Este documento trata sobre la geometría analítica de las circunferencias y parábolas. Explica la definición, elementos y ecuaciones de las circunferencias y parábolas, incluyendo cómo calcular el centro, radio, vértice, foco y directriz. También incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de estas curvas.

1. UNIDAD 8: RESOLVAMOS CON GEOMETRÍA
ANALITICA.
3. La circunferencia.
Objetivos conceptuales. Definir el concepto de circunferencia.
Objetivos procedimentales. Calular el radio, el centro, algunos puntos o la ecuación de una circunferencia.
Definición. La circunferencia es el conjunto infinito de puntos que están a
igual distancia de otro llamado CENTRO.
Radio
Diámetro
A B
Esta es una circunferencia
centrada en el origen del plano
cartesiano.
La distancia de un punto de la circunferencia al centro se conoce como RADIO (r).
Lo anterior significa que si a y b son 2 puntos de la circunferencia, y la distancia de a a
b es el diámetro, entonces el centro está en el punto medio de a y b. El diámetro es la
mayor distancia entre 2 puntos de la circunferencia. Además, el radio es la mitad del
diámetro.
Actividad 8.Los puntos que se dan en cada caso pertenecen a una circunferencia
y están a un diámetro de separación. Tú deberás encontrar las coordenadas del centro
y la magnitud del radio.
1. (2,4) y (8,6) Centro: _______ r _____ 2. (2,6) y (8,10) Centro: _______
r _____
3. (4,2) y (12,10) Centro: _______ r _____ 4. (-4,8) y (8,8) Centro: _______ r
_____
5. (-5,8) y (9,8) Centro: _______ r _____ 6. (2,8) y (10,2) Centro: _______
r _____
7. (-4,10) y (10,2) Centro: _______ r _____ 8. (-4,10) y (12,2) Centro: _______
r _____

2. Ecuación de la circunferencia
La circunferencia mostrada tiene centro (h, k) y el
punto (X, y) pertenece a la circunferencia. Al
aplicar la fórmula de la distancia, se tiene que la
distancia del punto al centro es r. Es decir que:
(X – h)2 + (y – k)2 = r
Al elevar al cuadrado ambos miembros,
obtenemos:
R
H
K
(X, y)
(X – h)2 + (y – k)2 =
r2
 Esta es la ecuación canónica
de la circunferencia
Desarrollando los cuadrados, obtenemos: X2 + y2 – 2Xh – 2yk + h2 + k2 = r2
Ejemplo. Una circunferencia de radio 2 está centrada en el origen del plano
cartesiano. Calculemos su ecuación.
.
Solución.
Como el centro es el origen, entonces h = k = 0, y la ecuación es:
(X – h)2 + (y – k)2 = r2  (X – 0)2 + (y – 0)2 = 22  X2 + y2 = 4
Ejemplo. Una circunferencia de radio 2 está centrada en el punto (2,-4).
Calculemos su Ecuación.
Solución.
Como el centro es el punto (2,-4), entonces h = 2 y k = -4 La ecuación es:
(X – h)2 + (y – k)2 = r2  (X – 2)2 + (y – (-4))2 = 22  (X – 2)2 + (y + 4)2 = 4
Ejemplo. Determinemos el centro y el radio de la circunferencia X2 + 4y + y2 - 6X
– 12 = 0
Solución.
En este caso, debemos completar los trinomios cuadrados perfectos.
X2 - 6X ___ + y2 + 4y ___ = 12
En los espacios en blanco colocaremos el número que hace falta para que el trinomio
sea un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cómo? El coeficiente del factor lineal lo dividimos
entre 2 y lo elevamos al cuadrado: (6/2)2 = 9 y (4/2)2 = 4 Para no alterar la igualdad,
estos valores los sumamos en el otro miembro. La ecuación queda así:
X2 - 6X + 9 + y2 + 4y + 4 = 12 + 9 + 4
(X2 - 6X + 9) + (y2 + 4y + 4) = 25

