metodos de demostracion en matematicas

1. 3.3 Demostraciones
Veamos algunas definiciones interesantes.
3.3.1 Teorema
Consiste en una proposici´on P, llamada hip´otesis y otra proposici´on Q que ser´a la conclusi´on.
3.3.2 Corolario
Es un teorema que se deduce inmediatamente de otro teorema.
3.3.3 Lema
Es un teorema que no tiene especial inter´es en s´ı mismo pero que es ´util para probar alg´un otro
teorema.
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2. L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
3.3.4 Demostraci´on
Es un razonamiento que establece la veracidad de un teorema.
Nota 3.2 Obs´ervese que, de acuerdo con estas definiciones, un teorema es verdadero si, y s´olo si la
proposici´on condicional
P −→ Q
es una tautolog´ıa o tambi´en si
P =⇒ Q
o tambi´en si
P
∴ Q
Dicho de otra forma un teorema es verdadero si, y s´olo si el razonamiento
P −→ Q
es v´alido.
Ejemplo 3.5 Determinar cu´ales de los razonamientos siguientes son v´alidos. Construir demostraciones
para los razonamientos que lo sean y para los que no lo sean, explicar por qu´e la conclusi´on no se sigue
de la hip´otesis.
(a)
p ∧ q
p −→ r
∴ r ∧ q
(b)
p ∨ q
p −→ r
∴ r ∨ q
(c)
p −→ q
p −→ r
∴ r −→ q
Soluci´on
(a) En efecto,
(p ∧ q) ∧ (p −→ r) ⇐⇒ (q ∧ p) ∧ (p −→ r) {Conmutatividad de ∧}
⇐⇒ q ∧ [p ∧ (p −→ r)] {Asociatividad de ∧}
=⇒ q ∧ r {Modus ponens}
=⇒ r ∧ q {Conmutatividad de ∧}
El razonamiento es v´alido.
(b) En efecto,
(p ∨ q) ∧ (p −→ r) =⇒ (¬q −→ p) ∧ (p −→ r) {Implicaci´on}
=⇒ ¬q −→ r {Silogismo hipot´etico}
=⇒ ¬¬q ∨ r {Implicaci´on}
⇐⇒ q ∨ r {Doble negaci´on}
⇐⇒ r ∨ q {Conmutatividad de ∨}
El razonamiento, por tanto, es v´alido.
(c) Veamos si el razonamiento es v´alido, es decir, si [(p −→ q) ∧ (p −→ r)] =⇒ (r −→ q).
Si (p −→ q)∧(p −→ r) es verdad, entonces p −→ q y p −→ r, ambas, han de ser verdad. Analizamos
las distintas opciones seg´un los valores de verdad de p.
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3. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
− Si p es verdad, entonces q y r han de ser verdad, luego r −→ q es verdad.
− Si p es falsa, entonces q y r pueden ser las dos verdad, las dos falsas o una falsa y la otra
verdad. En uno de los casos (r verdadera y q falsa) la conclusi´on, r −→ q es falsa.
Por lo tanto de la veracidad de la hip´otesis no se sigue la veracidad de la conclusi´on y, consecuente-
mente, el razonamiento no es v´alido.
Ejemplo 3.6 Formular simb´olicamente los siguientes razonamientos y determinar cu´ales son v´alidos.
Tomar:
p : Estudio mucho.
q : Obtengo C como calificaci´on.
r : Me hago rico.
(a)
Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificaci´on.
Estudio mucho.
∴ Obtengo C como calificaci´on.
(b)
Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificaci´on.
Si no me hago rico, entonces no obtengo C como calificaci´on.
∴ Me hago rico.
(c)
Estudio mucho si y s´olo si me hago rico.
Me hago rico.
∴ Estudio mucho.
(d)
Si estudio mucho o me hago rico, entonces obtengo C como calificaci´on.
Obtengo C como calificaci´on.
∴ Si no estudio mucho, entonces me hago rico.
(e)
Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificaci´on o me hago rico.
No obtengo C como calificaci´on y no me hago rico.
∴ No estudio mucho.
Soluci´on
(a) La regla de inferencia en notaci´on simb´olica es
p −→ q
p
∴ q
conocida con el nombre de Modus ponens, luego el razonamiento es v´alido.
