3. Antecedentes históricosAntecedentes históricos
Las ideas centrales del método axiomático
surgen en el seno de la civilización griega
(S.V y IV a.C) y se asocian con el concepto
de demostración.
Su primera formulación específica fue
realizada por Aristóteles en su obra
Segundos Analíticos, obra que incluye su
teoría del silogismo y sus concepciones
acerca de la ciencia.
4. Antecedentes históricosAntecedentes históricos
La primera aplicación concreta del método
fue realizada por Euclides, quien en su obra
Elementos (aprox.300 a.C) desarrolla la
axiomatización de la geometría.
Aristarco aplicó dicho método a la
astronomía, mientras que Galeno hizo uso
del método en la medicina.
Con la revolución científica de la era
moderna, el método se extendió a la física,
de la mano de científicos como Tartaglia,
Descartes, Galileo, Newton.
5. Axiomática formalAxiomática formal
La axiomática formal o abstracta
alcanza su realización en la segunda mitad
del siglo XIX, hecho que coincide y es
impulsado por el surgimiento de las
geometrías no euclidianas, la lógica
matemática y la teoría de conjuntos.
A diferencia de lo que ocurre en los
sistemas axiomáticos materiales, los
términos de un sistema axiomático formal
no se refieren a objetos, y sus
enunciados carecen de significado
empírico.
6. La axiomática en elLa axiomática en el
siglo XXsiglo XX
En 1889 G. Peano publica la primera axiomatización
de la aritmética.
En 1918 Hilbert emprende la tarea de axiomatizar
toda la matemática, ideal que se vería frustrado hasta
nuestros días.
En 1930 Zermelo y Fraenkel logran axiomatizar la
teoría de conjuntos de Cantor.
En 1931 Gödel descubre el célebre “teorema de
incompletitud” que precisamente demuestra la
imposibilidad de axiomatizar toda la matemática.
Después de Gödel, comienza una etapa de
investigación metateórica rigurosa de las
propiedades de los sistemas axiomáticos formales.
7. ¿¿Qué es un sistemaQué es un sistema
axiomáticoaxiomático??
Desde un punto de vista lógico una teoría
es un conjunto de enunciados
organizados sistemáticamente.
La sistematicidad la provee la relación de
consecuencia lógica.
Un sistema axiomático constituye un
conjunto de enunciados de los que
pueden distinguirse un subconjunto de
ellos (axiomas) tal que todos los
restantes enunciados se consideran
consecuencias lógicas de aquellos
(teoremas)
9. Axioma:Axioma: αξιωμααξιωμα
Del griego, significa “lo digno de ser
estimado, creído o valorado”.
Aristóteles los consideraba principios
autoevidentes, que ofician de
fundamento de toda ciencia.
Hasta el siglo XIX, generalmente se los
consideraba verdades universales,
válidas y aplicables a cualquier ámbito de
conocimiento.
10. Axiomas: Algunos ejemplosAxiomas: Algunos ejemplos
El todo es mayor que cualquiera
de sus partes.
Cantidades iguales añadidas a
cantidades iguales dan iguales
cantidades.
Dos cosas iguales a una tercera
son iguales entre sí.
El todo es igual a la suma de sus
11. AxiomaAxioma ≠≠ PostuladoPostulado
“Toda ciencia
demostrativa tiene que
partir de principios
indemostrables; de otro
modo, los pasos de la
demostración serían
infinitos. De estos
principios indemostrables
algunos son comunes a
todas las ciencias, otros
son particulares o
peculiares de una ciencia
en particular”.
(Aristóteles)
12. ALGUNOSALGUNOS
POSTULADOS DEPOSTULADOS DE
LA GEOMETRÍALA GEOMETRÍA
EUCLÍDEAEUCLÍDEA..
Por dos puntos distintos puede
trazarse una línea recta y sólo
una.
Una línea puede prolongarse
indefinidamente.
Si l1 es una línea recta y P es un
punto exterior a ella, entonces
puede trazarse por P una recta y
sólo una, paralela a L.
13. En la actualidad……En la actualidad……
Axiomas se consideran a todas las proposiciones no
demostradas, que se adoptan como punto de partida
del sistema, sin una prueba o justificación específica.
La distinción entre axiomas y postulados ha sido
generalmente abandonada, optando por el uso del término
axioma para toda proposición no demostrada.
Los sistemas axiomáticos más productivos son
aquellos en los que se adoptan una reducida cantidad de
axiomas y se logran demostrar la mayor cantidad de
teoremas.
14. Elementos de un sistema axiomáticoElementos de un sistema axiomático
Lógica subyacente.
Es la lógica presupuesta por el sistema. Se emplea
como instrumento para realizar inferencias legítimas.
Vocabulario.
Conjunto de símbolos / términos mediante los cuáles se
construyen las fórmulas o proposiciones del sistema.
Se dividen en lógicos y no lógicos.
Entre los términos no lógicos algunos se consideran
primitivos (no definidos) y otros definidos.
15. Elementos de un sistema axiomáticoElementos de un sistema axiomático
ReglasReglas
• Reglas de definición.
Son las que permiten introducir nuevos términos y enriquecer
el vocabulario del sistema. Para introducir un término nuevo
debe ofrecerse una definición.
• Reglas de formación.
Son reglas de tipo sintáctico o gramatical que indican cómo
construir proposiciones a partir de los términos.
• Reglas de derivación (deducción)
Son reglas lógicas que permiten la deducción de
proposiciones a partir de otras proposiciones.
16. Elementos de un sistema axiomáticoElementos de un sistema axiomático
Axiomas.
El subconjunto de las proposiciones no demostradas del
sistema, que se adoptan sin prueba y que ofician de
puntos de partida de todo el sistema.
• Teoremas.
Cualquier proposición obtenida deductivamente a partir
de los axiomas, mediante la aplicación de las reglas
de derivación del sistema.
17. Un ejemploUn ejemplo
Términos primitivos: Punto /conjunto.
Términos definidos: Línea /Paralela.
Definiciones:
Toda línea es un conjunto de puntos.
Dos líneas son paralelas si no hay ningún punto que
esté a las vez en ambas.
18. Un ejemploUn ejemplo
• Axiomas:
1. Existen por lo menos dos puntos.
2. Si p y q son puntos, entonces existe una y sólo una línea que
contiene a p y q.
3. Si L es una línea entonces existe un punto que no esta en
ella.
4. Si L es una línea y p un punto no situado en ella entonces
existe una y sólo una línea que contiene a p y es paralela a
L.
5. Una línea es distinta de otra si posee un punto que no es
poseído por la otra.
20. DemostraciónDemostración
X es un punto cualquiera.
.X
Por axioma 1 debe existir otro punto, supongamos Y
.X .Y
Por axioma 2 existe una línea, L, que los contiene
.X .Y L
21. DemostraciónDemostración
Por axioma 3 debe existir un punto, Z, que no se
encuentra en esa línea.
.X .Y L
. Z
Por axioma 2 debe existir una línea K, que contiene a Z y
X.
K .X .Y L
. Z
22. DemostraciónDemostración
Por el axioma 5, L y K son líneas distintas, dado que el
punto Y está sobre L y no sobre K.
K .X .Y L
. Z
X se encuentra tanto en L como en K, lo cual
demuestra el teorema.
23. Propiedades Formales de losPropiedades Formales de los
sistemas axiomáticos. Consistencia.sistemas axiomáticos. Consistencia.
1. Consistencia:
*Se dice que un sistema axiomático es consistente cuando
no puede haber en él un teorema tal que su negación
también sea teorema. Es decir, cuando no pueden
deducirse teoremas contradictorios.
Ejemplo.
Teorema 1. Por un punto exterior a una recta pasa una y
sólo una paralela.
Teorema 2. Por un punto exterior a una recta no pasa una
sola paralela sino infinitas paralelas.
(Ambos no pueden ser teoremas del sistema)
24. CompletitudCompletitud
II. Completitud:
*Se dice que un sistema axiomático es completo cuando,
dada cualquier proposición correctamente formulada
en el vocabulario del sistema, puede probarse que ella
o su negación es un teorema del sistema.
Ejemplo:
Afirmación 1. Por dos puntos puede trazarse una recta.
Afirmación 2. Por dos puntos no puede trazarse una recta.
(O la afirmación 1 o la 2 debe ser un teorema del sistema).
25. IndependenciaIndependencia
III. Independencia.
*Se dice que un sistema axiomático es independiente
cuando cada uno de sus axiomas es independiente del
resto, lo cual significa que no es deducible de los otros
axiomas.
Ejemplo:
Axioma 1. El todo es mayor que las partes.
Axioma 2. El conjunto de los números naturales constituye una parte
del conjunto de los números enteros.
Axioma 3. El conjunto de los números enteros es mayor que el
conjunto de los números naturales. (Este axioma es
deducible de los dos anteriores)
26. Otras propiedadesOtras propiedades
IV. Decidibilidad.
*Se dice que un sistema axiomático es decidible si existe
un método (procedimiento mecánico) que permita
determinar si una proposición pertenece o no al sistema.
V.Satisfacibilidad.
*Se dice que un sistema axiomático es satisfacible si tiene
al menos un modelo. Se entiende por modelo una
interpretación del sistema que satisface a los axiomas, lo
que significa que los convierte en afirmaciones
verdaderas.
