Este documento presenta los conceptos fundamentales del cálculo diferencial incluyendo ecuaciones de rectas, circunferencias, hipérbolas, elipses, parábolas, derivadas, reglas para derivar sumas, productos y cocientes, y funciones trascendentales. El autor es Diana Marcela Catolico Daza y el documento fue escrito para la asignatura de Cálculo Diferencial en la Universidad de Boyacá en el año 2011.

1. Diana Catolico

2. CALCULO DIFERENCIAL
DIANA MARCELA CATOLICO DAZA
COD. 55211014
UNIVERSIDAD DE BOYACA
TUNJA
2011

3. CALCULO DIFERENCIAL
DIANA MARCELA CATOLICO DAZA
COD. 55211014
Profesor:
AUGUSTO AGUIRRE
Asignatura:
Calculo Diferencial
UNIVERSIDAD DE BOYACA
TUNJA
2011

4. 1. ECUACIONES
1.1. ECUACION DE LA RECTA
DEFINICION: La ecuación explícita de una recta tiene la forma y=mx+n donde m es la
pendiente de la recta y n el término independiente.
y = mx + b.
Las componentes del vector director son: v= (-B, A)
La pendiente de la recta es: m= - A
B
Ejercicios:
1. Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector v director igual (-2, 1).
X-1 = y-5 x-1 -2y+10
-2 1
x+y-11=0
2. Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.
Y-5=-2(x-1) y-5=2x+2
2x+y-7=0
1.2. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN: Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro.

5. X²+ y²= r²
Ecuación reducida de la circunferencia : Si el centro de la circunferencia
coincide con el origen de coordenad as la ecuación queda reducida a: x²+ y²= r²
Ejemplos:
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
(x-3)²+ (y-4)²=4 x²-6x+9+y²-8y+16=4
x²+ y²-6x-8y+21=0
2. Dada la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro
y el radio.
x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0 - 2=-2ª a=1 c(1,-2)
4=-2b b=-2
c=a²+b²-r² -4=1+4- r² r=3
1.3. ECUACION DE LA HIPERBOLE
DEFINICION: Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden
con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.
Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(−c, 0) y F(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:

6. Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ecuación de la hipérbola
Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de
coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:
Ecuación de la hipérbola de eje vertical

7. Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de
coordenadas F(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:
Ejemplos:
1. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C (-2, -
5).
C (-2,-5), F (-2,5), A (-2,3)
a = 3-(-5) 3+5 c= 5-(-5) 5+5
=8 =10
b= √100-64 b=√36 = 6
(y+5)² (x+2)² = 1
64 36
2. El eje focal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P (8, 14). Hallar su
ecuación.
2a=12 a= 12/2 a=6
P (8,14) 8² _ 14² 64 _ 196 = 1
36 b² 36 b²
b² 252

8. 3. Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un
foco al vértice más próximo es 2.
2a=34 a= 34/2
a=17
a=17-2 15 b=√17²-15² √289-225
√64 =8
X² _ y² =1
225 64
1.4. ECUACION DE LA ELIPSE
Ecuación reducida de la elipse: Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y
los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ejemplo:

9. 1. Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F
(3, 0), y su eje mayor mide 10.
Semieje mayor 2a=10 10/2 a 5
Semidistancia focal FF’ 2C=6 C=6/2 C=3
Semieje menor b²=25-9
b=4
Ecuación reducida x² _ y² =1
25 16
Excentricidad e=3/5
Ecuación de eje vertical de la elipse: Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es
paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y + c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la
elipse será:

10. 2. Determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de la siguiente
elipse.
3x²+y²-24x+39=0 3(x²-8x+16)-48+ y²+39=0
3(x-4)²+ y²=9
(x-4)² + y²= 1
3 9 C (4,0)
a²= 9 a=3 A (4,3) A´ (4,-3)
b²= 3 b=√3 B (4, √3) B´ (4,-√3,0)
c²= 3 c=√9-3 c=√6 F (4, √6) F´ (4, -√6)
1.5. ECUACION DE LA PARABOLA
Definición:
(y-b)² 2p(x-a)
Ejemplo: Dada la parábola (y-2)²=8(x-3), calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
2p=8 p/2= 2
V (3,2) F (5,2) x=1
Ecuación de la parábola de eje vertical

11. (x-a)² 2p (y-b)
Ejercicio: Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen: De directriz x = -3, de foco
(3, 0).
P=d (F, r)=6
y² 12x

12. 1.1 Ecuación reducida de la parábola
y²= 2px
Ejemplo: Dada la parábola y²=8x, calcular su
vértice, su foco y la recta directriz.
2p=8 p/2 =2
V (0,0) F (-2,0) X=-2
V (0,0) F (-2,0) X=2
1.2 Ecuación reducida de la parábola de eje vertical
x² 2py

