repaso de conceptos antes de la primera unidad de lineas paralelas y perpendiculares

1. Conceptos Básicos deConceptos Básicos de
GeometríaGeometría
Preparado por: MICHELLE VARGASPreparado por: MICHELLE VARGAS
MATEMÁTICASMATEMÁTICAS
Noveno gradoNoveno grado

2. ÍndiceÍndice
• Definición de Geometría
• El punto
• La recta
• El plano
• Segmento
• Rayo
• Espacio
• Puntos Colineales
• Puntos Coplanarios
Clasificación de ÁngulosClasificación de Ángulos
• ÁnguloÁngulo
• VérticeVértice
• BisectrizBisectriz
• Ángulo AgudoÁngulo Agudo
• Ángulo ObtusoÁngulo Obtuso
• Ángulo RectoÁngulo Recto
• Ángulo LlanoÁngulo Llano
•Ángulos complementarios yÁngulos complementarios y
suplementariossuplementarios
•Ángulos opuestos por el vérticeÁngulos opuestos por el vértice
•Ángulos formados por rectasÁngulos formados por rectas
paralelasparalelas

3. Definición de GeometríaDefinición de Geometría
La geometríaLa geometría trata de la medicióntrata de la medición yy
de las propiedades de puntos, líneas,de las propiedades de puntos, líneas,
ángulos y sólidos, así como de lasángulos y sólidos, así como de las
relaciones que guardan entre sí.relaciones que guardan entre sí.

4. El puntoEl punto
Los puntosLos puntos no tienen medidano tienen medida..
Son representados por letrasSon representados por letras
mayúsculas y no tienen dimensiónmayúsculas y no tienen dimensión
(largo, alto, ancho).(largo, alto, ancho).
A BA B
CC

5. La rectaLa recta
Una rectaUna recta se extiende al infinito ense extiende al infinito en
ambas direccionesambas direcciones y carece de ancho.y carece de ancho.
Las rectas se nombran con minúscula.Las rectas se nombran con minúscula.
bb
CC
AA

6. ¿Cómo identificar las rectas?
La recta que aparece abajo es la recta b. Si se
conocen los nombres de dos puntos de una recta,
entonces esta recta puede identificarse por estos dos
puntos. En este ejemplo, los puntos A y C estan sobre la
recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b
de varios modos:
palabra recta AC recta CA
símbolo AC CA
C b
A

7. El planoEl plano
Un planoUn plano se extiende al infinitose extiende al infinito en todaen toda
dirección y no tiene grosor alguno. Losdirección y no tiene grosor alguno. Los
planosplanos se representanse representan regularmenteregularmente concon
una figura de cuatro ladosuna figura de cuatro lados y se nombrany se nombran
con letras mayúsculas o tres puntoscon letras mayúsculas o tres puntos
colineales.colineales.

8. ¿Cómo identificar el plano?
B
A C
R
La figura de arriba puede denominarse plano
R o plano ABC.

9. En geometría los términos punto, recta
y plano se consideran términos primitivos
o no definidos porque solo tienen
explicación a través del uso de ejemplos y
descripciones. Sin embargo, ellos sirven
para definir otros términos y propiedades
geométricas.

10. Solución de Problemas
a. Recta
Los puntos T y U pertenecen a la
recta RS. Escoge dos letras
de las cuatro dadas en la figura,
para nombrar esta recta.
1)FU 2) RU 3) R 4)TE
U
T
S
R

11. Correcto!!!
El punto RU está en la recta.El punto RU está en la recta.

12. Incorrecto!!
Los puntos de la recta son R, S, T, U. El
punto FU no pertenece a la recta.

13. Incorrecto!!Incorrecto!!
Recuerda…Siempre se nombra laRecuerda…Siempre se nombra la
recta con dos puntos.recta con dos puntos.

14. Incorrecto!!Incorrecto!!
El punto TE no pertenece a la recta.El punto TE no pertenece a la recta.

15. Solución de problemas
b. Plano M
Sean los puntos A, B y C del
plano M. Utiliza estas letras en
orden diferente para nombrar el
plano.
A C
B
M 1)YJ 2)CFE 3)N 4)BCA

16. Correcto!!
Los puntos BCA pertenece al plano M.

17. Incorrecto!!
Los puntos YJ no pertenece al plano.

18. Incorrecto!!
La letra N no pertenece al plano M.

19. Incorrecto!!
Los puntos CFE no pertenece al plano
ABC.

20. Segmento
El segmento es la parte de una recta
que consiste de dos puntos, llamados
extremos y de todos los puntos que estan
dentro de ella.
A
B

21. Ejemplo:
En el dibujo anterior El segmento se
identificaría como:
o
AB BA

22. Rayo
– Un rayo tiene un punto de comienzo y
– se extiende hacia el infinito en el otro
– Extremo.

23. Ejemplo:
El comienzo de RT es el punto R.
T
R
Cada punto en una recta determina dos rayos que
comparten un mismo extremo. Por ejemplo, el
punto A determina los rayos AB, y AC. AB y AC
se llaman rayos opuestos.
A C
B

24. El espacioEl espacio
El espacio es infinito, es tridimensional,El espacio es infinito, es tridimensional,
es eles el conjunto de todos los puntosconjunto de todos los puntos..

