Este documento explica el método de reducción al absurdo, donde se demuestra la validez de un argumento al mostrar que negar la conclusión lleva a una contradicción. Se presentan dos proposiciones y un teorema sobre este método, y se incluye un ejemplo de su aplicación para probar la validez de un argumento asumiendo la negación de la conclusión y derivando una contradicción.

1. Cap´ıtulo 6. Reducci´on al absurdo
por G3
Agosto 2014
Resumen
Reductio ad absurdum es un esquema deductivo que consiste en afirmar
la validez de un argumento, si a apartir de las premisas en conjunci´on
con la negaci´on de la conclusi´on, ocurre un absurdo.
Si queremos probar una proposici´on q, a partir de una hip´otesis p (es
decir, queremos probar que p ⇒ q es V), podemos probar que p ∧ ¬q es
equivalente a un absurdo, lo cual a veces resulta mucho m´as sencillo que
realizar una prueba directa. Justificar esto es lo que haremos en estas hojas
Proposici´on 1.
(p ∧ q) ⇒ (r ∨ s) ≡ p ⇒ (¬q ∨ r ∨ s) ≡ (p ∧ q ∧ ¬r) ⇒ s.
Demostraci´on.
p ∧ q ⇒ r ∨ s ≡ p ⇒ (q ⇒ (r ∨ s)) (exportaci´on)
≡ p ⇒ (¬q ∨ r ∨ s) (reemplazo)
≡ (p ⇒ (¬q ∨ r)) ∨ (p ⇒ s) (ley distributiva)
≡ ¬(¬(p ⇒ (¬q ∨ r))) ∨ (p ⇒ s) (involuci´on, reemplazo)
≡ ¬(p ⇒ (¬q ∨ r)) ⇒ (p ⇒ s) (proposici´on 17 cap´ıtulo 3)
≡ [p ∧ (¬(¬q ∨ r))] ⇒ (p ⇒ s) (proposici´on 12 cap´ıtulo 3, reemplazo)
≡ (p ∧ q ∧ ¬r) ⇒ (p ⇒ s) (De Morgan, reemplazo)
≡ (p ∧ p ∧ q ∧ ¬r) ⇒ s (exportaci´on)
≡ (p ∧ q ∧ ¬r) ⇒ s (idempotencia, reemplazo).
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2. Proposici´on 2. Si T es una tautolog´ıa y A es un absurdo, entonces
p ⇒ q ≡ (p ∧ T) ⇒ q ≡ p ⇒ (q ∨ A) ≡ (p ∧ ¬q) ⇒ A.
Demostraci´on.
p ⇒ q ≡ (p ∧ T) ⇒ q (reemplazo)
≡ p ⇒ (q ∨ A) (proposici´on 1, reemplazo)
≡ p ∧ ¬q ⇒ A (proposici´on 1).
Teorema 1 (Reducci´on al absurdo). La proposici´on
p1 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q es tautolog´ıa,
si y s´olo si,
p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ ¬q ⇒ A es tautolog´ıa,
donde A es un absurdo.
Demostraci´on. Se sigue de inmediato, pues por la proposici´on 2,
p1 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q ≡ p1 ∧ · · · ∧ pn ∧ ¬q ⇒ A.
Lo que dice este teorema, es que comprobar la validez de un argumento
p1
...
pn
∴ q
es equivalente a coprobar la validez del argumento
p1
...
pn
¬q
∴ A
donde A es un absurdo.
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3. Ejemplo 1. Comprobar la validez del siguiente argumento por reducci´on al
absurdo.
p ⇒ (q ∧ r)
¬q
∴ p ⇒ r
Soluci´on. Ya conocemos que este argumento es v´alido. Procedemos por
reducci´on al absurdo para hacer una deducci´on.
1. p ⇒ (q ∧ r).
2. ¬q.
3. ¬(p ⇒ r). (Hip´otesis adicional: Negaci´on del consecuente.)
4. p ∧ ¬r. (Equivalente a ¬(p ⇒ r).)
5. p. (Simplificaci´on de 4.)
6. q ∨ r (Ponendo ponens 1 y 5.)
7. ¬r. (Simplificaci´on de 4.)
8. q. (Tollendo Ponens 6 y 7.)
9. q ∧ ¬q. (Conjunci´on 2 y 8.)
∴ A. (dado que A ≡ q ∧ ¬q.)
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