13. 2. DERIVADAS
2.1. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
DEFINICION: Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente
a la curva en un punto previamente establecido. A partir del análisis de la situación planteada
podemos determinar que la derivada está dada por la siguiente expresión:
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende
a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
Ejemplo:
1. f(x)=x² f’(x)=
= 2x

14. 2.2. ALGEBRA DE DERIVADAS
2.2.1. DERIVADA DE LA SUMA
DEFINICION: Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la
derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando la derivada de cada una de
ellas y sumando los resultados. La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
h(x)=f(x)+g(x)+r(x)
Ejemplos:
1. f(x)=
2. f(x)= (x -7)
= (x³) ³-3(x³)²(-7)+3(x³) (-7)²-(-7)
3. f(x)= = (x²-5x+8) +5 +8
f’(x)= + +4
2.2.3. DERIVADA DE UN PRODUCTO
DEFINICION: Sea v y u dos funciones la derivada del producto de (f*g) es la primer función
por la derivada del la segunda función, mas la segunda función por la derivada de la primer
función. Esto es:
h(x)=f(x).g(x)
= f(x). +g(x)

15. Ejemplos:
1 . f (x) = (5x²-3) x²+x+4 f(x)= 10(x²+x+4 (5x²-3) (2x+1)
20x +15x²+34x-3
3.f(x)=(-x²+4x+5)(4x 3) f’(x)=
=
3. f(x) = (x²-1 x +3x) f(x) = 2x(x +3x) x²-1 3x²+3
2.2.4. DERIVADA DEL COCIENTE
DEFINICION: Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y
derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la
función g no se anule en x
h(x)=
= g(x). -f(x)
[g (x)]²
Ejemplos:
1. f(x)= tanx + cotx + secx -Sec²-Csc²+Secx.tanx
2. f(x)=
2. Tanx+ Cotx+Secx Sec²-Csc²+Secx.Tanx

16. 2.3. FUNCIONES TRASCENDENTALES
DEFINICION: En las funciones trascendentes la variable independiente figura como
exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de
los signos que emplea la trigonometría.
2.3.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
DEFINICION: Una función exponencial especialmente importante es f(x) = ex, cuya base es el
número irracional e, y x perteneciente a los números reales. Para estudiar f(x) = ex
Y=
Entonces
Ejemplos:
1. y= (3x²)
= 3x²
2. y= 8 (
=
3. f(x)=
=
2.3.2. FUNCIÓN EXPONENCIAL BASE A
DEFINICION: La derivada de la función exponencial en base a es igual a la misma función por
el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Y=
Entonces
Ejemplos:
1. y=

17. 2. y=
2.4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
DEFINICION: Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.
2.4.1. FUNCIÓN LOGARÍTMICA NATURAL
DEFINICION: La función logarítmica de base e se le llama función logarítmica natural. La
función logarítmica natural es la inversa de la función exponencial natural.
Y= ln x =x
Entonces
Ejemplo:
1. y= ln (x²-3) =
.2.4.2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA BASE A
DEFINICION: La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base
a. Los valores de la función loga se denotan como loga (x) y puesto que loga y la función
exponencial con base a son inversas se puede afirmar que:
f(x) = loga (x) si y sólo si x = ay
El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su ámbito o recorrido es
el conjunto de los números reales.
y=
Ejemplos:
1.
2.
3.

18. 2.5. DERIVADAS DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2.5.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO
DEFINICION: La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la
derivada de la función.
Si f(x)= Sen x = = Cosx
*
Ejemplos:
1. f(x)=Sen (x -2) = [Cos (x -2)](3x) 3x Cos x -2
2. f(x)=Sen 4x 4 Cos4x
3. f(x)=Sen ) = Cos )4/3
4. Sen x - f’(x)=4Sen (Cosx
5f(x)=Sen f’(x)=Sen (Cosx)
2.5.2. DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO
DEFINICION: La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por
la derivada de la función.
Si f(x)= Cosx = = -Senx
Ejemplos:
1. f(x)=Cos(x+2) = [-Sen (x+2)]
= [-Sen (x+2)] 2= -Sen (x+2)

19. 2. f(x)=1/2Cos²5x) = (Cos5x)²
= 2 Cos5x (-Sen5x) 5= -5 Cos5x.Sen5x
3. f(x)=Cos (7-2x) =2.Sen(7-2x)
2.5.3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN SECANTE
DEFINICION: La derivada de la secante de una función es igual a la secante de la función por
la tangente de la función, y por la derivada de la función.
y= Secx
= Secx tanx
Ejemplos:
1. f(x)=Sec (5x+2) 5 tan(5x+2). Sec (5x+2)
3. . f(x)=Sec 7x
2.5.4. DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
DEFINICION: La derivada de la cosecante de una función es igual a menos la cosecante de la
función por la cotangente de la función, y por la derivada de la función
y= Cscx
= = Cscu.Cotu
Ejemplos:
1. f(x)= csc(x/2) Csc (x/2)/2.Sen²(x/2)

