3. L´OGICO MATEM´ATICA
PRESENTACI´ON
Bienvenidos al curso de L´ogico Matem´atica, la finalidad del presente trabajo es para
ayudar a entender y analizar algunos de los temas que se presentan en el desarrollo de
esta materia, en su formaci´on como estudiantes de pregrado.
El fin supremo que nos motiva a presentar el trabajo, es que la persona interesada en
la materia, tenga algo pr´actico de principio a fin, y que de esa forma pueda encontrar
la soluci´on a problemas que se le presentan en la vida pr´actica.
En general, hemos optado por detallar las soluciones de ejercicios sobre la l´ogica de
proposiciones y cuantificadores.
Por ´ultimo, la principal caracter´ıstica es el ´enfasis que se pone de manifiesto en estos
temas con la simple finalidad de que el estudiante logre una verdadera comprensi´on de
la L´ogica Matem´atica y su gran importancia en la vida pr´actica.
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4. 1. L´OGICA DE PROPOSICIONES
Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimientos es el proceso de razona-
miento. A su vez, hay una variedad de modos o formas mediante las cuales razonamos
o argumentamos a favor de una conclusi´on. Ciertas formas de razonamiento parecen
mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusi´on se cumple necesaria-
mente. A tales razonamientos son denominados deductivos y forman el objetivo central
de lo que cl´asicamente se ha llamado l´ogica.
En un sentido amplio, el t´ermino l´ogica hace referencia al estudio de todos los razona-
mientos, y en un sentido m´as especifico al estudio del razonamiento deductivo.
Cierto tipo de razonamiento deductivo se basa en la l´ogica proposicional.
1.1. L´ogica Formal
1. L´ogica Formal: es la ciencia del razonamiento formalmente v´alido. Para esto la
l´ogica formal se apoya en el proceso de deducci´on.
Deducci´on: una deducci´on, razonamiento, argumentaci´on o inferencia, es
un tipo de pensamiento que se basa en la generaci´on de conocimiento nuevo
(la conclusi´on) a partir de un conocimiento existente (las premisas). Para
la evaluaci´on de la validez de las afirmaciones (representadas por f´ormulas)
y de los razonamientos, la l´ogica formal dispone de dos enfoques bien
diferenciados:
La teor´ıa Interpretativa: es un m´etodo que estudia la validez de las
f´ormulas y de las argumentaciones seg´un el significado (de valor de verdad)
de sus componentes constitutivos. Tambi´en se le denomina M´etodo de la
Sem´antica.
La teor´ıa de las Demostraciones:(M´etodo Axiom´atico) estudia la
validez de las f´ormulas y la conclusi´on seg´un su derivaci´on a partir de las
f´ormulas premisas, definidas axiom´aticamente mediante el uso de reglas de
la inferencia correctas.
Ejemplo 1. Si un persona entra en un ascensor y le pregunta a otra que ya esta
dentro:
¿Sube o baja?
Esta responde: Si
Si nos olvidamos de la interrogante y tomamos “el ascensor sube o baja” esta
afirmaci´on siempre es verdadera ya que el ascensor o sube o baja, debido a que
subir es lo contrario de bajar y bajar lo contrario de subir. En este caso hemos
hecho uso de la teor´ıa interpretativa.
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5. As´ı tenemos:
Sube o Baja
V V F
F V V
Ejemplo 2. Orlando se encuentra con Aldo y le dice:
Hola Aldo ¿C´omo te va?
Muy bien, estoy llevando un curso de l´ogica.
¿L´ogica? y ¿En que consiste?
Te lo explicar´e. ¿A ti te gustan las plantas?
S´ı, claro.
Y si te gustan las plantas, ¿te gustar´a la naturaleza?
Por supuesto.
Y si te gusta la naturaleza, ¿ser´as un hombre sociable?
Si, muy sociable.
Y si eres sociable, ¿te gustar´an las mujeres?
Pues s´ı, me gustan bastante.
Eso es l´ogica. ¿Lo entiendes?
Si.
