la incidencia de la evaluación
cualitativa en el aprendizaje de las razones trigonométricas en el grado décimo. El
problema de investigación se basa en la necesidad de indagar los factores de la
evaluación por procesos que pueden ser determinantes en el aprendizaje de las
razones trigonométricas en el contexto del área de matemática.
La investigación permitió concluir que la falta de iniciativa y de motivación por
parte de los estudiantes y una inadecuada utilización de los instrumentos y medios
evaluativos generó un ambiente desfavorable en los procesos de enseñanza
aprendizaje de las razones trigonométricas, por lo cual el grupo investigador
recomienda la implementación de una metodología constructivista, en el contexto
de una pedagogía activa que genere en los educandos el deseo de analizar,
razonar, deducir y aplicar los conceptos de las razones trigonométricas. Como
consecuencia de la investigación se presenta la siguiente propuesta: Talleres
procesales para el aprendizaje de las razones trigonométricas.

26
5.2 ANTECEDENTES HISTÓRICOS
La resolución de problemas matemáticos es el punto clave de la actividad
matemática. Su estudio a lo largo de los años muestra su inseparable relación con
los procesos de enseñanza y aprendizaje de la propia matemática. Sin embargo
esta resolución de problemas se ha convertido en un obstáculo en los estudiantes
de todos los niveles, del cual ha surgido la necesidad de investigar estos
obstáculos.
A continuación se abordará la evolución de la resolución de problemas
matemáticos desde una perspectiva histórico-didáctica, tomando como guía cuatro
etapas fundamentales: la Antigüedad, partiendo desde el 2000 a. C. hasta la caída
del Imperio Romano en el siglo V d. C; se sigue con la Edad Media, hasta el siglo
XV; luego la Era Moderna, que finaliza con la alborada del siglo XX; y se concluye
en la época Contemporánea. De esta manera, se ubicará el tema de esta
investigación en una de ellas.
5.2.1 La resolución de problemas en la antigüedad
De la lectura de un documento histórico se puede inferir que la finalidad
fundamental de los problemas matemáticos propuestos era preparar al hombre
para el cálculo. El autor proclamaba muy orgulloso “Sé sumar y restar a la
perfección, soy diestro en calculo y en contabilidad”. Muchos autores coinciden en
plantear que fue el matemático griego Herón, quien vivió en Alejandría
aproximadamente entre los siglos II y I a. C., el primero en incluir ejercicios con
texto en sus trabajos; sin embargo, se conocen, de hecho, algunos textos
matemáticos escolares más antiguos. Estos textos son de dos tipos: de tablas y de
problemas; estos últimos proponen, por ejemplo, este “problema tipo”, hallado en
un papiro egipcio de mediados del segundo milenio: En una pirámide el lado tiene
140 codos y la inclinación es de 5 palmos y 1 dedo por codo. ¿Cuál es la altura?

27
Los textos matemáticos en su generalidad se inician con una exposición del
problema matemático que se trata de resolver, y los datos se representan como
cifras concretas y no como variables abstractas. Sigue a la exposición del
problema la forma de ir solucionándolo paso por paso, para llegar finalmente al
resultado. Cada nuevo paso se basa en el resultado de un paso anterior, o bien en
uno de los datos facilitados al principio. El “alumno” quedaba así capacitado para
resolver cualquier otro problema del mismo tipo que pudiera presentársele.
Además, estos problemas solían reagruparse de modo que las técnicas
aprendidas pudieran aplicarse inmediatamente en otros casos. Según Boyer: “los
cientos de problemas de tipos muy parecidos que aparecen en las tablillas
cuneiformes tienen todo el aspecto de ser ejercicios que debían resolver los
escolares siguiendo ciertos métodos conocidos o reglas generales.”1
Al penetrar en la Grecia se conoce que el cálculo se enseñaba en la escuela
elemental y, al igual que los textos babilonios o egipcios, los problemas planteados
se refieren explícitamente a una situación concreta, incluso esta es muchas veces
un artificio con fines pedagógicos. Se puede plantear que la aparición de escuelas,
algunas de las cuales llegaron a ser muy reconocidas, se debieron a iniciativas
individuales; así, los dos grandes filósofos atenienses de fines del siglo V y
primera mitad del IV antes de nuestra era, Sócrates (470-399 a. C) y Platón (428-
347 a. C), fundan sus propias escuelas.
Sócrates veía las matemáticas como instrumento indispensable para formar
mentes “bien hechas”. Para Platón, dicha ciencia debe servir de introducción al
estudio de la Filosofía, mientras que a la vez pretendía que esos conocimientos
matemáticos sirvieran como base a un proyecto de reformas políticas. De todos es
1
BOYER, Carl B. Historia de la Matemática, 1986, p. 66

28
conocida la importancia que concedió Platón al estudio de las Matemáticas, en
especial a la enseñanza de la Geometría, y cómo la utiliza desde su posición de
idealista objetivo.
A Platón se le debe la concepción actual de los objetos matemáticos al señalar:
“los razonamientos que hacemos en geometría no se refieren a las figuras visibles
que dibujamos, sino a las ideas absolutas que ellas representan.”1
También
aprecia la importancia de la resolución de problemas, así, en su obra “La
República” plantea que si se quiere desarrollar la inteligencia es preciso proceder
como se hace en Geometría, por medio de problemas.
En resumen, en la Antigüedad se percibe un sentido utilitario de la matemática
prehelénica frente a una óptica cosmológica de la griega, donde en ésta la
instrumentación de las concepciones giran en torno a la comprensión de los
elementos que componen el orden existencial del hombre y su medio, aspecto que
responde a las características propias del desarrollo de la ciencia y de la
cosmovisión humana en relación con la existencia. Es, en estos casos, la
resolución de problemas matemáticos un vehículo socio-clasista de dominación en
manos de los que ostentaban el poder.
5.2.2 La resolución de problemas en la Edad Media
En la Edad Media, en la India, entre los siglos V-VII, las Matemáticas alcanzan un
gran esplendor y su desarrollo estuvo ligado íntimamente con matemáticos de
relieve como Aryabhata, Brahmagupta y Bháskara. Los principales aportes de
estos notables científicos se pueden exponer en la resolución completa de la
ecuación de segundo grado, la resolución de las ecuaciones indeterminadas y su
aplicación a la solución de problemas prácticos. Además, al igual que los
“Elementos” del griego Euclides, en el que se sintetizó gran parte de la matemática
1
BOYER, Carl B. Historia de la Matemática, 1986, p. 125

29
de su época, los conocimientos de esta etapa fueron recogidos por Bháskara en el
siglo VII en su obra capital titulada “Sidhanta Ciromani”. El desarrollo matemático
adquirió gran relevancia en el Mundo Árabe.
En la Edad Media en Europa, el objetivo de la enseñanza era conocer el orden del
universo y la esencia de las cosas, sin importarles la preparación del hombre para
la vida en la sociedad. Con el surgimiento de las universidades, los procedimientos
seguidos por los profesores en casi todas partes eran los mismos; no se acudía a
las fuentes originales, el docente leía un manual y luego se centraba en su
discusión y debate. En esos tiempos ya existían grupos de graduados de las
diferentes universidades que compartían el ejercicio de las Matemáticas: por un
lado, los agrimensores, ingenieros y contables y, por otro, los médicos y
astrólogos, que gozaban de una situación social superior; los del primer grupo,
dentro de sus enseñanzas, enfatizaban en la resolución de problemas prácticos,
ofreciendo determinados modelos para algunas situaciones especificas.
En el siglo XIV, en Europa, los cambios económicos así como el desarrollo de las
ciudades y el comercio van a favorecer el ascenso social de los matemáticos
prácticos, puesto que los intercambios comerciales cada vez más complejos
exigían técnicas idóneas de cálculo y contabilidad. Existían en esos momentos
tratados donde se exponían reglas para la solución de problemas específicos
relacionados principalmente con las tasas de interés, los cambios, la circulación y
el peso de las monedas, o la repartición de los beneficios. En los tratados estos
métodos solían presentarse en forma de casos concretos, integrándose en un
contexto totalmente práctico.
La influencia de las interpretaciones escolásticas como instrumento para la
generalización de la fe, durante la Edad Media, hacen que la dirección formativa
de la resolución de problemas matemáticos evidencie una concepción teológica
donde los procedimientos matemáticos constituyen un elemento básico en la

