Matemática Aplicada Leyes de Conservación

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIER´
IA
FACULTAD DE INGENIER´ INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
IA
´
´
AREA DE CIENCIAS BASICAS
´
MODELO MATEMATICO
´
LEYES DE CONSERVACION
´
ASIGNATURA: MATEMATICA APLICADA (CB-143)
DOCENTE: TOCTO INGA, PAUL MILLER
INTEGRANTES:
CHAMAYA GALJUF, ANGELO
LARICO BARZOLA, MICHAEL BRYAN
´
M´ TIMANA, MAIKOL
IO
TAPIA CORONADO, ALFREDO
2013 - II
1

2. ´
Indice general
1. Introducci´n
o
2
2. Modelos Matem´ticos
a
4
2.1. Proceso de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2. Condiciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3. M´todos para resolver o analizar ecuaciones diferenciales . . . . .
e
6
3. Modelo aplicando las leyes de conservaci´n
o
3.1. Un modelo b´sico de ley de conservaci´n escalar . . . . . . . . . .
a
o
7
7
3.2. La ecuacin del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Un modelo de propagaci´n de ondas ac´sticas . . . . . . . . . . . 14
o
u
3.4. Detectar c´ncer con ondas ac´sticas y l´ser . . . . . . . . . . . . . 17
a
u
a
4. Conclusiones
19
Bibliograf´
ıa
19
2

3. Cap´
ıtulo 1
Introducci´n
o
Muchas ecuaciones fundamentales en las ciencias f´
ısicas y naturales se obtienen de las leyes de conservaci´n. Las leyes de conservaci´n son las leyes de
o
o
equilibrio, o ecuaciones que expresan el hecho de que alguna cantidad se equilibra todo un proceso. En termodin´mica, por ejemplo, la primera ley dice que
a
el cambio en la energ´ interna de un sistema dado es igual o se equilibran con
ıa
la cantidad total de calor aadido al sistema, m´s el trabajo realizado sobre el
a
sistema. As´ la primera ley de la termodin´mica es una ley de equilibrio de la
ı,
a
energ´ o la ley de conservaci´n. Como otro ejemplo, considere un fluido que
ıa,
o
fluye en alguna regi´n del espacio que se compone de especies qu´
o
ımicas se someten a reacci´n qu´
o
ımica. Para una especie qu´
ımica dada, la tasa de tiempo de
cambio de la cantidad total de ese producto qu´
ımico en la regi´n debe ser igual a
o
la velocidad a la que el producto qu´
ımico fluye en la regi´n, menos la velocidad
o
a la que fluye hacia fuera, adem´s de la velocidad a la que la especie se crea,
a
o se consume, por las reacciones qu´
ımicas. Esta es una declaraci´n verbal de
o
una ley de conservaci´n de la cantidad de las especies qu´
o
ımicas que se indican.
Equilibrios parecidos o leyes de conservaci´n se producen en todas las ramas de
o
la ciencia. En ecolog´ de la poblaci´n, por ejemplo, la tasa de cambio de una
ıa
o
3

4. poblaci´n animal dado en una regi´n determinada debe ser igual a la tasa de
o
o
natalidad, menos el ´
ındice de mortalidad, m´s la tasa de migraci´n al interior o
a
o
fuera de la regi´n.
o
4

5. Cap´
ıtulo 2
Modelos Matem´ticos
a
Un modelo matem´tico es la descripci´n matem´tica de un sistema o fen´meno
a
o
a
o
de la vida real.
La formulaci´n de un modelo matem´tico implica:
o
a
Identificar las variables causantes del cambio de un sistema.
Establecer un conjunto de hip´tesis razonables acerca del sistema (leyes
o
emp´
ıricas aplicables).
Las hip´tesis de un sistema implican con frecuencia la raz´n o tasa de cambio de
o
o
una o m´s variables que intervienen. El enunciado matem´tico de esas hip´tesis
a
a
o
es una o ms ecuaciones donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.
2.1.
Proceso de modelado
En muchos casos la construcci´n o creaci´n de modelos matem´ticos utiles
o
o
a
´
sigue una serie de fases o proceso bien determinados:
5