25. LosLos puntos colinealespuntos colineales o alineadoso alineados
Son aquellosSon aquellos contenidos en una línea ocontenidos en una línea o
rectarecta. Los puntos que no se encuentran. Los puntos que no se encuentran
contenidos en una recta se dice que soncontenidos en una recta se dice que son
no colineales.no colineales.

26. Ejemplo:
Observe que los puntos A, B y C estan contenidos en la
recta i. Estos puntos se dice que son colineales. El punto
D no es un punto colineal ya que no pertenece a la recta i.
C i
B
A D
P

27. LosLos puntos (o rectas) coplanariospuntos (o rectas) coplanarios
Son aquellos puntos (o rectas) que seSon aquellos puntos (o rectas) que se
encuentranencuentran contenidos en un planocontenidos en un plano..

28. Ejemplo:
Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que
cada uno esta en el plano E. Las rectas m y k
son coplanarias al estar las dos en el plano E.
U
m k T
Q R S
E
Puntos o rectas que no estan contenidos en el
mismo plano son no coplanarios. El punto U es
no coplanarios.

29. Comprueba lo aprendido
1. Encuentra el segmento correcto:
M
L R
Q N S
1) LQ 2) RQ 3) LS 4) LM

30. Muy bien!
El segmento LQ pertenece a una
misma recta.

31. Comprueba lo aprendido
2. ¿Serán QP y QR rayos opuestos?
Q
P R
a) Si, porque el punto Q esta entre medio.
b) No, solamente si el punto P esta entre Q y R.
c) No, porque no son puntos colineales.
d) No, porque son mas de dos rayos.

32. ¡Excelente!
Recuerda… que los puntos deben ser
colineales (que pertenecen a una misma
recta) en este caso lo son, y el punto entre
medio tiene que ser P. Sería, QP y PR.

33. Puntos
colineales
Puntos
coplanarios
Rectas
coplanares
Vamos a Practicar….
3. Identifíca los puntos colineales y puntos o
rectas coplanarios:
J w F p
H G
T e

34. Repasemos todas las definiciones:Repasemos todas las definiciones:
4. Utilizando el siguiente plano completa la tabla4. Utilizando el siguiente plano completa la tabla
Recta Rayo Segmento Punto
B
A F C D
E
N

35. 5. Utilizando el siguiente plano completa la5. Utilizando el siguiente plano completa la
tablatabla
RECTA RAYO SEGMENTOSEGMENTO PUNTO
B
A C G D
E F

36. Clasificación de losClasificación de los
ángulosángulos

37. Clasificación de losClasificación de los
ángulosángulos

38. Ángulo
Un ángulo es la porción de plano
limitada por dos semi-rectas o rayos que
tienen el mismo origen.

39. Ejemplo de ángulos
Un ángulo es la unión de dos rayos no
colineales que comparten el mismo punto
extremo.
Ejemplo: B
1
P A
vértice
Los rayos reciben el nombre de lados del ángulo y
su punto extremo común es el vértice.

40. En el dibujo anterior, los lados del
ángulo son PA y PB; el vértice es P. El
ángulo se puede nombrar como APB,
BPA, P o 1. Observe que si se
utilizan tres letras, la letra del vértice es la
letra del medio.

41. Practiquemos…
Nombre el 1 de otras dos formas
G H
D 1 2
E 1) HEF , FEH
2) GED , DEG
3) GEH , HEG
4) DEH , DEG

42. Muy Bien!
Los ángulos DEG y GED es la
contestación correcta.

43. Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al ángulo 1.

44. Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al ángulo 1.

45. Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al ángulo 1.

46. Vértice
El vértice del ángulo es el punto en común
que es el origen de los lados.

47. Los ángulos pueden nombrarse de tres formas
distintas:
 Por las letras mayúsculas correspondientes a
las semi-rectas, colocando en medio la letra
vértice: ABC o CBA.
 Por una letra o número colocado en la abertura
a.
 Por la letra del vértice B.

48. Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la semi-
recta que divide al ángulo en dos partes
iguales. Un ángulo tiene exactamente una
bisectriz.
bisectrizbisectriz
1 2

49. Ejemplo:
La semi-recta OA es bisectriz del
ángulo O si se cumple que: 1= 2

50. Comprueba lo que aprendiste
Identifica la mejor definición para el
término vértice:
a) Es el conjunto de todos los puntos.
b) Semirrecta que divide el ángulo en dos
partes iguales.
c) Es el punto en común que es el origen de
los lados.
d) Unión de dos segmentos.

51. ¡Correcto!
Muy bien! Es la contestación correcta.
Recuerda que cuando identifiques un ángulo
la letra del medio siempre será el vértice.

52. ¡Incorrecto!
Inténtalo nuevamente. Conjunto de
todos los puntos se refiere a algo infinito.