30
multiplicidad existencial del hombre, evidenciando el rigor de un ordenamiento
que, independientemente de la multiplicidad factorial que lo compone, confluyen
en la existencia de una causa universal que descansa en la idea de Dios.
5.2.3 La resolución de problemas en la época moderna
La actividad matemática de esta época fue marcada por el filósofo y matemático
francés René Descartes (1596-1650), quien fue el fundador del racionalismo. Éste
se formó como resultado de interpretar de manera unilateral el carácter lógico del
conocimiento matemático, dado que la naturaleza universal y necesaria de este
conocimiento le parecía a Descartes derivada de la naturaleza del intelecto mismo.
El matemático asignó dentro del proceso de conocimiento un papel significativo a
la deducción, basada en axiomas, alcanzables por vía intuitiva. Para obtener el
conocimiento, él creía necesario ponerlo todo en duda, salvo la cognoscibilidad
misma; este principio se manifiesta en su máxima: “pienso, luego existo”.
Considera Polya que las palabras siguientes de Descartes describen el origen de
las Reglas: “Cuando, en mi juventud, oí hablar de invenciones ingeniosas, trataba
de saber si no podría inventarlas yo mismo, sin incluso leer al autor, así advertí
que me conformaba a ciertas reglas.”1
La utopía de su gran proyecto descansaba sobre un plan muy simple: Fase I:
reducir cualquier problema algebraico a la resolución de una ecuación simple.
Fase II: Reducir cualquier problema matemático a un problema algebraico. Fase
III: Reducir cualquier problema a un problema matemático. El primer libro culmina
con las reglas IX-XII, que ayudan a consolidar el conocimiento. Enfatiza la
necesidad de profundizar en las cuestiones más simples; en la importancia de la
ejercitación; en la búsqueda de relaciones entre proposiciones simples; y en el
empleo óptimo de cuatro facultades: la inteligencia, la imaginación, los sentidos y
1
POLYA, George. How to Solve it. Princeton University Press,1945, p. 109

31
la memoria. Respecto a las facultades empleadas en el conocimiento, Descartes
destaca que sólo la inteligencia puede percibir la verdad, pero no debe dejar de
ayudarse del resto de las facultades señaladas.
En el siglo XVIII resulta necesario destacar al suizo L. Euler (1707-1783), quien no
llegó a plantear explícitamente, como Descartes, un conjunto de reglas para
abordar los problemas. El mérito fundamental radica en la educación heurística
manifestada en su práctica pedagógica. Según testimonios de Condorcet
(matemático contemporáneo con Euler): “Euler prefería instruir a sus alumnos con
la pequeña satisfacción de sorprenderlos. Él pensaba no haber hecho bastante
por la ciencia si no hubiese añadido a los descubrimientos la íntegra exposición de
las ideas que le llevaron a ellos.”1
De acuerdo a lo anterior, la resolución de problemas en el ámbito de la
modernidad condiciona una perspectiva donde el hombre y su personalidad,
constituyen el centro de la problemática. La propia perspectiva humanista de la
ciencia advierte la necesidad de acrecentar la preocupación por el hombre en la
relación con sus similares y la sociedad, donde los procedimientos matemáticos
constituyen alternativas para satisfacer las demandas humanas e incrementar el
éxito de la humanidad en el proceso de adaptación secular, social y cultural.
5.2.4 La resolución de problemas en la época contemporánea
En la alborada del siglo XX aparecen los aportes del matemático francés H.
Poincaré (1854-1912), que consideraba que las leyes de la ciencia no pertenecen
al mundo real, sino que constituyen acuerdos convencionales para hacer más
cómoda y útil la descripción de los fenómenos correspondientes.
En su “Fundations of Science” (1913), Poincaré dedica un apartado al análisis de
la creación de los conceptos matemáticos. Esta sección recibió el título de
1
POLYA, George. Variable Compleja. Ed. Limusa, 1976, p. 66

32
Creación Matemática, y había aparecido originalmente en una publicación
francesa de 1908 (“Science et Méthode”). Lo más estimable en esta obra es la
distinción que su autor hace respecto al acto creativo, destacando cuatro fases:
Saturación (actividad consciente que implica trabajar en el problema hasta donde
sea posible); Incubación (el subconsciente es el que trabaja); Inspiración (la idea
surge repentinamente, “como un flash” según Poincaré) y Verificación (chequear la
respuesta hasta asegurarse de su veracidad).
Otra importante contribución fue realizada por J. Hadamard (1865-1963) en su
libro “An essay on the psychology of invention in the mathematical field”, publicado
en 1945. Este matemático propone un esquema algo más exhaustivo para explicar
el proceso de creación matemática. Sus fases son las siguientes:
Documentación (informarse, leer previamente, escuchar, discutir); Preparación
(realizar un proceso de ensayo-error sobre diferentes vías e hipótesis,
considerando un cambio eventual de actividad en caso de no obtener ningún
progreso); Incubación (al cambiar de actividad); Iluminación (ocurre la idea
repentina); Verificación (la idea debe someterse al análisis y comprobación, al
juicio crítico); Conclusión (ordenación y formulación de los resultados).
Salvando sus limitaciones idealistas estas ideas son bastante progresistas. Por
primera vez se intentaba explorar los fenómenos que ocurren en el cerebro
humano, durante la resolución de problemas. Ya no se trataba de describir ciertas
reglas para conducir el pensamiento, sino de estudiar el pensamiento mismo.
Resulta certero plantear que ya Hadamard comprendió la necesidad de encarar el
proceso de resolución de problemas desde la perspectiva matemática y
psicológica cuando expresó:
“... este asunto envuelve dos disciplinas, Psicología y Matemática, y requerirá ser
tratada adecuadamente en ese orden, por ambos, tanto por el psicólogo como por

33
el matemático. Por la falta de esta composición, el asunto ha sido investigado por
los matemáticos por un lado y por los psicólogos por el otro...”1
En materia de resolución de problemas es normal que los historiadores y
estudiosos dividan sus análisis en dos etapas, claramente delimitadas por el año
1945, año en que salió a la luz “How to Solve It”, del matemático y pedagogo
húngaro George Polya. La obra didáctica de Polya nace en el prefacio del trabajo
“Aufgaben und Lehrstze auf der Analysis” del cual fue coautor. En las indicaciones
sobre el uso de este libro los autores revelan una breve recomendación, a fin de
lograr un pensamiento productivo. Ellos señalan:
“Reglas generales, capaces de prescribir detalladamente la más útil disciplina del
pensamiento, no son conocidas por nosotros. Sin embargo, si tales reglas
pudieran ser formuladas, ellas no serían muy útiles; uno tiene que asumirlas en
carne y hueso y tenerlas listas para un uso inminente. La resolución independiente
de problemas difíciles ayudará al estudiante mucho más que los aforismos que él
sigue, aunque para un comienzo estos puedan no dañarlo”2
.
Schoenfeld (1987) señala que en “How to Solve It” Polya no se contenta con este
simple aforismo, así que realiza un estudio introspectivo del método cartesiano. De
esta obra hay que destacar un aporte fundamental: el aislamiento de cuatro fases
claramente identificables durante el proceso de resolución de problemas:
Comprensión del problema; Concepción de un plan; Ejecución del plan; y Visión
retrospectiva. En cada una Polya propone una serie de reglas heurísticas bastante
sugerentes, pero lo más notorio, en primer lugar, consiste en que la mayoría de
ellas van dirigidas a la segunda fase. El propio Polya señala: “De hecho, lo
esencial de la solución de un problema es concebir la idea de un plan.”(Polya, G.
1976, p.30).
1
HADAMARD, Jacques. The Psychology of Invention in the Mathematical Field. Princeton University Press, 1945. p. 1
2
POLYA, G. y SZEGO, G. Problems And Theorems In Analysis. Ed. Springer, 1998, p. 11

34
A pesar de que “How to Solve It” marcó un hito en el campo de la Didáctica de la
Matemática, en su fecha de aparición no causó gran impacto, ya que los currículos
escolares estaban fuertemente influenciados por los asociacionistas, los cuales
adoptaban un aprendizaje por repetición. Aún así, Polya continuó su obra y en
1954 publicó en la misma dirección “Mathematics and Plausible Reasoning”. Sin
embargo, no es hasta la década de los ochenta que se toman en cuenta, en los
EE.UU., para su instrumentación en el contexto del aula las ideas de Polya, sobre
todo lo concerniente a las etapas en el proceso de resolución de problemas.
En el campo de la Didáctica de la Matemática aparecieron diferentes criterios en
relación con lo que es un problema, al aparecer, en muchos casos, por la
interferencia semántica mezclado con el término “ejercicio”. La escuela de
Didáctica de las Matemáticas de la antigua R.D.A elaboró una clasificación de los
ejercicios, tomando como base el grado de abstracción en el reflejo de los
elementos y relaciones. Como concepto superior tomó los ejercicios matemáticos
propuestos a los alumnos, los cuales se subdividen en dos conceptos
subordinados: ejercicios de aplicación (los que tienen su origen en la práctica) y
ejercicios construidos (aquellos que se conciben con fines didácticos, o sea, para
ejercitar, profundizar, aplicar, asegurar las condiciones previas, entre otros).
A modo de resumen, en el ámbito de la contemporaneidad perpetúa la asunción
logológica constituyendo el elemento directriz de las pretensiones formativas
cimentadas en la resolución de los problemas matemáticos, pero esta vez las
asunciones didácticas tienden al análisis del rol dinámico y activo de los sujetos
cognoscentes como solucionadores de problemas, a partir de la preocupación, no
solo por problemas relacionados con la enseñanza, sino también por cuestiones
que abordan el fenómeno del aprendizaje y su significación; factores estos
devenidos en un conjunto de modelos que, aunque no resuelven en su totalidad
los problemas existentes, condicionan una mayor racionalidad a las intenciones
formativas y didácticas de la Matemática.

35
5.3 MARCO TEÓRICO
En la actualidad, de acuerdo al ICFES, se mantienen unos parámetros para tener
en cuenta en el Programa de Matemáticas en décimo grado: “En lo referente a la
geometría, en este nivel (décimo a undécimo grado) juega un papel importante el
identificar propiedades de las curvas, resolver problemas en donde se usen
propiedades de las cónicas, describir y modelar fenómenos periódicos usando
relaciones y funciones trigonométricas y usar argumentos geométricos para
formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias”1
.
En el siguiente apartado se dan a conocer las bases teóricas que dan sustento al
presente trabajo, tales como:
5.3.1 Resolución de Problemas
La resolución de problemas se caracteriza por ser un procedimiento didáctico que
permite no sólo el aprendizaje de hechos y técnicas, sino, al mismo tiempo, de
estructuras conceptuales y estrategias generales. Así, según Dijkstra (1991), la
resolución de problemas es un proceso cognitivo que involucra conocimiento
almacenado en la memoria a corto y a largo plazo.
En otras palabras, la resolución de problemas consiste en un conjunto de
actividades mentales y conductuales, a la vez que implica también factores de
naturaleza cognitiva, afectiva y motivacional. Por ejemplo, si en un problema dado
se debe transformar mentalmente metro a centímetros, esta actividad seria de tipo
cognoscitiva. Si se pregunta de cuán seguros se está que las respuestas que se
da sean correctas, tal actividad seria de tipo afectiva, mientras que resolver el
problema, con papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución,
podría servir para ilustrar una actividad de tipo conductual.
1
ACEVEDO, Myriam. Fundamentación conceptual área de Matemáticas. ICFES. Bogotá, Mayo 2007. p 29

36
Según André1
el proceso de solución de problemas puede describirse a partir de
los elementos considerados a continuación:
o Una situación en la cual se quiere hacer algo, pero se desconoce los pasos
para alcanzar lo que se desea.
o Un conjunto de elementos que representa el conocimiento relacionado con
el problema.
o El solucionador de problema o sujeto que analiza el problema, sus metas y
datos y se forma una representación del problema en su sistema de
memoria.
o El solucionador de problema que opera sobre la representación para
reducir la discrepancia entre los datos y metas. La solución de un problema
está constituida por la consecuencia de operaciones que pueden
transformar los datos en metas.
o Al operar los datos y las metas, el solucionador de problemas utiliza o
puede utilizar los siguientes tipos de información.
• De esquemas o producciones
• Procedimientos heurísticos
• Algoritmos
o El proceso de operar sobre una representación inicial con el fin de
encontrar una solución de problemas, se denomina búsqueda. Como parte
del proceso de búsqueda de la solución, la representación puede
transformarse en otras representaciones.
o La búsqueda continúa hasta que se encuentra una solución o el
solucionador de problemas se da por vencido.
1
ANDRÉ, T. Problem Solving and Education. En G. Phye y T. André (Eds.). Cognitive Classroom Learning. Understanding,
Thinking and Problems Solving. New York, Academic Press. 1896

37
5.3.2 La resolución de problemas en la educación matemática
Existe un acuerdo general en aceptar la idea de que el objetivo primario de la
educación matemática debería ser que los estudiantes aprendan matemática a
partir de la resolución de problemas. Sin embargo, dadas las múltiples
interpretaciones del término, este objetivo difícilmente es claro.
En efecto, el término resolución de problemas ha sido usado con diversos
significados, que van desde trabajar con ejercicios rutinarios hasta hacer
matemáticas profesionalmente; significados que en muchos casos llegan a ser
contradicciones, como se describen brevemente a continuación:
5.3.3 Los diversos significados de resolución de problemas
Resolver problemas como contextos:
Desde una concepción, los problemas son utilizados como vínculos al servicio de
otros objetos curriculares, jugando cinco roles principales:
• Como una justificación para enseñar matemática: al menos algunos
problemas relacionados con experiencia de la vida cotidiana son
involucrado en la enseñanza para mostrar el valor de la matemática.
• Para promover especial motivación a ciertos temas: los problemas son
frecuentemente usados para introducir temas, con el convencimiento
implícito o explicito de que favorecerá el aprendizaje de un determinado
contenido.
• Como actividad recreativa: muestra que la matemática puede ser “divertida”
y que hay usos entretenidos para los conocimientos matemáticos.

38
• Como medio para desarrollar nuevas habilidades: se cree que,
cuidadosamente secuenciados, los problemas pueden proporcionar nuevas
habilidades a los estudiantes y proveer el contexto para discusiones
relacionadas con algún tema.
• Como práctica: la mayoría de las tares matemáticas en la escuela cae en
esta categoría. Se muestra una técnica a los estudiantes y luego se
presentan problemas de práctica hasta que se ha dominado la técnica.
Resolver problemas como habilidad:
La mayoría de los desarrollos curriculares que ha habido bajo el término de
resolución de problemas a partir de la década de los 80 son de este tipo.
La resolución de problemas es frecuentemente vista como una de tantas
habilidades a ser enseñanza en el currículum. Esto es, resolver problemas no
rutinarios es caracterizado como una habilidad de nivel superior, a ser adquirida
luego de haber resuelto problemas rutinarios (habilidad que a su vez es adquirida
a partir del aprendizaje de conceptos y habilidades matemáticas básicas).
Resolver problemas es “hacer matemática”
Hay un punto de vista particularmente matemático a cerca del rol que los
problemas juegan en la vida de aquellos que hacen matemática; consiste en creer
que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática
realmente consiste en problemas y soluciones.
5.3.4 Estrategias de resolución de problemas
Las estrategias se refieren a las operaciones mentales utilizadas por los
solucionadores para pensar sobre la representación de las metas y obtener una
solución.

39
Debido a esto, varios investigadores han analizado la actividad de resolución de
problemas y señalan que tal actividad es un proceso que involucra una serie de
etapas, razón por la cual se viene investigando sobre las fases en la resolución de
problemas. Es así como Wallas (1926) señala que éstas incluyen:
• La preparación, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema,
intenta definirlo en forma clara y recoge hechos e información relevante al
problema.
• La incubación, es la fase en la cual el resolutor analiza el problema de
manera inconsciente.
• La inspiración, es la fase en la cual la solución al problema surge de
manera inesperada.
• La verificación, es la fase que involucra la revisión de la solución.
Otros autores (André, 1986; Hayes, 1.981) señalan que las etapas en la
resolución de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para
aproximarse analíticamente a la solución, así como también para ofrecer una
descripción de las actividades mentales de la persona que resuelve el problema.
5.3.5 Teoría del aprendizaje significativo
La propuesta de David Ausubel (1973), está centrada en el aprendizaje producido
en un contexto educativo, es decir, en el marco de una situación de interiorización
o asimilación, a través de la instrucción. Esta teoría se ocupa de los procesos de
aprendizaje–enseñanza de los conceptos científicos a partir de los conceptos
previamente formados por el discente en su vida cotidiana.1
Ausubel plantea que el “aprendizaje del estudiante depende de la estructura
cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, debe entenderse por
1
POZO, Juan Ignacio. Teorías cognitivas del aprendizaje 3ra edición. Ed. Marota,1996

40
estructura cognitiva, al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un
determinado campo del conocimiento”1
.
David Ausubel, considera que la estructura de conocimiento de las personas está
formada principalmente por conceptos y múltiples relaciones que se producen en
esta estructura mental, es decir, el aprendizaje, se produce a través de un
proceso que define como Aprendizaje Significativo.
En el proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia conocer la
estructura cognitiva del estudiante; no sólo se trata de saber la cantidad de
información que posee, sino cuáles son los conceptos y proposiciones que maneja
así como de su grado de estabilidad.
Las condiciones que favorecen la construcción del aprendizaje significativo son:
• Los contenidos que se propone el estudiante debe tener significado en sí
mismo.
• El estudiante debería comprender, desde el principio con suficiente
claridad, lo que trata de hacer.
• Además, es necesario que la tarea que se presenta sea considerada
atractiva e interesante, para que el discente entienda que con su
aprendizaje pueda cubrir una necesidad propia e importante.
Pero en la construcción del aprendizaje significativo, no basta con estructurar los
contenidos, y además que la materia de estudio sea significativa por sí misma,
sino que también es necesario que la estructura cognitiva del discente disponga,
de los conocimientos previos que sirva de enlace con el nuevo contenido que se
propone aprender2
.
1 AUSUBEL, D. P. NOVAK, J. D., HANESIAN, H. Psicología Educativa, Un punto de vista cognoscitivo. Trías Ed. , México.
1983
2
GARCÍA, Eduardo. Psicología Cognitiva. La teoría del aprendizaje significativo(David Ausubel) 2003-2006

41
Tomando como base lo anterior, se hace necesario conocer la estructura cognitiva
del estudiante en cuanto a su forma de razonar matemáticamente, empleando
estrategias que ayuden a fortalecer el razonamiento lógico y que de esta manera
adquiera sentido y aplicación en la vida de los educandos.
Un aprendizaje es significativo cuando los contenidos son relacionados de modo
no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el estudiante ya sabe.
Por relación sustancial y no arbitraria se debe entender que las ideas se
relacionan con algún aspecto existente específicamente relevante de la estructura
cognoscitiva del alumno, como una imagen, un símbolo ya significativo, un
concepto o una proposición.
Esto quiere decir que en el proceso educativo, es importante considerar lo que el
individuo ya sabe de tal manera que establezca una relación con aquello que debe
aprender. Este proceso tiene lugar si el educando tiene en su estructura cognitiva
conceptos, ideas, estables y definidos, con los cuales la nueva información puede
interactuar.
El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información "se conecta" con
un concepto relevante pre- existente en la estructura cognitiva, esto implica que,
las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos
significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones
relevantes estén adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del
individuo y que funcionen como un punto de "anclaje" a las primeras.
Es por esto que la enseñanza de las matemáticas debe estar fundamentada en
conceptos matemáticos básicos, estructuras y habilidades, así como también
métodos y principios que estimulen el pensamiento e integren los conocimientos
adquiridos con los ya existentes.
Desde este punto de vista, el aprendizaje significativo solo tiene lugar activamente
desde el interior de la persona, mediante el establecimiento de relaciones nuevas
y lo que ya se conoce. Por otro lado, lo importante es ayudar a los estudiantes a

42
construir una representación más exacta de las matemáticas y desarrollar pautas
de razonamiento más convencionales. En esencia, la enseñanza de las
matemáticas consiste en traducirlas a una forma en la que los estudiantes puedan
construir su significado y crear oportunidades para desarrollar y ejercer el
razonamiento lógico-matemático y las aptitudes para la resolución de problemas.
Dentro de las características más importante del aprendizaje significativo están:
• El aprendizaje se recuerda durante mucho más tiempo.
• Aumenta la capacidad de aprender nuevos materiales.
• Facilita el aprendizaje. (volver a aprender lo aprendido)
El objetivo primordial por parte de las escuelas y los docentes al enfrentarse a esta
sociedad postindustrial consiste en educar a los jóvenes en destrezas y cualidades
que contribuyan a generar aprendizajes verdaderamente significativos.
Factores que intervienen en el aprendizaje:
• Estructura cognitiva: la estructura cognitiva es el factor principal del
aprendizaje. De acuerdo como estén organizados los conceptos, de
acuerdo a su nivel de generalidad, abstracción, discriminación, estabilidad y
calidad, se facilita o se atrasa el proceso de aprendizaje.
• La disposición: la capacidad de almacenar y procesar información en los
seres humanos, varía con la edad y la experiencia. La capacidad que
tengan en un momento dado de poner en funcionamiento su estructura
cognitiva es llamada disposición, por tanto se refiere a la suficiencia que
tenga la capacidad cognitiva para las tareas del aprendizaje.
• Capacidad intelectual: la inteligencia, la facultad para interferir las
relaciones y los nexos en los sistemas reales y en los sistemas simbólicos,
necesariamente, el mayor o el menor desarrollo de esta facultad intervienen
en el proceso de aprendizaje. De esta manera se puede establecer un nexo

43
directo entre el desarrollo de la capacidad intelectual y calidad del
aprendizaje.
• La práctica: Evidentemente ésta cumple una función prioritaria en el
aprendizaje repetitivo en la medida que afianza la articulación arbitraria y
literal con la estructura cognitiva. Sin embargo, de lo anterior no se puede
derivarse que la práctica no cumple las funciones en un proceso de
aprendizaje significativo. Por lo menos tres de ellas permiten ser
identificadas claramente:
- Primero: La práctica aumenta la claridad y la estabilidad de los significados
aprendidos, especialmente si se tienen en cuenta los matices que se
pierden en una primera presentación.
- Segundo: Aumenta la diferenciación conceptual.
- Tercero: Cumple un papel “inmunizante” al llevar al plano de la conciencia
los factores responsables del olvido.
5.3.6 Aprendizaje por descubrimiento
Para Jerome Bruner, “el aprendizaje por descubrimiento es a la vez un objetivo de
la educación y una práctica de su teoría de la instrucción. El plantea que el
descubrimiento consiste en la transformación de hechos o experiencias que se
presentan, de manera que se pueda ir más allá de la información recibida”1
. En
otras palabras, se trata de reestructurar o transformar hechos evidentes, de
manera que puedan surgir nuevas ideas para llegar a la solución de los
problemas.
En el aprendizaje por descubrimiento, el estudiante tiene que evaluar toda la
información que le viene del ambiente, sin limitarse a repetir los que le es dado;
por lo tanto él debe generar ideas y comprender el concepto desde su lenguaje
con el fin de ser constructor de su propio aprendizaje.
1
BRUNER, Jerome. The act of discovery. Harvard Educational Review, 1961