(b) La regla de inferencia en notaci´on simb´olica es
p −→ q
¬r −→ ¬q
∴ r
Observemos lo siguiente:
(p −→ q) ∧ (¬r −→ ¬q) ⇐⇒ (p −→ q) ∧ (q −→ r) {Contrarrec´ıproca}
=⇒ p −→ r {Silogismo Hipot´etico}
Por tanto, la conclusi´on es
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4. L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
Estudio mucho o me hago rico
es decir, el razonamiento no es v´alido.
(c) La regla de inferencia en notaci´on simb´olica es
p ←→ r
r
∴ p
Veamos si [(p ←→ r) ∧ r] =⇒ p. En efecto, si (p ←→ r) ∧ r es verdad, entonces p ←→ r y r han de
ser, ambas, verdad, luego p tambi´en ser´a verdad y, consecuentemente, el razonamiento es v´alido.
(d) La regla de inferencia en notaci´on simb´olica es:
(p ∨ r) −→ q
q
∴ ¬p −→ r
Si ¬p −→ r es falsa, entonces ¬p es verdad y r falsa, es decir p y r son, las dos, falsas, luego
(p ∨ r) −→ q es verdad independientemente del valor de verdad que tenga q, de aqu´ı que el
valor de verdad de [(p ∨ r) −→ q] ∧ q dependa del de q, es decir, podr´a ser verdadera o falsa y,
consecuentemente, el razonamiento no sea v´alido.
(e) La regla de inferencia en notaci´on simb´olica es:
p −→ (q ∨ r)
¬q ∧ ¬r
∴ ¬p
Observemos lo siguiente:
[p −→ (q ∨ r)] ∧ (¬q ∧ ¬r) ⇐⇒ [p −→ (q ∨ r)] ∧ [¬ (q ∨ r)] {De Morgan}
=⇒ ¬p {Modus Tollens}
Por tanto, el razonamiento es v´alido.
Ejemplo 3.7 Expresar verbalmente los razonamientos dados y establecer la validez de los mismos.
Tomar:
p : 1Gb es mejor que nada.
q : Compraremos mayor capacidad de memoria.
r : Compraremos un ordenador nuevo.
(a)
p −→ r
p −→ q
∴ p −→ (r ∧ q)
(b)
p −→ (r ∨ q)
r −→ ¬q
∴ p −→ r
(c)
p −→ r
r −→ q
∴ q
(d)
¬r −→ ¬p
r
∴ p
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5. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
(e)
p −→ r
r −→ q
p
∴ q
Soluci´on
(a) La forma verbal del razonamiento ser´ıa:
Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.
Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos mayor capacidad de memoria.
∴ Si 1GB es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo y mayor
capacidad de memoria.
Entonces,
(p −→ r) ∧ (p −→ q) ⇐⇒ (¬p ∨ r) ∧ (¬p ∨ q) {Implicaci´on}
⇐⇒ ¬p ∨ (r ∧ q) {Distributividad de ∨ respecto de ∧}
⇐⇒ p −→ (r ∧ q) {Implicaci´on}
Por lo tanto, el razonamiento es v´alido.
(b) En forma verbal, el razonamiento es
Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo o
mayor capacidad de memoria.
Si compramos un ordenador nuevo, entonces no compraremos mayor capacidad
de memoria.
∴ Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.
Pues bien, si p −→ r es falso, entonces p es verdad y r es falso, luego r −→ ¬q es verdad indepen-
dientemente del valor de verdad de q y el valor de verdad de [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) depender´a
del de p −→ (r ∨ q) que, a su vez, depende del que tenga q.
− Si q es verdad, entonces p −→ (r ∨ q) es verdad y, por lo tanto, [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) es
verdad.
− Si q es falso, entonces p −→ (r ∨ q) es verdad y, por lo tanto, [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) es
falso.
Consecuentemente, el razonamiento no es v´alido.
(c) El razonamiento ser´ıa,
Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.
Si compramos un ordenador nuevo, entonces compraremos mayor capacidad de memoria.
∴ Compraremos mayor capacidad de memoria.
Estudiemos la validez del razonamiento. Por el silogismo hip´otetico,
[(p −→ r) ∧ (r −→ q)] =⇒ (p −→ q)
pero p −→ q no implica l´ogicamente q. En efecto, si p −→ q es verdad, entonces pueden ocurrir
dos cosas:
si p es verdad, q ha de ser tambi´en verdad.
si p es falso, q puede ser verdad o falso.
Consecuentemente, el razonamiento no es v´alido.
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6. L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
(d) La forma verbal del razonamiento ser´ıa:
Si no compramos un ordenador nuevo, entonces 1GB no es mejor que nada.
Compraremos un ordenador nuevo.
∴ 1Gb es mejor que nada.
Estudiemos su validez.
Si [(¬r −→ ¬p) ∧ r] es verdad, entonces ¬r −→ ¬p y r han de ser, ambas, verdad, de aqu´ı que ¬r
sea falsa y ¬p y, por lo tanto, p pueda ser verdad o falsa.
As´ı pues, de la veracidad de [(¬r −→ ¬p) ∧ r] no se sigue la veracidad de p, luego la primera
proposici´on no implica l´ogicamente la segunda y, consecuentemente, el razonamiento no es v´alido.
(e) El razonamiento en forma verbal es,
Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.
Si compramos un ordenador nuevo, entonces compraremos mayor capacidad de memoria.
1Gb es mejor que nada.
∴ Compraremos mayor capacidad de memoria.
Veamos el razonamiento:
(p −→ r) ∧ (r −→ q) ∧ q =⇒ (p −→ q) ∧ p {Silogismo Hipot´etico}
=⇒ q {Modus Ponens}
por lo tanto es v´alido.
3.4 Razonamientos y Cuantificadores
La mayor´ıa de los razonamientos que hemos visto hasta ahora trataban con proposiciones y no con
predicados adem´as poco, o nada, ten´ıan ver con cuestiones de tipo matem´atico.
En casi todos los teoremas matem´aticos aparecen de forma natural los predicados y los cuantificadores,
as´ı pues si queremos utilizar el procedimiento l´ogico aprendido en los razonamientos para demostrar
este tipo de teoremas, habr´a que utilizar proposiciones cuantificadas en los razonamientos. En este
apartado introducimos predicados y cuantificadores en los razonamientos y vemos como todo lo que
hemos aprendido hasta ahora puede utilizarse sin m´as que a˜nadir un par de reglas.
3.4.1 Definiciones Matem´aticas
En las definiciones, y ´unicamente en las definiciones, un condicional puede leerse e interpretarse
correctamente como un bicondicional.
Cuando se definen conceptos matem´aticos, normalmente se utiliza el condicional. Consideremos, por
ejemplo, el universo de todos los tri´angulos del plano. En un libro podemos leer la siguiente definci´on:
“Si un tri´angulo tiene sus tres lados iguales, entonces es equil´atero”
y en otro texto, leemos
“Si un tri´angulo es equil´atero, entonces tiene sus tres lados iguales”
En ambos casos se est´an utilizando proposiciones cuantificadas con el cuantificador universal. En efecto,
sean
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7. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
p(x) : x tiene tres lados iguales.
q(x) : x es un tri´angulo equil´atero.
Entonces en notaci´on simb´olica el primer libro dice
∀x [p(x) −→ q(x)]
y el segundo
∀x [q(x) −→ p(x)]
Pues bien, observemos que una de ellas es la rec´ıproca de la otra y si tenemos en cuenta que una
proposici´on y su rec´ıproca no son, en general, l´ogicamente equivalentes ¿cu´al de las dos definiciones es
la correcta?
La respuesta es que ambas lo son, en el sentido de que los dos libros utilizan el condicional como un
bicondicional, o sea,
∀x [p(x) ←→ q(x)]
es decir, los dos est´an diciendo que
“Un tri´angulo es equil´atero si, y s´olo si tiene sus tres lados iguales”
Concluyendo: En las definiciones, y ´unicamente en las definiciones, un condicional puede leerse e inter-
pretarse correctamente como un bicondicional.