6. Identificaci´n de un problema: o situaci´n compleja que necesita ser simulao
o
da, optimizada o controlada y por tanto requerir´ un modelo matem´tico
ıa
a
predictivo.
Elecci´n del tipo de modelo: esto requiere precisar qu´ tipo de respuesta
o
e
u output pretende obtenerse, cuales son los datos de entrada o factores
relevantes, y para qu´ pretende usarse el modelo. Esta elecci´n debe ser
e
o
suficientemente simple como para permitir un tratamiento matem´tico asea
quible con los recursos disponibles. Esta fase requiere adem´s identificar el
a
mayor n´mero de datos fidedignos, rotular y clasificar las inc´gnitas (vau
o
riables independientes y dependientes) y establecer consideraciones, f´
ısicas,
qu´
ımicas, geom´tricas, etc. que representen adecuadamente el fen´meno en
e
o
estudio.
Formalizaci´n del modelo: en la que se detallar´n qu´ forma tienen los datos
o
a
e
de entrada, qu tipo de herramienta matem´tica se usar´, como se adaptan
a
a
a la informaci´n previa existente. Tambi´n podr´ incluir la confecci´n
o
e
ıa
o
de algoritmos, ensamblaje de archivos inform´ticos, etc, etc. En esta fase
a
posiblemente se introduzcan tambi´n simplificaciones suficientes para que
e
el problema matem´tico de modelizaci´n sea tratable computacionalmente.
a
o
Comparaci´n de resultados: los resultados obtenidos como predicciones neo
cesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el modelo
est´ prediciendo bien. Si los resultados no se ajustan bien, frecuentemente
a
se vuelve a la fase 1.
Es importante mencionar que la inmensa mayor´ de modelos matem´ticos
ıa
a
no son exactos y tienen un alto grado de idealizaci´n y simplificaci´n, ya que
o
o
una modelizaci´n muy exacta puede ser m´s complicada de tratar de una simo
a
plificaci´n conveniente y por tanto menos util. Es importante recordar que el
o
´
6

7. mecanismo con que se desarrolla un modelo matem´tico repercute en el desarroa
llo de otras t´cnicas de conocimientos enfocadas al area sociocultural.
e
´
2.2.
Condiciones adicionales
En el proceso de modelado, con bastante frecuencia, aparecen condiciones
adicionales que se deben a˜adir al problema que se plantea. En el caso de las
n
reacciones del ejemplo anterior, las concentraciones iniciales de los elementos son
datos del problema que se consideran en la formulaci´n de ´ste.
o
e
2.3.
M´todos para resolver o analizar ecuacioe
nes diferenciales
Una vez que tenemos formulado el modelo matem´tico, el problema est´ en
a
a
resolverlo, que en la mayor´ de las ocasiones no es f´cil. Los m´todos de estudio
ıa
a
e
de modelos los podemos resumir en:
M´todo anal´
e
ıtico: m´todo de bsqueda de soluciones a las ecuaciones difee
renciales.
An´lisis cualitativo: se utiliza la ecuaci´n diferencial como fuente de infora
o
maci´n de las propiedades de las posibles soluciones.
o
An´lisis num´rico: aproximaci´n a los valores de la soluci´n.
a
e
o
o
7

8. Cap´
ıtulo 3
Modelo aplicando las leyes de
conservaci´n
o
3.1.
Un modelo b´sico de ley de conservaci´n
a
o
escalar
Consideremos una cantidad u(x, t) que puede representar la densidad de una
determinada magnitud. Para simplificar supondremos que se distribuye de forma uniforme en cada seccin de un tubo de seccin transversal constante A. Las
dimensiones de u son:
[U ] = magnitud/volumen.
Si consideramos un segmento arbitrario del tubo VI , siendo I = [a, b], la cantidad total de u en VI es
b
u(x, t)dxdydz =
VI
b
u(x, t)Adx = A
a
u(x, t)dx
a
8