20. 2.5.5. DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
DEFINICION: La derivada de la función tangente es igual al cuadrado de la secante de la
función por la derivada de la función.
f(x)= Tancx
=
=
Ejemplos:
1. f(x)= 3 tang 2x f’(x)=6(1+tng²2x)
2. f(x)= tang (Senx + Cosx)
=
2.5.6. DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
DEFINICION: La derivada de la función cotangente es igual a menos el cuadrado de la
cosecante de la función por la derivada de la función.
f(x)= Cotx
=
=
Ejemplos:
1. Cot(-5x =[-
=25
2. Cot =5
=-5

21. 2.6. DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
DEFINICION: Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera
derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos
encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones
continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se
les conoce como derivadas de orden superior.
Ejemplos:
1.f’(1/x)
2.7. DERIVACIÓN IMPLÍCITA
DEFINICION: Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma
y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación,
como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una
función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a
más de una función implícita. Ejemplo:
F(x)= x²+y²=16
2x+2y =0
3. APLICACIONES
3.1. EXTREMOS RELATIVOS
3.1.1. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

22. DEFINICION: Si se aplica la primera derivada a una función se conoce el comportamiento de
ésta, en los puntos donde la derivada es cero (0).Si en c hay un numero critico E
2 .Criterio
1ra
• Los Derivada •La
puntos •Valores gráfica
críticos. Maximos y de la
1. Criterio Minimos función
3.Criterio
1ra 1ra
Derivada Derivada
Si en C hay un número critico Entonces
A. Si f’(x) <0 por x<c y f’(x) >0 para x>c Entonces en c hay un Máximo Relativo
B. Si f’(x) >0 por x<c y f’(x) <0 para x>c Entonces en c hay un Mínimo Relativo
Ejemplos:
1. x²+4x+3 f’(x) =2x+4
f (0)= 2c+4=0 c=4/2 2
Intervalo F’(x) Conclusion
X<2 - Decreciente
X=2 0 Minimo Relativo
X>2 + Creciente
2. f(x)=x²+5 f(0)=2x
f(c)= 0 2c=0 c=0/2 c=0
Intervalo F’(x) Conclusion

23. X<0 - Decreciente
X=0 0 Minimo Relativo
X>0 + Creciente
3. f(x) =9-x² f’(x) = -2x ² f’(c)=0 -2x=0 c=0/2 c=0
Intervalo F’(x) Conclusion
X<0 + Creciente
X=0 0 Maximo Relativo
X>0 - Decreciente
3.1.2. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
DEFINICION: La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de
la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que
se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda
derivada: El criterio de la segunda derivada proporciona la concavidad de una curva de la
2. Valores
3. Punto de
máximos y
inflexión.
mínimos
4. La
1. Puntos
gráfica de
críticos. CRITERIO la función.
DE LA
SEGUNDA
DERIVADA
guiente manera.
Ejemplos:

24. 1. f’(x)=3x²+10x+6 f”=6x+10
6x+10=0 x=-10/6 -5/3
f”(x)=0
Intervalo F’(x) Conclusion
X<-5/3 - Concava hacia ↓
X=-5/3 0 Pto. de Inflexión
X>-5/3 + Concava hacia ↑
2. f(x)=x -8x f’(x)=4x
f”(x)=12x
Intervalo F”(x) Conclusion
X<0 + Concava hacia
X=0 0 Pto de Inflexión
0<x<4 - Concava hacia
X=4 0 Pto de Inflexión
X>4 + Concava hacia
Grafica:

25. 4. TEOREMA DEL ROLLE
DEFINICION: En la figura de la derecha se ilustra la interpretación geométrica del Teorema
de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones que requiere el Teorema: f
es continua en [a, b] e integrable en (a, b), y
f (a) = f (b) = 0. También se puede observar el punto (cuya abscisa es c) donde la recta
tangente a la gráfica de f es paralela al ejex, es decir donde se cumple que f '(c) = 0.
El Teorema de Rolle es susceptible de una modificación en su enunciado que no altera para nada
la conclusión del mismo. Esta se refiere al punto (iii) f (a) = f (b): basta con que el valor de la
función sea el mismo para x = a y x = b y no necesariamente sean iguales a cero.
Ejemplos:
2
1. Comprobar que la función f(x) = x – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de
Rolle en el intervalo [1, 3]
Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c=2
El punto c = 2 está en el interior del intervalo [1, 3]
2.f(x)= 16-x² [-4,4]

26. f(a)=f(-4)=16-(-4)=0
f(a)=f(b)
f(b)=f(4)= 16-(4)=0
f’(c)=0 f(x)-2x -2c=0 c=0/2 c=0
5. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
DEFINICION: Si f es una función en la que se cumple que:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que f’(c)=
El teorema afirma que si la función es continua en [ a,b] y diferenciable en (a,b), existe un
punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y
B. Esto es,
Ejemplo: