Discutimos el concepto de regla de inferencia. Describimos algunas de las principales y usuales reglas de inferencia. Antes tratamos el concepto de razonamiento y deduccion.

1. Cap´ıtulo 4. Reglas de Inferencia
por G3
Agosto 2014
Resumen
Discutimos el concepto de regla de inferencia. Describimos algunas
de las principales y usuales reglas de inferencia. Antes tratamos el
concepto de razonamiento y deducci´on.
Definici´on 1. Un (esquema de) razonamiento es un conjunto finito de pro-
posiciones p1,...,pn, llamadas premisas o hip´otesis, y una proposici´on q, lla-
mada consecuente o conclusi´on o tesis, de la cual se puede afirmar que deriva
o no de la conjunci´on de las premisas.
Definici´on 2. Un razonamiento es v´alido si, y s´olo si, la conclusi´on es ver-
dadera siempre que las premisas sean verdaderas. Es decir, un razonamiento
es v´alido si no es posible que las premisas sean verdaderas y la conlcusi´on
falsa.
Definici´on 3. Una ragla de inferencia es una sucesi´on finita de proposiciones
p1,..., pn (las premisas), y una proposici´on q (la conclusi´on) tales que
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q es una tautolog´ıa.
En notaci´on de c´alculo proposicional escribimos
p1
p2
...
pn
∴ q
Note entonces que una regla de inferencia es una ley l´ogica.
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2. En seguida apuntamos algunas de las reglas m´as usuales con alguna
justificaci´on.
Modus Ponendo Ponens. (Modo que afirmando afirma).
p
p ⇒ q
∴ q
Demostraci´on. Debemos mostrar que p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q es tautolog´ıa.
Podemos hacer una tabla, pero mejor procedemos as´ı: Supongamos
que p ∧ (p ⇒ q) es V, entonces p es V y p ⇒ q es V, se sigue que q es
V.
Modus Tollendo Tollens. (Modo que negando niega).
p ⇒ q
¬q
∴ ¬p
Demostraci´on. Debemos probar que (p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬p es tautolog´ıa.
Para no hacer una tabla, procedemos as´ı: Si (p ⇒ q)∧¬q es V, entonces
p ⇒ q y ¬q son V, y por tanto q es F y p es F. Luego, ¬p es V.
Modus Tollendo Ponens. (Modo que negando afirma).
p ∨ q
¬q
∴ p
Demostraci´on. Procedemos as´ı:
[(p ∨ q) ∧ (¬q)] ⇒ [(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q)] (es tautolog´ıa por distributividad)
⇒ (p ∧ ¬q) (es tautolog´ıa pues q ∧ ¬q es A)
⇒ p (es tautolog´ıa por simplificaci´on).
Los pasos anteriores son justamente el proceso de inferencia deductiva,
o simplemente deduci´on.
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3. Silogismo Hipot´etico.
p ⇒ q
q ⇒ r
∴ p ⇒ r
Demostraci´on. Esta es justamente la prueba de que el conectivo ⇒ es
transitivo, i.e., [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) es tautolog´ıa, la cual ya
hicimos.
Dilema Constructivo.
(p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)
p
r
∴ q ∨ s
Demostraci´on. Debemos probar que
(((p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)) ∧ p ∧ r) ⇒ (q ∨ s)
es tautolog´ıa. Supongamos que ((p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)) ∧ p ∧ r es V,
entonces p y r son V, y al menos una de las implicaciones p ⇒ q y
r ⇒ s es V. Se sigue que q es V o bien s es V, esto es, q ∨ s es V.
Dilema Destructivo.
(p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)
¬q
¬s
∴ ¬p ∨ ¬r
Demostraci´on. Debemos probar que
(((p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)) ∧ (¬q) ∧ (¬s)) ⇒ (¬p ∨ ¬r)
es tautolog´ıa. Supongamos que ((p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)) ∧ (¬q) ∧ (¬s) es
V. Entonces q y s son F, y al menos una de las implicaciones p ⇒ q y
r ⇒ s es V. Por lo tanto, alguna de las proposiciones p o r es F, esto
es, ¬p ∨ ¬r es V.
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4. Las leyes l´ogicas siguientes, que ya conocemos, tambi´en son reglas de
inferencia.
Conjunci´on y Disyunci´on.
p
q
∴ p ∧ q
p
q
∴ p ∨ q
Idempotencia.
p
∴ p ∧ p
,
p ∧ p
∴ p
,
p
∴ p ∨ p
,
p ∨ p
∴ p
Simplificaci´on.
p ∧ q
∴ p
,
p ∧ q
∴ q
Adici´on.
p
∴ p ∨ q
Involuci´on.
p
∴ ¬¬p
,
¬¬p
∴ p
.... y as´ı sucesivamente.
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