53. Incorrecto
Analiza bien. ¿El vértice divide al
ángulo en dos partes iguales? Si divide
al ángulo se está refiriendo a la bisectriz.

54. Incorrecto!
El vértice no es la unión de dos
segmentos. El vértice es solamente un
punto en común.

55. Comprueba lo que aprendistes
Nombra un rayo que parezca ser bisectriz
de un ángulo
R
F D
B C
1) JS 2) OP 3) FD 4) AG

56. Correcto!
Muy bien. El rayo FD biseca al ángulo
RFC.

57. Incorrecto!
El rayo JS no pertenece al dibujo.

58. Incorrecto!
El rayo OP no pertenece al dibujo.

59. Incorrecto!
El rayo AG no pertenece al dibujo.

60. Angulo Agudo
Es todo ángulo cuya amplitud sea
menor que la del recto, es decir, es
como máximo de 89º.

61. Ejemplo ángulo agudo

62. Angulo Obtuso
Es aquel cuya amplitud es mayor que
la del ángulo recto y menor que la del
llano, es decir, está comprendida entre
90º y 180º.

63. Ejemplo ángulo obtuso

64. Angulo Recto
ángulo en que la bisectriz divide al
llano. Su amplitud o abertura es de 90º.

65. Angulo Llano
Es el ángulo formado por dos semi-
rectas opuestas. Tiene sus lados en la
misma recta. Su amplitud es la mitad de
un ángulo completo, es decir, de 180º.

66. B K
A H G C
F
I D E J
L N
M
UTILIZANDO EL SIGUIENTE DIBUJO
COMPLETA LA TABLA

67. < Recto < Agudo < Obtuso < Llano Vértice Bisectriz

68. Vamos a practicar…
Nombra dos angulos rectos:
A E
B P D
T
1) APB , APD
2) BPE
3) DPE , TPE
4) APE

69. Correcto!
Es la contestacion correcta. Los
angulos rectos son de 90 grados.

70. Incorrecto!
Hay dos ángulos agudos. Observa
bien el dibujo.

71. Incorrecto!
Los ángulos que escogistes no son
de 90 grados.

72. Incorrecto!
El ángulo que escogistes es un
ángulo agudo. ¡Analiza bien otra vez!

73. Identifica la contestacion correcta
¿Cuál es la medida de un ángulo obtuso?
a) 180 grados
b) 0 grados y menor de 90 grados
c) igual a 90 grados
d) superior a 90 grados e inferior a 180
grados

74. Perfecto!!
Recuerda… 90 grados a 180 grados.

75. Incorrecto!
Escogistes el ángulo agudo.

76. Incorrecto!
Escogistes el ángulo llano.

77. Incorrecto!
Escogistes el ángulo recto.

78. Ángulo Complementario
Dos angulos son
complementarios
si la suma de sus
medidas es 90°
Ejemplo →

79. Ángulo Suplementario
Dos ángulos son
suplementarios si
la suma de sus
medidas es 180°.
Ejemplo →

80. ¿Cómo usar el transportador?
1. Comienza
ubicando el centro
del transportador
en el vertice del
angulo.
2. Alinea uno de los
rayos en 0°
3. Lee la medida del
otro rayo.

81. Dibuja y Mide Angulos:
1) Contruye un ángulo agudo y determina
su medida exacta.
2)Construye un ángulo obtuso y determina
su medida exacta.
3)Construye un ángulo recto y determina su
medida exacta.

82. Ángulos opuestos por el vértice
1. Son congruentes
(que miden lo mismo)
Símbolo para
congruente
2. Cuando una recta se
interseca con dos
rectas paralelas, los
angulos
correspondientes son
congruentes, si las
rectas no son
paralelas, los angulos
correspondientes no
son congruentes

83. Hallar medidas de ángulos:
En el diagramadeladerecha, m<1=50, halla
lamedidadelosotros3 ángulos.
Solución:Solución:
Como <1 y <3 son ángulosopuestospor el
vértice, son congruentesy deben tener la
mismamedida. Entonces,
m<3=50°
Ademáscomo <1 y <2 combinadosforman un
ángulo llano, sabesquelasumadesus
medidasesde180°. Entonces,
m<2=180°- m<1
=180°- 50°
= 130°
4 50°
3 2

84. Comprueba lo aprendido:
t
1 2 m
4 3
5 55° n
8 7
1) ¿Qué dos rectas son
paralelas?
2) Da el nombre de 2 pares de
ángulos opuestos por el
vertice.
3) ¿Cuánto mide <2?
4) ¿Cuánto mide <4?
5) ¿Cuánto mide <8?

85. RECTAS PARALELAS

Las Rectas m y n son
paralelas

La recta t es transversal.

La medida del <1 y <2 en de
180º en total.

Por lo tanto, para calcular la
m<2= 180º- m<1
= 180º – 32º
= 148 º

Recuerda que los ángulos
opuestos por el vértice
miden lo mismo.
Clasificación de ángulos en dos
rectas paralelas:
Alternos Externos:
Alternos Internos:
Correspondiente:
t
32º 1 2 m
3 4
5 6 n
7 8