3. (X - 3)2 + (y + 2)2 = 25
(X - 3)2 + (y – (-2))2 = 25
Por lo tanto, el centro es (3,-2) y el radio es 5.
Actividad 9.En cada caso se te da el radio y un punto; determina la ecuación de la
circunferencia. 1. 4 y (2,5) __________________ 2. 5 y (3,-2)
__________________
3. 6 y (-2,5) __________________ 4. 7 y (-3,-2) __________________
5. 6 y (2,5) __________________ 6. 5 y (-3,-2) __________________
7. 4 y (2,7) __________________ 8. 5 y (-3,-5) __________________
9. 4 y (2,-5) __________________ 10. 5 y (-3,-7) __________________
Actividad 10. En cada caso, calcula el centro y el radio de la circunferencia.
1. X2 - 2X + y2 + 6y = 15 _______ ___ 2. X2 + 6X + y2 + 10y = -33 _______
___
3. X2 + y2 - 10X + 6y + 30 = 0 _______ ___ 4. X2 + y2 - 10X - 4y + 28 = 0
_______ ___
5. X2 + y2 + 12X - 12y + 63 = 0 _______ ___ 6. X2 + y2 + 2X + 6y = 54 _______
___
7. X2 + y2 - 4X - 4y + 4 = 0 _______ ___ 8. y2 + X2 - 14X + 6y = -49 _______
___
9. y2 + X2 + 6X - 18y = -86 _______ ___ 10. y2 + X2 - 10X + 2y = -1 _______
___
Discusión 10_____ eos) . Para cada par de circunferencias, comprobar escuchen que son
sin alterarse.
.
tangentes. 1. y2 + X2 - X - 4y = 8 y y2 + X2 - 24X - 4y = -112
2. y2 + X2 + 8X - 16y = 0 y y2 + X2 - 16X - 6y = -24
3. y2 + X2 - 4X - 16y = -59 y y2 + X2 - 20X - 16y = -139
4. y2 + X2 - 4X - 16y = -52 y y2 + X2 - 24X - 16y = -172
5. y2 + X2 + 10X - 10y = -1 y y2 + X2 - 22X - 10y = -65
6. y2 + X2 + 10X - 4y = 20 y y2 + X2 - 22X - 4y = -44
7. y2 + X2 + 8X + 12y = -48 y y2 + X2 - 16X + 12y = 0
8. y2 + X2 + 8X + 12y = -51 y y2 + X2 - 16X + 12y = 21
9. y2 + X2 + 8X + 12y = -43 y y2 + X2 - 16X + 12y = -19
10. y2 + X2 + 10X - 4y = -13 y y2 + X2 - 10X - 4y = 7
Discusión 10b_____ eos) Encontrar la ecuación de la circunferencia escuchen que es tangente
sin alterarse.
a los lados .
del cuadrado formado por las rectas dadas: 1. y = 5, y = -5; X = -4, X = 6

4. 2. y = 6, y = -6; X = -5, X = 7 3. y = 7, y = -7; X = -6, X = 8 4. y = 8, y = -8; X =
-7, X = 9 5. y = 9, y = -9; X = -8, X = 10 6. y = 8, y = 0; X = -2, X = 6 7. y = 9,
y = -1; X = -3, X = 7 8. y = 10, y = -2; X = -4, X = 8
.
Discusión
10 c_____
eos)
La circunferencia tiene radio
de 3 cm y centro en (4, 3) La
recta tiene un ángulo de 45° y
pasa por el origen.
Calcular los puntos en los
que la recta corta a la
circunferencia.
El gráfico está a escala.
escuchen
sin
alterarse.
.
Objetivos conceptuales. Definir el concepto de parábola.
Objetivos procedimentales. Dada la ecuación de una parábola, calcular el vértice, el foco, la directriz y trazar la gráfica.
Calcular la ecuación de una parábola si se conocen algunos de sus elementos.
Definición. La parábola es el conjunto infinito de los puntos del plano que se
encuentran a igual distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija
llamada directriz.
(X, y)
P
P
Vértice (h, k)
Directriz y = k - p
Foco (hk+p)
H
K
Eje de la parábola
(X,k-P)
La gráfica muestra una parábola con todos sus componentes. Hagamos algunos
análisis.
1. Cualquier punto (X, y) de la parábola, está a igual distancia del foco que de la
directriz. Esto de acuerdo a la definición.