En este ejemplo Orlando le demostr´o paso a paso a su amigo Aldo que a ´el le
gustan las mujeres partiendo de las premisas y de las valoraciones (si a todas)
que Aldo le da, en combinaci´on con una regla de inferencia denominada Modus
Ponens.
An´alisis del ejemplo:
Identifiquemos las proposiciones:
p : “te gustan las plantas”
q : “te gusta la naturaleza”
r : “eres sociable”
s : “te gustan las mujeres”
Formalicemos las premisas:
1. p
2. p → q
3. q → r
4. r
5
6. 5. r → s
6. s
Demostraremos que a partir de las premisas planteadas, Orlando llega a la con-
clusi´on de que a su amigo Aldo le gusta las mujeres, es decir:
De (1) y (2):
p
p → q
Modus Ponens
∴ q (7)
De (3) y (7):
q → r
q
Modus Ponens
∴ r (8) = (4)
De (4) y (5):
r
r → s
Modus Ponens
∴ s (9) = (6)
Luego de aplicar la regla de inferencia Modus Ponens, se llega a la conclu-
si´on de que ha Aldo le gusta las mujeres.
Observaci´on 1. Tambi´en podemos probar la validez e invalidez de los argumentos, a
trav´es de las tablas de verdad, las leyes de equivalencia l´ogica o empleando el m´etodo
abreviado que consiste en suponer la conjunci´on de premisas verdaderas y la conclusi´on
falsa.
Ejemplo 3. Probar la validez e invalidez del argumento del ejemplo (2), es decir:
[p ∧ (p → q) ∧ (q → r) ∧ r ∧ (r → s)] =⇒ s
Demostraci´on. Probaremos la validez del argumento aplicando:
Tablas de Verdad
Evaluando en tablas de verdad:
[p ∧ (p → q) ∧ (q → r) ∧ r ∧ (r → s)] =⇒ s
Es decir:
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7. p q r s [p ∧ (p → q) ∧ (q → r) ∧ r ∧ (r → s)] → s
V V V V V V V V V V V V
V V V F V V V V V F F V
V V F V V V F F F F V V
V V F F V V F F F F V V
V F V V F F F V F F V V
V F V F F F F V F F F V
V F F V F F F V F F V V
V F F F F F F V F F V V
F V V V F V F V F F V V
F V V F F V F V F F F V
F V F V F V F F F F V V
F V F F F V F F F F V V
F F V V F V F V F F V V
F F V F F V F V F F F V
F F F V F V F V F F V V
F F F F F V F V F F V V
Se tiene los valores de verdad de conectivo de mayor jerarqu´ıa en la matriz principal
todas son verdaderas de esta forma se obtiene que es una Tautolog´ıa. As´ı se tiene que
el argumento es v´alido.
M´etodo Abreviado
Tambi´en utilizando el m´etodo abreviado se puede demostrar la validez del argumento,
es decir:
[p ∧ (p → q) ∧ (q → r) ∧ r ∧ (r → s)] =⇒ s
V F
Donde:
V(s) = F
[p ∧ (p → q) ∧ (q → r) ∧ r ∧ (r → s)] = V
Se tiene:
V(p) = V
p → q = V, entonces V(q) = V
q → r = V, entonces V(r) = V
r → s = V, entonces al reemplazar los valores de verdad de r y s se
obtiene una contradicci´on y por esta raz´on se dice que el argumento es v´alido.
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8. Leyes de Equivalencia L´ogica
Utilizando las leyes de equivalencia l´ogica podemos simplificar el esquema mole-
cular, es decir:
[p ∧ (p → q) ∧ (q → r) ∧ r ∧ (r → s)] =⇒ s
≡∼ [p ∧ (∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ r) ∧ r ∧ (∼ r ∨ s)] ∨ s , condicional y asociativa
≡∼ [(p ∧ q) ∧ r ∧ (∼ r ∨ s)] ∨ s , asociativa y absorci´on
≡∼ [(p ∧ q) ∧ (r ∧ s)] ∨ s , absorci´on
≡∼ [(p ∧ q ∧ r) ∧ s)] ∨ s , asociativa
≡ [∼ (p ∧ q ∧ r)∨ ∼ s] ∨ s , Morgan
≡∼ (p ∧ q ∧ r) ∨ (∼ s ∨ s) , asociativa y tercio excluido
≡∼ (p ∧ q ∧ r) ∨ V , identidad
≡ V
Luego se tiene que el argumento es v´alido.