Ejemplo 3.8 En el universo de los n´umeros enteros, podemos definir el concepto de divisibilidad de
la forma siguiente:
“Para cada par de enteros x e y, decimos que x es divisible por y si x es m´ultiplo de y”
Pues bien, si
p(x, y) : x es m´ultiplo de y
q(x, y) : x es divisible por y
entonces la definici´on anterior en forma simb´olica ser´ıa,
∀x, ∀y [p(x, y) −→ q(x, y)]
Pero la intenci´on es que se interprete la definici´on dada como
∀x, ∀y [p(x, y) ←→ q(x, y)]
es decir,
“Para cada par de enteros x e y, diremos que x es divisible por y si, y s´olo si x es m´ultiplo de y”
Pero, ¿qu´e significa “ser m´ultiplo de”? Recordemos que
“x es m´ultiplo de y, si puede encontrarse otro n´umero entero k tal que x = ky”
que, al igual que antes, hay que interpretar como
“x es m´ultiplo de y si, y s´olo si puede encontrarse otro n´umero entero k tal que x = ky”
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8. L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
Si llamamos r(x, y) : x = ky, en notaci´on simb´olica ser´ıa
∀x, ∀y [q(x, y) ←→ ∃k : r(x, y)]
y relacionando est´a definici´on con la anterior, tendr´ıamos que
∀x, ∀y [p(x, y) ←→ ∃k : r(x, y)]
es decir que otra forma de definir la divisibilidad ser´ıa:
“Para cada par de n´umeros enteros x e y, diremos que x es divisible por y si, y s´olo si existe
un entero k tal que x = ky”
Ejemplo 3.9 Utilizaremos la definici´on anterior para adaptar la de n´umero entero par.
Recordemos que un n´umero entero es par si es divisible por 2. Consideremos, pues, el universo de los
n´umeros enteros y definamos
“Para cada entero x, x es par si, y s´olo si x es divisible por 2”
Si ahora tenemos en cuenta el significado de “divisible por” dado en el ejemplo anterior, tendremos que
“Para cada entero x, x es par si, y s´olo si puede encontrarse un entero k tal que x = 2k”
Por ejemplo supongamos que el universo del discurso est´a formado por los n´umeros 16, 26 y 36 y que nos
piden probar que todos son pares. Podr´ıamos hacer lo siguiente:
− si x = 16 y 16 = 2k, entonces k = 8 que es entero, luego x = 2 · 8, es decir, x es par.
− si x = 26 y 26 = 2k, entonces k = 13 que es entero, luego x = 2 · 13, es decir, x es par.
− si x = 36 y 36 = 2k, entonces k = 18 que es entero, luego x = 2 · 18, es decir, x es par.
Obs´ervese que hemos demostrado la proposici´on probando el resultado para todos y cada uno de los
elementos del universo del discurso.
Ahora bien, si el universo tuviera, por ejemplo, cincuenta n´umeros, entonces este procedimiento ser´ıa
largo y tedioso y, a´un m´as, si el universo fueran todos los enteros pares, este procedimiento no ser´ıa
factible.
Remediaremos esta situaci´on con las dos reglas siguientes.
Nota 3.3 Al igual que definimos los n´umeros enteros pares, podemos definir los impares en la forma
siguiente:
“Para cada entero x, x es impar si, y s´olo si puede encontrarse un entero k tal que x = 2k + 1”
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3.4.2 Regla de Particularizaci´on
Si un predicado se transforma en una proposici´on verdadera para todos los elementos de un universo
del discurso, entonces es una proposici´on verdadera, en particular, para cada elemento del universo.
Obs´ervese que lo que decimos es que si ∀x, p(x) es verdad, entonces p(a) es verdad para cada a en el
universo del discurso.
Ejemplo 3.10 Estudiar, en el universo de todos los alumnos de la Universidad de C´adiz, la validez del
siguiente razonamiento.
Todos los alumnos de Inform´atica estudian Matem´atica Discreta.
Florinda es alumna de Inform´atica.
Por lo tanto, Florinda estudia Matem´atica Discreta.
Soluci´on
Sean
p(x) : x es alumno de Inform´atica.
q(x) : x estudia Matem´atica Discreta.
y llamemos f a Florinda.
El razonamiento en forma simb´olica ser´ıa:
∀x [p(x) −→ q(x)]
p(f)
∴ q(f)
Pues bien,
∀x [p(x) −→ q(x)] ∧ p(f) =⇒ [p(f) −→ q(f)] ∧ p(f) {Regla de Particularizaci´on}
=⇒ q(f) {Modus Ponens}
luego, en efecto, el razonamiento es v´alido.
Ejemplo 3.11 Consideremos el universo de los n´umeros enteros, elijamos un n´umero a que no sea
m´ultiplo de 2 y estudiemos la validez del siguiente razonamiento.
El n´umero a no es m´ultiplo de 2.
Si un n´umero es par, entonces es divisible por 2.
Si un n´umero es divisible por 2, entonces es m´ultiplo de 2.
Por lo tanto, el n´umero a no es par.
Soluci´on
Sean
p(x) : x es par.
q(x) : x es divisible por 2.
r(x) : x es m´ultiplo de 2.
El razonamiento escrito en forma simb´olica ser´ıa:
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10. L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
¬r(a)
∀x [p(x) −→ q(x)]
∀x [q(x) −→ r(x)]
∴ ¬p(a)
Pues bien,
(¬r(a)) ∧ [∀x [p(x) −→ q(x)]] ∧ [∀x [q(x) −→ r(x)]] =⇒ (¬r(a)) ∧ [p(a) −→ q(a)] ∧ [q(a) −→ r(a)]
=⇒ (¬r(a)) ∧ [p(a) −→ r(a)]
=⇒ ¬p(a)
es decir, el razonamiento es v´alido.
Obs´ervese que en la primera implicaci´on hemos utilizado la regla de particularizaci´on, obteniendo de
este modo una proposici´on no cuantificada a la que luego hemos aplicado de forma sucesiva la regla del
silogismo hip´otetico y del modus tollens.
Nota 3.4 Como hemos visto en los ejemplos anteriores, la regla de particularizaci´on nos ha permitido
deducir conclusiones particulares partiendo de premisas o hip´otesis generales. Sin embargo, en la inmensa
mayor´ıa de los teoremas matem´aticos hay que llegar a conclusiones generales. Por ejemplo, tendremos
que probar que p(x) es verdad para todos los valores de un cierto universo del discurso, es decir probar
que ∀x, p(x) es verdad, para lo cual habr´a que establecer la veracidad de la proposici´on p(a) para cada
elemento a del universo y como ya hemos comentado anteriormente, en la mayor parte de los universos
esto no es factible. Lo que haremos para solventar esta cuesti´on es probar que p(a) es verdad pero no
para el caso en que a sea un elemento particular sino para el caso en que a denote un elemento arbitrario
o gen´erico del universo.
3.4.3 Regla de Generalizaci´on
Si un predicado es una proposici´on verdadera para cualquier elemento elegido de forma arbitraria en
nuestro universo del discurso, entonces es verdadera para todos los elementos del universo.
Obs´ervese que aqu´ı decimos que si p(a) es verdadera, siendo a un elemento arbitrario del universo,
entonces ∀x, p(x) es verdad.
Obs´ervese tambi´en que un elemento arbitrario o gen´erico del universo ha de ser uno que tenga todas las
caracter´ısticas comunes de los elementos del universo de esta forma lo que probemos o hagamos para a
ser´a aplicable a todos los elementos.
Ejemplo 3.12 Dados los predicados p(x), q(x) y r(x) donde la variable x pertenece a un universo
cualquiera, estudiar la validez del siguiente razonamiento.
∀x [p(x) −→ q(x)]
∀x [q(x) −→ r(x)]
∴ ∀x [p(x) −→ r(x)]
En efecto,
[∀x [p(x) −→ q(x)] ∧ ∀x [q(x) −→ r(x)]] =⇒ [(p(a) −→ q(a)) ∧ (q(a) −→ r(a))]
=⇒ [p(a) −→ r(a)]
=⇒ ∀x [p(x) −→ q(x)]
En la primera implicaci´on hemos utilizado la regla de particularizaci´on pero para un elemento a gen´erico es
decir elegido arbitrariamente, despu´es hemos aplicado la regla del silogismo hipot´etico para proposiciones
y finalmente hemos aplicado la regla de generalizaci´on.
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11. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
En la pr´actica el razonamiento se har´ıa de la forma siguiente:
Si
[∀x (p(x) −→ q(x)) ∧ ∀x [p(x) −→ q(x))]
es verdad, entonces ambas ser´an verdaderas para todos los valores de x en el universo del discurso.
Pues bien, sea a un elemento elegido arbitrariamente en el universo. Seg´un lo que acabamos de decir,
[p(a) −→ q(a)] y [q(a) −→ r(a)]
ser´an, ambas, verdad. (En realidad hemos aplicado la regla de particularizaci´on para un elemento gen´erico
a).
Entonces, por la regla del silogismo hipot´etico,
p(a) −→ r(a)
ser´a verdad y como a es un elemento arbitrario del universo, ser´a verdad para todos los elementos del
mismo, es decir,
∀x [p(x) −→ r(x)]
es verdad. (Aqu´ı hemos aplicado la regla de generalizaci´on).
