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Ejercicios resueltos

Jairo G.M
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elipse

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LA ELIPSE
EJERCICIOS
RESUELTOS
Colegio Sor Juana Inés de la Cruz
Sección Preparatoria
Matemáticas III
Bloque VII
Ing. Jonathan Quiroga Tinoco
La ecuación de la curva es del tipo ,
para la cual se necesita tener el valor de b, el
semieje menor. Puesto que se conocen a y c,
b se determina de la expresión que las
relaciona:
1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el
origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual
a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es
el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3.
Además, a = 5.
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
222
cab −=
222
35 −=b
162
=b 1
2516
22
=+
yx
2. Se pueden determinar todos los elementos que
caracterizan a la elipse del ejemplo anterior y
representarla en el plano coordenado:
Centro: C(0, 0)
Eje focal: eje y
Vértices: V(0, 5) y V’(0, –5)
Focos: F(0, 3), F’(0, –3)
Distancia focal: 2c = 6
Longitud del eje mayor: 2a = 10
Longitud del eje menor: 2b = 8
Longitud de cada lado recto:
Excentricidad:
( )
5
32
5
162
=
2
2b
a
=
2 2
3
= < 1
5
c a b
e
a a
−
= =
GRÁFICA EJEMPLO 2
3. La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(–4, 0)
y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente
manera:
Por los vértices se sabe que es una elipse con
centro en el origen, que su eje focal es el eje x,
y que a = 4.
Por la definición de la excentricidad:
por lo tanto, , y c = 3.
Entonces
La ecuación es
a
c
e =
44
3 c
=
222
cab −= 734 222
=−=b
1
716
22
=+
yx
4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y
pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2), al considerar la
fórmula
Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene:
Para (4, 3):
Para (6, 2):
Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a
y b. Para resolverlo se puede despejar b2 de las dos
ecuaciones e igualar los valores para determinar el
valor de a2:
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
1
34
2
2
2
2
=+
ba 2 2
16 9
1..................... (1)
a b
+ =
1
26
2
2
2
2
=+
ba 2 2
36 4
1..................... (2)
a b
+ =
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  • 1. LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco
  • 2. La ecuación de la curva es del tipo , para la cual se necesita tener el valor de b, el semieje menor. Puesto que se conocen a y c, b se determina de la expresión que las relaciona: 1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3. Además, a = 5. 12 2 2 2 =+ a y b x 222 cab −= 222 35 −=b 162 =b 1 2516 22 =+ yx
  • 3. 2. Se pueden determinar todos los elementos que caracterizan a la elipse del ejemplo anterior y representarla en el plano coordenado: Centro: C(0, 0) Eje focal: eje y Vértices: V(0, 5) y V’(0, –5) Focos: F(0, 3), F’(0, –3) Distancia focal: 2c = 6 Longitud del eje mayor: 2a = 10 Longitud del eje menor: 2b = 8 Longitud de cada lado recto: Excentricidad: ( ) 5 32 5 162 = 2 2b a = 2 2 3 = < 1 5 c a b e a a − = =
  • 5. 3. La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(–4, 0) y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente manera: Por los vértices se sabe que es una elipse con centro en el origen, que su eje focal es el eje x, y que a = 4. Por la definición de la excentricidad: por lo tanto, , y c = 3. Entonces La ecuación es a c e = 44 3 c = 222 cab −= 734 222 =−=b 1 716 22 =+ yx
  • 6. 4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2), al considerar la fórmula Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene: Para (4, 3): Para (6, 2): Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a y b. Para resolverlo se puede despejar b2 de las dos ecuaciones e igualar los valores para determinar el valor de a2: 12 2 2 2 =+ b y a x 1 34 2 2 2 2 =+ ba 2 2 16 9 1..................... (1) a b + = 1 26 2 2 2 2 =+ ba 2 2 36 4 1..................... (2) a b + =
  • 7. Cont….ejemplo 4. De (1): De (2): 1 916 22 =+ ba 2222 916 baab =+ ( ) 222 916 aab −=− 2 2 2 2 2 9 9 ... (3) 16 16 a a b a a = − = − − 1 436 22 =+ ba 2222 436 baab =+ ( ) 222 436 aab −=− 2 2 2 2 2 4 4 ... (4) 36 36 a a b a a = − = − −
  • 8. Cont….ejemplo 4. Igualando (3) y (4): Este valor se sustituye, por ejemplo, en (4): La ecuación de la elipse es: Para definir sus elementos se requiere conocer el valor de c. 36 4 16 9 2 2 2 2 − = − a a a a ( ) ( )2 2 9 36 4 16a a− = − 2 2 9 324 4 64a a a a− = − 02605 2 =−a 52 5 2602 ==a ( ) 3652 524 36 4 2 2 2 − = − = a a b 13 16 2082 ==b 1 1352 22 =+ yx 222 cab −= 22 bac −= 391352 =−=c
  • 9. Cont….ejemplo 4. Los elementos de la elipse son: Centro: C(0, 0) Eje focal: Eje x Vértices: V( , 0) y V’( , 0) Focos: F( , 0), F’( , 0) Distancia focal: Longitud del eje mayor: Longitud del eje menor: Longitud de cada lado recto: Excentricidad: 52 52− 39 39− 2c =2 39 2a = 2 52 2b = 2 13 2 2b a = 2 1 52 26 = a ba a c e 22 − == 39 52 =
  • 10. Cont….ejemplo 4. GRÁFICA V'(- 52 ,0) V( 52 ,0) ( 39,0)FF'( 39,0)−
  • 11. 5. Para la elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V’(–2, 4) y sus focos los puntos F(5, 4) y F’(–1, 4), encontrar su ecuación, elementos y gráfica. Como los vértices y los focos tienen la misma ordenada, la elipse tiene su eje mayor paralelo al eje x, de manera que la fórmula a utilizar es: El centro de la elipse está en el punto medio de los vértices (y de los focos) por lo tanto sus coordenadas son ( ) ( ) 12 2 2 2 = − + − b ky a hx 1 2 2 x x x + = = ( ) 2 2 26 = −+
  • 12. Cont…..ejemplo 5 •  La distancia del centro a cualquiera de los vértices es el valor de a, de modo que: •  Y c es la distancia del centro a cualquiera de los focos: •  Para determinar la ecuación es necesario conocer el valor de b: 1 2 2 y y y + = = 4 2 44 = + 426 =−=a 325 =−=c 222 cab −= 79162 =−=b 7=b
  • 13. Para x = 0 y1 = 6.3 y2 = – 1.7 (0, 6.3) (0, –1.7) Para x = 4 y1 = 6.3 y2 = – 1.7 (4, 6.3) (4, –1.7) Para x = 2 y1 = 6.65 y2 = 1.35 (2, 6.65) (2, 1.35) ( ) ( ) 2 2 0 2 4 1 16 7 y− − + = ( ) 4 1 1 7 4 2 −= −y 3 4 = 4 21 1682 =+− yy 043324 2 =+− yy 2 218 ± =y ( ) ( ) 2 2 4 2 4 1 16 7 y− − + = ( ) 1 7 4 16 4 2 = − + y ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 16 7 y− − + = ( ) 2 40 1 16 7 y − + = ( ) 2 4 1 7 y − = 2 8 16 7y y− + = 4 7y = ±
  • 15. 6. Para la elipse cuyos vértices son los puntos (–3, 7) y (–3, –1) y la longitud de cada lado recto es 2 encontrar la ecuación, sus elementos y su gráfica Como los vértices tienen la misma abscisa la elipse es vertical ya que el eje mayor, y el focal, son paralelos al eje y. La ecuación que le corresponde es: El centro es el punto medio del eje mayor Su abscisa es la misma de los vértices y su ordenada es ( ) ( ) 12 2 2 2 = − + − a ky b hx 'VV 1 2 2 y y y + = = ( ) 3 2 17 = −+ C(-3, 3)→
  • 16. Cont…..ejemplo 6. La longitud de su eje mayor es la distancia entre sus vértices: Como la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2, se tiene: y la longitud de su eje menor es 2b = 4 La ecuación de esta elipse es: Para determinar las coordenadas de los focos se calcula el valor de c a partir de la expresión: a = 4→( ) 8172 =−−=a 2 2 = 2 b a ( )422 2 =b 4 2 82 ==b 2=b ( ) ( ) 1 16 3 4 3 22 = − + + yx 222 cba +=
  • 17. Cont….ejemplo 6. •  Por lo tanto, los focos son los puntos: •  su excentricidad es: 222 bac −= 124162 =−=c 3212 ==c ( )3, 3 2 3F − + ( )' 3, 3 2 3F − − 2 3 4 32 === a c e
  • 19. 7. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene centro en (1, 2), uno de los focos es (6, 2) y pasa por el punto (4, 6), Como el centro y el foco tienen la misma ordenada, el eje focal y el eje mayor son paralelos al eje x. Por tanto, la ecuación que corresponde a esta curva es: Al sustituir las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2): Hay que determinar a2 y b2. ( ) ( ) 12 2 2 2 = − + − b ky a hx ( ) ( ) 1 21 2 2 2 2 = − + − b y a x
  • 20. Cont….ejemplo 7. Como el punto (4, 6) pertenece a la elipse, satisface su ecuación: Para obtener una ecuación con una sola incógnita, se hace la sustitución ( ) ( ) 1 2614 2 2 2 2 = − + − ba 1 169 22 =+ ba 2 2 2 b a c= −
  • 21. Cont…ejemplo 7. Para determinar su gráfica se localizan los vértices, los focos y el centro, y se sabe que su eje mayor mide 2a = 2(4) = 8 y su eje menor, de manera que los puntos de intersección de la elipse con su eje menor son Cada uno de sus lados rectos mide: Otros puntos de la elipse, con valores aproximados de la ordenada, son: 2b = 2 7 ( )2, 4 2 7B + ( )' 2, 4 2 7B − 2 2b a = 5.3 4 14 =
  • 22. 8) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a 9. Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0). •  La distancia c es: •  El lado recto es: 330 =−=c 2 2 2 b a c= − 922 −= ab , 9 2 2 == a b LR
  • 23. •  Sustituyendo: •  El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6. ( ) 9 92 2 = − a a 01892 2 =−− aa ( ) ( ) ( )( ) ( )22 182499 2 −−−±−− =a 4 159 4 144819 ± = +± =a 6 4 24 1 ==a 2 3 4 6 2 −=−=a
  • 24. •  La ecuación de la elipse es: 922 −= ab 279362 =−=b 1 3627 22 =+ yx
  • 25. 9) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad. •  El eje focal es paralelo al eje y. •  El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3.  La distancia entre los focos es: k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)   2b = 8 b = 4 8 2 3 2 c − = = 222 cba += 259162 =+=a
  • 26. •  Ecuación de la elipse: •  Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10); V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0) •  Excentricidad: ( ) ( ) 1 25 5 16 3 22 = − + − yx c e a = = 5 3
  • 27. 10) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el resultado. •  Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0): •  Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0: 1d = ( ) ( )22 04 −+− yx 2d = 2 1 16 + −x
  • 28. El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a 1 2 1 2 d d= ( ) 2 2 4x y− + = ( ) 1 16 2 x − ( ) ( ) 2 22 1 4 16 4 x y x− + = − ( )25632 4 1 168 222 +−=++− xxyxx 21 8 64 4 x x= − + 2 23 48 4 x y+ = ( ) 2 2 3 1 4 48 48 x y + = 1 4864 22 =+ yx 482
  • 29. 11) Un arco con forma de semi-elipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de 150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que dividan en claro en tres espacios iguales. Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación es del tipo , con el semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m. 12 2 2 2 =+ b y a x
  • 30. •  La ecuación es: 1 20255625 22 =+ yx
  • 31. Para determinar la altura de los soportes, se hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y: Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva. ( ) 2 2 25 1 5625 2025 y± + = 1 20255625 625 2 =+ y 1 20259 1 2 =+ y 9 8 2025 2 = y 1800 9 162002 ==y 230=y