2. CUANTIFICADORES
2.1. Cuantificador Existencial
Las expresiones:
“Existe un x”
“Hay x”
“Exixte x, tal que”
“Alg´un x”
“Algunos x”
“Para alg´un x”
nos representa al “Cuantificador Existencial” el cual se simboliza por: ∃.
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9. 2.2. Cuantificador Universal
Las expresiones:
“Para cualquier x”
“Todo x”
“Cada x”
“Para todo x”
nos representa al “Cuantificador Universal” el cual se simboliza por: ∀.
Ejemplo 4. Consideremos lo siguiente:
Todos los lambayecanos son peruanos.
Puede traducirse respectivamente como:
Para todo x, si x es lambayecano entonces x es peruano.
En forma simb´olica tenemos:
∀ x : L(x) → P(x)
Todos las aves tienen alas.
Puede traducirse respectivamente como:
Cualquier x, si x es ave, entonces x tiene alas.
En forma simb´olica tenemos:
∀ x : A(x) → V (x)
Algunos universitarios son sanmarquinos.
Puede traducirse respectivamente como:
Existe por lo menos un x tal que, x es universitario y x es sanmarquino.
En forma simb´olica tenemos:
∃ x/U(x) ∧ S(x)
A algunas personas les gusta la m´usica cl´asica.
Puede traducirse respectivamente como:
Hay x tal que, x le gusta la m´usica cl´asica.
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10. En forma simb´olica tenemos:
∃ x/M(x)
2.3. Negaci´on de Cuantificadores
Tenemos que la negaci´on del cuantificador universal es el existencial y la negaci´on del
cuantificador existencial es el universal. Es decir:
∼ [∀ x ∈ DP : P(x)] ≡ ∃ x ∈ DP / ∼ P(x)
∼ [∃ x ∈ DP /P(x)] ≡ ∀ x ∈ DP :∼ P(x)
Ejemplo 5. Negar las proposiciones del ejemplos (4), es decir:
Tenemos: ∀ x : L(x) → P(x)
Su negaci´on es:
∼ [∀ x : L(x) → P(x)] ≡∼ (∀ x)/ ∼ [L(x) → P(x)]
≡∼ (∀ x)/ ∼ [∼ L(x) ∨ P(x)]
≡ ∃ x/L(x)∧ ∼ P(x)]
En lenguaje coloquial:
Algunos lambayecanos no son peruanos.
Tenemos: ∀ x : A(x) → V (x)
Su negaci´on es:
∼ [∀ x : A(x) → V (x)] ≡∼ (∀ x)/ ∼ [A(x) → V (x)]
≡∼ (∀ x)/ ∼ [∼ A(x) ∨ V (x)]
≡ ∃ x/A(x)∧ ∼ V (x)]
En lenguaje coloquial:
Existen aves que no tienen alas.
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11. Tenemos: ∃ x/U(x) ∧ S(x)
Su negaci´on es:
∼ [∃ x/U(x) ∧ S(x)] ≡∼ (∃ x) :∼ [U(x) ∧ S(x)]
≡ (∀ x) :∼ U(x)∨ ∼ S(x)
≡ (∀ x) : U(x) →∼ S(x)
En lenguaje coloquial:
Todos los universitarios no son sanmarquinos.
Tenemos: ∃ x/M(x)
Su negaci´on es:
∼ [∃ x/M(x)] ≡∼ (∃ x) :∼ M(x)
≡ (∀ x) :∼ M(x)
En lenguaje coloquial:
A todas las personas no les gusta la m´usica cl´asica.
A ninguna persona le gusta la m´usica cl´asica.
Observaci´on 2. Las proposiciones universales pueden aparecer negadas.