9. Suponemos ahora que hay un movimiento de las part´
ıculas en el tubo y que
denotamos por f=f(x, t) el flujo de u en x y en el instante t, es decir, f mide la
cantidad de u que cruza la secci´n x en el instante t por unidad de volumen y
o
tiempo. Por lo tanto las dimensiones de f ser´n:
a
f=
magnitud.longitud
= densidad.velocidad
volumen.tiempo
Suponemos que el flujo es positivo si es hacia la derecha y negativo si es hacia
la izquierda. Entonces, en el instante t, la cantidad total de y que entra enVI , es
la cantidad total que entra en x=a, menos la que sale en x=b. Esto es,
Flujo total de cantidad de u enVI en el instante t = Af (a, t) − Af (b, t)
(2,3)
Supongamos finalmente que u puede ser creada o destruida en la secci´n x
o
en el instante t, y que esta creaci´n o destrucci´n viene dada por una funci´n
o
o
o
g = g(x, t). Las dimensiones de la fuente o sumidero g son:
g=
magnitud
volmen.tiempo
(2,4)
Dada g podemos calculas la creacin/disminucin de u en VI por integracin:
tasa de creaci´n/disminuci´n de u en VI =
o
o
b
a
g(x, t)Adx
(2,5)
Con todos los c´lculos y razonamientos realizados, la ley de conservaci´n para
a
o
u se puede formular para cualquier intervalo espacial I como:
tasa de cambio de u en I =
f lujo total de cantidad de u en I + tasa de creaci´n/disminuci´n de u en I
o
o
Por lo tanto:
∂
∂x
b
a
u(x, t)Adx = Af (a, t) − Af (b, t) +
9
b
a
g(x, t)Adx
(2,6)

10. Por ser A constante se puede simplificar la relaci´n anterior:
o
∂
∂x
b
a
u(x, t)dx = f (a, t) − f (b, t) +
b
a
g(x, t)dx
(2,7)
Esta relacin es una ley de conservaci´n integral, v´lida tambi´n para
o
a
e
funciones poco regulares. Si las funciones u, f y g son m´s regulares, por ejemplo
a
si verifican:
i)
b
a
ii)
∂
∂t
fx (x, t)dx = f (a, t) − f (b, t)
b
a
u(x, t)dx =
b
a
ut (x, t)dx
(2,8)
(2,9)
Entonces la ley de conservaci´n se puede escribir como:
o
b
[u (x, t)
a t
+ fx (x, t) − g(x, t)]dx = 0, ∀I = [a, b]
(2,10)
Al cumplirse para todo intervalo [a, b], el integrando debe anularse, por tanto
ut (x, t) + fx (x, t) − g(x, t) = 0, ∀x
,t > 0
(2,11)
Se trata de una ley de conservaci´n diferencial. Observaciones
o
Se considera que f y g son funciones de x y t, pero tambi´n se pudo haber
o
supuesto que dependen expl´
ıcitamente de u, la variable conservativa. Esta
hip´tesis conduce a modelos no lineales..
o
Se tienen dos inc´gnitas u y f, y una sola ecuaci´n. Por lo tanto, se precisa
o
o
otra ecuaci´n, que se conoce como ecuaci´n de estado, que relaci´n u y f.
o
o
o
Si despejamos para el segundo miembro el t´rmino g,
e
ut (x, t) + fx (x, t) = g(x, t), ∀x
,t > 0
(2,12)
El t´rmino de ley de conservaci´n se usa normalmente cuando g=0, por lo
e
o
tanto se suele precisar cuando este t´rmino es no nulo: ley de conservaci´n genee
o
ralizada o con t´rmino fuente o con segundo miembro g.
e
10

11. 3.2.
La ecuacin del transporte
La ecuaci´n del transporte lineal es un modelo en el cual el flujo es proporo
cional a la densidad:
f (w) = λw,
(2,13))
Siendo λ una constante que se puede interpretar como una velocidad de propagaci´n. Haciendo un an´lisis adimensional:
o
a
[f ] =
magnitud × longitud
,
volumen×tiempo
(2,14)
[λw] = [λ][w] = [λ] magnitud ,
volumen
(2,15)
Por lo tanto:
[λ] =
longitud
tiempo
(2,16)
La ley de conservaci´n correspondiente es:
o
∂w
(x, t)
∂t
+ λ ∂w (x, t) = 0
∂x
(2,17)
Y dada la condici´n inicial
o
w(x, 0) = w0 (x), −∞ < x < ∞
(2,18)
La soluci´n de esta ecuaci´n viene dada por
o
o
w(x, t) = w0 (x − λt), −∞ < x < ∞, t [0, +∞ >
(2,19)
Esta soluci´n se puede obtener f´cilmente mediante las curvas caracter´
o
a
ısticas
y comprobando que la soluci´n es constante a lo largo de las mismas. Por lo
o
tanto, para conocer el valor de la soluci´n es un punto x y en un instante t,
o
es suficiente calculas la caracter´
ıstica que pasa por dicho punto del plano xt y
11