5. 2. P es el parámetro. La distancia del vértice al foco es igual que la distancia del
vértice a la directriz. Esa distancia es P.
3. La parábola dibujada está abierta hacia arriba. El vértice es el punto más bajo si la
parábola se abre hacia arriba; y será el punto más alto, si se abre hacia abajo. De igual
forma, será el punto más a la izquierda, si la parábola se abre hacia la derecha; y será
el punto más a la derecha, si se abre hacia la izquierda.
4. La directriz es una recta horizontal. Estará abajo, si la parábola se abre hacia arriba;
y estará arriba, si se abre hacia abajo. También estará a la derecha, si se abre hacia la
izquierda, y viceversa. En estos 2 casos, la directriz será una vertical
Ecuación de la parábola
La distancia de un punto (X, y) al foco de la parábola = la distancia de (X, y) a (X, k-
P)
(X - h)2 + (y – k – p)2 = (X – X)2 + (y – k + P)2  Elevemos al cuadrado
(X - h)2 + (y – k – p)2 = (y – k + P)2  Desarrollemos los cuadrados que tienen P.
Obtenemos.
(X - h)2 y2 + k2 + P2 + 2kP – 2yk – 2yp = y2 + k2 + P2 - 2kP – 2yk + 2yp 
Suprimamos términos
(X - h)2 + 2kP – 2yp = 2yp - 2kP
(X - h)2 = 2yp - 2kP - 2kP + 2yp
(X - h)2 = 2yp + 2yp - 2kP - 2kP
(X - h)2 = 4yp - 4kP
(X - h)2 = 4P (y - k)
La ecuación anterior es para la parábola abierta hacia arriba. Si la parábola se abre
hacia abajo, tendremos -4P. Si la parábola se abre hacia la derecha, tendremos 4P,
pero (X - h) cambia por (y - k) y (y - k) cambia por (x - h) Todo esto se resume en la
tabla siguiente.

6. (X - h)2 = 4P (y - k) (X - h)2 = -4P (y -
k)
(y - k)2 = 4P (X - h) (y - k)2 = -4P (X -
h)
Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (y - 3)2 = 16 (X - 6).
Observamos que en (y - 3)2 = 16 (X - 6), y – k está al cuadrado. Esto nos indica que la
parábola se abre hacia la derecha o hacia la izquierda. Pero también se observa que
4P tiene signo POSITIVO: +16. Por lo tanto la parábola se abre hacia la derecha.
Además su vértice es (6,3)
Calculemos P: 4P = 16  P = 16/4 = 4
La directriz es la recta vertical que está a 4 unidades a la izquierda del vértice. Significa
que 4 unidades a la derecha, está el foco. Como el vértice es (6,3), la directriz es X = 6
– 4 = 2 Y el foco es (6 + 4,3) = (10,3)
La gráfica es la siguiente:
X = 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Foco (10,3)
Solución.

7. 3
Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (X + 3)2 = 8 (y - 5)
Solución.
.
La parábola se abre hacia arriba. El vértice es (-3,5) La distancia del foco al vértice, P,
es:
4P = 8  P = 2 La directriz es y = 5 – 2 = 3  y = 3
El foco está en (-3,5+2) = (-3,7) La gráfica es la siguiente:
(-3,5)
-3
(-3,7)
7
5
y = 3
Ejemplo. Una parábola tiene su vértice en (8,-2) y su foco en (8,-3) Determinar su
ecuación.
Solución.