44
Bruner se preocupa por inducir al discente a una participación activa en el proceso
de aprendizaje, por lo tanto los contenidos que se han de aprender deben ser
percibidos por el estudiante como un conjunto de problemas, relaciones y lagunas
que se han de resolver. Por consiguiente el sistema educativo debe tener presente
que el educando es el ente activo en el proceso de enseñanza aprendizaje y el
docente solo es un facilitador durante este proceso.
Por otro lado, el ambiente es uno de los factores primordiales que contribuyen en
el aprendizaje de los estudiantes, por esta razón Bruner considera que el ambiente
necesario para que se dé un aprendizaje por descubrimiento debe presentar al
estudiante alternativas para que perciba relaciones y similitudes entre los
contenidos a aprender. Bruner sostiene que el descubrimiento favorece el
desarrollo mental, y que lo que nos es más personal es que se descubre por sí
mismo.
Bruner destaca una serie de beneficios que se derivan del aprendizaje por
descubrimiento:
• Mayor utilización del potencial intelectual: esto quiere decir que el énfasis
en el aprendizaje por descubrimiento fomenta en el aprendiz el hábito de
organizar la información que recibe.
• Motivación Intrínseca: dentro de la concepción del aprendizaje como un
proceso de descubrimiento, el niño obtiene recompensa en su propia
capacidad de descubrir, la cual aumenta su motivación interna, hacia el
aprendizaje, que cobra más fuerza para él, que la aprobación o
desaprobación proveniente del exterior.
5.3.7 Etapas del desarrollo cognoscitivo
En sus trabajos Jean Piaget1
distingue cuatro etapas del desarrollo cognoscitivo,
en el cual plantea que el pensamiento se desarrolla en orden sucesivo de
1
http://www.earlytechnicaleducation.org/spanien/cap2lis2es.htm

45
estadios, los cuales se relacionan con actividades del conocimiento como pensar,
reconocer, percibir, entre otros.
Las etapas de vital importancia en esta investigación son:
Etapa de las operaciones concretas:
Esta etapa tiene lugar entre los siete y doce años aproximadamente y está
marcada por una disminución gradual del pensamiento egocéntrico y por la
capacidad creciente de centrarse en más de un aspecto de un estímulo.
Sólo pueden aplicar esta nueva comprensión a los objetos concretos (aquellos que
han experimentado con sus sentidos). Es decir, los objetos imaginados o los que
no han visto, oído, o tocado, continúan siendo algo místico para estos niños, y el
pensamiento abstracto tiene todavía que desarrollarse.
Además el niño es capaz de asumir un número limitado de procesos lógicos,
especialmente cuando se le ofrece material para manipularlo y clasificarlo, por
ejemplo. La comprensión todavía depende de experiencias concretas con
determinados hechos y objetos y no de ideas abstractas o hipotéticas.
Etapa de las operaciones formales:
En la etapa final del desarrollo cognitivo (desde los doce años en adelante), los
niños comienzan a desarrollar una visión más abstracta del mundo y a utilizar la
lógica formal. Pueden aplicar la reversibilidad y la conservación a las situaciones
tanto reales como imaginadas. También desarrollan una mayor comprensión del
mundo y de la idea de causa-efecto.
Esta etapa se caracteriza por la capacidad para formular hipótesis y ponerlas a
prueba para encontrar la solución a un problema.
Otra característica del individuo en esta etapa es su capacidad para razonar en
contra de los hechos. Es decir, si le dan una afirmación y le piden que la utilice

46
como la base de una discusión, es capaz de realizar la tarea. Por ejemplo, pueden
razonar sobre la siguiente pregunta: ¿Qué pasaría si el cielo fuese rojo?".
De esta manera, el razonamiento que el estudiante emplea es el que se desarrolla
por efecto de la edad y de la experiencia de la vida cotidiana, ya que a partir de
este momento el sujeto tiene capacidad para razonar de manera lógica.
5.3.8 Ingeniería Didáctica
La ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas francesa, a
principios de los años ochenta, como una metodología para las realizaciones
tecnológicas de los hallazgos de la teoría de Situaciones Didácticas y de la
Transposición Didáctica. El nombre surgió de la analogía con la actividad de un
ingeniero quien, según Artigue (1998, p. 33):
“Para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos científicos
de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico. Sin embargo, al
mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos
que los depurados por la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prácticamente,
con todos los medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o no
puede hacerse cargo.”
En realidad el término ingeniería didáctica se utiliza en didáctica de las
matemáticas con una doble función: como metodología de investigación y como
producciones de situaciones de enseñanza y aprendizaje, conforme mencionó
Douady:
“… el término ingeniería didáctica designa un conjunto de secuencias de clase
concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de forma coherente por un
profesor-ingeniero para efectuar un proyecto de aprendizaje de un contenido
matemático dado para un grupo concreto de alumnos. A lo largo de los
intercambios entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo las
reacciones de los alumnos en función de las decisiones y elecciones del profesor.

47
Así, la ingeniería didáctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un
análisis a priori, y un proceso, resultante de una adaptación de la puesta en
funcionamiento de un producto acorde con las condiciones dinámicas de una
clase.”1
Artigue (1998, p. 40) distingue varias dimensiones ligadas a los procesos de
construcción de ingenierías didácticas:
• Dimensión epistemológica: asociada a las características del saber puesto
en funcionamiento.
• Dimensión cognitiva: asociada a las características cognitivas de los
alumnos a los que se dirige la enseñanza.
• Dimensión didáctica: asociada a las características del funcionamiento del
sistema reenseñanza.
Como mencionamos anteriormente, el sustento teórico de la ingeniería didáctica
proviene de la teoría de situaciones didácticas (Brousseau, 1997) y la teoría de la
transposición didáctica (Chevallard, 1991), que tienen una visión sistémica al
considerar a la didáctica de las matemáticas como el estudio de las interacciones
entre un saber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los
modos de apropiación de este saber por el sujeto (Brousseau, 1997).
5.3.9 Constructivismo social
En décadas recientes, los teóricos constructivistas han extendido su tradicional
orientación del aprendizaje individual a tratar dimensiones sociales y de
colaboración al aprender. Es posible entender el constructivismo social como la
manera de reunir aspectos del trabajo de Piaget con el de Bruner y de Vygotsky
(Wood 1998:39)
1
DOUADY, Regine. Ingeniería didáctica y evolución de la relación con el saber en las matemáticas de collège-seconde.
Francia. Topiques éditions. 1996, p. 241

48
El constructivismo social en educación y teoría del aprendizaje es una teoría de la
forma en que el ser humano aprende a la luz de la situación social y la comunidad
de quien aprende. La Zona de desarrollo próximo, desarrollada por Lev Vygotsky y
aumentada por Bruner es una idea bajo el constructivismo social.
Del constructivismo cognitivo al constructivismo social:
Las ideas sobre el aprendizaje que ahora llamamos constructivismo cognitivo,
fueron las precursoras del constructivismo, Gracias a Vigotsky, un psicólogo
Bielorruso que vivió y trabajó bajo un ambiente Marxista, se hizo famoso por sus
ideas sobre la mediación como una parte integral de la psicología del ser humano:
"El hecho central sobre nuestra psicología es el hecho de la mediación" Vygotsky
1978:166).
A pesar de que en su trabajo sólo se hace su propia versión de la realidad,
Vygotsky añadió que la importancia de discutir esta versión de la realidad con los
demás para así, a través del proceso de mediación, llegar a un nivel más alto de
verdad que haya sido probado socialmente (Derry)
Una definición práctica de constructivismo social:
El constructivismo social expone que el ambiente de aprendizaje más óptimo es
aquel donde existe una interacción dinámica entre los instructores, los alumnos y
las actividades que proveen oportunidades para los alumnos de crear su propia
verdad, gracias a la interacción con los otros. Esta teoría, por lo tanto, enfatiza la
importancia de la cultura y el contexto para el entendimiento de lo que está
sucediendo en la sociedad y para construir conocimiento basado en este
entendimiento.
Principios del constructivismo social:
Paul Ernest (1991) resume los principios del constructivismo social de la siguiente
manera:

49
• El conocimiento no se recibe pasivamente sino que es construido
activamente por el sujeto cognitivo. “La función de la cognición es adaptable
y sirve la organización del mundo de la experiencia, no el descubrimiento
de una realidad ontológica" (Von Glasersfeld 1989:182).
• Las teorías personales que resultan de la organización experimental del
mundo, deben calzar las restricciones impuestas por la realidad física y
social.
• Esto se logra a través de un ciclo de Teoría - Predicción -Prueba - Error -
Rectificación - Teoría.
• Esto da paso a las teorías socialmente aceptadas del mundo y los patrones
sociales así como las reglas de uso del lenguaje.
• El constructivismo social es la reflexión que hacen aquellos que están en la
posición de enseñar a los demás, como ellos enseñan, y la información que
muestran a los otros.
5.3.10 Educación por competencias
El uso del término competencia se está generalizando últimamente en los medios
educativos, despertando mucho interés entre los educadores y también una cierta
inquietud sobre su preciso significado y su eventual incidencia en los procesos
pedagógicos.
Para muchos, el concepto de competencia en el ámbito educativo, desde que en
1965 Noam Chomsky en su artículo Aspects of theory of syntax introdujera el
término COMPETENCIA, como aquella capacidad que posee todo hablante para
apropiarse del conocimiento de su lengua y así producir y entender enunciados y
significaciones siempre nuevos, lo cual es referida a la aparición del lenguaje
como un acontecer misterioso, sin la evidencia de un saber anterior que lo
explique1
.
1
VINENT SOLSONA, Manuel. ¿Qué significa aprender? Un punto de vista sobre el concepto de competencia. En:
BOGOYA MALDONADO, Daniel y otros. Competencias y Proyecto Pedagógico. Bogotá, D.C. Universidad Nacional de
Colombia, 2000. P 65

50
Son muchos los autores que han dado su punto de vista sobre lo que significa la
palabra competencia. Las competencias deben entenderse desde un enfoque
sistémico como actuaciones integrales para resolver problemas del contexto con
base en el proyecto ético de vida (Tobón, Pimienta y García Fraile, 2010). Las
competencias son un conjunto articulado y dinámico de conocimientos,
habilidades, actitudes y valores que toman parte activa en el desempeño
responsable y eficaz de las actividades cotidianas dentro de un contexto
determinado (Vázquez Valerio Francisco Javier). Para el ministerio de educación
nacional, es una categoría pensada desde la constitución y formación de los
sujetos en diferentes dimensiones de su desarrollo, la cual está relacionada con el
crecimiento de las capacidades o potencialidades que presenta el sujeto que se
visualizan a través de los desempeños, de acciones, sea en el campo social,
cognitivo, cultural, estético o físico1
.
Del análisis de estas definiciones puede concluirse que las Competencias:
• Son características permanentes de la persona,
• Se ponen de manifiesto cuando se ejecuta una tarea o se realiza un
trabajo,
• Están relacionadas con la ejecución exitosa en una actividad, sea laboral
o de otra índole.
• Tienen una relación causal con el rendimiento laboral, es decir, no están
solamente asociadas con el éxito, sino que se asume que realmente lo
causan.
• Pueden ser generalizables a más de una actividad.
Hoy en día tiene lugar un intenso debate sobre el significado, alcances y
limitaciones del concepto de competencias como eje de nuevos modelos de
educación y por supuesto, también hay una variedad de perspectivas para
definirlas; para la educación es definida como “Una habilidad, destreza, aptitud o
1
M.E.N. Lineamientos curriculares de Lengua Castellana. Bogotá D.C. Cooperativa editorial Magisterio, 1998. p 43

51
actitud que un estudiante debe desarrollar en un período de tiempo, después de
haber seguido un PROCESO educativo debidamente programado y controlado de
manera que sea posible la verificación de su logro”1
. Sin embargo hay dos
características que de alguna u otra manera se encuentran implícitas en cualquier
definición de competencia: por un lado el centrarse en el desempeño y, por el otro,
el recuperar condiciones concretas de la situación en que dicho desempeño es
relevante.
La primera de ellas es sumamente importante en la medida en que es
indispensable que la educación tenga un impacto directo en las posibilidades de
actuación de la gente y no solo constituya un requerimiento formal de años de
escolaridad, en el mejor de los casos, una vía para acumular conocimientos de
carácter enciclopédico. La segunda característica no es menos relevante, pues
ofrece la posibilidad de abordar de una manera más real las relaciones entre
variables, los factores del contexto de situaciones concretas, las formas de
organización del trabajo y, también de incorporar criterios de evaluación acordes
con situaciones más complejas.
De acuerdo al enfoque con que se interpretan los atributos propios que definen la
competencia, así será el grado de dominio y profundidad existente en su
aplicabilidad en el campo educativo. Requiere por lo tanto tener una visión clara
de los momentos o niveles que encierra el desafío de este proceso para la
apropiación significativa de los conocimientos científicos2
. Un primer nivel que
hace referencia al reconocimiento y distinción de los elementos, objetos o códigos
propios de cada área, el segundo nivel que tiene que ver con el uso comprensivo
de los objetos o elementos de un sistema de significación, siendo de mayor
exigencia, elaboración conceptual y acción que el primero; el tercer nivel
comprende el control y la explicación del uso. Es un nivel mucho más profundo
1
MEJIA WILLIAM. Competencias, un desafío para la educación en el siglo XXI. Bogotá, D.C. Editorial Norma, 2000, p 12
2
BOGOYA MALDONADO, Daniel. Competencias y proyectos pedagógicos. Bogotá, D.C. Universidad Nacional de
Colombia, 2000. P 18

52
que los anteriores, porque requieren un dialogo fluido entre los procesos
cognitivos que dan cuenta del reconocimiento y la distinción de objetos o códigos,
de su utilización con sentido en determinados contextos.
Es importante, de acuerdo a esto, que las diferentes asignaturas son las llamadas
a garantizar la estructuración y formación de un ciudadano que sea capaz de leer
e interpretar información, proponer alternativas de solución dinamizadas y a
reconocer el mundo que los rodea. En el caso de las matemáticas se “Debe
potenciar al estudiante para aplicar su conocimiento en la resolución de
problemas, tanto al interior de la matemática misma, como en otras disciplinas;
debe además desarrollar habilidades para usar el lenguaje matemático y
comunicar ideas, razonar y analizar, cuestionarse. Interpretar críticamente
información y tomar consecuentes; en fin; para enriquecer y ampliar
continuamente su conocimiento”1
El MEN y el ICFES proponen tres tipos de competencias que se deben trabajar en
los centros educativos para desarrollar habilidades y destrezas en los estudiantes
y a si formar personas capaces de cuestionar el mundo donde habitan. Siendo
estas: competencias argumentativas, propositivas e interpretativas, estamos
dando un paso fundamental para superar limitaciones propias de la escuela activa
y la escuela tradicional. Siendo la competencia argumentativa una de las más
importantes a ser trabajadas en educación básica y media. Porque permite al
estudiante sustentar, dar soporte, justificar o apoyar una idea; permite evaluar
diversas alternativas y convencer auditorios de la conveniencia o justeza de una
posición o tesis.
1
BOGOYA, Daniel. Evaluación de competencias básicas en el lenguaje, matemática y ciencias. Bogotá, D.C. Secretaria de
Educación Distrital, 1999.