3.5 M´etodos de Demostraci´on
Estudiamos en esta secci´on, la estructura de las demostraciones as´ı como las estrategias para su con-
strucci´on. Aunque no sea posible considerarlas todas, describiremos algunas de las t´ecnicas de demostraci´on
m´as comunes, daremos ejemplos de su uso y las relacionaremos con las reglas de inferencia anteriormente
descritas.
Hemos visto con anterioridad que una demostraci´on era un razonamiento que establece la veracidad de
un teorema, es decir demostrar un teorema equivale a probar que la proposici´on condicional P −→ Q es
una tautolog´ıa o lo que es igual probar que P =⇒ Q.
Veremos algunas de las t´ecnicas utilizadas para probar implicaciones. Debido a que dichas t´ecnicas son
bastante comunes nos referiremos a ellas por sus nombres.
3.5.1 Demostraci´on Vac´ıa
Una demostraci´on de este tipo se construye estableciendo que el valor verdadero de la hip´otesis P es
falso.
En efecto, si podemos establecer la falsedad de P, entonces el condicional P −→ Q siempre es ver-
dad independientemente del valor de verdad de la conclusi´on Q, luego P −→ Q es una tautolog´ıa y,
consecuentemente, P =⇒ Q
Aunque parece que tiene poco valor, este m´etodo de demostraci´on es importante para establecer limita-
ciones o estudiar casos especiales.
3.5.2 Demostraci´on Trivial
Se construye una demostraci´on de este tipo, probando que el valor verdadero de la conclusi´on es
verdad.
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12. L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
Si es posible establecer la veracidad de la conclusi´on Q, entonces el condicional P −→ Q ser´a una
tautolog´ıa independientemente del valor de verdad que tenga la hip´otesis, luego P =⇒ Q, la demostraci´on
es correcta y el teorema cierto.
Al igual que la demostraci´on vac´ıa, la demostraci´on trivial tiene una aplicaci´on limitada y a´un as´ı es
bastante importante. Se utiliza frecuentemente para establecer casos especiales de afirmaciones.
3.5.3 Demostraci´on Directa
Una demostraci´on de este tipo muestra que la verdad de la conclusi´on Q, se sigue l´ogicamente de
la verdad de la hip´otesis P. La demostraci´on empieza asumiendo que P es verdad para despu´es,
utilizando cualquier informaci´on disponible, as´ı como teoremas probados con anterioridad, probar que
Q es verdad.
Ejemplo 3.13 Demostrar que el cuadrado de un n´umero entero par tambi´en es par.
Demostraci´on
El teorema a demostrar escrito en forma de condicional, ser´ıa
“Para cualquier entero n, si n es par, entonces n2
es par”
que se corresponde con el esquema
∀n p(n) −→ p(n2
)
donde
p(n) : n es par.
y el universo del discurso son todos los n´umeros enteros.
Pues bien, sea n un n´umero entero cualquiera.
Si n es par, entonces por la definici´on que vimos en el ejemplo 3.3.9, existir´a un n´umero entero k
tal que
n = 2k
de aqu´ı que elevando al cuadrado, obtengamos
n2
= 4k2
= 2(2k2
)
y como el cuadrado de un n´umero entero tambi´en es entero, 2k2
ser´a entero (lo llamaremos m).
As´ı pues, hemos encontrado un entero m tal que
n2
= 2m.
Por lo tanto, y utilizando de nuevo la definici´on 3.3.9, concluimos que
n2
es par.
Aunque este ejemplo es bastante sencillo, el desarrollo l´ogico de la demostraci´on es id´entico al de otros
teoremas de contenidos m´as complicados. Observemos, una vez m´as, el camino seguido a trav´es de
implicaciones.
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13. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
Sea n cualquier n´umero entero. Entonces,
n es par =⇒ ∃k : n = 2k {Ejemplo 3.3.9}
=⇒ n2
= 4k2
{Elevando al cuadrado}
=⇒ ∃m : n2
= 2m Tomando m = 2k2
=⇒ n2
es par {Ejemplo 3.3.9}
3.5.4 Demostraci´on por la Contrarrec´ıproca
La demostraci´on de un teorema se dice que es por la contrarrec´ıproca cuando suponiendo que la con-
clusi´on, Q, es falsa y utilizando la hip´otesis P y otros teoremas y equivalencias l´ogicas establecidas
previamente, se concluye que P es falso.