Como por ejemplo:
No todos son universitarios.
En este caso la simbolizaci´on ser´a: ∼ [∀ x/U(x)]
Las palabras “ ning´un”, “ninguno”, “nada”, “nadie” corresponden tambi´en a enun-
ciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones
anteriores.
Por ejemplo:
Ninguno es universitario.
En este caso la simbolizaci´on ser´a: [∀ x :∼ U(x)]
Observaci´on 3. Las proposiciones existenciales pueden estar negadas.
Como por ejemplo:
No es cierto que hay marcianos.
En este caso la simbolizaci´on ser´a: ∼ [∃ x : M(x)]
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12. An´alogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones
existenciales pueden tener negaciones internas.
Por ejemplo:
Algo no es eterno.
En este caso la simbolizaci´on ser´a: [∃ x :∼ E(x)]
3. EJERCICIOS
I. Prueba las reglas de inferencia y las identidades en l´ogica proposicional,
mostrando en cada paso la regla o identidad implicada y las premisas utili-
zadas, as´ı mismo dar la conclusi´on y pruebe la validez o invalidez utilizando
los m´etodos estudiados para los siguientes argumentos.
1. Si Joel le apost´o a Mariano, entonces se gast´o el dinero. Si Joel se gast´o el dinero
entonces su esposa no compra sus vestidos y su esposa desconf´ıa de ´el. Si su esposa
no compra sus vestidos, entonces los ni˜nos no comen o la esposa est´a enojada.
Joel le apost´o a Mariano. Los ni˜nos comen por lo tanto su esposa est´a enojada.
2. Si trabajo o ahorro, entonces comprar´e una casa. Si compro una casa, entonces
podr´e guardar mi auto en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el auto
en mi casa, entonces no ahorro.
3. Si la temperatura supera los 35o
, sube el consumo de energ´ıa el´ectrica. sube el
consumo de energ´ıa el´ectrica. Por lo tanto, la temperatura supera los 35o
.
4. El crimen se cometi´o de noche en la m´as absoluta oscuridad o el principal sospe-
choso es ciego. El principal sospechoso no es ciego o miente al declarar que no vio
nada. No miente al declarar que no vio nada o el detector de mentiras “Couper”
est´a estropeado. El caso es que el citado detector de mentiras “Couper” no puede
estar estropeado jam´as. En consecuencia: ...............................................................
5. Si se hubiese cometido un crimen en esta casa, ustedes habr´ıan necesitado los ser-
vicios del detective Couper. Y si lo hubieran necesitado, habr´ıan querido ponerse
en contacto telef´onico con ´el. Si hubiesen querido telefoniarle, habr´ıan buscado
su n´umero en las p´aginas amarillas, habr´ıan descolgado el auricular y habr´ıan
marcado su n´umero. Si hubiesen hecho todo esto habr´ıan estado perdiendo el
tiempo. Pero ustedes niegan haber perdido el tiempo de esta manera. Por lo tanto:
................................................................................................................................
II. Simbolizar cada uno de los siguientes enunciados utilizando los cuantifi-
cadores y a la vez negarlos.
1. Algunos congresistas son corruptos.
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13. 2. Ning´un tri´angulo es circular.
3. Todos los universitarios don estudiantes.
4. Todos los planetas no son astros.
5. Ning´un astro es deportista.
6. Todos los felinos son mam´ıferos.
7. Algunos ciudadanos son crueles.
8. Algunas personas reflexivas son fil´osofos.
9. Ning´un adolescente es congresista.
10. Algunos musulmanes son talibanes.
11. No todos los peruanos son lambayecanos.
12. Existe al menos un m´edico que no es otorrinolaring´ologo.
13. Cualquier pez es vertebrado.
14. No existe un solo peruano que no sea sudamericano.
15. Algunos animales no son mam´ıferos.
Referencias
[1] http://www.cibernous.com/logica/logica-central.html. Programas del Gateway to
Logic de Christian Gottschall.
[2] http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica
/04leyeslog/030modustollens.html
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