53
Competencia interpretativa
Esta competencia incluye la habilidad que se tiene para identificar y comprender
las ideas fundamentales en una comunicación, un mensaje, una gráfica, un
dibujo, para comprender las relaciones existentes entre estas ideas
Competencia argumentativa
Esta competencia incluye la habilidad del razonamiento en cuanto a la explicación
de cómo las diferentes partes de un proceso, se ordenen y se relacionan entre si,
para lograr cierto efecto o conclusión. Al argumentar se explica el por qué de las
cosas, se justifican las ideas, se dan razones, se establecen los propios criterios,
se interactúa con el saber
Competencia propositiva
Esta competencia supone un engranaje creativo de los elementos para formar un
sentido nuevo; es decir se ordenan ideas bajo un nuevo patrón o se crean nuevas
configuraciones de ideas. Esta competencia representa la cúspide de la pirámide
del desarrollo del pensamiento; puesto que requiere de una síntesis, de un cambio
o transformación de las ideas.
5.3.11 Importancia de las TIC’s en la educación
Antecedentes en relación a las TIC´s
La necesidad de la búsqueda de una definición propia de la integración curricular
de la TIC, surge de la necesidad del rápido crecimiento innovador de las ciencias y
tecnologías y que esto tendrá una influencia en el ámbito de la formación científica
y educativa, en relación a esto, Sánchez, afirma lo siguiente:
“Integración curricular de TIC´s es el proceso de hacerlas enteramente parte del
currículum, como parte de un todo, perneándolas con los principios educativos y la
didáctica que conforman el engranaje del aprender. Ello fundamentalmente implica

54
un uso armónico y funcional para un propósito del aprender específico en un
dominio o una disciplina curricular”1
.
El uso de TIC´s permite jugar desde diferentes papeles en la práctica de
enseñanza-aprendizaje en la formación científica, especialmente en el desarrollo
de habilidades como cálculo, análisis, interpretación de resultados, etc.
El análisis científico que se espera obtener con todos los componentes que
permiten a las TIC´s (animaciones integradas, simulaciones, imágenes, video,
flash...) los materiales científicos generados serán más atractivos para los
estudiantes y les permitirá alcanzar mayor grado de comprensión.
En relación a lo expuesto en los párrafos anteriores, algunos principios que
influyen en el uso de las tecnologías de la información y la comunicación en un
contexto constructivista que se define de lo siguiente:
• Herramientas de apoyo para aprender, con las cuales se puede realizar
actividades que fomenten el desarrollo de destrezas y habilidades cognitivas
superiores en los alumnos.
• Medios de construcción que faciliten la integración de lo conocido y lo nuevo.
• Extensores y amplificadores de la mente a fin de que expandan las
potencialidades de procesamiento cognitivo y memoria, lo que facilita la
construcción de aprendizajes significativos.
• Herramientas que participan en un conjunto metodológico orquestado, lo que
potencia su uso con metodologías activas como proyecto, trabajo colaborativo,
mapas conceptuales e inteligencias múltiples en las cuales alumnos y docentes
coactúen y negocien significados y conocimientos, con la tecnología como socio
en la cognición del alumno.
Es por esto la importancia que adquieren las TIC en la formación docente y no
sólo en la formación inicial sino que durante toda la vida profesional, debido a que
1
SÁNCHEZ, Jaime. (2003). Integración Curricular de TIC´s: Concepto y Modelos, Revista Enfoques Educacionales, 5(1), p.
51-65

55
cada vez más las TIC juegan un papel importante en el aprendizaje de los
estudiantes, por ejemplo, el uso de Internet cada vez adquiere más adeptos lo
que implica que la información es buscada y encontrada más rápido que dentro
del colegio.
Competencia de los docentes en el uso de las TIC
La UNESCO1
ha propuesto tres enfoques de visiones y alternativas de políticas
educativas, a través de ellos, los estudiantes, ciudadanos y trabajadores de un
país adquieren competencias más sofisticadas para apoyar el desarrollo
económico, social y cultural de un país.
Estos enfoques son:
1. Adquisiciones de nociones básicas de TIC: Tiene como objetivo preparar a
los estudiantes, ciudadanos y trabajadores capaces de comprender nuevas
tecnologías, tanto para apoyar el desarrollo social como para mejorar la
productividad económica.
2. Profundización de conocimientos: El objetivo es aumentar la capacidad de
educandos y ciudadanos para agregar valor a sociedad y a la economía,
aplicando los conocimientos de las asignaturas escolares en problemas
complejos encontrados en la vida cotidiana.
3. Generación del conocimiento: Tiene como objeto desarrollar la participación
cívica, la creación cultural y la productividad económica mediante la
formación de estudiantes, ciudadanos y trabajadores dedicados en la
creación de conocimiento, innovar y participar en la sociedad del
conocimiento.
5.3.12 GeoGebra
GeoGebra es un software de matemática para educación en escuela media
(secundaria) que reúne dinámicamente, geometría, álgebra y cálculo.
1
UNESCO. Estándares DE Competencia en TIC para Docentes. Londres 2008

Por un lado, GeoGebra es u
construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas
como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.
Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así,
GeoGebra tiene la potencia de manejar
y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio
de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares
de una función, como Ra
Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana
algebraica se corresponde con un objeto en la
Cómo introducir funciones en Geo
explorar sus propiedades
0. Instalar Geogebra en el
www.geogebra.org,
enlace del marco de la izquierda) y pulsa
1. Abrir GeoGebra:
aplicación.
Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica que p
iene la potencia de manejar variables vinculadas a números, vectores
de una función, como Raíces o Extremos.
algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.
Figura 1: muestra la presentación de GeoGebra
Cómo introducir funciones en GeoGebra y desplazar
explorar sus propiedades
r Geogebra en el ordenador: Entrando
, se selecciona la opción “WebStart-Teleinicio
enlace del marco de la izquierda) y pulsar sobre el botón “GeoGebra WebStart”
a: Haciendo doble clic sobre el icono del programa se abrirá la
56
n sistema de geometría dinámica que permite realizar
variables vinculadas a números, vectores
ventana geométrica y viceversa.
ebra y desplazarse por ellas para
ndo en la dirección
Teleinicio” (es el tercer
“GeoGebra WebStart”
doble clic sobre el icono del programa se abrirá la

57
2. Introducir y representar una función: Se escribe su ecuación en el Campo
de Entrada. Las funciones pueden escribirse de distintas maneras.
Figura 2: en la parte inferior se muestra el “campo de entrada” del GeoGebra
Ejemplo: Escribir la función ‫ݕ‬ = 2‫ݔ‬ + 3 y pulsar la tecla “Enter”. Se observa cómo
se representa gráficamente la función y queda seleccionada la opción “Desplaza”
que se usa para la selección de los objetos creados.
Señalada con el ratón la recta trazada, se observa (ver figura 3) cómo queda
resaltada en negrita y pulsando el botón derecho del ratón para que aparezca el
menú contextual permite modificar las propiedades del objeto.
Figura 3: muestra la opción “desplaza” en la esquina superior izquierda
Selecciona “Propiedades” y con las fichas “Color” y “Estilo” le cambias el color y la
anchura del trazo de la recta.

58
Borra la función: Seleccionando la ecuación de la función en la ventana de la
izquierda y pulsando la tecla Suprimir. También se puede usar la opción “Borra”
del menú contextual.
3. Desplazamiento por la gráfica:
Ahora se va a diseñar un punto que se pueda desplazar sobre la gráfica de la
función y mostrar sus coordenadas. Para hacerlo, se diseña previamente otros
objetos como se indica a continuación:
Paso 1: Representación gráfica de la función que se quiere estudiar. En este
caso se representará la función ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ଶ
− 4. Para ello se usa el campo de entrada.
Paso 2: Construcción de un punto que se desplace solo por el eje de abscisas
(eje de las x). Seleccionar la opción Nuevo Punto y marcar un punto cualquiera
del eje de abscisas. Se verá cómo se ha creado un punto A y en la Ventana
Algebraica se muestran sus coordenadas. Seleccionar la herramienta de Desplaza
y mover el punto creado. ¿Se puede mover libremente o está limitado su
desplazamiento?
Si este punto se hubiese creado sobre la gráfica de la función, se movería
sobre ella. Este es el punto que se quiere crear, pero se hará que se mueva
cuando se desplace el punto creado sobre el eje OX.
Paso 3: Crear el punto B de la gráfica cuya abscisa coincide con la del punto
A. Basta con trazar por el punto A una recta perpendicular al eje OX, el punto de
intersección de esta recta y la gráfica de la función es el punto B buscado.
Obsérvese la figura 4.