12. obtener su punto de corte con el eje t=0. La solucin en (x, t) se corresponde con
el valor de la condici´n inicial en el punto de corte calculado. El procedimiento
o
formal para obtener la soluci´n es el siguiente:
o
i) Introduciendo las curvas caracter´
ısticas:
dX
(t)
dt
t → X(t),
=λ
(2,20)
ii) Comprobaci´n de que la soluci´n es constante a lo largo de las caracter´
o
o
ısticas:
dw
(X(t), t)
dt
=
∂w
(X(t), t) dX (t)
∂t
dt
+
∂w
(X(t), t)
∂t
0
=
∂w
(X(t), t)λ
∂x
+
∂w
(X(t), t)
∂t
=
(2,21)
Donde la segunda igualdad se tiene como consecuencia de la ecuacin que
verifican las curvas caracter´
ısticas (2.20) y la tercera del hecho de que w sea
soluci´n de la ecuaci´n del transporte (2.17).
o
o
iii) Calculando la soluci´n en un punto arbitrario (x*, t*) del plano xt. Se
o
denota por X*(t) la caracter´
ıstica que pasa por dicho punto que satisface el
problema de valor inicial:
dX ∗
(t)
dt
= λ, X ∗ (t∗ ) = x∗
(2,22)
Siendo su expresi´n:
o
X ∗ (t) = X ∗ (t∗ ) + λ(t − t∗ ),
(2,23)
Y por tanto su punto de corte con el plano t=0 (ver Fig. 2.1) es
X ∗ (0) = x∗ − λt∗ ,
(2,24)
iv) Calculamos la soluci´n teniendo en cuenta (2.21) y el valor de la condicin
o
inicial (2.24)
12

13. w(x∗ , t∗ ) = w(X ∗ (0), 0) = w0 (X ∗ (0)) = w0 (x∗ − λt)
(2,25)
Por lo tanto, la funci´n w0 se traslada a lo largo del tiempo a la velocidad
o
sin deformarse. Si ahora consideramos una condici´n inicial w0 discontinua
o

 w si x ≤ 0
l
w0 (x) =
(2,26)
w si x > 0
r
La soluci´n de la ley de conservaci´n lo es en el sentido de las distribuciones.
o
o
La discontinuidad inicial en x=0 se propaga a una distancia d=λt en el tiempo
t. La curva caracterstica X(t)=t separa aquellas curvas caracter´
ısticas que est´n
a
a su izquierda y sobre las cuales la soluci´n vale wl, de las que est´n a su derecha
o
a
y sobre las que vale wr. El problema de valor inicial asociado a estas condiciones
se conoce como Problema de Riemann y en este caso su soluci´n es simplemente:
o

 w si x < 0
l
w(x, t) = w0 (x − λt) =
w si x > 0
(2,27)
r
Relacin de dispersi´n, coeficiente de amplificaci´n Las relaciones que se ver
o
o
a continuaci´n las verifican las ondas arm´nicas que son soluci´n de la ecuaci´n
o
o
o
o
del transporte y son importantes al estudiar las propiedades de los m´todos
e
num´ricos que se utilicen para su resoluci´n. Se considera una onda arm´nica de
e
o
o
la forma
w(x, t) = ei(wt−kx)
(2,28)
Es inmediato comprobar que dicha onda verifica la ecuacin del transporte si se
tiene la relaci´n
o
w − kλ = 0
13
(2,29)

