La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una línea recta fija llamada directriz. Tiene como elementos principales el foco, la directriz, el vértice y el lado recto. Su ecuación canónica relaciona las coordenadas de un punto con su distancia al foco. Una propiedad importante es que los rayos de luz reflejados por un espejo parabólico son paralelos entre sí.

1. Marta Lía Molina
Año 2014

2. Parábola
Se obtiene cuando el plano secante no es
perpendicular al eje de la superficie
cónica, es paralelo a una generatriz y no
pasa por el vértice.

3. La Parábola es el lugar geométrico
de todos los puntos P(x,y) del plano
que equidistan de un punto fijo (F)
llamado foco y de una recta fija
llamada directriz.
d(P,F) = d(P,D) = constante
Los elementos mas importantes de
la parábola son:
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D
Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz y se designa por p
Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje de simetría.
Lado Recto: Es la cuerda Focal AB perpendicular al eje focal de la
parábola cuya medida es |2p|

4. Supongamos que el eje focal de la parábola
coincide con el eje X y que el vértice se
encuentra en el origen del sistema cartesiano.
Por lo Tanto,
las coordenadas del foco son (p/2,0)
y la directriz tiene como ecuación x = -p/2
Si P(x,y) es un punto de la parábola se cumple
que d(P,F) = d(P,D)
Reduciendo resulta la ecuación canónica
y² = 2px

5. •Si p > 0 , el foco de la parábola esta en la parte positiva del eje X, por lo
tanto, su concavidad se orienta hacia la derecha
•Si p < 0 , el foco de la parábola esta en la parte negativa del eje X, por lo
tanto, su concavidad se orienta hacia la izquierda
Si el eje de simetría de la parábola
coincide con el eje Y,
las coordenadas del foco son F(0,p/2)
y la ecuación de la directriz es y = -p/2
Su ecuación canónica es
x² = 2py

6. Se denomina lado recto (L.R.) de la parábola a la cuerda que pasa por el
foco y es perpendicular al eje de la parábola.
Si la ecuación de la parábola es y² = 2px , como A (p/2,y) pertenece a esta
curva, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación, es decir,
y² = 2p . p/2 = p² , de donde y = p, entonces la medida del lado recto es:

7. Si consideramos una parábola con
vértice V (0,0), su ecuación canónica es
y² = 2px.
Si le aplicamos una traslación T(h,k) ,
obtenemos la ecuación principal de la
parábola con vértice V(h,k):
(y - k)² = 2p(x - h)
Desarrollando los cuadrados de
binomio y ordenando la ecuación
principal, se obtiene la ecuación
general de la parábola:
y² + Dx + Ey + F = 0

8. Si el eje focal o eje de simetría es
paralelo al eje Y, la ecuación principal
es de la forma:
(x - h)² = 2p(y - k)
o su equivalente, la ecuación general:
x² + Dx + Ey + F = 0

9. Determina la ecuación de la parábola de foco F(1,3) y vértice V(-2,3)
•Su ecuación es de la forma (y - k)² = 2p(x - h)
•d(V,F) = p/2 = 3 entonces p =6
•Reemplazando:
(y - 3)² = 2. 6 (x + 2)
y² - 6y + 9 = 12x + 24
•La ecuación de la parábola es:
y² - 6y - 12x - 15 = 0

10. Quizá la propiedad más importante de la parábola es su propiedad
óptica.
Considérese un espejo en forma de copa con una sección transversal
parabólica. Si se coloca una fuente de luz en el foco los rayos de luz son
relejados por el espejo en el que todos los rayos de luz son paralelos al eje,
Este hecho se utiliza en el diseño de faros. En forma inversa, si los rayos
de luz paralelos (como los de una estrella)llegan a un espejo parabólico
serán “enfocados” hacia el foco. Este es la base para el diseño de un tipo
de telescopio reflejante.