Est´a basada en la equivalencia l´ogica entre una proposici´on condicional y su contrarrec´ıproca,
P −→ Q ⇐⇒ ¬Q −→ ¬P
Por lo tanto, si probamos que ¬Q −→ ¬P es una tautolog´ıa, habremos probado que P −→ Q tambi´en
lo es, luego P =⇒ Q.
Ejemplo 3.14 Demostrar, para cada entero n, que si 5n + 3 es par, entonces n es impar.
Demostraci´on
Utilizaremos el m´etodo de demostraci´on por la contrarrec´ıproca.
Si
p(n) : n es par
q(n) : n es impar
el esquema del teorema propuesto ser´a
∀n [p(5n + 3) −→ q(n)]
en el universo de los n´umeros enteros. El esquema de la contrarrec´ıproca ser´ıa
∀n [¬q(n) −→ ¬p(5n + 3)]
es decir,
“Para cada entero n, si n no es impar, entonces 5n + 3 no es par”
Pues bien, sea n cualquier n´umero entero.
Si n no es impar, entonces por la nota 3.3,
n = 2k + 1
para cualquier entero k y, por lo tanto,
5n + 3 = 5(2k + 1) + 3, ∀k ∈ Z
de aqu´ı que
5n + 3 = 2(5k + 4), ∀k ∈ Z
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14. L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
y como si k es entero, 5k + 4 tambi´en lo es (lo llamaremos m), tendremos que
5n + 3 = 2m, ∀m ∈ Z
Consecuentemente, y de acuerdo con la definici´on dada en el ejemplo 3.3.9, 5n + 3 no es par y la
demostraci´on concluye.
Veamos la demostraci´on a trav´es de implicaciones. Sea n un n´umero entero cualquiera. Entonces,
n no es impar =⇒ n = 2k + 1, ∀k ∈ Z {Nota 3.3}
=⇒



5n + 3 = 5(2k + 1) + 3
= 10k + 8
= 2(5k + 4)
{Haciendo operaciones}
=⇒ 5n + 3 = 2m, ∀m ∈ Z {Tomando m = 5k + 4}
=⇒ 5n + 3 no es par {Ejemplo 3.3.9}
3.5.5 Demostraci´on por Contradicci´on
La demostraci´on de un teorema diremos que es por contradicci´on cuando suponiendo que la conclusi´on,
Q, es falsa y utilizando la hip´otesis P, y otros teoremas y equivalencias l´ogicas establecidas previamente,
se llega a una contradicci´on.
Est´a basada en la equivalencia l´ogica conocida como reducci´on al absurdo, es por ello que este m´etodo
de demostraci´on es conocido, tambi´en, como demostraci´on por reducci´on al absurdo.
P −→ Q ⇐⇒ (P ∧ ¬Q) −→ C
donde C es una contradicci´on. Por lo tanto, si probamos que (P ∧ ¬Q) −→ C es una tautolog´ıa tendremos
que P −→ Q tambi´en lo es y, consecuentemente, P =⇒ Q.
Ejemplo 3.15 Demostrar que si el cuadrado de un n´umero entero es impar, entonces el n´umero es
impar.
Demostraci´on
El teorema a demostrar es
“Para cada entero n, si n2
es impar, entonces n es impar”
Si
p(n) : n es impar
entonces el esquema del teorema en notaci´on simb´olica ser´a
∀n p(n2
) −→ p(n)
en el universo de los n´umeros enteros.
Lo demostraremos por contradicci´on o reducci´on al absurdo. El esquema ser´ıa
∀n p(n2
) ∧ ¬p(n) −→ C
donde C es una contradicci´on.
Pues bien, sea n cualquier n´umero entero.
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15. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
Supongamos que n2
es impar y que, sin embargo, n no es impar. Entonces, tendremos que
n2
es impar y n es par
de aqu´ı que por la definici´on de n´umero impar (Nota 3.3) y la de par dada en el ejemplo 3.3.9,
tengamos que existan dos n´umeros enteros k y l tales que
n2
= 2k + 1 y n = 2l
luego,
n2
= 2k + 1 y n2
= 4l2
por lo tanto,
2k + 1 = 4l2
de donde se sigue que
1 = 4l2
− 2k = 2(2l2
− k)
y como si l y k son enteros, 2l2
− k tambi´en lo es (lo llamaremos m), tendremos que hemos
encontrado un n´umero entero m tal que
1 = 2m
es decir, el 1 es par, lo cual, obviamente, es una contradicci´on.