14. Que se conoce como relacin de dispersin. Esta relaci´n indica que si la fase
o
permanece constante (wt-kx=cte) la velocidad de fase Vp es precisamente la
velocidad de propagaci´n :
o
Vp =
dx
dt
=
w
k
=λ
(2,30)
Y es por lo tanto independiente del nmero de onda k. Adem´s, la velocidad de
a
grupo VG tambi´n coincide con
e
VG =
dw
dk
=
x
t
=λ
(2,31)
y de nuevo es independiente del n´mero de onda
u
El an´lisis de la fase en el esquema num´rico va a estar relacionado con la disa
e
persi´n del esquema. Para obtener el factor de amplificaci´n del esquema consio
o
deremos la condici´n inicial:
o
w0 (x) = eikx
(2,32)
La soluci´n w(x, t) dada por (2.27) es igual a
o
w(x, t) = w0 (x − λt) = eik(x−λt) = eikx e−ikλt = w0 (x)e−ikλt =
w0 (x)G(k, t)
(2,33)
Donde
G(k, t) = e−ikλt
es el coeficiente o factor de amplificaci´n y tiene m´dulo exactamente 1. Es decir,
o
o
se produce un desfase igual a Kλt pero no se introduce ninguna amortiguaci´n. El
o
an´lisis del factor de amplificaci´n del esquema num´rico va a estar relacionado
a
o
e
con una caracter´
ıstica del esquema que se conoce como disipaci´n, que representa
o
un decrecimiento de las oscilaciones de altas frecuencias y supone una p´rdida de
e
precisi´n a la hora de aproximar las discontinuidades. Los errores en la amplitud o
o
en el factor de amplificaci´n van a estar relacionados con la difusi´n del esquema
o
o
num´rico.
e
14

15. 3.3.
Un modelo de propagaci´n de ondas ac´ stio
u
cas
Se ha visto que en la ecuaci´n del transporte las curvas caracter´
o
ısticas juegan
un papel muy importante al definir las soluciones de las mismas. En esta parte se
considera un ejemplo ms complejo propuesto y desarrollado por S.K. Godunov,
para un sistema:
∂w1
(x, t)
∂t
+ λ1 ∂w1 (x, t) = 0
∂x
(2,34)
∂w2
(x, t)
∂t
+ λ2 ∂w2 (x, t) = 0
∂x
(2,35)
Formado por dos soluciones independientes, con expresiones de la forma:
0
0
w1 (x, t) = w1 (x − λ1 t), w2 (x, t) = w2 (x − λ2 t)
(2,36)
Si ambas condiciones iniciales w10 y w20 est´n definidas en un intervalo [a,b],
a
entonces tiene sentido hablar de la soluci´n del sistema en el tri´ngulo ABC( ver
o
a
fig 2.2) siendo C el punto de corte en el plano xt de las caracter´
ısticas: x-1t=cte
que pasa por B, y x-2t=cte que pasa por A. Solamente dentro de dicho tri´ngulo
a
la solucin es unica.
´
∂
( p )
∂t ρ0 C0
+ C0 ∂u = 0
∂x
15

16. A continuaci´n se mostrar´ cmo se puede reducir a este modelo un sistema
o
a
que a primera vista puede parecer m´s complicado y que corresponde con un
a
problema f´
ısico: Este sistema describe la propagaci´n de ondas ac´sticas planas
o
u
( de pequeas perturbaciones) en un medio en reposo:
U velocidad del medio perturbado.
P presi´n del medio perturbado.
o
0 densidad del medio en reposo.
C0 compresibilidad del medio en reposo.
Veremos que estas ecuaciones se pueden transformar en un modelo sencillo
como el presentado anteriormente. Para ello multiplicamos la segunda ecuaci´n
o
por 1/ 0 C0:
∂
(u
∂t
+
p
)
ρ0 C0
∂
+ C0 ∂x (u +
p
)
ρ0 C0
Si a la relacin anterior le sumamos (2.37) se tiene:
16
=0

