Teorema del seno y del coseno

1. Triángulos oblicuángulos ?

2. Triángulos oblicuángulos INTRODUCCIÓN Al llegar a esta unidad didáctica se supone que los alumnos han trabajado ya con triángulos rectángulos y, por supuesto, tienen destreza en los rudimentos básicos de trigonometría plana, como ecuación fundamental, hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas y reducción de cualquier ángulo al primer cuadrante.

3. Triángulos oblicuángulos OBJETIVOS Resolver perfectamente un triángulo oblicuángulo a partir de un dibujo. Resolver perfectamente un triángulo oblicuángulo a partir de los datos, asociando esos datos (lados y ángulos) a la posición correcta en el correspondiente dibujo.

4. Triángulos oblicuángulos Definición y propiedades Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

5. Triángulos oblicuángulos En general, se denomina triángulo oblicuángulo a cualquier tipo de triángulo, siendo el triángulo rectángulo un caso particular de esta denominación. Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos importantes propiedades: 1ª.- En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º. 2ª.- En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que la longitud del tercero.

6. Solución de triángulos oblicuángulos La solución de todo triángulo se origina en la aplicación de cualquiera de los siguientes teoremas:

7. Solución de triángulos oblicuángulos 1.- Teorema del seno. En todo triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es el mismo.

8. Solución de triángulos oblicuángulos 1.- Teorema del seno. En todo triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es el mismo.

9. Solución de triángulos oblicuángulos 2.- Teorema del coseno. En todo triángulo cualquiera de lados a, b, c y ángulos A, B, C, se cumple Análogamente, para los otros lados:

10. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso I.- Conocidos los tres lados. Aplicamos tres veces el teorema del coseno

11. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido. En primer lugar calculamos a aplicando el teorema del coseno.

12. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido. Seguidamente, aplicando el teorema del seno, calculamos los ángulos B

13. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido. Seguidamente, aplicando el teorema del seno, calculamos los ángulos B y C.

14. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos. En primer lugar, se calcula fácilmente el ángulo C.

15. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos. A continuación, se aplica el teorema de los senos y se calculan los lados b y a

16. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos. A continuación, se aplica el teorema de los senos y se calculan los lados a

17. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos. A continuación, se aplica el teorema de los senos y se calculan los lados y b

18. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Supongamos conocidos los lados a y c y el ángulo A; quedarían como incógnitas el lado b y los ángulos B y C. En primer lugar se aplica el teorema del seno.

19. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Ya estamos en condiciones de conocer el ángulo que falta, B. Por último volvemos a aplicar el teorema del seno y calculamos el lado b.

20. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Pues bien, se nos pueden dar, en este último caso, las siguientes posibilidades: a < c · senA, con lo cual el triángulo no existe.

21. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. a = c · senA, con lo cual el triángulo es rectángulo.

22. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. a > c · senA y a< c, en cuyo caso existen dos triángulos: ABC y ABC´.

23. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS CASOS PRÁCTICOS, SOLUCION DE PROBLEMAS , EJEMPLOS ¡gulp!

24. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso I.- Conocidos los tres lados. Aplicamos tres veces el teorema del coseno Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

25. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido. De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

26. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos. De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

27. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m. Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución.

28. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

29. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m. Se trata de un triángulo rectángulo

30. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

31. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m. sen B < 1. Una o dos soluciones.

32. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

33. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

34. Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

35. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Para saber más:

36. TERMINOLOGIA Un postulado es una proposición que puede tomar tres formas al razonarse: Se toma como punto de partida para la demostración de teoremas dentro de un sistema axiomático, sin que se trate de una proposición deducible de otros enunciados. Especulación que, teniendo apariencia de ser evidente, se admite como falsado sin la intención de someterlo a un sistema de verificación que demuestre el valor presumido. A diferencia de la creencia, esta forma de usar la razón admite ser sometido a prueba. Caso contrario recaerá en algún otro tipo de creencia. Opinión razonada que tiene como objetivo formar parte de una teoría.

37. terminologia Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es el asunto central en la matemática. Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan respuesta. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión. En matemática una afirmación debe ser interesante o importante dentro de la comunidad matemática para ser considerada un teorema. Las afirmaciones menos importantes se denominan: Lema: una afirmación que forma parte de un teorema más largo. Por supuesto, la distinción entre teoremas y lemas es arbitraria. El Lema de Gauss y el Lema de Zorn, por ejemplo, son considerados demasiado importantes per se para algunos autores, por lo cual consideran que la denominación lema no es adecuada. Corolario: una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema. Una proposición A es un corolario de una proposición o teorema B si A puede ser deducida sencillamente de B. Proposición: un resultado no asociado a ningún teorema en particular. Una afirmación matemática que se cree verdadera pero no ha sido demostrada se denomina conjetura o hipótesis. Por ejemplo: la conjetura de Goldbach o la hipótesis de Riemann.