59
Figura 4: muestra el punto B que se puede desplazar sobre la gráfica
GeoGebra es, básicamente, un "procesador geométrico" y un "procesador
algebraico", es decir, un compendio de matemática con software interactivo que
reúne geometría, álgebra y cálculo -y por eso puede ser usado también en física,
proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras
disciplinas-.
Figura 5: muestra el dinamismo de GeoGebra
Su categoría más cercana es "software de geometría dinámica”. En GeoGebra
puede hacerse construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas -a través
del ingreso directo con el ratón o mediante instrucciones con el teclado-, y todo
eso modificable en forma dinámica: es decir que si algún B objeto depende de otro
A, al modificar A, también se actualiza B.

60
Pero también pueden definirse funciones reales de variable real, calcular y graficar
sus derivadas, integrales. GeoGebra está escrito en Java y por tanto está
disponible en múltiples plataformas.
5.3.13 Orientación por brújula
La división de la orientación entre “natural” y artificial” sirve sólo para señalar el
uso o no de elementos fabricados por el hombre para orientarse; aunque no deja
de ser arbitraria, es bastante útil. ¿Qué elementos ha creado el hombre para
orientarse?
• Mapas
• Brújulas
• Astrolabio
• Octante
• Sextante
• GPS (de las siglas en inglés: Global Position System: Sistema de Posición
Global)
• Otros
Tocaremos sólo los dos primeros como los más esenciales. Es necesario aprender
y dominar su uso para estar orientados en todas las disciplinas de las actividades
que se realizan fuera de las ciudades. Si se dominan, con el tiempo se puede
rescatar gran parte del sentido de orientación, aunque no todo.
Qué es la brújula:
Inventada por los chinos, la brújula no es más que una aguja imantada que
responde al campo magnético de la Tierra. Por supuesto es la brújula más
sencilla, pero las actuales tienen diferentes partes específicas que evitan muchos
errores de medición debidos al factor humano. La más completa pero sencilla es

de la marca Silva, que se usa para las competencias de “orientacionismo” en
Europa. Es ligera, sencilla y de f
porque es más sencillo explicar todo el procedimiento de esa forma, pero si no se
tiene a la mano este tipo, cualquiera será suficiente para aprender y únicamente
se tendrán que hacer algunas pequeñas adapt
Partes de la brújula:
Las partes son:
1. Base de plástico
2. Anillo giratorio graduado
3. Aguja magnética
4. Flecha orientadora y
auxiliares
5. Punto de lectura
6. Flecha de dirección de viaje
sus líneas auxiliares
Base de plástico:
Todo el cuerpo de la brújula está sostenido por una base de plástico resistente y
transparente. Ahí están las demás piezas y generalmente uno olvida que la base
está ahí. Tiene por sí misma sus privilegios, como
y a veces una lupa, pero, sobre todo, la flecha de dirección de viaje. Es importante
que la base sea transparente para que permita ver el mapa s
Anillo giratorio:
La parte más notoria en la base de plástico es
un anillo giratorio que tiene divisiones cada determinada distancia y que completan
un círculo de 360 grados, lo que convierte a esta escala en un transportador que
puede medir ángulos. Las brújulas estándar tienen una d
Europa. Es ligera, sencilla y de fácil uso. Aquí hablaremos
se tendrán que hacer algunas pequeñas adaptaciones a lo aquí explicado.
Partes de la brújula:
Base de plástico
Anillo giratorio graduado
Aguja magnética
Flecha orientadora y sus líneas
Punto de lectura
Flecha de dirección de viaje y
sus líneas auxiliares
está ahí. Tiene por sí misma sus privilegios, como una a tres escalas de medición
que la base sea transparente para que permita ver el mapa s
La parte más notoria en la base de plástico es un cilindro aplastado. Sobre él hay
puede medir ángulos. Las brújulas estándar tienen una d
Figura 6: La brújula y sus partes
61
de este tipo de brújula
aciones a lo aquí explicado.
una a tres escalas de medición
que la base sea transparente para que permita ver el mapa sin dificultad.
un cilindro aplastado. Sobre él hay
puede medir ángulos. Las brújulas estándar tienen una división mínima de dos
: La brújula y sus partes

62
grados y son lo suficientemente buenas como para hacer viajes de mediana
longitud sin muchas correcciones. Es preferible que la brújula tenga esta división
lo más pequeña posible para evitar errores adicionales. Existen brújulas con
división de cinco grados que se pusieron de moda de un día al otro, quizá sólo por
ser un poco más baratas. Sencillamente no sirven en la mayoría de los casos en
que deben ser usadas porque arrojan un error de medición demasiado alto.
Aguja magnética:
Dentro del cilindro está la aguja magnética, inmersa en aceite para que el
movimiento de inercia sea frenado lo más rápidamente pero sin detener el avance
de la aguja. Como ya dijimos, la aguja es la parte más importante de toda la
brújula pues aún si se rompe toda la base y el cilindro, se puede usar, aunque con
muchas más dificultades.
Flecha orientadora:
La flecha orientadora está también dentro del cilindro pero por debajo de la aguja
magnética. Generalmente es una doble línea que semeja una gran flecha, con la
punta señalada claramente por tres líneas que pretenden ser movimiento continuo.
A los lados de esta flecha hay líneas que son paralelas a esta flecha y que son
auxiliares
Punto de lectura:
En la parte superior del cilindro, sobre la numeración de las divisiones mínimas del
transportador, existe un punto, generalmente de color blanco. Ahí se realizará
cualquier lectura que se haga con la brújula.
Flecha de dirección de viaje:
Es una línea que atraviesa la mayor parte de la base de plástico y termina con una
flecha sencilla. A sus lados también hay líneas auxiliares, pero diferentes de la

63
flecha orientadora.
¿Qué es lo que mide una brújula?
Este aparato mide ángulos horizontales con respecto a una línea que es fija: la
línea magnética de la Tierra. La parte roja de la aguja se dirigirá a la parte norte
del campo magnético mientras la blanca se dirigirá al sur. Es muy importante
remarcar que la brújula no apunta al norte, sino que sigue las líneas magnéticas.
Lo que mide, entonces son ángulos horizontales con respecto a la línea magnética
en la que estemos
Líneas magnéticas:
El magnetismo terrestre no es constante en toda la superficie. Se altera por
yacimientos de minerales y masas de agua, por ejemplo. Si quisiéramos cortar
una manzana con gajos que siguieran la forma de estas líneas, no tendríamos
formas simétricas, sino bastante irregulares. Hay dos tipos de líneas magnéticas:
las agónicas [de a, privativo, y gonos, ángulo: sin ángulo] y las isogónicas. En las
primeras la parte roja de la aguja magnética apunta exactamente al norte
geográfico y al mismo tiempo al norte magnético porque están alineadas. Sólo
existen dos. En las líneas isogónicas la parte roja de la aguja magnética apunta
exclusivamente al norte magnético.
Forma de usar la brújula:
Debe mantenérsela en la palma de la mano, con la flecha de orientación de viaje
apuntando directamente hacia el frente, lo mismo que uno. La mejor posición es a
la altura de la cintura pues de ese modo se evita el error de paralaje creado por los
ojos. Cuando la aguja magnética se estabilice en una posición, el disco graduado
debe girarse de tal manera que la punta de la flecha orientadora esté directamente
debajo del extremo rojo de la aguja magnética.

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