17. ∂
(u
∂t
−
p
)
ρ0 C0
∂
− C0 ∂x (u −
p
)
ρ0 C0
=0
Si las restamos se llega a una relacin an´loga:
a
v1 = u +
p
,
ρ0 C0
v2 = u −
p
ρ0 C0
(2,39)
Definimos unas nuevas variables v1 y v2 mediante las expresiones
v1 (x, t) =
p = ρ0 C0
0
0
v1 (x−c0 t)+v2 (x+c0 t)
2
0
0
v1 (x−c0 t)+v2 (x+c0 t)
2
(2,41)
(2,42)
Entonces v1 y v2 verifican un sistema lineal donde λ1 = c, λ1 = −c y la soluci´n
o
general tiene la forma
u−
p
ρ0 C0
0
= v2 (x + c0 t)
Que constituyen la soluci´n general de las ecuaciones de propagaci´n del sonido.
o
o
Supongamos que son conocidas las distribuciones de la presi´n p y la velocidad
o
u en el momento inicial en alg´n intervalo [x1, x2]. Dichas distribuciones deteru
minarn de manera unica la solucin en el tringulo caracterstico de base [x1, x2]
´
y que est´ definido por las desigualdades t > 0, x − c0 t > x1, x + c0 t > x2 Las
a
magnitudes up/0c0 se llaman invariantes de Riemann y permanecen constantes
a lo largo de las curvas caracter´
ısticas. Adem´s la frmula
a
u+
p
ρ0 C0
0
= v1 (x − c0 t)
Muestra que la distribucin de este invariante de Riemann se desplaza a la derecha
con velocidad c0, sin distorsionar su forma. Esta es la motivacin de que c0 se
conozco como velocidad de propagaci´n de las ondas ac´sticas o velocidad del
o
u
sonido. An´logamente, la f´rmula
a
o
Muestra que la distribuci´n del otro invariante de Riemann se desplaza a la
o
izquierda, nuevamente a velocidad c0.
17

18. 3.4.
Detectar c´ncer con ondas ac´ sticas y l´ser
a
u
a
Una nueva propuesta de detecci´n de c´ncer de pecho o en la sangre es utio
a
lizando el efecto foto´custico. Pues las c´lulas cancer´
a
e
ıgenas pueden absorber luz
en longitudes onda diferentes a las c´lulas sanas. Entonces una espectroscopia
e
tradicional de absorci´n puede detectar la zona enferma, pero para ello se reo
quieren zonas altamente degradadas. Tal vez, la soluci´n sea una combinaci´n
o
o
de tecnolog´ ultrasonidos y l´ser. Cuando la c´lula absorbe r´pidamente la luz
ıa
a
e
a
de un l´ser pulsado (importante por su alta energ´ y repetibilidad de pulso),
a
ıa
esa energ´ se disipa, como una onda ac´stica, esta vibraci´n se puede medir
ıa
u
o
con un micr´fono piezoelectrico. As´ John Viator, de la Universidad de Missouo
ı,
ri, y compaeros de area afirman que esta t´cnica puede ser tan sensible como
´
e
para detectar c´lulas individuales de c´ncer que llegan a viajar por el torrente
e
a
sangu´
ıneo.
Por lo que he visto del area y su desarrollo, esta tecnolog´ puede funcionar,
´
ıa
pero creo que su procesamiento de datos es rudimentario, apenas si detectan
algunos picos significativos para llegar a detectar un objeto, seg´n ellos una
u
c´lula cancer´
e
ıgena solitaria. En lo personal prefiero an´lisis de regiones de seal
a
(e.g rms) o de comparacin de seales (e.g. Correlacin de seales); los cuales son
t´cnicas matem´ticamente sencillas y muy sensibles; adem´s, en 5 min se puede
e
a
a
tener un diagn´stico con tales rutinas. Suerte a Viator, que sobrepasen al c´ncer,
o
a
pues es una batalla de todos ganarle a las enfermedades.
18

19. 19

20. Cap´
ıtulo 4
Conclusiones
Del trabajo acerca de las leyes de conservaci´n podemos concluir que ´stas
o
e
tienen una gran utilidad en diversas areas como por ejemplo en la f´
´
ısica,
ecolog´ econom´ etc.
ıa,
ıa,
Las leyes de conservaci´n pueden ser aplicadas a diferentes modelos mao
tem´ticos. El modelo de propagaci´n de las ondas ac´sticas pareciera ser
a
o
u
complicado, pero hemos observado que su soluci´n es sencilla, al utilizar la
o
ecuaci´n diferencial de la ley de conservaci´n.
o
o
En particular en este modelo, se llega a conocer a como la velocidad de
propagaci´n de las ondas ac´sticas o velocidad del sonido.
o
u
Con una buena investigaci´n se realizan modelos matem´ticos optimos que
o
a
´
nos ayudan a resolver problemas, aplicando diferentes herramientas matem´ticas, como en nuestro caso las ”leyes de conservaci´n”
a
o
20

21. Bibliograf´
ıa
[1] David Logan, Introducci´n al m´todo de vol´menes finitos.
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[2] www.imal.santafe-conicet.gov.ar: Matematica Aplicada
[3] www2.uca.es: Modelo de crecimiento exponencial.
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