Lo que nos ha llevado a la contradicci´on es la suposici´on de que n no era impar, por lo tanto ´esta es falsa
siendo cierta la contraria, es decir, n es impar.
Veamos la demostraci´on a trav´es de implicaciones.
n2
impar y n no es impar =⇒ n2
impar y n es par
=⇒ ∃k : n2
= 2k + 1 y ∃l : n = 2l {Definici´on de impar y par}
=⇒ ∃k : n2
= 2k + 1 y ∃l : n2
= 4l2
{Elevando l al cuadrado}
=⇒ ∃k y ∃l : 2k + 1 = 4l2
{Igualando}
=⇒ ∃k y ∃l : 1 = 2(2l2
− k) {Haciendo operaciones}
=⇒ ∃m : 1 = 2m Tomando m = 2l2
− k
=⇒ 1 es par {Definici´on de n´umero par}
=⇒ Contradicci´on
3.5.6 B´usqueda de Contraejemplos
Este tipo de demostraci´on, ´ıntimamente relacionada con el cuantif icador universal, aparece cuando
se quiere probar que una proposici´on del tipo ∀x, p(x) es falsa. Normalmente diremos que se refuta la
proposici´on ∀x, p(x).
En efecto, ∀x, p(x) ser´a falsa cuando exista, al menos, un elemento a en el universo del discurso para el
cual p(a) sea una proposici´on falsa. Hemos encontrado, pues, un ejemplo que contradice el que ∀x, p(x)
sea verdad por lo cual le llamaremos contraejemplo.
En el caso de un teorema el planteamiento ser´ıa como sigue: ∀x [p(x) −→ q(x)] es falso si existe un
elemento a en el universo para el cual la proposici´on condicional p(a) −→ q(a) sea falsa, es decir tal que
p(a) sea verdad y, sin embargo, q(a) sea falsa.
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16. L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
Ejemplo 3.16 En el universo de los n´umeros enteros positivos, demostrar o refutar la siguiente
proposici´on: “la suma de dos cuadrados perfectos es tambi´en un cuadrado perfecto.”
Soluci´on
Recordemos que un entero positivo x es un cuadrado perfecto si puede encontrarse otro entero positivo
y tal que x = y2
.
La proposici´on a demostrar escrita en forma de condicional ser´ıa:
“Si m y n son enteros positivos y cuadrados perfectos, entonces m + n es un cuadrado perfecto.”
Pues bien, si
p(m, n) : m + n es un cuadrado perfecto,
entonces la proposici´on escrita en forma simb´olica es
∀m, ∀n [(p(m, 0) ∧ p(n, 0)) −→ p(m, n)]
y un contraejemplo,
∃a, ∃b : [p(a, 0) ∧ p(b, 0) ∧ ¬p(a, b)]
es decir,
“pueden encontrarse dos enteros positivos a y b tales que sean cuadrados perfectos y que, sin
embargo, su suma no lo sea.”
Pues bien, elijamos dos cuadrados perfectos arbitrariamente, por ejemplo el 25 y el 36 . Entonces,
25 + 36 = 61 = y2
, ∀y
por lo tanto, y de acuerdo con la definici´on de cuadrado perfecto dada, 61 no es un cuadrado perfecto.
As´ı pues, ya tenemos el contraejemplo
“25 y 36 son, ambos, cuadrados perfectos y, sin embargo, su suma, 25 + 36, no lo es.”
Consecuentemente, la proposici´on propuesta es falsa.
Nota 3.5 Seg´un hemos visto podemos demostrar un teorema de forma directa o indirecta (contrar-
rec´ıproca y contradicci´on). Si podemos demostrarlo de forma directa, resultar´a, en general, menos
engorroso que utilizar m´etodos indirectos. Podemos empezar intentando un m´etodo directo y si no re-
sulta, buscar un contraejemplo que refute el teorema. Si la b´usqueda del contraejemplo tambi´en falla,
entonces intentar´ıamos la demostraci´on a trav´es de m´etodos indirectos.
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