8. El foco, que es (8,-3) está una unidad abajo del vértice, que es (8,-2). Esto nos indica
que la parábola se abre hacia abajo. Además, P = 1. Por lo tanto, la directriz, que está
una unidad abajo del vértice, es y = -1.
La parábola es:
(X - h)2 = -4P (y - k)
(X - 8)2 = -4(1) (y – (-2))
(X - 8)2 = -4 (y + 2)
Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de la parábola
y2 – 6y + 12X - 15 = 0
Solución.
Debemos completar el cuadrado.
y2 – 6y + 12X - 15 = 0
y2 – 6y + (3)2 + 12X - 15 = 0 + 9
(y - 3)2 = - 12X + 9 + 15 = - 12X + 24
(y - 3)2 = - 12(X – 2)
La parábola se abre hacia la izquierda.
El vértice es (2,3) 4P = 12  P = 12/4 = 3 La directriz está 3 unidades a la derecha
del vértice. La directriz es X = 2 + 3 = 5
El foco está 3 unidades a la izquierda del vértice: (2-3,3) = (-1,3)
La gráfica es
La siguiente:
X = 5
(-1,3) (2,3)
Ejemplo. Calculemos la ecuación de la parábola cuyo vértice es (7,4) y cuya
directriz es X = 9.
Solución.

9. X = 9
7
4
9
Se aprecia que la directriz está a la derecha del vértice. Esto significa que la parábola
se abre hacia la izquierda. Además, la distancia del vértice a la directriz es 2 unidades:
9 – 7 = 2. Es decir que P = 2. La ecuación de la parábola es:
(y - k)2 = -4P (X - h)  (y - 4)2 = -8 (X - 7)
Actividad 11. En cada caso, determina el vértice, la directriz, el foco y la gráfica.
1. (X - 5)2 = 8 (y - 3) ______ _______ _______
2. (X - 5)2 = -8 (y - 3) ______ _______ _______
3. (X - 8)2 = 8 (y - 5) ______ _______ _______
4. (X - 8)2 = -8 (y - 5) ______ _______ _______
5. (X + 3)2 = 4 (y - 5) ______ _______ _______
6. (X + 3)2 = -4 (y - 5) ______ _______ _______
7. (X + 5)2 = -8 (y + 3) ______ _______ _______
8. (y - 5)2 = 12 (X - 2) ______ _______ _______
9. (y - 5)2 = -12 (X - 2) ______ _______ _______
10. (y + 6)2 = 12 (X + 4) ______ _______ _______
11. (y + 6)2 = -12 (X + 4) ______ _______ _______
12. X2 – 10X – 8y + 49 = 0 ______ _______ _______
13. X2 – 16X – 8y + 104 = 0 ______ _______ _______
14. y2 + 12y – 12X = 12 ______ _______ _______
Actividad 12. En cada caso, encuentra la ecuación de la parábola.
1. El vértice es (8,5) y el foco es (8,7) _________________
2. El vértice es (-4,-6) y el foco es (-1,-6) _________________
3. El vértice es (-3,5) y el foco es (-3,4) _________________

10. 4. El vértice es (-3,-4) y el foco es (0,-4) _________________
Actividad 13. En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola.
1. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1 _________________
2. El vértice es (8,5) y la directriz es y = 3 _________________
3. El vértice es (-3,5) y la directriz es y = 4 _________________
4. El vértice es (-5,-3) y la directriz es y = -1 _________________
5. El vértice es (2,5) y la directriz es X = 5 _________________
6. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1 _________________
Actividad 14. En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola.
1. El vértice es el origen, y la directriz es y = 2
2. El vértice es (0,3), y la directriz es y = 6
3. El vértice es (3,0), y la directriz es X = -2